(完整版)高一数学复合函数讲解
1、复合函数的概念
如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性
由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，
当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，
∵y=f（u）是上的递减函数∴
∴
∴是单调递减函数
类似地，当0＜a＜1时，
是单调递增函数
一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
有以下四种情况：
（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；
（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；
（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性
（1）（2）
又是减函数
∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）
令
∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
∵是增函数
∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域
练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；
（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；
（3）减区间，增区间；
（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）
的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
例2、y=f（x），且lglgy=lg3x+lg（3-x）
（1）y=f（x）的表达式及定义域；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）讨论y=f（x）的单调性，并求其在单调区间上相应的反函数。
答案：（1）x∈（0，3）
（2）（0，]
（3）y=f（x）在上单调递增函数，在上是单调递减函数
当x∈时，；
当x∈时，。
例3、确定函数的单调区间。
提示，先求定义域：（-∞，0），（0，+∞），再由奇函数，先考虑（0，+∞）上单调性，并分情况讨论。
函数的递增区间分别为（-∞，-1]， [0，+∞）
函数的递减区间分别为[-1，0），（0，1]。
1、求下列函数的单调区间。
（1）（2）（3）
2、求函数的递减区间。
3、求函数的递增区间。
4、讨论下列函数的单调性。
（1）（2）
答案：1（1）递减区间（2）递增区间（0，+∞）（3）递减区间（-∞，0]递增区间[2，+∞）
2、[，2]
3、（-∞，-2）
4、（1）在上是增函数，在上是减函数；
（2）a＞1时，在（-∞，1）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数；
用待定系数法求函数解析式
一、填空题：
1、已知二次函数m x x y ++=32的图象与x 轴只有一个交点，则m ＝ 。
2、抛物线c bx x y ++=2过点(1，0)，与x 轴两交点间距离3，则b ＝ ，c ＝ 。
3、抛物线42++=bx x y 与x 轴只有一个交点，则b ＝ 。
4、抛物线的顶点是C(2，3)，它与x 轴交于A 、B 两点，它们的横坐标是方程0342
=+-x x 的两个根，则AB ＝ ，S △ABC ＝ 。
5、如图，二次函数5)2(2-+--=a x a x y 的图象交x
当线段AB 最短时，线段OC 的长是 。
6、若抛物线c x x y +-=2
12
的顶点在x 轴上，则c 7、抛物线12--=mx x y 与x 轴有 个交点。
二、选择题 1、抛物线()5322
--=x y 与y (A)(0，－5)； (B) (0，13)； (C) (0，4)； 2、抛物线x x y --
=22
1的顶点坐标为( ) (A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－ (B) ⎪⎭⎫ ⎝
⎛211，－ (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21－ (D) (－1，0) 3、若抛物线()322++--=m x m x y 的顶点在y 轴上，则m 的值为( ) (A)－3 (B)3 (C)－2 (D) 2
4、若抛物线c x x y +-=2
12
的顶点在x 轴上，则c 的值为( ) (A) 41； (B) 41－； (C) 16
1； (D) 161－ 5、函数()x x y -=32图象可能为( )
，5)c bx ++上的两点，那么它的对称轴为直线( )
(A) a
b x -
= (B) 1=x (C) 2=x (D) 3=x 7、抛物线12--=mx x y 与x 轴的交点个数是( ) (A)0； (B)1； (C)2； (D)无数个。
三、求符合下列条件的二次函数式图象：
1、过点(0，1)，(1，1)，(－1，－1)；
2、对称轴是x ＝2，经过(1，4)和(5，0)两点。
3、抛物线与x 轴的一个交点(6，0)，顶点是(4，－8)
4、当x ＝3时，y 有最大值为－1，且抛物线过点(4，－3)。
5、抛物线以点(－1，－8)为顶点，且与y 轴交点纵坐标为－6。
6、顶点在x 轴上，对称轴方程x ＝－3，且经过点(－1，4)。
7、求二次函数)4()232-+-+=m m x m x y （
的图象与x 轴两交点间的距离的最小值，此时m 的值是多少？
8、二次函数图象经过A(0，2)和B(5，7)两点，且它的顶点在直线y ＝－x 上。
高一数学复合函数讲解
1、复合函数的概念如果y是a的函数，a又是x的函数，即y=f（a），a=g（x），那么y关于x的函数y=f[g（x）]叫做函数y=f（x）和a=g（x）的复合函数，其中a是中间变量，自变量为x，函数值y。
例如：函数是由复合而成立。
函数是由复合而成立。
a是中间变量。
2、复合函数单调性由引例对任意a，都有意义（a＞0且a≠1）且。
对任意，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减。
∵当a＞1时，∵y=f（u）是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地，当0＜a＜1时，是单调递增函数一般地，定理：设函数u=g（x）在区间M上有意义，函数y=f（u）在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。
有以下四种情况：（1）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数；（2）若u=g（x）在M上是增函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（3）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是增函数，则y=f[g（x）]在M上也是减函数；（4）若u=g（x）在M上是减函数，y=f（u）在N上是减函数，则y=f[g（x）]在M上也是增函数。
注意：内层函数u=g（x）的值域是外层函数y=f（u）的定义域的子集。
例1、讨论函数的单调性（1）（2）又是减函数∴函数的增区间是（-∞，2]，减区间是[2，+∞）。
②x∈（-1，3）令∴x∈（-1，1]上，u是递增的，x∈[1，3）上，u是递减的。
∵是增函数∴函数在（-1，1]上单调递增，在（1，3）上单调递减。
注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间。
1、（1）减区间，增区间；（2）增区间（-∞，-3），减区间（1，+∞）；（3）减区间，增区间；（4）减区间，增函数。
2、已知求g（x）的单调区间。
提示：设，则g（x）=f（u）利用复合函数单调性解决：g（x）的单调递增区间分别为（-∞，-1]，[0，1]，单调递减区间分别为[-1，0]，[1，+∞）。
高一数学复合函数
高一数学复合函数复合函数是高一数学中的一个重要概念，它在函数学习的过程中起着关键作用。
本文将详细介绍复合函数的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数相互组合而成的新函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数记作f(g(x))，表示先用g(x)对x进行映射，然后再将结果代入f(x)进行映射。
2. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域取决于中间函数的定义域，要求中间函数的值域必须在f(x)的定义域内。
（2）复合函数的值域：复合函数的值域取决于最后一个函数的值域，要求最后一个函数的值域在f(x)的值域内。
（3）复合函数的可逆性：当复合函数中的所有函数都是可逆函数时，复合函数才是可逆的。
（4）复合函数的性质：复合函数满足结合律，即f(g(h(x)))=(f∘g)∘h(x)。
3. 复合函数的应用举例（1）物理问题：假设一辆汽车的速度与时间的函数关系为v(t)，而时间与位置的函数关系为s(t)，则汽车的位置随时间的变化可以用复合函数s(v(t))来表示。
（2）经济问题：假设某商品的价格与销量的函数关系为p(x)，而销量与利润的函数关系为l(x)，则利润随销量的变化可以用复合函数l(p(x))来表示。
（3）生物问题：假设某种细胞的密度与时间的函数关系为d(t)，而时间与增长率的函数关系为r(t)，则细胞的密度随时间的变化可以用复合函数d(r(t))来表示。
4. 复合函数的求导对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则来求导。
链式法则规定，复合函数的导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数对自变量的导数。
通过链式法则，可以将复合函数的求导简化为对中间函数和最后一个函数的导数的求导。
5. 复合函数的图像复合函数的图像可以通过画出中间函数和最后一个函数的图像，并根据复合函数的定义进行变换得到。
具体来说，先画出中间函数的图像，然后根据复合函数的定义，将中间函数的输出作为最后一个函数的输入，再画出最后一个函数的图像。
高等数学 第六讲 复合函数
解 f g x egx esin x g f x sin f x sinex
外（层） 内（层）
函数
函数
复合运算 有条件吗？ 复合函数
例题
函数
y
D外 arcsin u
和
M内 u3
x2
能构成复合函数吗？
分 y arcsin 3 x2
析
y arcsin u u 3 x2
1 u 1
内层、外层 分不清楚
分解不彻底
复合函数的分解
① ②③
（2） y = ln sin x
分解 y = lnu u = sint t x
复合 y = ln sin x 内 外
外内
注意点 1. 函数的复合运算是有条件的
D外∩M内 ≠ ϕ
2. y = f [φ(x)]
分解（彻底）
y
=
f
(u)，u=φ(x)
u3
交集为空集
结 y arcsin u 和 u 3 x2 不能构成复合函数.
论
两个函数可以复合的条件 D外∩M内 ≠ ϕ
复合函数的概念
定义 设函数 y f u 的定义域为 Df，函数 u x 的值域为 Z，若 Df Z ，则称函数 y f x 是由函数 y f u和 u x 复合而成的函数，u 称为中间变量.
复合
3. 需要搞清楚函数的内、外层位置关系
谢谢
复合函数
目录
01 函数的运算 02 复合函数的概念 03 复合函数的分解
函数的运算
四则运算
加 y x2 sin x 减 y x2 sin x
y sin x2
乘 y x2 sin x
除
y
sin x2
高中数学讲义： 复合函数零点问题
复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =éùëû2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =éùëû函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。
例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f éùëû解：()2224f ==()()2412g f g \==éùëû3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。
例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =éùëû，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =Þ-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =Þ=Þ=，则x ÎÆ当()2222x t f x =Þ=Þ=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =éùëû的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D Î，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =éùëû根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =éùëû的根的个数6、求解复合函数()y g f x =éùëû零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =éùëû中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ì¹ï-=íï=î，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >¹）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。
高一必修一复合函数知识点
高一必修一复合函数知识点复合函数是高中数学中的一个重要概念，它在函数的运算和应用中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍高一必修一中与复合函数相关的知识点。
一、复合函数的定义及表示方法复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，通过一系列的运算得到最终结果。
一般表示为f(g(x))，其中g(x)是先于f(x)进行的函数操作。
二、复合函数的求解方法1. 基本复合函数的求解：将内函数的输出作为外函数的输入，逐步代入求解。
2. 复合函数的符号表示法：若f(x) = u(x)和g(x) = v(x)，则复合函数可以表示为(u∘v)(x)，即f(g(x))。
3. 复合函数的运算规则：满足结合律，即(f∘g)∘h = f∘(g∘h)。
三、复合函数的图像变换1. 反函数的复合：若f(g(x)) = x，g(f(x)) = x，即f(x)和g(x)互为反函数，则(f∘g)(x) = (g∘f)(x) = x。
2. 复合函数的图像对称性：若f(x)在点x处对称，则(f∘g)(x)在g(x)处也有对称性。
四、复合函数的应用领域复合函数在高中数学的各个章节中都有广泛的应用，包括函数的求导、函数的极值、解函数方程等各个方面。
1. 函数的求导：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导，即[f(g(x))]' = f'(g(x)) * g'(x)。
2. 函数的极值：根据函数的极值存在性定理，可以通过求解复合函数的导数等方法求得函数的极值。
3. 解函数方程：对于给定的函数方程f(g(x)) = 0，可以通过求解复合函数的根来解得方程的解。
综上所述，复合函数是高一必修一数学中重要的知识点之一。
它不仅在数学理论的研究中有重要应用，也在实际问题的求解中占据重要地位。
通过对复合函数的学习和理解，同学们可以更好地应用数学知识解决实际问题，提高数学水平。
希望本文对大家的学习有所帮助！。
高一数学-复合函数[原创] 精品
![高一数学-复合函数[原创] 精品](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/860f473e5901020207409ced.webp)
复合函数一、复合函数的定义：设y 是z 的函数y =f (z )，而z 又是x 的函数z =φ(x )，设X 表示φ(x )的定义域或其中的一部分，如果对于在X 上取值时所对应的值，函数y =f (z )均有定义，则y 成为x 的函数，记为y = f [φ(x )]。
这个函数叫做由y = f (z )及z =φ(x )复合而成的复合函数，它的定义域为X ，z 叫做中间变量，f 称为外层函数，φ称为内层函数。
要求掌握把复合函数分解为几个简单函数的方法，例如是由和两个函数复合而成的。
二、复合函数的解析式：例1：已知二次函数()x f 满足()569132+-=+x x x f ，求()x f 。
分析：本题可采用待定系数法求解，但待定系数法不是求模型函数的解析式的唯一定势，解答这类问题要具体情况具体分析。
本题用换元和“凑型”的办法解决。
解法一 设13+=x t ,则31-=t x 。
把13+=x t 、31-=t x 分别代入569)13(2+-=+x x x f 的左边和右边得()53163192+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t f ，即()842+-=t t t f ，∴ ()()R x x x x f ∈+-=842 。
解法二 由已知，569)13(2+-=+x x x f ∴()()()813x 413x 13x f 2++-+=+，把13x +视为一个整体，有()()R x x x x f ∈+-=842.例2 已知()0x x 1x x 1x f 22>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，求()x f 。
分析 由22x 1x x 1x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f 的对应法则，可设t =+x 1x ，则22221t x x =++，即21222-=+t xx ，问题很容易得到解决。
随后的问题是()x f 的定义域是什么？例3、设f(x)满足()3x x 12f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+，求f(x)分析：在已知的关系式中含有f(x)和f(x 1)，求出f(x),需要消去f(x1),所以需从已知的关系中再产生一个关于f(x)和f(x1)的关系式,然后联立解出f(x),这里只要以x 1代替x ,便可得关于f(x)和f(x 1)的又一等式.三、复合函数的定义域：⒈已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域例4、函数f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)=f(x+21)- f(x-21)的定义域是（ ）(A)[0,2](B)[23,21-](C)[25,21](D)[23,21]例5、已知函数f(x)的定义域是(]0,1,求g(x)=f(x+a)·f(x-a)⎪⎭⎫⎝⎛≤<-0a 21的定义域.⒉已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域例6、若函数f(x+1)的定义域为⎪⎭⎫⎝⎛-,221，则f(x 2)的定义域是＿＿＿＿＿例7、函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，则y=f(2x-1)的定义域是( )(A)⎥⎦⎤⎢⎣⎡250,(B)[-1,4](C)[-5,5](D)[-3,7]⒊由符合函数的定义域，求字母参数的取值.例8、函数96kx kx y 2+-=的定义域为R ，则k 的取值范围是＿＿＿＿＿.例9、已知函数()2bx ax x f 2++=的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,21，求a+b 的值.四、复合函数的性质与构成它的函数的性质密切相关,其规律可列表如下: ⒈复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上的单调性：引理1 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.引理2 已知函数y=f ［g(x)］.若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数y=f ［g(x)］在区间(a,b)上是增函数.若函数)(x g u =在区间[]b a ,上是单调函数,函数)(u f y =在[])(),(b g a g 或[])(),(a g b g 上也是单调函数,那么复合函数[])(x g f y =在区间[]b a ,上是即)(x g u =,)(u f y =增减性相同时, [])(x g f y =为增函数,)(x g u =,)(u f y =增减性相反时, [])(x g f y =为减函数.例10 求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)解：(方法1)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3.由u ＞0, ∵u=x 2－4x+3，∴x 2－4x+3>0 解得原复合函数的定义域为x ＜1或x ＞3.当x ∈(－∞，1)时，u=x 2－4x+3为减函数，而y=log 4u 为增函数，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间；当x ∈(3，±∞)时，u=x 2－4x+3为增函数y=log 4u 为增函数，所以，(3，+∞)是复合函数的单调增区间.(方法2)设 y=log 4u,u=x 2－4x+3 u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＜2 (u 减)解得x ＜1.所以x ∈(－∞，1)时，函数u 单调递减.由于y=log 4u 在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x －2)2－1的单调性与复合函数的单调性一致，所以(－∞，1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的单调增区间. u=x 2－4x+3=(x －2)2－1,x ＞3或x ＜1，(复合函数定义域) x ＞2 (u 增)解得x ＞3.所以(3，+∞)是复合函数的单调增区间. 例11 求下列复合函数的单调区间：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2x 2x 31log y 解: 设 u 31logy =,u=2x －x 2.由 u ＞0u=2x －x2解得原复合函数的定义域为0＜x ＜2. 由于u y 31log=在定义域(0，+∞)内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数u=2x －x2的单调性正好相反. 易知u=2x －x 2=－(x －1)2+1在x ≤1时单调增.由 0＜x ＜2 （复合函数定义域） x ≤1，(u 增)解得0＜x ≤1,所以(0，1］是原复合函数的单调减区间. 又u=－(x －1)2+1在x ≥1时单调减，由 x ＜2， (复合函数定义域) x ≥1， (u 减)解得0≤x ＜2,所以[0，1]是原复合函数的单调增区间. 例12 求y=2x 6x 7--的单调区间.解: 设y=,u=7－6x －x 2,由u ≥0,u=7－6x －x 2解得原复合函数的定义域为－7≤x ≤1.因为y=在定义域［0+∞］内是增函数，所以由引理知，原复合函数的单调性与二次函数u=－x2－6x+7的单调性相同.易知u=-x 2-6x+7=-(x+3)2+16在x ≤-3时单调增加。
高考数学复合函数基础理论总结
高考数学复合函数基础理论总结复合函数是高一数学学习的重点和难点之一，也是高考数学考试的常见考点。
理解和掌握复合函数的基础理论是学好高等数学、应用数学、物理、化学等学科的前提。
本文将围绕复合函数的定义、性质、运算规则以及应用进行总结和分析。
一、复合函数的定义复合函数的定义：设函数f的定义域为Df，值域为Rf，函数g的定义域为Dg，值域为Rg。
如果存在一个函数h(x)使得对于f的定义域Df中的每一个元素x，都有g的定义域Dg中恰有一个元素y与之对应，并且y是f(x)在g的范围内的唯一值，则称h(x)为f和g的复合函数，表示为h(x) = f(g(x))。
二、复合函数的性质1. 复合函数的定义域：复合函数的定义域由g的定义域和f的值域的交集构成，即Dh = {x|x∈Dg且g(x)∈Df}。
2. 复合函数的值域：复合函数的值域为f的值域的子集，即Rh ⊆ Rf。
3. 复合函数的单调性：若f(x)和g(x)在其定义域内单调增加（或单调减少），则h(x) = f(g(x))也在其定义域内单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的奇偶性：若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则h(x) = f(g(x))为奇函数；若f(x)和g(x)均为偶函数，则h(x) = f(g(x))为偶函数。
5. 复合函数的周期性：若f(x)的周期为T1，g(x)的周期为T2，则当T2是T1的正整数倍时，h(x) = f(g(x))的周期为T1。
三、复合函数的运算规则1. 复合函数的加法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 + h2)(x) = f1(g1(x))+f2(g2(x))。
2. 复合函数的减法：设h1(x) = f1(g1(x))，h2(x) = f2(g2(x))，且f1(x)和f2(x)的值域相等。
则有(h1 - h2)(x) = f1(g1(x))-f2(g2(x))。
复合函数(知识点总结、例题分类讲解)
复合函数的定义域和解析式以及单调性【复合函数相关知识】1、复合函数的定义如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。
例如：函数212x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。
说明：⑴复合函数的定义域，就是复合函数(())y f g x =中x 的取值范围。
⑵x 称为直接变量，u 称为中间变量，u 的取值范围即为()g x 的值域。
⑶))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数。
2．求有关复合函数的定义域① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。
实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。
通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。
② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法：若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。
实际上是已知直接变量x 的取值范围，即)(b a x ，∈。
先利用b x a <<求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。
3．求有关复合函数的解析式①已知)(x f 求复合函数)]([x g f 的解析式，直接把)(x f 中的x 换成)(x g 即可。
②已知)]([x g f 求)(x f 的常用方法有：配凑法和换元法。
配凑法：就是在)]([x g f 中把关于变量x 的表达式先凑成)(x g 整体的表达式，再直接把)(x g 换 成x 而得)(x f 。
高一数学函数知识总结及例题
高一数学函数知识总结及例题高一数学函数知识总结及例题第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域思路：设函数f(x)的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f 对g(x)作用，作用范围不变，所以g(x)D，解得xE，E为fg(x)的定义域。
例1.设函数f(u)的定义域为（0，1），则函数f(lnx)的定义域为_____________。
解析：函数f(u)的定义域为（0，1）即u(0，1)，所以f 的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以0lnx1解得x(1，e)，故函数f(lnx)的定义域为（1，e）1，则函数ff(x)的定义域为______________。
x11解析：先求f的作用范围，由f(x)，知x1x1例2.若函数f(x)即f的作用范围为xR|x1，又f对f(x)作用所以f(x)R且f(x)1，即ff(x)中x应满足x1f(x)1x1即1，解得x1且x21x1故函数ff(x)的定义域为xR|x1且x2（2）、已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xE，E为f(x)的定义域。
例3.已知f(32x)的定义域为x1，2，则函数f(x)的定义域为_________。
解析：f(32x)的定义域为1，2，即x1，2，由此得32x1，5所以f的作用范围为1，5，又f对x作用，作用范围不变，所以x1，5 即函数f(x)的定义域为1，5x2例4.已知f(x4)lg2，则函数f(x)的定义域为______________。
x82x2x20解析：先求f的作用范围，由f(x4)lg2，知2x8x82解得x44，f的作用范围为(4，)，又f对x作用，作用范围不变，所以2x(4，)，即f(x)的定义域为(4，)（3）、已知fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域思路：设fg(x)的定义域为D，即xD，由此得g(x)E，f的作用范围为E，又f对h(x)作用，作用范围不变，所以h(x)E，解得xF，F为fh(x)的定义域。
高一复合函数知识点总结
高一复合函数知识点总结复合函数是高中数学中的重要概念之一，它是由两个或多个函数组合而成的函数。
在高一阶段学习复合函数时，需要掌握一些基本知识点和技巧。
本文将对高一复合函数的相关知识进行总结，包括定义、性质和常见解题方法等方面。
1. 复合函数的定义复合函数是由两个函数构成的函数。
设有函数f(x)和g(x)，则复合函数f(g(x))表示先对自变量进行g(x)的变换，再对结果进行f(x)的变换。
可以用以下形式表示：f(g(x))，也可以写作(f ∘g)(x)。
2. 复合函数的求解对于给定的复合函数f(g(x))，求解的方法如下：Step 1: 先确定内层函数g(x)的定义域和值域，保证f(g(x))有意义。
Step 2: 将g(x)的结果代入f(x)中，得到f(g(x))的表达式。
Step 3: 综合以上结果，确定f(g(x))的定义域和值域。
3. 复合函数的性质（1）复合函数的定义域：复合函数的定义域等于内层函数g(x)的定义域中，使得g(x) ∈ f(x)的值域。
（2）复合函数的值域：与内层函数g(x)的值域相对应，即g(x)的值域是f(g(x))的值域。
（3）复合函数的奇偶性：若f(x)是奇函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是奇函数；若f(x)是偶函数，g(x)是任意函数，则f(g(x))也是偶函数。
（4）复合函数的单调性：若f(x)在[a, b]上单调增加（或单调减少），g(x)是单调函数，则f(g(x))在[a, b]上也单调增加（或单调减少）。
4. 复合函数的常见解题方法（1）求函数的复合逆：对于复合函数f(g(x))，若要求它的复合逆，可以先求g(x)的逆函数g^(-1)(x)，然后将g^(-1)(x)代入f(x)中即可。
（2）复合函数的导数：若已知内层函数g(x)可导，外层函数f(x)在g(x)的值域上可导，则可以利用链式法则求得复合函数的导数。
（3）复合函数与反函数的关系：若复合函数f(g(x))恒等于x，且g(x)为f(x)的反函数，则f(x)和g(x)互为反函数。