7.1向量的概念和向量的几何表示ppt
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7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量的概念及表示
向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。
【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。
（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。
（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。
2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。
平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。
（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。
例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。
（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
例： 向量 、 平行，记作// 。
向量 、 、 平行，记作// // 。
（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。
记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。
例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。
向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。
3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。
例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。
向量的概念及表示
√ (5)若a = b ，b = c，则a = c ; √ 若 则 √
变式1:非零向量 变式 非零向量a、b、c ,若a // b ，b // c，则a // c 非零向量 若 变式2: 变式 若a // b ，b // c，则a // c 反例： 反例：b = 0
x
如图， 为正六边形ABCDEF的中心，在图中所标出 的中心， 例2.如图，已知 为正六边形 如图 已知O为正六边形 的中心 向量中： 向量中： 共线的向量； （1）试找出与 共线的向量； ）试找出与FE共线的向量 相等的向量； （2）确定与 相等的向量； ）确定与FE相等的向量 相等吗？ （3）OA与BC相等吗？ ） 与 相等吗 共线的向量有BC和 解：（1）与FE共线的向量有 和OA; ：（ ） 共线的向量有
BF DE、CO、BF 、 、
. .
的模相等的向量有________ （3）与AO的模相等的向量有________个. 的模相等的向量有________个 7 （4）向量AO与CO是否相等？答 向量 与 是否相等？ 是否相等
不是
.
E
A
B
F O D C
3.如图是中国象棋的半个棋盘，“相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘， 相走田” 如图是中国象棋的半个棋盘 是象棋中相的走法.如相可以从A飞到 飞到A 是象棋中相的走法.如相可以从 飞到 1,也可 以飞到A 问相在棋盘中何处飞法最多？ 以飞到 2，问相在棋盘中何处飞法最多？试 在图中用向量表示. 在图中用向量表示.
E
D
F
O
C
A
B
长度相等且方向相同， （2）与FE长度相等且方向相同，故BC=FE ; ） 长度相等且方向相同 但方向相反， （3）虽然 ）虽然OA//BC, 且 OA = BC ,但方向相反， 但方向相反 故这两个向量不相等. 故这两个向量不相等
【中职】7.1.1 向量的概念 高教版 精品课件
正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
变式训练 2 下列说法中不正确的是( ) A．零向量与任意向量共线 B．零向量只能与零向量相等 C．若A→B＝D→C，则 ABCD 是平行四边形 D．平行四边形 ABCD 中，一定有A→B＝D→C
解析 A→B＝D→C，有可能 A、B、C、D 四点共线，故 C 错．
与B→O相等的向量有O→D，A→E，F→C.
(2)与
→ AO
Байду номын сангаас共线的向量：
→ OA
，
→ OC
，
→ CO
，
→ AC
，
→ CA
，
→ BF
，
F→B，D→E，E→D.
(3)与A→O模相等的向量：O→A，O→B，O→C，O→D，B→O，C→O，
D→O，B→F，F→B，C→F，F→C，A→E，E→A，D→E，E→D.
b A
a
东 南 100km.
4、 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为 对角线交点．
(1)找出与向量DA相等的向量 D
C
（2）找出向量DC的负向量
O
（3）找出与向量AB平行向量 A
B
图7－5
要结合平行四边形
的性质进行分析．两个 向量相等，它们必须是 方向相同，模相等；两 个向量互为负向量，它 们必须是方向相反，模 相等；两个平行向量的 方向相同或相反．
∴AC＝2000km. 又∵∠ACD＝45°，CD＝1000 2， ∴△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1000 2 km，∠CAD ＝45°. 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000 2km.
规律技巧 根据题意画出方位图是关键，求一个向量，就是求
中职教育数学《向量的概念》课件
解：OA CB DO
OB DC EO
OC AB ED FO
练习∶上题中 11
(1)与向量 OA长度相等的向量有多少个？
（2）是否存在与向量
OA
长度相等，
方向相反的向量？
FE
（3）与向量OA 共线的向量有哪些？
单击动画演示 CB DO FE
课堂 小结
向量
向量的定义 向量的表示
字母表示 几何表示
B
a
AB
三、与向量有关的基本概念
1、向量的大小（长度）叫向量的模: 向量 AB 的模
表示： | AB | 模可以比较大小
2、零向量与单位向量
零向量: 长度为零的向量(方向任意).
表示：0或 0, | 0 | 0 a a
3、单位向量: 长度为1个单位长度的向量.
P26例1
3、向量之间的关系
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.
注意：数量与向量的区别：
1.数量只有大小，是一个代数量，可 以比较大小.
2.向量有方向、大小，双重属性，而 方向是不能比较大小的，因此向量 不能比较大小. 向量不能比较大小.
问题:温度是不是向量? 重量呢？身高？海拔？速度？
向量的表示
a
1.几何法：用有向线段表示
A
2.字母法：用小写字母表示
3.用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示
等.
表示平面上的六个平行四边形，问图中
哪些向量分别与向量 AB、AD、AE 相等？
那些向量与它们互为相反向量？
A
B
D
C
E
F
H
G
例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：
（1）平行向量的方向一定相同． × （2）不相等的向量一定不平行． ×
向量的概念及表示ppt
20122012-3-5
良辰美景惜时如金敢与金鸡争晨晖 书山学海甘之若饴誓同峨眉共比高
高一（ ） 高一（15）班欢迎您
20122012-3-5
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
A B D
uuu uuur r 记作： = DC AB
C
相反向量的定义： 相反向量的定义： 的定义
r 们 与a 长 度 r 叫 a
等，
r a
20122012-3-5
r c
r r c = -a
r r a = -c
r . 记做： a -
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为： AB。 为起点、 为终点的向量记为： 为起点 为终点的向量记为 大小记着： 大小记着：│AB│
有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
良辰美景惜时如金敢与金鸡争晨晖 书山学海甘之若饴誓同峨眉共比高
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20122012-3-5
金钱豹以5m/s的速度追赶一只以 金钱豹以 的速度追赶一只以2m/s逃跑的小狗 逃跑的小狗…… 的速度追赶一只以 逃跑的小狗
请问： 能追上小狗吗 为什么？ 小狗吗？ 请问：金钱豹 能追上小狗吗？为什么？
4.相等向量的定义： 长度相等且方向相同的向量 4.相等向量的定义： 相等向量的定义
A B D
uuu uuur r 记作： = DC AB
C
相反向量的定义： 相反向量的定义： 的定义
r 们 与a 长 度 r 叫 a
等，
r a
20122012-3-5
r c
r r c = -a
r r a = -c
r . 记做： a -
一、向量的定义
既有大小又有方向的量 既有大小又有方向的量 大小又有方向
向量的长度
向量的模
二、向量的表示方法
向量常用有向线段表示 ①几何表示——向量常用有向线段表示：有向线段的 几何表示 向量常用有向线段表示： 长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示 向量的大小， 方向表示向量的方 长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。以A为起点、B为终点的向量记为： AB。 为起点、 为终点的向量记为： 为起点 为终点的向量记为 大小记着： 大小记着：│AB│
有向线段：有固定起点、大小、 有向线段 有固定起点、大小、方向 有固定起点 向量：可选任意点作为向量的起点、有大小、 向量 可选任意点作为向量的起点、有大小、有 可选任意点作为向量的起点 方向。 方向。
B D B
D
A
向量的概念 课件 高中数学人教A版(2019)必修第二册
①要注意0和
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
且|
的区别及联系：0是一个实数， 是一个向量，并
|=0，书写时 0 表示零向量，一定不能忘记上面的箭头.
②单位向量有无数个，它们大小相等，但是方向不一定相同.
③在平面内，将表示所有单位向量的有向线段的起点平移到
同一点，则它们的终点就会构成一个半径为1的圆.
牛刀小试
问题：“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？
定的，而向量是可以自由移动的；向量可以用有向线段表示，但并不能
说向量就是有向线段
3．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一
条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量
4．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，
单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一
个单位圆
得正确选项.
测验
【例2】(2020·全国高一专题练习)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改
变方向沿东北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达
D点．
(1)作出向量AB，BC，CD ；
(2)求AD 的模．
(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量
（速度为10海里/小时）．如果只是给出指令：
“由A地航行15 海里”，小船能否到达B地？
• 如果不指明“向东南方向”航行，小船不一定到达B地
• 给出指令：“向东南方向航行”呢？
• 方向和距离缺一不可
新知探究
（1）向量的实际背景与概念
• 物理中我们学习了位移、速度、力等既有大小、又有方向的量，
在物理中被称为“矢量”，
B．②④⑥是数量，①③⑤是向量
向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
８．１ 向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机 从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大 小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫 做 向量 （ ｖｅｃｔｏｒ ） ． 准确地说 ， 一个向量由两个要素 定义 ， 一是它的大小 （ 一个非负实数 ）， 一是它的方向
第 8 章 平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、 速度、力等． 数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅 有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有 广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题 来处理．本章只讨论平面上的向量， 选择性必修课程第３章还将把这 一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数 课程的核心内容． 高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角 及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解 根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相 等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度； （２）体积； （３）速度； （４）能量； （５）电阻； （６）加速度； （７）功； （８）力矩．
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知识应用
例2 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AD共线的 非零向量．
D
A B
C
分析：共线的非零向量是所有方向相同和相反的 非零向量． 解：与向量AD共线的向量有AD，BC，DA，CB．
知识应用
例3：如图设O是正六边形ABCDEF的中心，请分别写出图中 满足下列条件的向量： （1）与向量OB相等的向量； C B （2）向量OB的负向量； （3）与向量OB共线的非零向量． D A O E （1）与向量OB相等的向量有DC，EO，FA． （2）向量OB负向量有CD，OE，AF，BO． （3）与向量OB共线的向量有DC，EO，FA， CD，OE， AF，BO ．
主要概念
向量有两个要素：大小和方向 向量的大小：是表示向量的有向线段的长度，也 叫做向量的长度． AB 或 a 记作： 相等的向量： 大小相等且方向相同的向量． 注：两个向量相等与它们的位置无关．
零向量： 长度为零的向量，记作0或 AA
a
B D
它的方向不确定． A AB BA 注： 0的负向量规定为0 ； C 单位向量：长度为1的向量． 思考：两个单位向量一定是相等向量吗？
相反，或者有一个是零向量．
知识应用
例1 如图：在平行四边形ABCD中，找出与向量AB相等的 向量，以及AB的负向量． D C
A
B
分析：相等的向量即方向相同、大小相等的向量，用 有向线段表示，即为方向相同、长度相等的有向线 段．负向量即方向相反、大小相反的向量，用有向线段 表示，即为方向相反，长度相等的有向线段． 解： AB = DC - AB = BA = CD
主要概念
a长度相等且方向相反的向 负向量： 与非零向量 a 量称 的负向量， a 记作： 或称 a 的反向量．
共线向量： 如果一组向量用同一个起点的有向线 段表示后，这些有向线段在同一条直线上，像这样 的一组向量称为共线向量；否则称为不共线向量． 注：零向量与任一向量共线．
a与b共线的充分必要条件 ：a与b的方向相同或
第7章 向量
石家庄市职业财会学校：范树芳
问题情境
一只老鼠由A处向西北逃窜，猫在B处向东 追，请问：猫能追上老鼠吗？为什么？
B
A
现实世界是丰富多彩的，描述现实世界的量 有的只有大小没有方向，有的既有大小又有方 向．现实生活中哪些量既有大小又有方向？哪些 量只有大小没有方向？
主要概念
向量：既有大小又有方向的量叫做向量（或矢量）．
（4）向量不同于数量的一个显著特征是，向量有它自 己的运算系统：加、减、实数和向量的积、向量的数量 积等运算，关于数量的代数运算在向量范围内不都适 用．关于向量的运算也是我们今后要学习的重点．
向量的表示方法：
①几何表示法：用有向线段表示向量． 有向线段的箭头指向表示向量的方向； B 有向线段的长度表示向量的大小． a ②字母表示： A Ⅰ、用有向线段的起点和终点的 大写字母加箭头表示，如 AB ． Ⅱ、手写：用带箭头的小写英文字母表示，如 a、b Ⅲ、印刷体：用黑体小写字母表示，如：a、 b
总结提炼
（1）向量不同于数，它是一种新的量，关于它的概念 比较多，我们今天就着重学习了 向量、零向量、单位 向量、负向量、相等向量、共线向量等概念． （2）描述一个向量有两个要素：大小和方向． （3）共线向量也称为平行向量，它类似于平面几何中 的平行线，但它不是平行线概念的简单移植，共线是指 方向
F
知识应用
例4 判断正误： ） （1）因为温度有零上零下之分，所以“温度”是向量．（ （2）共线向量一定方向相同或相反． （3）不共线的向量一定不相等． （ （ ） ）
（4）与任意向量都共线的向量只有零向量．
（5）共线向量一定在同一条直线上．
（
（
）
） ）
（6）共线的向量一定可平移到同一条直线上．（