2013年江西省高考理科数学试题及参考答案(完整word版)

准考证号 姓名

（在此卷上答题无效）

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与本人的准考证号、姓名是否一致。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他的答案标号。第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。

3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷 选择题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1.已知集合{}=1,2,M zi ，i 为虚数单位，{}3,4N =，{}4M

N =，则复数z =

A.2i -

B.2i

C.4i -

D.4i

2.函数()1y x -的定义域为

A.()0,1

B.[)0,1

C.(]0,1

D.[]0,1 3.等比数列,33,66,x x x ++…的第四项等于

A.24-

B.0

C.12

D.24

4.总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

A.08 5.5

232x x ?

?- ??

?展开式中的常数项为

A.80

B.80-

C.40

D.40- 6.若2

211

S x dx =

?

，2

21

1

S dx x

=?

，231x S e dx =?，则123,,S S S 的大小关系为

A. 123S S S <<

B.213S S S <<

C.231S S S <<

D.321S S S <<

7.阅读如下程序框图，如果输出5i =，那么在空白矩形框中应填入的语句为

A. 2*2S i =-

B.2*1S i =-

C. 2*S i =

D. 2*4S i =+

8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m

n +=

A.8

B.9

C.10

D.11

9.过点）引直线l 与曲线y =

,A B 两点，O 为坐标原点，当AOB ?的面积取最大值时，

直线l 的斜率等于

A.

3 B.3- C.3

± 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线12,l l 之间，1l ∥2l ，l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点。设弧长FG 的长为(0)x x π<<，y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ，则函数()y f x =的图像大致是

第Ⅱ卷 非选择题

注意事项：第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

A

D

α

B

C

E

F

O G

F C

B

A 1l

l

D

E

2l

12.设1e ，2e 为单位向量且1e 、2e 的夹角为3

，若123a e e =+，12b e =，则向量a 在b 方向上的射影为 .

13.设函数()f x 在()0,+∞内可导，且()x x f e x e =+，则'(1)f = .

14.抛物线2

2(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22

133

x y -=相交于,A B 两点，若ABF ?为等边三角形，则p = .

三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做按其中一题评阅计分。本题共5分。

15.（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为：2

,x t y t ==(t 为参数)，若以直角坐标系

的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴简历极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______. （2）．

（不等式选做题）在实数范围内，不等式21x --的解集为___________. 四、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=.

1）求角B 的大小；

2）若1a c +=，求b 的取值范围。 17．（本小题满分12分）

正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222

(1)()0n n S n n S n n -+--+=。

1）求数列{}n a 的通项公式n a ； 2）令22

1(2)n n n b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T 。证明：对于任意*

n N ∈，都有564

n T <。

小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以O 为起点，再从12345678,,,,,,,A A A A A A A A （如图）这8个点中任取两点分别分终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为χ。若

0χ=就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

1)求小波参加学校合唱团的概率； 2)求X 的分布列和数学期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为AB 的中点，

G 为PD 的中点，DAB DCB ???，1EA EB AB ===，32

PA =

，连接CE 并延长交AD 于F .

1)求证：AD ⊥平面CFG ；

2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值

如图，椭圆22

22:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12

e =，直线l 的方程为4x =.

1)求椭圆C 的方程；

2)AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为123,,k k k 。问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

已知函数1

()(12)2

f x a x =--

，a 为常数且0a >. 1）证明：函数()f x 的图像关于直线1

2

x =

对称； 2）若0x 满足00(())f f x x =，但00()f x x ≠，则0x 称为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点12,x x ，试确定a 的取值范围；

3）对于（2）中的12,x x ，和a ，设3x 为函数(())f f x 的最大值点，11(,(()))A x f f x ，22(,(()))B x f f x ，

3(,0)C x ，记ABC ?的面积为()S a ，讨论()S a 的单调性。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

理科数学参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

1.C

2.D

3.A

4.D

5.C

6.B

7.C

8.A

9.B 10.D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 11.π 12.5

2

13. 2 14. 6 三、选做题：本大题5分。

15. （1）2

cos sin 0ρθθ-= （2）[]0,4

四、解答题：本大题共6小题，共75分。 16. （本小题满分12分）

解：（1

）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=

即有sin sin cos 0A B A B =

因为sin 0A ≠

，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠

，所以tan B = 又0B π<<，所以3

B π

=

。

（2）由余弦定理，有2

2

2

2cos b a c ac B =+-。

因为11,cos 2a c B +==，有2

2113()24b a =-+。 又01a <<，于是有2

114b ≤<，即有112

b ≤<。

17.（本小题满分12分）

（1）解：由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2

()(1)0n n S n n S ??-++=??。

由于{}n a 是正项数列，所以2

0,n n S S n n >=+。

于是112,2a S n ==≥时，22

1(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=。

综上，数列{}n a 的通项2n a n =。 （2）证明：由于22

1

2,(2)n n n

n a n b n a +==

+。 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ??

+=

=-??++??

。

222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ??

=

-+-+-++-+-??-++?? (22221111)

115

1(1)

162(1)(2)16264

n n ??

=

+--<+=??++?

?

。

18.（本小题满分12分）

解：（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有2

828C =种，

0χ=时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的

概率为82

(0)287

P χ==

=。 （2）两向量数量积χ的所有可能取值为2,1,0,1,2χ--=时，有两种情形；1χ=时，有8种情形；1χ=-时，有10种情形。所以χ的分布列

(2)+(1)0114147714

E χ=-?-?+?+?=-。

19.（本大题满分12分）

解：（1）在ABD ?中，因为E 是BD 的中点，所以1EA EB ED AB ====, 故,23

BAD ABE AEB π

π

∠=

∠=∠=

，

因为DAB DCB ???,所以EAB ECB ???, 从而有FED FEA ∠=∠，

故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG ∥PA 。 又PA ⊥平面ABCD ，

所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG 。

（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则

3

(0,0,0),(1,0,0),(,22

A B C D ,

3

(0,0,)2

P ，故133333(0),(,),(,2222222BC CP CD ==--=-，，，

设平面BCP 的法向量111(1,,)n y z =

，则1111022

330

22y y z ?+

=????-+=?? ，

解得11323y z ?=-????=

??

，即1

2(1,)33n =-。 设平面DCP 的法向量222(1,,)n y z =

，则2223

2

2

3302

2

y y z ?-+=???

?-+=??

，解得222y z ?=??=??

即2n =。从而平面BCP 与平面DCP

的夹角的余弦值为12

12

4

cos 416n n n n θ?===。 20.（本大题满分13分） 解：（1）由3

(1,)2P 在椭圆上得，

22

1914a b += ① 依题设知2a c =，则2

2

3b c = ②

②代入①解得222

1,4,3c a b ===。

故椭圆C 的方程为22

143

x y +=。 （2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③

代入椭圆方程223412x y +=并整理，得2222

(43)84(3)0k x k x k +-+-=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则有

22121222

84(3)

,4343

k k x x x x k

k -+==++ ④ 在方程③中令4x =得，M 的坐标为(4,3)k 。

从而1212312333

31222,,11412

y y k k k k k x x -

--

====----。 注意到,,A F B 共线，则有AF BF k k k ==，即有

121211

y y

k x x ==--。 所以12121212121233

31122()1111212

y y y y k k x x x x x x -

-+=

+=+-+------ 1212122322()1

x x k x x x x +-=-

?-++ ⑤ ④代入⑤得2

2122222

823432214(3)8214343

k k k k k k k k k k -++=-?=---+++， 又31

2

k k =-，所以1232k k k +=。故存在常数2λ=符合题意。

方法二：设000(,)(1)B x y x ≠，则直线FB 的方程为：0

0(1)1

y y x x =

--， 令4x =，求得0

03(4,

)1

y M x -， 从而直线PM 的斜率为003021

2(1)

y x k x -+=

-，

联立0022(1)114

3y y x x x y ?=-?-?

??+=?? ，得0

000583(,)2525x y A x x ---， 则直线PA 的斜率为：00102252(1)y x k x -+=

-，直线PB 的斜率为：02023

2(1)

y k x -=-，

所以00000123000225232122(1)2(1)1

y x y y x k k k x x x -+--++=

+==---，

故存在常数2λ=符合题意。

21.（本大题满分14分）

（1）证明：因为11()(12),()(12)22f x a x f x a x +=--=-，有11()()22

f x f x +=-，

所以函数()f x 的图像关于直线1

2

x =

对称。 （2）解：当102a <<时，有2

2

4,(())4(1),a x f f x a x ??=?-?? 1,2

1.2

x x ≤>

所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点。

当12a =时，有,(())1,x f f x x ?=?-? 1,

2

1.2

x x ≤>

所以(())f f x x =有解集1|2x x ??≤

???

?，又当12x ≤时，()f x x =，故1|2x x ?

?≤???

?中的所有点都不是二阶周期点。

当12

a >时，有22

2221

,44,11,24,42(())1412(12)4,,2444,41.

4x a

a x x a a x a f f x a a a a x x a a a x a x a

≤

??<≤-?=?--+?<≤?-?

->

所以(())f f x x =有四个解2

22

2240,,,141214a a a a a a +++，又22(0)0,()1212a a f f a a

==++， 2222

2244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++，故只有2

2224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点。综上所述，所求a

的取值范围为1

2

a >

。 （3）由（2）得2

1222

24,1414a a x x a a ==++，

因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =

或341

4a x a

-=。 当314x a

=

时，2

21()4(14)a S a a -=+

。求导得：222(22'()(14)

a a S a a -=-+，

所以当11(,

22a ∈时，()S a

单调递增，当1(,)2

a ∈+∞时()S a 单调递减；

当341

4a x a -=时，22

861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243'()2(14)a a S a a +-=+， 因1

2

a >，从而有222

1243'()02(14)a a S a a +-=>+， 所以当1

(,)2

a ∈+∞时()S a 单调递增。