高一数学复合函数课件
的单调区间.
例题2、求y x 4 x 5函数的单调区间 .
2
1 例3：求函数 f ( x) 2
x 2 3 x 2
的单调性。
练习：求 f ( x) 3
x2 2 x1
的单调区间 .
例题4、求log0.3 (2x x )的单调区间 .
2
练习：求f ( x) log3 ( x 2x 3)的单调区间 .
3、复合函数的性质
引理1：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。 引理2：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是增函数。
复合函数的单调性
若u=g(x) 增函数 减函数 增函数 减函数
y=f(u)
增函数 减函数
减函数 增函数 减函数 减函数
则y=f[g(x)] 增函数 增函数
规律：当两个函数的单调性相同时，其复合 函数是增函数；当两个函数的单调性不相同 时，其复合函数是减函数。 “同增异减”
例题1、求
1 f ( x) x 1
2
复合函数的单调性小结
复合函数y=f[g(x)]的单调性可按下列步骤判断： (1) 将复合函数分解成两个简单函数：y=f(u)与 u=g(x)。其中y=f(u)又称为外层函数, u=g(x)称为内层 函数; (2) 确定函数的定义域； (3) 分别确定分解成的两个函数的单调性； (4) 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即 都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数 y=f[g(x)]为增函数； (5) 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即 一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函 数y=f[g(x)]为减函数。 复合函数的单调性可概括为一句话：“同增异 减”。
引理3：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是增函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。 引理4：已知函数y=f[g(x)]，若u=g(x)在区间 (a,b)上是减函数，其值域为(c,d),又函数 y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复 合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上是减函数。
复合函数
1、复合函数的定义
定义：如果y是u的函数，记为y=f(u),u 又是x的函数，记为u=g(x),且g(x)的值 域与f(u)的定义域的交集不空，则确定 了一个y关于x的函y=f[g(x)],这时y叫x 的复合函数，其中u叫中间变量，y=f(u) 叫外层函数，u=g(x)叫内层函数. 即：x → u → y
2、复合函数的定义域
若复合函数y=f[g(x)]，外函数y=f(u)，内函数u=g(x)：
(1)f(x)的定义域就是g(x)的值域.若f(x)的定义域为D，则 y=f[g(x)]的定义域是使 g ( x) D 有意义的x的集合.
(2)y=f[g(x)]的定义域D，则g(x)在D上的取值范围(g(x) 的值域)即为f(x)的定义域.
复合函数的单调性--必修一ppt课件
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域内的某个区间。9
例1.求函数y 3x22x6的单调递减区间。
解：函数f (x)的定义域是 R。
令u x2 2x 6 x 12 7,则y 3u
y 3u 在定义域内是增函数。
又u x 12 7在 ,1上是减函数，在 1,上是增函数。
6
y
y a x (0 a 1)
y ax (a 1)
O
x
图象的解析式是：y ax (a 0且a 0)数； 当0 a 1时，函数在 ,上是减函数。
7
三.复合函数的定义
函数y=f[g(x)]称为函数y=f(u)及u=g(x) 的复合函数
❖ 若a>0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相同， a
的单调性与f(x)的单调性相反；
f (x)
❖ 若a<0,则a f(x)的单调性与f(x)的单调性相反，
的单调性与f(x)的单调性相同。
a
f (x)
13
例
3
.
试
判
断
函
数
fx()
1
2 2x
1
的
单
调
性
。
变式1：
试判断
函
数
f(
x)
2x 2x
复合函数的单调性
1
已经学过的判断函数单调性的方法有哪些？
1.定义法 2.图像法
2
一.函数单调性的定义：
一般地，设函数 f (x)的定义域为 A,区间I A.
1增函数：如果对于区间I内的任意两个值x1, x2,
当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ),那么就说y f (x) 在区间I上是单调增函数。
高一数学复合函数讲解之欧阳德创编
1、复合函数的概念时间：2021.03.07 创作：欧阳德如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f （a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M 时，u∈N。
有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f （u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u 是递减的。
∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
复合函数课件
2 常见求导法则
根据复合函数中各个函数的性质和运算规则， 可以推导出常见的复合函数的求导法则。
复合函数的逆运算与逆函数的求解
逆运算
复合函数的逆运算可以通过将复合函数的内外 函数交换位要解方程f(g(x))=x，找 到使得等式成立的函数g(x)。
复合函数的性质和运算规则
结合律
复合函数满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
分布律
复合函数满足分布律，即f∘(g+h) = (f∘g)+(f∘h)。
单位元
单位元函数是指f(x)=x，它与任何函数的复合都 不改变原函数。
逆元素
逆元函数是指f(g(x))=x，即复合函数和原函数相 互抵消。
复合函数ppt课件
本课件将详细介绍复合函数的定义、例子、性质和运算规则，以及复合函数 在实际问题中的应用。还将探索复合函数与反函数的关系，介绍复合函数的 求导法则和逆运算求解。
复合函数的定义和例子
定义
复合函数是由两个或多个函数组合而成的新函数， 其中一个函数的输出作为另一个函数的输入。
例子
例如，如果有两个函数f(x)和g(x)，则它们的复合函 数为f(g(x))。
复合函数可以用来模拟经济变量之间的 相互关系，帮助经济学家预测市场走势。
工程学
复合函数可以用来优化工程设计，提高 系统的性能和效率。
复合函数与反函数的关系
反函数
反函数是指复合函数的逆运算，将一个函数的输出作为输入，返回原来的输入。
复合函数的求导法则
1 链式法则
复合函数求导的链式法则是将外函数的导数 与内函数的导数相乘。
复合函数的图像和图像变换
图像
复合函数的图像是由两个函数的图像组合而成的。
《复合函数求导》课件
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边际分析
在经济学中，导数可以用来进行边际分析，帮助理解经济变量的 变化对总体的影响。
弹性分析
导数可以用来计算弹性，帮助理解经济变量之间的相对变化。
最优化问题
通过导数，可以找到使经济效用最大的最优解。
导数在物理学中的应用
速度和加速度
在物理学中，导数可以用来计算速度和加速度，从而更好地理解 物体的运动状态。
03
复合函数求导的应用
ห้องสมุดไป่ตู้
导数在几何中的应用
切线斜率计算
在几何中，导数可以用来计算曲线的切线斜率， 从而了解曲线在某一点的增减性。
极值问题
通过导数，可以确定曲线的极值点，从而确定曲 线的最大值和最小值。
曲线的凹凸性
导数的符号可以用来判断曲线的凹凸性，从而更 好地理解曲线的形状。
导数在经济学中的应用
商式法则是指对复合函数的商式形式进行求导，即对分子和分母分别进行求导，然后将结果相除。
详细描述
商式法则用于处理复合函数中多个函数的商式形式。其基本思想是将复合函数分解为两个基本初等函 数的商，然后分别对分子和分母进行求导。具体地，对于复合函数$frac{f(u)}{g(u)}$，商式法则可以 表示为$frac{f'(u) cdot g(u) - f(u) cdot g'(u)}{[g(u)]^2}$。
《复合函数求导》ppt课件
目录 CONTENTS
• 引言 • 复合函数求导法则 • 复合函数求导的应用 • 复合函数求导的注意事项 • 习题与解答
01
引言
课程背景
01
复合函数求导是微积分中的重要概念，是学习微积分的基础。
复合函数课件-高一上学期数学人教A版
学习目标
学习活动
学习总结
1.了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域； 2.掌握复合函数单调性的判断方法； 3.学会复合函数奇偶性的判断方法.
学习目标
学习活动
学习总结
目标一：了解复合函数的概念并学会求复合函数定义域
任务1：观察下列函数，归纳复合函数的概念. 设y是u的函数，且满足关系式 y f (u) 1 ，同时u是x的函数，且u=g（x）
u =2x+1.那么y与x的函数关系是什么，如何表示呢？
解： y f (u) f [g(x)] 1 .
2x 1
学习目标
学习活动
学习总结
归纳总结
复合函数定义：
如果y是u的函数，记为 y f (u) ，又u是x的函数，记为 u g(x) ， 且 g(x) 的值域与f（u）的定义域交集不为空集，则确定了一个y关于 x的函数 y f [g(x)] ，这时y叫做x的复合函数，其中u叫中间变量， y f (u) 叫外层函数，u g(x) 叫内层函数.
2.已知复合函数 f (x) 的定义域为A，求函数 f [g(x)] 的定义
域 解不等式 g(x) A .
学习目标
学习活动
学习总结
目标二：掌握复合函数单调性的判断方法
任务：判断复合函数单调性，归纳复合函数单调性的判断方法.
1.已知函数 f (u) 在区间A上单调递增，函数 u g(x) 在区间B上单调递增 ，判断函数f [g(x)] 在区间B上的单调性.
解：1.因为函数 f (u) 在区间A上是奇函数，所以 f (u) f (u) ，函数 g(x) 在区间B上是奇函数，所以 g(x) g(x) ，则对于在区间B上， ，所以f [g函(数x)]在 区f [间g(Bx上)] 是 奇f [函g(x数)].
高中数学培优课5复合函数的单调性及应用课件a必修1a高一必修1数学课件
12/12/2021
第七页，共十六页。
1．函数f(x)＝e|x－1|的单调递减区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．[1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[0，＋∞)
解析：∵y＝eu为增函数， u＝|x－1|在(－∞，1]上单调递
减，在[1，＋∞)上单调递增(dìzēng)，∴由复合函数“同增异减”法
则可知函数f(x)＝e|x－1|的单调递减区间是(－∞，1] .故选C.
12/12/2021
第四页，共十六页。
(2)由(1)知：∵f(x)＝log1
2
1x－＋1x＋x，
任取 x1，x2∈(1，＋∞)，设 x1＜x2，则：
1x1＋－x11－1x2＋－x12＝x1－x12－xx21－1＞0，
∴1x1＋－x11＞1x2＋－x12＞0.∴log21 1x1＋－x11＜log12 1x2＋－x12.
第二章 基本(jīběn)初等函数(Ⅰ)
培优课(五) 复合函数的单调(dāndiào)性及应用
12/12/2021
第一页，共十六。
函数y＝f(φ(x))是由函数y＝f(u)与u＝φ(x)复合而成的，这 类函数的单调性是函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性共同决定的．若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，函数y＝f(φ(x))为增函数；若 函数y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反(xiāngfǎn)，函数y＝f(φ(x))为减函 数，即符合“同增异减”的原则．
第六页，共十六页。
求复合函数y＝f(g(x))的单调区间的步骤： ①确定函数的定义域． ②将复合函数分解成基本初等函数y＝f(u)，u＝g(x)． ③分别(fēnbié)确定这两个函数的单调区间． ④若这两个函数同增同减，则y＝f(g(x))为增函数；若一增 一减，则y＝f(g(x))为减函数，即“同增异减”．
高一数学必修1_复合函数定义域的求法_1.ppt
1, 2 (2, )
探究学习： 已知函数的解析式，若未加特殊说 明，则定义域是使解析式有意义的自 变量的取值范围。一般有以下几种情况(初等函数) ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于1； ●对数式的底数大于零且不等于1，真数大于零。 ●由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是
其解法是：若f [g(x)]的定义域为m x n ，则由
m x n 确定 g(x) 的范围即为f (x)的定义域。
题型三：已知 f gx的定义域，求 f hx的定义域。
例3. 函数 y f (x 1) 定义域是 [2,3] ，则
y f (2x 1)的定义域是（ ）
A. [1,4] B.[5,5] C.[3,7]
其解法是：若f (x)的定义域为 a x b ，则 f [g(x)] 中
x a g(x) b ，从中解得 的取值范围即为 f [g(x)]的定义域
练习:若f (x)的定义域是0,2,求f (x2)的定义域
解：由题意知: 0 x2 2
2 x 2
故 : f x2 的定义域是 [ 2, 2 ]
a4
综上知:实数a 的取值范围为 0 a 4
布置作业：
1.已知函数f (x)的定义域是[2, 2]，求y f x 的定义域
2.已知 函数 f 2x 1的定义域是[0,2],求f (13x)的定义域
D.[0, 5 ] 2
归纳:已知f [g(x)] 的定义域，求 f [h(x)]的定义域
其解法是：可先由 f [g(x)] 的定义域求得 f (x) 的定义域，再由 f (x)定义域求得f [h(x)]的定义域。
练习
已知f (2x 1)的定义域1,5,求f (2 5x)的定义域
复合函数求导法【高等数学PPT课件】
y 2 u
y
u 1 (u u )
x 2
2u x 2
1 2
[(
2u
2
1 2
2u 1)
2
( 2u
1 2
2u
2
1)] 2
1 4
(2u2
2
2u
2u
2
)
x y, x2 y
y
解
求 uxx , uxy , uxz .
ux
f1
1 y
f2 z
f3 0
1 y
f1
zf2
uxx
1( y
f11
1 y
f12 z)
f
z(
f21
1 y
f22 z)
1x
2y 3z
1 y2
f11
2
z y
f12
z2
f
,
f21
2 f vu
,
f22
2 f v 2
例1 z f ( xy, x2 y2 ), f 有二阶连续偏导，
求 z xy . 解 zx f1 y f2 2x
1x
f
2y
f1
1 2
x y
f2
1 2
x y
zxy f1 y( f11 x f12 (2 y)) 2x( f21 x f22 (2 y))
第4节 多元复合函数微分法
一、多元复合函数的求导法则
一元函数：y f (u), u ( x) 都可导，则
高一数学复习考点知识讲解课件46---简单复合函数的导数
高一数学复习考点知识讲解课件5.2.3简单复合函数的导数考点知识1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导．导语同学们，大家有没有过网购的经历？大家一定有过这样的感受，即便你知道你买的什么东西，但当你拆开包装袋的时候，一样能给你带来无限的期盼与喜悦，犹如“拨开云雾见天日，守得云开见月明”，在我们数学上，也有一样让我们期盼的例子，那就是我们今天要学习的复合函数．一、复合函数概念的理解问题1函数y＝ln(2x－1)是如何构成的？提示y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数和外层函数复合而成，是复合函数．知识梳理复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．注意点：内、外层函数通常为基本初等函数．例1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝x ln xB ．y ＝(3x ＋6)2C ．y ＝e sin xD ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π3 答案BCD解析A 不是复合函数；BCD 都是复合函数．反思感悟若f (x )与g (x )均为基本初等函数，则函数y ＝f (g (x ))或函数y ＝g (f (x ))均为复合函数，而f (x )，g (x )不是复合函数．跟踪训练1(多选)下列哪些函数是复合函数()A ．y ＝log 2(2x ＋1)B ．y ＝2x 2－1xC ．y ＝2ln xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π6 答案ACD二、求复合函数的导数问题2如何求函数y ＝sin2x 的导数？提示y ＝2sin x cos x ，由两个函数相乘的求导法则可知：y ′＝2cos 2x －2sin 2x ＝2cos2x ；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y ＝sin u ，它的导数y ′＝cos u ，内层函数是幂函数的线性组合u ＝2x ，它的导数是u ′＝2，发现y ′x ＝y ′u ·u ′x .知识梳理复合函数的求导法则一般地，我们有，若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y ′x ＝y ′u ·a .注意点：(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导． 例2求下列函数的导数：(1)y ＝1(1－3x )4； (2)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3； (3)y ＝log 2(2x ＋1)；(4)y ＝e 3x ＋2.解(1)令u ＝1－3x ，则y ＝1u 4＝u －4，所以y ′u ＝－4u －5，u ′x ＝－3.所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5＝12(1－3x )5. (2)令u ＝2x ＋π3，则y ＝cos u ，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (3)设y ＝log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝2u ln2＝2(2x ＋1)ln2. (4)设y ＝e u ，u ＝3x ＋2，则y ′x ＝(e u )′·(3x ＋2)′＝3e u ＝3e 3x ＋2.反思感悟(1)求复合函数的导数的步骤(2)求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求导；③计算结果尽量简洁．跟踪训练2求下列函数的导数：(1)y ＝11－2x； (2)y ＝5log 2(1－x )；(3)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 解(1)y ＝1212()x -－，设y ＝12u -，u ＝1－2x ，则y ′x ＝12(1))2(u x -'-'＝3221()·2u -⎛⎫- ⎪⎝⎭－ ＝3212()x -－.(2)函数y ＝5log 2(1－x )可看作函数y ＝5log 2u 和u ＝1－x 的复合函数，所以y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝5(log 2u )′·(1－x )′＝－5u ln2＝5(x －1)ln2. (3) 设y ＝sin u ，u ＝4x ＋π6，则y ′x ＝(sin u )′⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6′＝cos u ·4＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.三、复合函数的导数的应用例3已知函数f (x )＝ax 2＋2ln(2－x )(a ∈R )，设曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为l ，若l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，求a 的值．解∵f ′(x )＝a (x 2)′＋2·12－x ·(2－x )′ ＝2ax －22－x， ∴f ′(1)＝2a －2，又f (1)＝a ＋2ln1＝a ，∴切线l 的方程为y －a ＝2(a －1)(x －1)，即2(a －1)x －y －a ＋2＝0.∵直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相切，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12，∴|2－a|4(a－1)2＋1＝12，解得a＝118.反思感悟正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3曲线y＝f(x)＝e2x·cos3x在点(0,1)处的切线与平行直线l的距离为5，求直线l的方程．解y＝e2x·cos 3x的导数为y′＝2e2x·cos 3x＋(－3sin 3x)·e2x＝e2x·(2cos 3x－3sin 3x)．曲线在点(0,1)处的切线斜率为e0·(2cos 0－3sin 0)＝2，则曲线在点(0,1)处的切线方程为y＝2x＋1，设直线l：y＝2x＋t，由d＝|t－1|1＋4＝5，解得t＝6或－4.则直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.1.知识清单：(1)复合函数的概念．(2)复合函数的求导法则．(3)复合函数的导数的应用．2.方法归纳：转化法．3.常见误区：求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化．1．(多选)函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝u n，u＝x2－1B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝t n，t＝(x2－1)n D.t＝x2－1, y＝t n答案AD2．已知函数f(x)＝ln(ax－1)的导函数是f′(x)，且f′(2)＝2，则实数a的值为()A.12B.23C.34D．1答案B解析求导得f′(x)＝aax－1，则f′(2)＝a2a－1＝2，解得a＝23.3．设f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，则f′(0)等于()A．1B.32C．－1D．－2答案B解析f′(x)＝33x＋2－6x，故f′(0)＝32－0＝32.4．设曲线y＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________. 答案2解析易知y ′＝a e ax ，k ＝a e 0＝a ，故a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，则a ＝2. 课时对点练1．(多选)下列函数是复合函数的是()A ．y ＝－x 3－1x ＋1B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案BCD解析A 不是复合函数，B ，C ，D 均是复合函数，其中B 由y ＝cos u ，u ＝x ＋π4复合而成；C 由y ＝1u ，u ＝ln x 复合而成；D 由y ＝u 4，u ＝2x ＋3复合而成．2．设f (x )＝log 3(x －1)，则f ′(2)等于()A ．ln3B ．－ln3C.1ln3D ．－1ln3答案C解析f ′(x )＝1(x －1)ln3，故f ′(2)＝1ln3.3．函数y＝x ln(2x＋5)的导数为()A．ln(2x＋5)－x2x＋5B．ln(2x＋5)＋2x2x＋5C．2x ln(2x＋5) D.x 2x＋5答案B解析∵y＝x ln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋2x2x＋5.4．函数y＝f(x)＝x(1－ax)2(a>0)，且f′(2)＝5，则a等于()A．1B．－1C．2D．－2答案A解析y′＝(1－ax)2－2ax(1－ax)，则f′(2)＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1(舍负)．5．曲线y＝2x e x－2在点(2,4)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．6D．2答案C解析∵y＝2x e x－2，∴y′＝2e x－2＋2x e x－2，∴k＝2e0＋4e0＝6，故选C.6．(多选)下列结论中不正确的是()A．若y＝cos 1x，则y′＝－1x sin1xB．若y＝sin x2，则y′＝2x cos x2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5xD．若y＝12x sin2x，则y′＝x sin2x答案ACD解析对于A，y＝cos 1x，则y′＝1x2sin1x，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故错误；对于D，y＝12x sin2x，则y′＝12sin2x＋x cos2x，故错误．7．已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＋f(x0)＝1，则x0的值为________．答案1解析因为f′(x)＝ln x＋1.所以由f′(x0)＋f(x0)＝1，得ln x0＋1＋x0ln x0＝1.解得x0＝1.8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．答案2解析设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又曲线的导数为y′＝1x＋a，∴k＝1x0＋a＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.9．求下列函数的导数：(1)y ＝ln(e x ＋x 2)；(2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝11－x 2； (4)y ＝sin2x cos3x .解(1)令u ＝e x ＋x 2，则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x ＋2x )＝e x ＋2x e x ＋x2. (2)令u ＝2x ＋3，则y ＝10u ，∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u ·ln10·(2x ＋3)′＝2ln10·102x ＋3.(3)设y ＝12u -，u ＝1－x 2，则y ′x ＝122(()1)u x -''－223321()·21().2u x x x --=-－＝－ (4)∵y ＝sin2x cos3x ，∴y ′＝(sin2x )′cos3x ＋sin2x (cos3x )′＝2cos2x cos3x －3sin2x sin3x .10．曲线y ＝e 2x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．解因为y ＝e 2x ＋1，所以y ′＝2e 2x ＋1，所以k ＝2，故曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1处的切线方程为2x －y ＋2＝0，设直线l 的方程为2x －y ＋m ＝0(m ≠2)，由||m －25＝5得，m ＝7或－3，所以直线l 的方程为2x －y ＋7＝0或2x －y －3＝0.11．曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线与直线y ＝0和y ＝x 围成的三角形的面积为() A.13B.12C.23D ．1答案A解析依题意得y ′＝e －2x ·(－2)＝－2e －2x ，k ＝－2e －2×0＝－2.所以曲线y ＝e －2x ＋1在点(0,2)处的切线方程是y －2＝－2x ，即y ＝－2x ＋2.在平面直角坐标系中作出直线y ＝－2x ＋2，y ＝0与y ＝x 的图象，如图所示．因为直线y ＝－2x ＋2与y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23， 直线y ＝－2x ＋2与x 轴的交点坐标是(1,0)，所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为12×1×23＝13.12．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是() A.5B ．25C ．35D ．0答案A解析设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0，y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行．∵y ′＝22x －1， ∴k ＝22x 0－1＝2， 解得x 0＝1，∴y 0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5，即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.13．(多选)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值可以是()A.π4B.π2C.3π4D.7π8答案CD解析因为y ＝4e x ＋1， 所以y ′＝－4e x(e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋1e x ＋2. 因为e x >0，所以e x ＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)，所以y ′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．又因为α∈[0，π)，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 14．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.答案π6解析∵f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)， ∴f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，令g (x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)，∵其为奇函数，∴g (0)＝0，即cos φ－3sin φ＝0， ∴tan φ＝33，又0<φ<π，∴φ＝π6.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为()A.π3B.π2C.2π3D ．π答案B解析∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x ＝14sin2x ＋32×1＋cos2x 2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内，又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1，则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，所以|x 1－x 2|min ＝π2.16．(1)已知f (x )＝e πx sinπx ，求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12； (2)在曲线y ＝11＋x 2上求一点，使在该点的切线平行于x 轴，并求切线方程． 解(1)∵f (x )＝e πx sinπx ，∴f ′(x )＝πe πx sinπx ＋πe πx cosπx＝πe πx (sinπx ＋cosπx )．∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝π2πe ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝π2πe . (2)设切点坐标为P (x 0，y 0)，由题意可知k ＝0.又y ′＝－2x (1＋x 2)2，∴k＝－2x0(1＋x20)2＝0.解得x0＝0，此时y0＝1.即切点坐标为P(0,1)，切线方程为y－1＝0.。
指数函数的图象和性质及复合函数单调性问题课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
所以 <
2 +2
在
+1
2 +2
，即
+1
<
∈ 1, +∞ 时恒成立，
3
2
又 ∈ ，所以 = 0或1，最大值为1
探究：复合函数的单调性
【思考三】
一般地有形如 = 的函数叫做复合函数
（1）令 = ， = 其中 = ，叫作外函数，
典例剖析&变式训练
【夯实基础】
3．已知∀ ∈ 1, +∞
A．-1
2 +2
，都有2
B．0
因为∀ ∈ 1, +∞
C．1
2 +2
，都有2
> 2+ ，若 ∈ ，求的最大值(C)
3
D．
2
> 2+ , = 2 是R上的增函数,
所以有 2 + 2 > + 即 2 + 2 > ( + 1)在 ∈ 1, +∞ 时恒成立，
−
的值域为 0, 3
1
4
1
−∞,
2
，单调递减区间为
1
, +∞
2
，
利用单调性比较大小
【方法总结】
牢记四字口诀：
同增异减
典例剖析&变式训练
【变式训练】
3．（1）判断函数 =
（2）求函数 = −
−
的单调性，并求其值域；
+ + 的单调区间。
1
3
��