高中数学复合函数练习题
高考数学 高考试题教学运用与探究 破解复合函数方程 试题
换元法破解复合函数方程的解本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
复合函数是高考的重点和热点内容之一，可以全面考察学生对函数概念和性质的理解，考察函数与方程、转化与化归、数学结合、分类讨论等数学思想，是高中数学的一个难点．如何破解复合函数的有关问题呢？此类问题的破解途径是主要借助于换元法，应用数形结合的数学思想进展求解．【例1】函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对()0,x ∈+∞都有()44f f x x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，那么()f x =_____．【分析】由于函数具有单调性，函数值为4的值只有一个，()4f x x-必定为一个常数，因此，可以借助于换元法求解函数的解析式..【解析】因为函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，所以()4f x x-为一个常数； 令()4,t f x x =-那么()4f t =，且()4,f x t x=+所以()4f t t t=+，即44t t =+，解得：2t =．故4()2,f x x =+答案为4()2f x x=+．【点评】一般地，此类复合函数方程的问题的解决方法是结合函数的图象与性质，应用函数与方程、数形结合的数学思想，结合换元法，灵敏赋值，进而探求函数的解析式.【变式1】()f x 为R 上增函数，且对任意x R ∈，都有()34xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，那么(2)f = .【例2】〔2021〕假设函数()y f x =在0x x =处获得极大值或者极小值,那么称0x 为函数()y f x =的极值点.a b ，是实数,1和1-是函数()32f x x ax bx =++的两个极值点.(1)求a 和b 的值；(2)〔略〕(3)设()()()h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.【分析】函数()y h x =的零点亦即函数对应方程()()ff x c =的解．此题是复合函数的零点问题，势必要借助于换元法，令()t f x =，转化为函数()f t c =的解的问题，应用数形结合的数学思想讨论()f t c =的解的各种情形，最后，根据所求的t 的值，再次应用数形结合的数学思想求解()f x t =的解．【解析】解:(1) 3()3f x x x =-. (2) (略)(3)首先，复原复合函数的复合过程. 令()f x t =,那么()y f t c =-. 其次，研究内层函数的单调性.因为3()3f x x x =-,()()()=311f'x x x +-，所以，当(),1x ∈-∞-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,1x ∈-时, 3()3f x x x =-单调递增；当()1,x ∈+∞时,3()3f x x x =-单调递增，()()()()212,122f f f f -==--==如下图：再次，研究外层函数()y f t c =-的零点，即对应方程()f t c =的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.关于x 的函数()[]()2, 2y f t c t =-∈-的零点情况，即方程()[]()2, 2f t c t =∈-的解的情况. 当2c =时，()2f t =-的两个不同的根为122,1t t =-=，此时，()12f x t ==-有两个解，()21f x t ==有三个解，故()y h x =有5个解；注意到()y f t =是奇函数，()2f t =也有5个解.当2c <时，()f t c =的三个不同的根为()123,,2,2t t t ∈-，此时，()()12,2f x t =∈-有三个解，同理，()()22,2f x t =∈-有三个解，()()32,2f x t =∈-有三个解，故()y h x =有9个解；综上所述,当2c =时,函数()y h x =有5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点. 【评注】复合函数的零点的个数问题主要考察数形结合思想和分类讨论思想，综合性较强，全方位地考察分析问题和解决问题的才能.此类问题的解决的三个环节是：〔1〕复原复合函数的复合过程； 〔2〕研究内层函数的单调性；〔3〕研究外层函数的零点，即对应方程的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的解.【变式2】设函数()()()220log 0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为 ． 【变式3】函数()()20f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称．据此可推测，对任意的非零实数,,,,,,a b c m n p 关于x 的函数()()2y mf x nf x p =++的零点不可能是A. {}1,2B. {}1,5C. {}1,2,3,4D. {}1,4,16,64【变式4】函数()()()12212x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩ ，关于x 的方程()2()0f x bf x c ++=的有三个解123,,x x x ，那么222123x x x ++= .【例3】关于x 的函数()()22211f x x x k =---+，给出以下四个命题：①存在实数k ，使得函数恰有2个零点； ②存在实数k ，使得函数恰有4个零点； ③存在实数k ，使得函数恰有5个零点； ④存在实数k ，使得函数恰有8个零点.其中假命题的个数是 〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4【分析】函数()y f x =的零点亦即函数对应方程()0f x =的解．复合函数()y f x =的零点问题，令21t x =-(0)t ≥，转化为函数()20y t t k t =-+≥的零点问题．而含有参数的方程()20y t t k t =-+≥的解的个数须转化为两个函数()212,0y k y t t t ==-≥的图象的交点的个数来求解，进而借助于数形结合、分类讨论思想数学思想加以解决．【解析】首先，复原复合函数的复合过程；令21t x =-(0)t ≥，那么函数()20y t t k t =-+≥；其次，研究内层函数的单调性； 作出函数21y x =-的图象，如图：程再次，研究外层函数()20y t t k t=-+≥的零点，即对应方解.()20k t t t =-+≥的解的情况，进而讨论相应的的自变量x 的此〔1〕当0k <时，方程()20k t t t =-+≥有一个解1t >，时，211t x =->有2解，故函数()y f x =有2解；〔2〕当0k =时，方程()20k t t t =-+≥有两个解121,0t t ==，此时，2110t x =-=有2解，2211t x =-=有3解，故函数()y f x =有5解；〔3〕当104k <<时，方程()20k t t t =-+≥有两个解()12,0,1t t ∈，此时，()2110,1x t -=∈有4解，()2210,1x t -=∈也有4解，故函数()y f x =有8解；〔4〕当14k =时，方程()20k t t t =-+≥有一个解12t =，此时，2112x -=有4解，故函数()y f x =有4解；〔5〕当14k >时，方程()20k t t t =-+≥无解，故函数()y f x =无解. 应选A.【评注】数形结合的思想，其本质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的互相转化，可以使代数问题几何化，几何问题代数化．复合函数的零点问题，实际上就是复合函数对应方程的解的个数问题，假设是仅从方程的角度考虑，难以奏效，而从函数图象的角度来考虑却轻松获解，这也就是思维的灵敏性．【变式5】关于x 的函数()sin sin 29438xx f x a a a =⋅+⋅+-有零点，那么a 的取值范围〔 〕A.0>a 或者8-≤aB.0>aC.3180≤<a D.2372318≤≤a【变式6】〔2021年〕函数()32f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，假设()112f x x x =<，那么关于x 的函数()()2320f x af x b ++=的解的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【变式7】函数()()()()333log 22log 52log 2x x x f x a =-+---，求函数()y f x =的零点个数.变式训练提示：变式1【提示】因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()3xf x -为一个常数；设()3x f x m -=，那么()4f m =，()3xf x m =+。
高中数学复合函数练习题
第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知的定义域，求的定义域思路：设函数的定义域为D ，即，所以的作用范围为D ，又f 对作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得，E 为的定义域。
例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________。
解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e ） 例2. 若函数，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知即f 的作用范围为，又f 对f(x)作用所以，即中x 应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以为的定义域。
例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________。
解析：的定义域为，即，由此得所以f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由，知解得，f 的作用范围为，又f 对x 作用，作用范围不变，所以，即的定义域为 （3）、已知的定义域，求的定义域 思路：设的定义域为D ，即，由此得，的作用范围为E ，又f 对作用，作用范围不变，所以，解得，F 为的定义域。
例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。
解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f 对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x 的取值范围（用集合或区间表示）f 对谁作用，则谁的范围是f 的作用范围，f 的作用对象可以变，但f 的作用范围不会变。
2020高中数学 检测(四)复合函数求导及应用(含解析)2-2
课时跟踪检测（四）复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一简单复合函数求导问题1．y＝cos3x的导数是（)A．y′＝－3cos2x sin x B．y′＝－3cos2xC．y′＝－3sin2x D．y′＝－3cos x sin2x解析:选A 令t＝cos x，则y＝t3,y′＝y t′·t x′＝3t2·（－sin x)＝－3cos2x sin x。
2．求下列函数的导数．(1）y＝ln（e x＋x2);（2）y＝102x＋3；(3)y＝sin4x＋cos4x。
解：(1）令u＝e x＋x2，则y＝ln u.∴y′x＝y′u·u′x＝错误!·（e x＋x2）′＝错误!·(e x＋2x)＝错误!。
（2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·（2x＋3）′＝2×102x＋3ln 10。
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x）2－2sin2x·cos2x＝1－12sin22x＝1－错误!(1－cos 4x)＝错误!＋错误!cos 4x.所以y′＝错误!′＝－sin 4x。
对点练二复合函数与导数运算法则的综合应用3．函数y＝x2cos 2x的导数为( )A．y′＝2x cos 2x－x2sin 2x B．y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC．y′＝x2cos 2x－2x sin 2x D．y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x解析：选B y′＝（x2）′cos 2x＋x2（cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·（2x）′＝2x cos 2x－2x2sin 2x。
4．函数y＝x ln(2x＋5）的导数为（)A．ln(2x＋5)－错误!B．ln(2x＋5)＋错误!C．2x ln（2x＋5) D．错误!解析：选B y′＝[x ln（2x＋5）]′＝x′ln（2x＋5）＋x［ln（2x＋5)］′＝ln(2x＋5）＋x·12x＋5·(2x＋5)′＝ln（2x＋5）＋错误!。
高中数学：求解复合函数定义域
高中数学：求解复合函数定义域
函数的定义域是函数的灵魂，是研究函数及应用函数解决问题的基础，处理函数问题必须树立“定义域优先”的数学意识，因此求函数的定义域是最关键的问题。
但对于求复合函数的定义域，大部分同学感到很棘手，下面着重谈谈复合函数定义域的求法。
一、已知的定义域，求的定义域
例1、已知函数的定义域为，求函数的定义域。
分析：函数的定义域是式子当中x的取值范围，确保两个函数中整体x，的取值范围相同。
解析：依题意有，
∴。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是使函数的的取值范围。
二、已知的定义域，求的定义域
例2、已知函数的定义域为，求的定义域。
解析：∵的定义域为，
∴，。
∴的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则函数的定义域是函数的值域。
三、已知的定义域，求的定义域
例3、已知函数的定义域为，求的定义域。
分析：应由确定的范围，求出函数的定义域，进而再求的定义域，它是例1和例2的综合应用。
解析：因为的定义域是（，0），即其中的x 应满足，所以，的定义域为（1，2），所以函数应满足，于是有或，所以或，故原函数的定义域为。
说明：如果函数的定义域为A，则可得的值域为B，那么函数的定义域是使的的取值范围。
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题(带答案)
高中数学第三章函数的概念与性质专项训练题单选题1、若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f(a)−f(b)a−b>0成立，则必有（ ）A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )先增后减D ．函数f (x )先减后增 答案：A分析：根据条件可得当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，从而可判断. 由f(a)−f(b)a−b>0知f (a )-f (b )与a -b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b )，或当a >b 时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数. 故选：A.2、若函数y =√ax 2+4x +1的值域为[0,+∞)，则a 的取值范围为（ ） A ．(0,4)B ．(4,+∞)C ．[0,4]D ．[4,+∞) 答案：C分析：当a =0时易知满足题意；当a ≠0时，根据f (x )的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a =0时，y =√4x +1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意； 若a ≠0，设f (x )=ax 2+4x +1，则需f (x )的值域包含[0,+∞)， ∴{a >0Δ=16−4a ≥0，解得：0<a ≤4；综上所述：a 的取值范围为[0,4]. 故选：C.3、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B4、已知幂函数y =x m 2−2m−3(m ∈N ∗)的图象关于y 轴对称，且在(0,+∞)上单调递减，则满足(a +1)−m3<(3−2a )−m 3的a 的取值范围为（ ）A ．(0,+∞)B ．(−23,+∞) C ．(0,32)D ．(−∞,−1)∪(23,32)答案：D分析：由条件知m 2−2m −3<0，m ∈N ∗，可得m ＝1．再利用函数y =x −13的单调性，分类讨论可解不等式. 幂函数y =x m2−2m−3(m ∈N ∗)在(0,+∞)上单调递减，故m 2−2m −3<0，解得−1<m <3．又m ∈N ∗，故m ＝1或2．当m ＝1时，y =x −4的图象关于y 轴对称，满足题意； 当m ＝2时，y =x −3的图象不关于y 轴对称，舍去，故m ＝1． 不等式化为(a +1)−13<(3−2a )−13，函数y =x −13在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，故a +1>3−2a >0或0>a +1>3−2a 或a +1<0<3−2a ，解得a <−1或23<a <32．故应选：D ．5、已知函数f (x +1)的定义域为(−1,1)，则f (|x |)的定义域为（ ） A ．(−2,2)B ．(−2,0)∪(0,2) C ．(−1,0)∪(0,1)D ．(−12,0) 答案：B分析：根据抽象函数定义域的求法求得正确答案. 依题意函数f (x +1)的定义域为(−1,1)， −1<x <1⇒0<x +1<2， 所以0<|x |<2，解得−2<x<0或0<x<2，所以f(|x|)的定义域为(−2,0)∪(0,2).故选：B6、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0,+∞)上单调递减，且f(3)=0，则不等式(2x−5)f(x−1)<0的解集为（）A．(−2,52)∪(4,+∞)B．(4,+∞)C．(−∞,−2)∪[52,4]D．(−∞,−2)答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x−5>0f(x−1)<0、{2x−5<0f(x−1)>0求解集即可. 由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0，对于(2x−5)f(x−1)<0，当{2x−5>0f(x−1)<0，即{x>52x−1<−3或{x>52x−1>3，可得x>4；当{2x−5<0f(x−1)>0，即{x<52−3<x−1<3，可得−2<x<52；综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞).故选：A7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1， 故选：C 8、函数f (x )=√−x 2+5x+6x+1的定义域（ ）A ．(−∞,−1]∪[6,+∞)B ．(−∞,−1)∪[6,+∞)C ．(−1,6]D ．[2,3] 答案：C分析：解不等式组{−x 2+5x +6≥0x +1≠0得出定义域.{−x 2+5x +6≥0x +1≠0，解得−1<x ⩽6即函数f (x )的定义域(−1,6] 故选：C 多选题9、对任意两个实数a,b ，定义min{a ，b}={a,a ≤b,b,a >b,若f (x )=2−x 2，g (x )=x 2，下列关于函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的说法正确的是（ ） A ．函数F (x )是偶函数 B ．方程F (x )=0有三个解C ．函数F (x )在区间[−1,1]上单调递增D ．函数F (x )有4个单调区间 答案：ABD分析：结合题意作出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，进而数形结合求解即可.解：根据函数f (x )=2−x 2与g (x )=x 2，，画出函数F (x )=min {f (x ),g (x )}的图象，如图． 由图象可知，函数F (x )=min {f (x ),g (x )}关于y 轴对称，所以A 项正确； 函数F (x )的图象与x 轴有三个交点，所以方程F (x )=0有三个解，所以B 项正确；函数F (x )在(−∞,−1]上单调递增，在[−1,0]上单调递减，在上单调递增，在[1,+∞)上单调递减，所以C[0,1]项错误，D项正确．故选：ABD10、下列各组函数是同一函数的是（）A．y=|x|x与y=1B．y=√(x−1)2与y=x−1C．y=(√x)2x 与y=(√x)2D．y=x3+xx2+1与y=x答案：CD分析：根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.对于A：函数y=|x|x的定义域为x≠0，函数y=1定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一函数；对于B：函数y=√(x−1)2定义域为R，化简可得y=|x−1|，与y=x−1解析式不同，故不是同一函数；对于C：函数y=(√x)2x 定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，函数y=(√x)2定义域为x>0，化简可得y=1(x>0)，故为同一函数；对于D：函数y=x3+xx2+1定义域为R，化简可得y=x，与y=x为同一函数.故选：CD11、如图所示是函数y=f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是（）A．函数f(x)的定义域为[−4,4)B．函数f(x)的值域为[0,+∞)C．此函数在定义域内是增函数D．对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应答案：BD分析：利用函数的图象判断.由图象知：A.函数f(x)的定义域为[−4,0]∪[1,4)，故错误；B.函数f(x)的值域为[0,+∞)，故正确；C. 函数f(x)在[−4,0]，[1,4)上递增，但在定义域内不单调，故错误；D.对于任意的y∈(5,+∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故正确；故选：BD12、已知函数y=(m−1)x m2−m为幂函数，则该函数为（）A．奇函数B．偶函数C．区间(0,+∞)上的增函数D．区间(0,+∞)上的减函数答案：BC分析：由幂函数的概念可得m的值，根据幂函数的性质可得结果.由y=(m−1)x m2−m为幂函数，得m−1=1，即m=2，则该函数为y=x2，故该函数为偶函数，且在区间(0,+∞)上是增函数，故选：BC.13、已知函数f(x)是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，当x∈(0,4]时，f(x)的图象如图所示，那么满足不等式f(x)−3x+1−3≥0的x的可能取值是（）3A ．－4B ．－1C ．12D ．2 答案：AC分析：把“求f(x)−3x+1−33≥0的解集”转化为“求f (x )≥3x −1的解集”，进而转化为观察两个函数图象的特征，即可求出不等式的解集．因为函数f (x )是定义在[−4,0)∪(0,4]上的奇函数，由题意，画出函数f (x )在[−4,0)∪(0,4]上的图象（如图），在同一坐标系内画出y =3x −1的图象，因为f (2)=89，所以f (−2)=−f (2)=−89=3−2−1，又f (1)=2=31−1，所以f (x )的图象与y =3x −1的图象交于(−2,−89)和(1,2)两点，f (x )−3x+1−33≥0即为f (x )≥3x −1，由图象可得，只需−4≤x ≤−2或0<x ≤1，故A ，C 可能取到故选：AC ． 填空题14、函数y =√x 2−1的单调递减区间为___________. 答案：(−∞,−1](或(−∞,−1)都对)解析：利用复合函数的单调性，同增异减，即可得到答案； 令t =x 2−1，则y =√t ，∵ t =x 2−1在(−∞,−1)单调递减，y =√t 在(0,+∞)单调递增， 根据复合函数的单调性可得：y =√x 2−1在(−∞,−1)单调递减，所以答案是：(−∞,−1).15、为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t)，用−f(b)−f(a)b−a能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[t1,t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，在[0,t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．答案：①②③分析：根据定义逐一判断，即可得到结果表示区间端点连线斜率的负数，−f(b)−f(a)b−a在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中，甲企业在[t1,t2]这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[t1,t2]的污水治理能力最强．④错误；在t2时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；所以答案是：①②③小提示：本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题.16、已知幂函数f(x)的图象过点(3,13)，则此函数的解析式为______．答案：f(x)=x−1##f(x)=1x分析：设出幂函数f(x)，代入点(3,13)即可求解.由题意，设f(x)=xα，代入点(3,13)得13=3α，解得α=−1，则f(x)=x−1.所以答案是：f(x)=x−1.解答题17、已知函数f(x)=x2x2+1(1)证明：f(x)为偶函数；(2)判断g(x)=f(x)+x的单调性并用定义证明；(3)解不等式f(x)−f(x−2)+2x>2答案：(1)证明见解析(2)g(x)为R上的增函数，证明见解析(3)(1,+∞)分析：（1）根据奇偶性的定义证明即可；（2）首先得到g(x)的解析式，再利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号，下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（1）证明：f(x)的定义域为R，又f(−x)=(−x)2(−x)2+1=x2x2+1=f(x)，故f(x)为偶函数；（2）解：g(x)=f(x)+x=x2x2+1+x，所以g(x)为R上的增函数，证明：任取x1，x2∈R，且x1>x2，g(x1)−g(x2)=x12x12+1+x1−(x22x22+1+x2)=x1−x2+x12x12+1−x22x22+1=x1−x2+x12(x22+1)−x22(x12+1) (x12+1)(x22+1)=x1−x2+x12−x22(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)[1+x1+x2(x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+x12+x22+1+x1+x2 (x12+1)(x22+1)]=(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)].∵x1>x2，∴x2−x2>0，又x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)>0，∴(x1−x2)[x12x22+(x1+12)2+(x2+12)2+12(x12+1)(x22+1)]>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)为R上的增函数；（3）解：不等式f(x)−f(x−2)+2x>2，等价于f(x)+x>f(x−2)+2−x=f(2−x)+2−x即g(x)>g(2−x)，∵g(x)为R上的增函数，∴x>2−x，解得x>1，故不等式的解集为(1,+∞).18、函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x<0时，f(x)<0，且f(1)=13．（1）证明f(x)是奇函数；（2）证明f(x)在R上是单调递增函数；（3）若f(x)+f(x−3)≥−1，求实数x的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）[0,+∞)．分析：（1）先用赋值法求出f(0)=0，令y=−x，即可根据定义证明f(x)是奇函数；（2）利用定义法证明f(x)是R上的增函数；（3）先把f(x)+f(x−3)≥−1转化为f(2x−3)≥f(−3)，利用单调性解不等式即可．（1）令x =y =0，则f (0)=f (0)+f (0)，解得f (0)=0，令y =−x ，则f (0)=f (x )+f (−x )，即f (x )+f (−x )=0，即f (−x )=−f (x )， 易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称，所以函数f (x )是奇函数；（2）任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 1−x 2<0，因为当x <0时，f (x )<0，所以f (x 1−x 2)<0，则f (x 1)−f (x 2)=f (x 1)+f (−x 2)=f (x 1−x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )是R 上的增函数；（3）由f (1)=13，得f (2)=23，f (3)=1，又由f (x )是奇函数得f (−3)=−1. 由f (x )+f (x −3)≥−1，得f (2x −3)≥f (−3)，因为函数f (x )是R 上的增函数， 所以2x −3≥−3，解得x ≥0，故实数x 的取值范围为[0,+∞)．。
高中数学函数基础练习题
高中数学函数基础练习题
1. 一元二次函数
a. 已知一元二次函数的顶点坐标为（2，-3），过该点的切线
方程为y=2x+1。
求该函数的解析式。
b. 若一元二次函数经过点（1，2）和（3，-4），求该函数的
解析式。
2. 指数函数
a. 已知指数函数的解析式为y=2^x，求使得y=8的x的取值。
b. 若指数函数的解析式为y=3^x，求使得y=1/27的x的取值。
3. 对数函数
a. 已知对数函数的解析式为y=log2(x)，求使得y=4的x的取值。
b. 若对数函数的解析式为y=log5(x)，求使得y=1/125的x的取值。
4. 三角函数
a. 已知三角函数y=sin(x+π/6)，求使得y=1的x的取值。
b. 已知三角函数y=cos(2x+π/3)，求使得y=0的x的取值。
5. 合并函数
a. 已知函数f(x)=2x+3，g(x)=3x-5，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=x^2，h(x)=√(x+7)，求函数f(x)=h(g(x))的解析式。
6. 组合函数
a. 已知函数f(x)=2x^3-3x+1，求函数g(x)=f(f(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=√(x+1)，求函数f(x)=g(g(x))的解析式。
7. 复合函数
a. 已知函数f(x)=3x+5，g(x)=2x-1，求函数h(x)=f(g(x))的解析式。
b. 已知函数g(x)=3x-2，h(x)=2x+4，求函数f(x)=g(h(x))的解析式。
人教版高中数学选择性必修第二册5.2.3 简单的复合函数的导数
复合函数的求导过程就是对复合函数由外层向里求导，每 次求导都是针对着最外层的相应变量进行的，直至求到最里层为 止，所谓最里层是指可以直接引用基本公式表进行求导．
课时学案
题型一 明确复合关系
例 1 指出下列函数的复合关系：
(1)y＝(2－x2)3；
(2)y＝sinx2；
(3)y＝cosπ4－x； (4)y＝lnsin(3x－1)．
2．若可导函数 f(x)满足 f′(3)＝9，则 f(3x2)在 x＝1 处的导数 值为_____54___．
解析 ∵[f(3x2)]′＝f′(3x2)(3x2)′＝6xf′(3x2)， ∴f(3x2)在 x＝1 处的导数值为 6×1×f′(3)＝54.
3．求下列函数的导数：
(1)y＝sin22x＋π3； (2)y＝cos22x；
【解析】 (1)设 y＝u2，u＝－2x＋1，则 y′x＝y′u·u′x＝2u·(－ 2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设 y＝eu，u＝x－1，则 y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3) 设
y ＝ log2u ， u ＝ 2x ＋ 1 ， 则
y′x
＝
y′u
·
u
′
x
＝
2 uln2
【解析】 ∵y＝ x21－3x＝(x2－3x)－12， ∴y′＝－12(x2－3x)－32·(x2－3x)′ ＝－12(x2－3x)－32·(2x－3)． ∴曲线 y＝ x21－3x在点4，12处的切线斜率为 k＝y′|x＝4＝－ 12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－156. ∴曲线在点4，12处的切线方程为 y－12＝－156(x－4)，即 5x ＋16y－28＝0.
【解析】 (1)函数的导数 f′(x)＝12· 3x12＋1·6x＝ 3x32x＋1， 则曲线在点(1，2)处的切线斜率 k＝f′(1)＝ 33＋1＝32，则对应 的切线方程为 y－2＝32(x－1)， 即 3x－2y＋1＝0. (2)y′＝x(1－x2)－32，令 y′＝0，得 x＝0，∴y＝1.
复合函数的几个重要问题例析
合函数的单调性．
例 ４ 已 知 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ）（ ０＜ａ＜１） 在 区
间（ － ∞， １－ " ３ ） 上是增函数， 求实数 ｋ 的范围． 分析 条件中的函数由对数函数与二次函数
复合而成的， 其中对数函数是单调递减函数， 根据复
合函数的复 合 规 律 知 要 使 条 件 中 的 函 数 ｙ＝ｌｏｇ（ａ ｘ２－ ｋｘ－ ｋ） 是增函数， 则应使二次函数为减函数 ， 由 此 建
（
）
Ａ．（ｆ １） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ ７ ） ２２
Ｂ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ５ ）
２
２
Ｃ．（ｆ ７ ） ＜（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ２２
Ｄ．（ｆ ５ ） ＜（ｆ １） ＜（ｆ ７ ）
２
２
解析 此题是复合函数奇偶性的运用， 由函数
（ｆ ｘ＋２） 是 偶 函 数 ， 得 （ｆ ｘ＋２） ＝（ｆ － ｘ＋２） ， 所 以 函 数 ｙ＝
３
３
由ｙ＝（ １ ） ｕ 和 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 复 合 而 成 的 ， 其 中 ｙ＝（ １ ） ｕ
３
３
是单调递减函数， 故 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 单 调 递 减 区 间 ３
是二次函数 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ 的单调递增区间， 由于 ｕ＝ｘ２－ ２ｘ
在（ １， ＋∞） 是单调递增函数， 故函数 （ｆ ｘ） ＝（ １ ） ｘ２－２ｘ 的 ３
者
专
答案 （ － ∞， － ２） ．
业Ｓ
４．复 合 函 数 的 周 期 性
精心策划
函数 ｕ＝ｇ（ ｘ） 是集合 Ｒ 上的周期函数， ｕ∈Ｍ， （ｆ ｕ） 高 在 Ｍ 上有定义， 则 复 合 函 数 ｙ＝［ｆ ｇ（ ｘ） ］ 也 是 Ｒ 上 的 考
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第一篇、复合函数问题一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.二、复合函数定义域问题： （一）例题剖析： (1)、已知f x ()的定义域，求[]fg x ()的定义域思路：设函数f x ()的定义域为D ，即x D ∈，所以f的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]fg x ()的定义域。
例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。
解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<<ln x解得xe ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）例2. 若函数f x x ()=+11，则函数[]f f x ()的定义域为______________。
解析：由f x x ()=+11，知x ≠-1即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11(){}x R x x ∈≠-≠-|12且（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x作用，作用范围不变，所以xE E ∈，为f x ()的定义域。
例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。
解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ，即函数f x ()的定义域为[]-15，例4. 已知f x xx ()lg 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。
解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 22248-=-，知x x 2280->f x ()的定义域为()4，+∞（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。
例5. 若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (log)2的定义域为____________。
解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥， f的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦⎥又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦⎥，，解得[]x ∈24，即f x (log )2的定义域为[]24，（二）同步练习：1、 已知函数)x (f 的定义域为]1,0[，求函数)x (f 2的定义域。
答案：]1,1[- 2、 已知函数)x 23(f -的定义域为]3,3[-，求)x (f 的定义域。
答案：]9,3[-3、 已知函数)2x (f y +=的定义域为)0,1(-，求|)1x 2(|f -的定义域。
答案：)23,1()0,21(⋃- 三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即))(())((21x g f x g f <，故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。
为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：ⅰ 确定函数的定义域； ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。
ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。
（4）例题演练 例1、 求函数)32(log 221--=x x y解：定义域130322-<>⇒>--x x x x 或。
单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x ∵312>>x x ∴012>-x x0212>-+x x ∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数1210<<∴012<-y y 即 12y y <∴y 在),3(+∞上是减函数同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数［例］2、讨论函数)123(log )(2--=x x x f a 的单调性.［解］由01232>--x x 得函数的定义域为}.31,1|{-<>x x x 或则当1>a 时，若1>x ，∵1232--=x x u 为增函数，∴)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.若31-<x ，∵1232--=x x u 为减函数.∴)123(log )(2--=x x x f a 为减函数。
当10<<a 时，若1>x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为减函数，若31-<x ，则)123(log )(2--=x x x f a 为增函数.（5）同步练习：1．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23）D ．（23，＋∞）答案：B 2找出下列函数的单调区间. （1）)1(232>=++-a a y x x；（2）.2322++-=x x y答案：(1)在]23,(-∞上是增函数，在),23[+∞上是减函数。
（2）单调增区间是]1,1[-，减区间是]3,1[。
3、讨论)0,0(),1(log ≠>-=a a a y x a 且的单调性。
答案：,1>a 时),0(+∞为增函数，01>>a 时，)0,(-∞为增函数。
变式练习一、选择题 1．函数f （x ）＝)1(log 21－x 的定义域是（）A ．（1，＋∞）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，2）D ．]21(，解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以⎪⎩⎪⎨⎧≥0)1(log 0121－＞－x x 解得1＜x ≤2． 答案：D2．函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）的单调递减区间是（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，＋∞）C ．（－∞，23） D ．（23，＋∞） 解析：先求函数定义域为（－o ，1）∪（2，＋∞），令t （x ）＝x 2＋3x ＋2，函数t （x ）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y ＝21log （x 2－3x ＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B 3．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则xy的值为（ ）A ．4B ．1或41C ．1或4D ．41 错解：由2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，得（x －2y ）2＝xy ，解得x ＝4y 或x ＝y ，则有xy ＝41或yx ＝1．答案：选B 正解：上述解法忽略了真数大于0这个条件，即x －2y ＞0，所以x ＞2y ．所以x ＝y 舍掉．只有x ＝4y ．答案：D4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，21） B ．（0，21） C ．（21，＋∞） D ．（0，＋∞）解析：因为x ∈（－1，0），所以x ＋1∈（0，1）．当f （x ）＞0时，根据图象只有0＜2a ＜l ，解得0＜a ＜21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）．答案：A5．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：y ＝lg （x －12－1）＝x x －＋11lg ，所以为奇函数．形如y ＝x x －＋11lg 或y ＝xx －＋11lg 的函数都为奇函数．答案：C 二、填空题已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是__________． 解析：a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜32（0＜x ＜1）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2）． 答案：a ∈（1，2）7．函数f （x ）的图象与g （x ）＝（31）x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f （2x －x 2）的单调递减区间为______．解析：因为f （x ）与g （x ）互为反函数，所以f （x ）＝31log x则f （2x －x 2）＝31log （2x －x 2），令μ（x ）＝2x －x 2＞0，解得0＜x ＜2．μ（x ）＝2x －x 2在（0，1）上单调递增，则f ［μ（x ）］在（0，1）上单调递减；μ（x ）＝2x －x 2在（1，2）上单调递减，则f ［μ（x ）］在［1，2）上单调递增． 所以f （2x －x 2）的单调递减区间为（0，1）． 答案：（0，1） 8．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （21）＝0， 则不等式f （l og 4x ）的解集是______．解析：因为f （x ）是偶函数，所以f （－21）＝f （21）＝0．又f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，所以f （x ）在（－∞，0）上是减函数．所以f （l og 4x ）＞0⇒l og 4x ＞21或l og 4x ＜－21．解得x ＞2或0＜x ＜21． 答案：x ＞2或0＜x ＜21三、解答题 10．设函数f （x ）＝532＋x ＋xx2323lg ＋－，（1）求函数f （x ）的定义域；（2）判断函数f （x ）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f （x ）的反函数f －1（x ），问函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点吗?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由．解：（1）由3x ＋5≠0且x x 2323＋－＞0，解得x ≠－35且－23＜x ＜23．取交集得－23＜x ＜23．（2）令μ（x ）＝3x ＋5，随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；x x 2323＋－＝－1＋x236＋随着x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数．又y ＝lg x 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，y ＝x x 2323lg ＋－是减函数，所以f （x ）＝532＋x ＋xx 2323lg ＋－是减函数．（3）因为直接求f （x ）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解．设函数f （x ）的反函数f －1（x ）与工轴的交点为（x 0，0）．根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知，f （x ）与y 轴的交点是（0，x 0），将（0，x 0）代入f （x ），解得x 0＝52．所以函数y ＝f －1（x ）的图象与x 轴有交点，交点为（52，0）。