函数值域的求法大全
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法
1、通过定义域的极限来求函数值域：由于函数表示法中的变量x的取值范围是定义域，而函数值f(x)的取值范围则可以通过定义域极限的方法来求得。
2、通过函数定义关系来求函数值域：由于函数在定义域内有一定的定义关系，所以可以根据函数定义关系来求函数值域。
3、由于函数在定义域内有一定的性质，所以可以根据函数性质来求函数值域。
4、由于函数在定义域内有一定的对称性，所以可以根据函数的对称性来求函数值域。
5、由于函数在定义域内有一定的单调性，所以可以根据函数的单调性来求函数值域。
6、根据函数的奇偶性来求函数值域：如果函数在定义域内具有奇偶性，则可以根据函数的奇偶性来求函数值域。
7、由于函数在定义域内有一定的常数性，所以可以根据函数的常数性来求函数值域。
8、根据函数增减性来求函数值域：如果函数在定义域内具有增减性，则可以根据函数的增减性来求函数值域。
9、由于函数在定义域内有一定的循环性，所以可以根据函数的循环性来求函数值域。
10、根据函数的图像形状来求函数值域：如果函数在定义域内具有特定的图像形状，则可以根据函数的图像形状来求函数值域。
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域的十种求法
函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。
求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。
本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。
一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。
定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。
但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。
二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。
图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。
但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。
三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。
五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。
但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。
四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。
三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。
但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。
五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。
求函数值域的方法大全
求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。
原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。
求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。
2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。
原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。
3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。
原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。
因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。
4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。
5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
函数的值域求法大全
y1 2 x 5 , y 2 log3 x 1 解：令
则 y1 , y 2 在[2，10]上都是增函数 所以 y y1 y 2在[2，10]上是增函数 1 y 2 log 2 1 当x=2时， 8 y max 25 log3 9 33 当x=10时， 故所求函数的值域为： 1 ,33
y x 2 6x 13 4 • 例6. 求函数 值域。 5x 6 4 6y
x • 解：由原函数式可得：
4 6y x 则其反函数为： 5y 3
5y 3
• • 故所求函数的值域为： , 3
5
3 x ，其定义域为： 5
五函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有 界性，反客为主来确定函数的值域
3 min 3
8
七、数形结合法
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的 距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法.
• 的值域。 y • 解：原函数可变形为： (x 3) 2 (0 2) 2 (x 2) 2 (0 1) 2 • 上式可看成x轴上的点 P(x,0)到两定点 A(3,2), B(2,1) 的距离之和， • 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， • ymin | AB | (3 2) 2 (2 1) 2 43， • 故所求函数的值域为 [ 43,]
三判别式法
dx2+ex+f 主要适用于形如 y = 2 (a, d不同时为零)的函数(最 ax +bx+c 好是满足分母恒不为零). 2
1 x x • 求函数 y 2 1 x
的值域。
• 解：原函数化为关于x的一元二次方程
函数值域求法大全
022解 （ 1 ） 令
u=x2+2x=(x+1)2 -1,得u∈〔-1,+∞), 则y=2u≧2-1=1/2；
故值域是y ∈ 〔1/2,+∞).
01
令u=x2+2x+1=-(x1)2+2≦2,
02 且u>0,
03
故y=log1/2u的 定义域为（0，2] 上的减函数，
04
即原函数值域的为 y ∈〔-1,+∞)。
y [ 2 , 2 ]
(1 ) y 2 x 2 2 x ;
01
例6 求下列函 数的值域：
(2 ) y lo g 1 ( x 2 2 x 1 ).
分析：求复合函数 的值域，利用函数 的单调性采用换元 法先求出外层函数 的值域作为内层函 数的定义域，然后 求原函数的值域， 要特别注意内层函 数的定义域的取值 范围。
例11 求函数
y=√x22x+10+√x2 +6x+13的值
域。
分析：本题求函数的 值域可用解析几何与 数形结合法解之。
B(-3,2)
y A(1,3)
P
o
x A1(1,-3)
解：函数变形为 y=√(x-1)2+(0-3)2+√(x+3)2+(0-2)2.
y
将上式可看成为x轴上点
A(1,3)
P(x,0)与A(1,3),B(-3,2)的 B(-3,2)
解法1：不难看出y≥0,且可得定义域为3≤x≤ 5,原函数变形为：
解法2：(判别 式法).
两边平方移项得:y2-2=2√(x-3)(5-x), 再平方整理得4x2-32x+y4-4y2+64=0且y2-2≥ 0, y看成常数,方程有实根的条件是 △ =162-4(y4-4y2+64)=-4y2(y2-4) ≥ 0, 注意到y2>0得y2-4≤0 即0<y2≤4而y2-2≥0 即有√2≤y≤2, ∴y∈[√2,2].
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函数值域的求法大全题型一 求函数值：特别是分段函数求值例 1 已知 f ( x ) ＝ 1 ( x ∈ R ，且 x ≠ － 1) ， g ( x ) ＝ x 2 ＋ 2( x ∈ R ). (1)求 f (2)，g (2)的值； (2)求 f [g (3)]的值.解 (1) ∵ f ( x )＝ ， ∴ f (2) ＝ ＝ 3. 又∵g (x )＝x 2＋2，∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝＝12.反思与感悟 求函数值时，首先要确定出函数的对应关系 f 的具体含义，然后将变量代入解 析式计算，对于 f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意 f [g (x )]与 g [f (x )]的区别.x ＋1跟踪训练 4 已知函数 f (x )＝ .(1)求 f (2)；(2)求 f [f (1)].x ＋1 2＋1 3解 (1) ∵ f ( x )＝x ＋ 2 ， ∴ f (2) ＝2 ＋ 2 ＝ 4.5.已知函数 f (x )＝x 2＋x －1.(1)求 f (2)，f (1x )； (2)若 f (x )＝5，求 x 的值. 解 (1) f (2) ＝ 22＋ 2 － 1 ＝ 5， 1 1 1 1 ＋ x －x 2 f (x )＝x 2＋x －1＝ x 2 .(2)∵f (x )＝x 2＋x －1＝5，∴x 2＋x －6＝0， ∴x ＝2，或 x ＝－3. (3)4.函数f (x )对任意自然数x 满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，f (0)＝1，则f (5)＝ __________ . 答案 6解析 f (1)＝f (0)＋1＝1＋1＝2，f (2)＝f (1)＋1＝3，(2)f (1)＝ 1＋1 1＋2 22＝23，f [f (1)]＝f (32)＝ 23＋13＋25 8.f（3）＝f（2）＋1＝4，f（4）＝f（3）＋1＝5，f（5）＝f（4）＋1＝6.二、值域是函数 y=f（x）中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（ 3 ）函数单调性法（4）配方法（ 5 ）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7 ）分离常数法（8）判别式法（9 ）复合函数法（10）不等式法（11 ）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b（a 0）的定义域为R，值域为R；k y = （k0）反比例函数x的定义域为｛x|x 0｝，值域为｛y|y 0｝；二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）的定义域为R，当a>0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝；当a<0时，值域为｛y|y(4ac4-a b2)｝.例 1 求下列函数的值域2① y=3x+2(-1 x 1) ② f(x)=- 2(1 x 3)3x③ y = x+ (记住图像)x解：①∵-1 x1，∴-3 3x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③当x>0 ，∴y = x + =( x - ) + 2 2 ，xx当x<0 时，y = -( - x +)=－( - x - ) - 2 -2 王新奎新疆屯敞-x-x∴值域是(-,-2][2，+).(此法也称为配方法) 函数 y = x + 1 的图像为：x二次函数在区间上的值域(最值)：例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域：①y =x 2 -4x +1； ②；y =x 2 - 4x +1, x[3,4] ③ y =x 2 - 4x + 1, x[0,1] ； ④y =x 2 - 4x + 1, x[0,5] ；解：∵y =x 2 -4x +1=(x -2)2 - 3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域 R ，∴x=2 时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标 2[3,4]，当 x=3 时，y= -2 ； x=4 时，y=1 ；∴在[3,4]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标 2[0,1]，当 x=0 时，y=1；x=1 时，y=-2,∴在[0,1]上， y min =-2， y max =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标 2[0,5]，当 x=0 时，y=1；x=2 时，y=-3, x=5 时，y=6,∴在[0,1]上， y min =-3， y max =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 f (x )=ax 2 +bx +c (a 0),⑴若定义域为 R 时，①当a>0时，则当x = - b 时，其最小值y = (4ac - b 2 ) ； 2a y min = 4a②当a<0时，则当x = - b 时，其最大值y = (4ac -b 2); 2aymax= 4a⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0 是否属于区间[a,b].①若x 0[a,b],则 f (x 0)是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时， 再比较 f (a ), f (b ) 的大小决定函数的最大(小)值.②若x 0 [a,b],则[a,b]是在 f (x )的单调区间内，只需比较 f (a ), f (b )的大小即可决定 函数的最大(小)值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.练习：1、求函数 y=3+ 2 -3x的值域解：由算术平方根的性质，知2 - 3x≥0，故3+ 2 -3x≥3。
∴函数的值域为3,+) .2、求函数y = x1 2-2x+5 , x0,5的值域x = 1时, y min= 4解：对称轴x = 1 0,5x = 5时, y max = 20值域为4,201 单调性法例 3 求函数 y=4x－1- 3x (x≤1/3)的值域。
设f(x)=4x,g(x)= － 1-3x,(x ≤ 1/3), 易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x- 1- 3x在定义域为x≤1/3 上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为{y|y≤4/3}。
小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+ 4-x的值域。
(答案：{y|y≥3})2 换元法例 4 求函数y = x+2 1- x的值域解：设1- x = t，则y = -t2+ 2t +1 (t0)对称轴t =10,+），且开口向下 当t =1时 ，y max = 2值域为（-,2点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确 定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分 广泛。
练习：求函数 y= x -1-x 的值域。
（答案：{y|y ≤－3/4} 求1+sin x cos x 的值域；sin x + cos x例5 （三角换元法）求函数y = x + 1-x 2 的值域y = cos + sin = cos +sin = 2 sin(+ )原函数的值域为- 1 , 2则可设a = sin ,- (或设a =cos ,0) 2）若题目中含有a 2 +b 2 =1 则可设a = cos ,b =sin，其中0 23）若题目中含有 1- x 2 ，则可设x =cos ，其中04）若题目中含有 1+x 2 ，则可设x =tan，其中-225)若题目中含有x +y =r (x0,y 0,r0)，则可设x = r cos 2,y = r sin 2其中3 平方法 例5 (选)求函数 y = x -3+ 5- x 的值域 解：函数定义域为： x3,5y 2 =(x -3)+(5-x )+2 -x 2 +8x -15由 x 3,5, 得-x 2+8x -150,1y 22,4原函数值域为2 ,24 分离常数法解：-1 x 1设 x = cos 0,-1, 2小结：（1）若题目中含有 a1，x - 1例6 求函数y = x x +-12 的值域由y = x +2-3 =1- 31 ，可得值域y y 1小结：已知分式函数y = ax +b （c0） ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量 cx+ d的要求）内，值域为y y a；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），ad b - 采用部分分式法将原函数化为y = a + c （ad bc ），用复合函数法来 c cx + d求值域。
练习例 8求函数 y = 9x -3x + 2 (x0,1) 的值域解：（换元法）设3x =t ，则 1t3 原函数可化为求函数y =2x -14 x + 6的值域求函数y = x 33x + 1的值域练习： y = x + x +1 的值域1,+y =t 2-t +2, 对称轴t = 11,3t =1 时,y min =2 ; t =3 时, y max =8 值域为2,8t 1 01t1 0 y 1原函数的值域为 (0,1)解法一：（逆求法）x 2 = 1+ y 0 - 1 y 11 - y原函数的值域为- 1,1）解法二：（换元法）设x 2 +1=t ，则2t 1 0 22-1 y 1 原函数值域即得解法三：（判别式法）原函数可化为 （y -1）x 2 +0x + y +1=01） y = 1时 不成立 2) y1时，00-4(y -1)(y +1)0-1 y 1-x 2+2x的值域解：(换元法)令 t = -x + 2x = -(x -1) +1 ，由指数函数的单调性知，原函数的值域为1,+例10 求函数 y = 2x （x0） 的值域解：（图象法）如图，值域为（0,1（换元法）设3x +1= t ，3x +1 -1 3x + 1 =1- 13x + 1例 13 函数 y 的值域例 9 求函数 y=(t 1)-1y 1综合1)、2)值域{y | -1y1}解法四：(三角换元法)x R设x =tan-,，则y = -1-tan = - cos 22(-,) cos2(-1,11+ tan2原函数的值域为{y | -1 y1}例 14 求函数y = 的值域2x2-4x +3解法一：(判别式法)化为2yx2-4yx+(3y-5)=01) y = 0 时，不成立2) y0时，0得(4y)-8y(3y-5)00y 50 y 5综合1)、2)值域{y|0y5}5解法二：(复合函数法)令2x2-4x+3=t，则y = 5t =2(x-1)2+1 10y 5 所以，值域{y|0y5}例 15 函数y = x + 1+ 1的值域x解法一：(判别式法)原式可化为x2 +(1- y)x+1=00 (1-y)2-40 y3或y-1原函数值域为(-,-13, +)解法二：(不等式法)1)当x0时， x + 12 y 3x综合1)2)知，原函数值域为(-,-13 , +)解法一：(判别式法)原式可化为 x 2 +(2-y )x +2- y =00 (2- y )2 -4(2- y )0 y 2 或y - 2x - 1 y -2 舍去 原函数值域为2 , +)解法二：(不等式法)原函数可化为 y = (x +1) +1= x +1+ 12 (x -1) x +1x + 1当且仅当x =0时取等号，故值域为2, +)x 2 + 2x + 2例17 (选) 求函数y =x +x 2+x 1+2解：(换元法)令x +1 = t ，则原函数可化为y =t +1 (-1t3)ax 2 + bx + c小结：已知分式函数y = ax +bx +c (a 2 +d 2 0) ，如果在其自然定义域内可采用 dx 2 + ex + f判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可 以化为二次式一次式选)y =一次式 (或 y = 一二次次式式) 的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数a y = x + a(x0)的单调性去解。