高一数学复合函数课件
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复合函数的单调性--必修一ppt课件
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。9
例1.求函数y 3x22x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u x2 2x 6 x 12 7,则y 3u
y 3u 在定义域内是增函数。
又u x 12 7在 ,1上是减函数，在 1,上是增函数。
6
y
y a x (0 a 1)
y ax (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
7
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
❖ 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同， a
的单调性与f(x)的单调性相反；
f (x)
❖ 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反，
的单调性与f(x)的单调性相同。
a
f (x)
13
例
3
.
试
判
断
函
数
fx()
1
2 2x
1
的
单
调
性
。
变式1：
试判断
函
数
f(
x)
2x 2x
复合函数的单调性
1
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
2
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
高一数学复合函数讲解之欧阳德创编
1、复合函数的概念时间：2021.03.07 创作：欧阳德如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f （a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M 时，u∈N。
有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f （u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u 是递减的。
∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
《复合函数求导》课件
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边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
复合函数课件-高一上学期数学人教A版
新授课 课时10 复合函数
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
高中数学培优课5复合函数的单调性及应用课件a必修1a高一必修1数学课件
12/12/2021
第七页，共十六页。
1．函数f(x)＝e|x－1|的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[0，＋∞)
解析：∵y＝eu为增函数， u＝|x－1|在(－∞，1]上单调递
减，在[1，＋∞)上单调递增(dìzēng)，∴由复合函数“同增异减”法
则可知函数f(x)＝e|x－1|的单调递减区间是(－∞，1] .故选C.
12/12/2021
第四页，共十六页。
(2)由(1)知：∵f(x)＝log1
2
1x－＋1x＋x，
任取 x1，x2∈(1，＋∞)，设 x1＜x2，则：
1x1＋－x11－1x2＋－x12＝x1－x12－xx21－1＞0，
∴1x1＋－x11＞1x2＋－x12＞0.∴log21 1x1＋－x11＜log12 1x2＋－x12.
第二章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
培优课(五) 复合函数的单调(dāndiào)性及应用
12/12/2021
第一页，共十六。
函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这 类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，函数y＝f(φ(x))为增函数；若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(xiāngfǎn)，函数y＝f(φ(x))为减函 数，即符合“同增异减”的原则．
第六页，共十六页。
求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤： ①确定函数的定义域． ②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． ③分别(fēnbié)确定这两个函数的单调区间． ④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增 一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt
1, 2 (2, )
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说 明，则定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
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的单调区间.
例题2、求y x 4 x 5函数的单调区间 .
2
1 例3：求函数 f ( x) 2
x 2 3 x 2
的单调性。
练习：求 f ( x) 3
x2 2 x1
的单调区间 .
例题4、求log0.3 (2x x )的单调区间 .
2
练习：求f ( x) log3 ( x 2x 3)的单调区间 .
3、复合函数的性质
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u)
增函数 减函数
减函数 增函数 减函数 减函数
则y=f[g(x)] 增函数 增函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合 函数是增函数；当两个函数的单调性不相同 时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
例题1、求
1 f ( x) x 1
2
复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与 u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层 函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即 都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 y=f[g(x)]为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即 一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函 数y=f[g(x)]为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异 减”。
引理3：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。 引理4：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。
复合函数
1、复合函数的定义
定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)的值 域与f(u)的定义域的交集不空，则确定 了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫x 的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u) 叫外层函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x → u → y
2、复合函数的定义域
若复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：
(1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为D，则 y=f[g(x)]的定义域是使 g ( x) D 有意义的x的集合.
(2)y=f[g(x)]的定义域D，则g(x)在D上的取值范围(g(x) 的值域)即为f(x)的定义域.