2019年中考数学一轮复习专题 图形折叠问题 综合复习
【中考数学考点复习】微专题图形的折叠课件
微专题 图形的折叠 折法一 折痕为对角线
1．图，在矩形 ABCD 中，AB＝12，AD＝18，将矩形沿对角线 AC 折叠， 点 D 的对应点为 D′，AD′交 BC 于点 E，则 (1)BE 的长为 5 ； (2)△CD′E 的面积为 30 ．
第1题图
微专题 图形的折叠 如图，点 P 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，当点 P 与点 D 重合时，将△ABP 沿 BP 折叠得到△EBP，BE 交 CD 于点 H.
图⑤
微专题 图形的折叠
结论： 图④，连接 BE，△ABE≌△A′B′E；过点 E 作 EG⊥BC， 则△EFG∽△BB′C；四边形 BEB′F 为菱形； 图⑤，过点 E 作 EG⊥BC，则△EFG∽△BB′C； △A ′ E P∽△DB′ P∽△CF B ′ .
图④
图⑤
结论：△BCH≌△DEH，PH＝BH，DE2＋EH2＝DH2.
微专题 图形的折叠 折法二 折痕的一端过顶点
2．已知矩形 ABCD，AB＝6，AD＝8，点 E 是 BC 上一点，P 是 CD 上一 点． (1)如图①，将△DCE 沿 DE 折叠得到△DC′E，若点 C′恰好落在对角 线 BD 上，则 DE 的长为 3 5 ；
图③ 第2题图
微专题 图形的折叠
(4)如图④，将△PBC 沿 PB 折叠得到△PBC′，若点 C 落在 AD 上的点 C′ 处，连接 CC′，则 CC′的长为 4 7－4 ；
图④ 第2题图
微专题 图形的折叠
(5)如图⑤，F 为线段 AB 上一点，将矩形 ABCD 沿 DF 翻折，点 B、C 的
对应点分别为点 B′、C′.若 B′C′恰好经过点 A，连接 C′F，则线段
第 2 题图⑦
微专题 图形的折叠 如图①，点 P 是矩形 ABCD 边 AD 上一点，将△ABP 沿 BP 折叠得到 △EBP，点 E 恰好在 CD 边上．
中考数学一轮复习折叠问题PPT学习教案
∠∠ADO＝E∠＝E∠，COD，∴△AOE≌△COD(AAS) AE＝CD，
(2)
若
∠
OCD
＝
30
°
AB
＝
，
3求Leabharlann △AOC，
的面积
．
∵△AOE≌△COD，∴AO＝CO，∵∠OCD＝30°，AB＝
3，∴CO＝CD÷cos30°＝ 3÷ 23＝2，∴△AOC 的面积＝12 AO·CD＝12×2× 3＝ 3
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【解析】根据翻折的性质可得CE＝C′ E，判 断出△E FG是 等边三 角形， 根据等 边三角 形的性 质表示 出EF， 即可得 解．
解：由翻折的性质得，CE＝C′E，∵BE＝2CE， ∴BE＝2C′E，又∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠EBC′＝30°， ∵∠FD′C′＝∠D＝90°，∴∠BGD′＝60°∴∠FGE＝ ∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°， ∴∠EFG＝12(180°－∠AFG)＝21(180°－60°)＝60°， ∴△EFG 是等边三角形，∵AB＝t，∴EF＝t÷ 23＝233t， ∴△EFG 的周长＝3×233t＝2 3t
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在折叠问题中，利用对称性可得到相等的角和边．
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折叠后求长度 1．(2014·黔东南州)如图，在矩形ABCD中，AB＝8 ，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重 合，求折痕EF的长．
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【解析】设BE＝x，则CE＝16－x，根 据翻折 的性质 可得A E＝CE ，然后 在Rt△ ABE中 ，利用 勾股定 理列出 方程求 出x，过 点E作 EH⊥A D于H ，可得 四边形A BEH是 矩形， 利用勾 股定理 列式计 算即可 得解．
中考数学中的折叠问题专题复习
中考数学中的折叠问题专题复习中考数学中的折叠问题专题复习一、教学目标1、基础知识目标：使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。
2、能力训练目标：提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。
3、情感态度与价值观要求：鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。
二、教学重点、难点重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。
难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。
三、教学方法讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。
四、教学程序及设想1、巧设情景，设疑引入观察与发现：小明将纸片ABC （AB>AC ）沿过A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD, 展开纸片；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF （如图1）。
小明认为AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。
引出课题。
2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。
归类一：折叠后求角的度数典例解析：将矩形纸片ABCD 折叠，使得D 点与B 重合，点C 落在点C'处，折痕为EF，如果∠ ABE ＝20°，则∠ EFC'＝（）A. 125 °B. 80 °C. 75 °D. 无法确定评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。
体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。
1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知∠ ADB=20°，那么，∠ BAF 为多少度时，才能使AB' ∥BD？（∠ BAF ＝55°）利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未知角的关系，从而求的未知角的度数。
初三数学中考专题复习课折叠问题》ppt课件讲义
k 1
H
O
探究型问题之“折叠问题”
例4：已知扇形 AOB 的半径为︵ 6，圆心角为 90°，E E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
解x得 3a,所2a 以 x5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax
a
x 2ax
探究型问题之“折叠问题”
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
O
OE 15
4
E A
G M
N
B
F
O'
探究型问题之“折叠问题”
变式3：已知扇形 AOB 的︵ 半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
x 2a y
2019重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题
2019 重庆中考数学题位复习系统之几何图形折叠问题典例解析例 1（2018?重庆）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE， FG，获得∠ AGE=30°，若 AE=EG=2厘米，则△ ABC的边BC的长为6+4厘米．【解析】依据折叠的性质和含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点 B、点 C 都与点 A 重合，折痕分别为 DE，FG，∴BE=AE，AG=GC，∵∠ AGE=30°， AE=EG=2 厘米，∴AG=6，∴BE=AE=2 ，GC=AG=6，∴BC=BE+EG+GC=6+4，故答案为： 6+4 ，【评论】本题考察翻折问题，重点是依据折叠的性质和含 30°的直角三角形的性质解答．例 2 （2018?重庆）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△ BCD沿直线 CD翻折至△ ECD的地点，连结 AE．若 DE∥ AC，计算 AE的长度等于．【解析】依据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化能够求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠ DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠ DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠ DEC=∠ACE，∴∠ DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ ACD=60°，∠ CAD=60°，∴△ ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形 ACDE是菱形，∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°， BC=6，∠B=30°，∴AC= ，∴AE=．【评论】本题考察翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的重点是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形联合的思想解答．追踪训练1．（ 2018? 阜新）如图，将等腰直角三角形 ABC（∠ B=90°）沿 EF折叠，使点A 落在 BC边的中点 A1处， BC=8，那么线段 AE的长度为 5 ．【解析】由折叠的性质可求得 AE=A1E，可设 AE=A1E=x，则 BE=8﹣ x，且 A1B=4，在 Rt△ A1 BE中，利用勾股定理可列方程，则可求得答案．【解答】解：由折叠的性质可得AE=A1E，∵△ ABC为等腰直角三角形， BC=8，∴AB=8，∵ A1为 BC的中点，∴A1B=4，设 AE=A1E=x，则 BE=8﹣ x，在Rt△A1BE中，由勾股定理可得42+（8﹣x）2=x2，解得x=5，故答案为： 5．【评论】本题主要考察折叠的性质，利用折叠的性质获得 AE=A1E 是解题的重点，注意勾股定理的应用．2．（2018? 崇明县二模）如图，△ ABC 中，∠ BAC=90°， AB=6，AC=8，点 D 是BC的中点，将△ ABD，将△ ABD沿 AD翻折获得△ AED，联络 CE，那么线段 CE的长等于．【解析】如图连结 BE交 AD于 O，作 AH⊥BC于 H．第一证明 AD垂直均分线段 BE，△BCE是直角三角形，求出 BC、BE，在 Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图连结 BE交 AD于 O，作 AH⊥ BC于 H．在 Rt△ ABC中，∵ AC=8， AB=6，∴ BC==10，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=5，∵BC? AH= AB? AC，∴AH= ，∵AE=AB，∴点 A 在 BE的垂直均分线上．∵DE=DB=DC，∴点 D 在 BE使得垂直均分线上，△ BCE是直角三角形，∴AD垂直均分线段 BE，∵ AD? BO= BD? AH，∴OB= ，∴BE=2OB= ，在 Rt△ BCE中， EC===，故答案为【评论】本题考察翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的重点是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．3．（2018? 马鞍山二模）如图，△ ABC中， AC=BC=4，∠ C=90°，将△ ABC折叠，使 A 点落在 BC的中点 A' 处，折痕分别交边 AB、AC于点 D、点 E，则 AD=．【解析】连结 AA′交 DE于点 M，过点 A′作 A′N⊥ AB于点 N，依据折叠的性质、勾股定理及相像三角形的性质可求出 AD的长度．【解答】解：连结 AA′交 DE于点 M，过点 A′作 A′N⊥ AB于点 N，如下图．∵AC=BC=4，∠ C=90°， A′为线段 BC的中点，∴A′C=A′B=2，A′N=BN=，AA′==2，AB=4，∴AN=AB﹣BN=3 ．∵将△ ABC折叠，使 A 点落在 BC的中点 A' 处，折痕分别交边AB、AC于点 D、点E，∴AM= AA′= ．∵∠ DAM=∠A′AN，∠ AMD=∠ANA′=90°，∴△ ADM∽△ AA′N，∴=，即=∴AD=．故答案为．【评论】本题考察了折叠的性质、勾股定理以及相像三角形的判断及性质，证明△ ADM∽△ AA′N是解题的重点．4．（2018? 沙坪坝区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ ACB=90°，点 D 是边 AB的中点，连结 CD，将△ BCD沿直线 CD翻折获得△ ECD，连结 AE．若 AC=6， CD=5，则线段 AE的长为．【解析】连结 BE，延伸 CD交 BE与点 H，作 CF⊥AB，垂足为 F．第一证明 DC 垂直均分线段 BE，△ ABE是直角三角形，利用三角形的面积求出 EH，获得 BE的长，在 Rt△ ABE中，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图，连结 BE，延伸 CD交 BE与点 H，作 CF⊥ AB，垂足为 F．∵在 Rt △ABC中，∠ ACB=90°，点 D 是边 AB的中点， CD=5，∴AD=DB=CD=5，AB=10．∵ AC=6，∴ BC==8．∵S△ABC= AC? BC= AB? CF，∴×6×8=×10× CF，解得CF=．∵将△ BCD沿直线 CD翻折获得△ ECD，∴BC=CE，BD=DE，∴CH⊥BE，BH=HE．∵AD=DB=DE，∴△ ABE为直角三角形，∠ AEB=90°，∴S△ECD=S△ACD，∴DC? HE= AD? CF，∵DC=AD，∴HE=CF= ．∴BE=2EH= ．∵∠ AEB=90°，∴AE===．故答案为．【评论】本题考察了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的重点是学会利用面积法求高，属于中考...5．（ 2018? 双滦区一模）如图，△ ABC中，AB=AC，∠ BAC=54°，∠ BAC的均分线与 AB的垂直均分线交于点 O，将∠ C沿 EF（ E 在 BC上， F 在 AC上）折叠，点 C 与点 O恰巧重合，则∠ OEC为 108 度．【解析】连结 OB、OC，依据角均分线的定义求出∠ BAO，依据等腰三角形两底角相等求出∠ ABC，再依据线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等可得OA=OB，依据等边平等角可得∠ ABO=∠BAO，再求出∠ OBC，而后判断出点 O是△ ABC的外心，依据三角形外心的性质可得 OB=OC，再依据等边平等角求出∠ OCB=∠OBC，依据翻折的性质可得 OE=CE，而后依据等边平等角求出∠ COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：如图，连结 OB、 OC，∵∠ BAC=54°， AO为∠ BAC的均分线，∴∠ BAO= ∠BAC= ×54°=27°，又∵ AB=AC，∴∠ ABC= （180°﹣∠ BAC）=（180°﹣54°）=63°，∵DO是AB的垂直均分线，∴ OA=OB，∴∠ ABO=∠BAO=27°，∴∠ OBC=∠ABC﹣∠ABO=63°﹣27°=36°，∵AO为∠ BAC的均分线， AB=AC，∴△ AOB≌△ AOC（SAS），∴OB=OC，∴点 O在 BC的垂直均分线上，又∵ DO是 AB的垂直均分线，∴点 O是△ ABC的外心，∴∠ OCB=∠OBC=36°，∵将∠ C沿 EF（ E在 BC上， F 在 AC上）折叠，点 C 与点 O恰巧重合，∴OE=CE，∴∠ COE=∠OCB=36°，在△ OCE中，∠ OEC=180°﹣∠ COE﹣∠ OCB=180°﹣ 36°﹣ 36°=108°．故答案为： 108．【评论】本题考察了线段垂直均分线上的点到线段两头点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边平等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作协助线，结构出等腰三角形是解题的重点．6．（2018? 盘锦）如图，已知 Rt△ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2 +4，点M、N 分别在线段 AC、 AB上，将△ ANM沿直线 MN折叠，使点 A 的对应点 D 恰好落在线段 BC上，当△ DCM为直角三角形时，折痕 MN的长为或．【解析】依照△ DCM为直角三角形，需要分两种状况进行议论：当∠ CDM=90°时，△CDM是直角三角形；当∠ CMD=90°时，△ CDM是直角三角形，分别依照含 30°角的直角三角形的性质以及等腰直角三角形的性质，即可获得折痕MN的长．【解答】解：分两种状况：①如图，当∠ CDM=90°时，△ CDM是直角三角形，∵在 Rt △ABC中，∠ B=90°，∠ A=60°， AC=2+4，∴∠ C=30°， AB= AC=，由折叠可得，∠ MDN=∠A=60°，∴∠ BDN=30°，∴BN= DN= AN，∴ BN= AB=，∴ AN=2BN=，∵∠ DNB=60°，∴∠ ANM=∠DNM=60°，∴∠ AMN=60°，∴ AN=MN=；②如图，当∠ CMD=90°时，△ CDM是直角三角形，由题可得，∠ CDM=60°，∠ A=∠MDN=60°，∴∠ BDN=60°，∠ BND=30°，∴BD= DN= AN，BN= BD，又∵ AB=，∴AN=2， BN= ，过 N 作 NH⊥AM于 H，则∠ANH=30°，∴ AH= AN=1，HN= ，由折叠可得，∠ AMN=∠DMN=45°，∴△ MNH是等腰直角三角形，∴HM=HN= ，∴MN= ，故答案为：或．【评论】本题考察了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的重点．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．7．（2018? 乌鲁木齐）如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°， BC=2，AC=2，点D 是 BC的中点，点 E 是边 AB 上一动点，沿DE所在直线把△ BDE翻折到△B′DE 的地点，B′D交 AB于点 F．若△ AB′F为直角三角形，则 AE的长为3 或．【解析】利用三角函数的定义获得∠B=30°，AB=4，再利用折叠的性质得DB=DC=，EB′=EB，∠ DB′E=∠B=30°，设AE=x，则 BE=4﹣ x，EB′=4﹣ x，议论：当∠ AFB′=90°时，则∴ BF= cos30°=，则 EF=﹣（4﹣x）=x﹣，于是在 Rt△B′EF 中利用 EB′=2EF获得 4﹣x=2（ x﹣），解方程求出 x 获得此时 AE 的长；当∠ FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连结 AD，如图，证明 Rt △ADB′≌Rt △ADC获得 AB′=AC=2，再计算出∠ EB′H=60°，则 B′H=（4﹣x），EH=（ 4﹣ x），接着利用勾股定理获得（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，方程求出x获得此时 AE的长．【解答】解：∵∠ C=90°， BC=2，AC=2，∴ tanB===，∴∠ B=30°，∴ AB=2AC=4，∵点 D 是 BC的中点，沿 DE所在直线把△ BDE翻折到△ B′DE的地点，B′D交AB 于点 F∴DB=DC= ，EB′=EB，∠ DB′E=∠B=30°，设 AE=x，则 BE=4﹣x，EB′=4﹣ x，当∠ AFB′=90°时，在 Rt△ BDF中， cosB= ，∴BF= cos30°=，∴EF= ﹣（ 4﹣ x）=x﹣，在Rt△B′EF 中，∵∠EB′F=30°，∴EB′=2EF，即 4﹣x=2（x﹣），解得x=3，此时AE为3；当∠ FB′A=90°时，作 EH⊥AB′于 H，连结 AD，如图，∵DC=DB′， AD=AD，∴Rt△ADB′≌ Rt△ADC，∴A B′=AC=2，∵∠ AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，∴∠ EB′H=60°，在 Rt△EHB′中， B′H= B′E=（4﹣x），EH=B′H=（4﹣x），222在 Rt△ AEH中，∵ EH+AH=AE，∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，解得x=，此时AE为．综上所述， AE的长为 3 或．故答案为 3或．【评论】本题考察了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．也考察了含 30 度的直角三角形三边的关系和勾股定理．8．（2018? 莘县一模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E 为AB上一点，将△ BCE沿 CE翻折至△ FCE，EF与 AD订交于点 G，且 AG=FG，则线段 AE的长为1 ．...方程，解方程即可．【解答】解：如下图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ D=∠ B=∠A=90°， AB=CD=4，AD=BC=6，依据题意得：△ BCE≌△ CEF，∴EF=BE，∠ F=∠B=90°， CF=BC=6，在△ GAE和△ GFH中，，∴△ GAE≌△ GFH（ASA），∴EG=GH，AE=FH，∴AH=EF，设 BE=EF=x，则 AE=FH=4﹣x，AH=x，∴DH=6﹣ x， CH=6﹣（ 4﹣ x） =2+x，222依据勾股定理得： DC+DH=CH，即 42+（6﹣x）2=（x+2）2，解得： x=3，∴BE=3，∴ AE=1，故答案为： 1．【评论】本题考察的是翻折变换的性质和勾股定理的应用，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．9．（2017? 沙坪坝区一模）如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC，BD订交于点 O，且AC=2，BD=6，将△ AOD沿 AD翻折获得△ AED，延伸 EA交 BD于点 F，交 BC于点 G．连结 OG，则△ FOG的面积是．【解析】作 AH⊥CD于 H，GN⊥AC于 N．思想利用勾股定理求出菱形的边长，依据菱形的两个面积公式求出 AH，利用相像三角形求出 GN、AN、OF即可解决问题．【解答】解：作 AH⊥CD于 H， GN⊥AC于 N．∵四边形 ABCD是菱形．∴AC⊥BD，OA=OC=1， OB=OD=3，∴CD==，∴? AC? BD=CD? AH，∴AH=，DH==，∵∠ CAG+2∠DAC=180°，∠ ADC+2∠DAC=180°，∴∠ CAG=∠ADC，∵∠ ACG=∠ACD=∠CAD，∠AGC=∠ ACG，∴ AG=AC=2，∵∠ANG=∠AHD，∴△AGN∽△ DAH，∴= =，∴GN= ，AN= ，∵OF∥GN，∴ = ，∴OF= ，∴S△OFG= ? OF? ON= ??=．故答案为．【评论】本题考察菱形的性质、翻折变换、勾股定理、相像三角形的判断和性质、平行线分线段成比率定理等知识，解题的重点是学会增添常用协助线，结构直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．（ 2017? 重庆）如图，正方形ABCD中， AD=4，点 E 是对角线 AC上一点，连接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB于点 F，连结 DF，交 AC于点 G，将△ EFG沿 EF 翻折，获得△ EFM，连结 DM，交 EF于点 N，若点 F 是 AB边的中点，则△ EMN的周长是．【解析】解法一：如图 1，作协助线，建立全等三角形，依据全等三角形对应边相等证明 FQ=BQ=PE=1，△ DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD==3，如图 2，由平行相像证明△ DGC∽△ FGA，列比率式可得FG和CG的长，进而得 EG的长，依据△ GHF是等腰直角三角形，得GH和 FH的长，利用 DE∥ GM证明△ DEN∽△ MNH，则，得EN=，进而计算出△ EMN各边的长，相加可得周长．解法二，将解法一顶用相像得出的FG和 CG的长，利用面积法计算得出，其余解法同样．解法三：作协助线建立正方形和全等三角形，设EP=x，则 DQ=4﹣x=FP=x﹣2，求x 的值获得 PF=1，AE的长；由△ DGC和△ FGA相像，求 AG和 GE的长；证△ GHF和△ FKM全等，因此 GH=FK=4/3，HF=MK=2/3，ML=AK=10/3，DL=AD﹣ MK=10/3，即DL=LM，因此 DM在正方形对角线 DB上，设 NI=y，列比率式可得 NI 的长，分别求 MN和 EN的长，相加可得结论．【解答】解：解法一：如图 1，过 E 作 PQ⊥DC，交 DC于 P，交 AB于 Q，连结 BE，∵DC∥AB，∴ PQ⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ ACD=45°，∴△ PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，设 PC=x，则 PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴ PD=EQ，∵∠ DPE=∠EQF=90°，∠ PED=∠EFQ，∴△ DPE≌△ EQF，∴DE=EF，∵ DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，易证明△ DEC≌△ BEC，∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ⊥FB，∴FQ=BQ= BF，∵AB=4， F 是 AB的中点，∴ BF=2，∴ FQ=BQ=PE=1，∴ CE= ， PD=4﹣ 1=3，Rt △DAF中， DF==2 ，DE=EF=，如图 2，∵ DC∥AB，∴△ DGC∽△ FGA，∴==2，∴CG=2AG，DG=2FG，∴FG= ×=，∵ AC==4，∴CG= ×=，∴ EG=﹣ =，连结 GM、GN，交 EF于 H，∵∠ GFE=45°，∴△ GHF是等腰直角三角形，∴ GH=FH==，∴ EH=EF﹣FH=﹣=，由折叠得： GM⊥ EF，MH=GH=，∴∠ EHM=∠DEF=90°，∴DE∥HM，∴△ DEN∽△ MNH，∴，∴==3，∴EN=3NH，∵EN+NH═EH=，∴EN=，∴ NH=EH﹣EN=﹣=，Rt △GNH中， GN===，由折叠得： MN=GN，EM=EG，∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；解法二：如图 3，过 G作 GK⊥AD于 K，作 GR⊥AB于 R，∵ AC均分∠ DAB，∴ GK=GR，∴====2，∵==2，∴，同理，==3，其余解法同解法一，可得：∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；解法三：如图 4，过 E 作 EP⊥AP，EQ⊥ AD，∵ AC是对角线，∴EP=EQ，易证△ DQE和△ FPE全等，∴DE=EF，DQ=FP，且 AP=EP，设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，解得 x=3，因此 PF=1，∴ AE==3 ，∵DC∥AB，∴△ DGC∽△ FGA，∴同解法一得： CG= ×=，∴EG=﹣=，AG= AC=，过 G作 GH⊥AB，过 M作 MK⊥ AB，过 M作 ML⊥AD，则易证△GHF≌△FKM全等，∴ GH=FK= ，HF=MK= ，∵ ML=AK=AF+FK=2+=，DL=AD﹣MK=4﹣=，即 DL=LM，∴∠ LDM=45°∴ DM在正方形对角线 DB上，过N 作NI⊥AB，则NI=IB ，设 NI=y，∵NI∥EP∴∴，解得 y=1.5 ，因此 FI=2 ﹣y=0.5 ，∴I 为 FP的中点，∴N是 EF的中点，∴ EN=0.5EF=，∵△ BIN 是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5 ，∴ BN=，BK=AB﹣AK=4﹣=，BM=，MN=BN﹣BM=﹣=，∴△ EMN的周长 =EN+MN+EM= ++=；故答案为：．【评论】本题考察了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相像的性质和判断、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作协助线，建立全等三角形，计算出 PE的长是重点．。
2019年 中考数学 图形折叠问题 专题复习(含答案)
2019年中考数学图形折叠问题专题复习1.如图，在△ACB中，∠ACB=100°，∠A=20°，D是AB上一点．将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A.25°B.30°C.35°D.40°2.如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE：EC=2:1,则线段CH的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A.1.8B.2.4C.3.2D.3.64.如图，在Rt △ABC中,AB⊥BC，AB=10,BC=8，点D是AB上一点，且AD = 4，点E为AC上一动点，将△ADE沿DE翻折得到△A/DE,连接A/C,则A/C的最小值为( )A. B.5 C.6 D.5.如图，矩形ABCD中，将四边形ABFE沿EF折叠得到四边形HGFE，已知∠CFG=400,则∠DEF= .6.如图,将矩形ABCD沿AE向上折叠,使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9,△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．7.如图,将矩形纸片ABCD折叠,使边AB、CB均落在对角线BD上,折痕为BE,则∠EBF的大小为_______．8.矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于．9.如图,在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后端点D恰好落在边OC上的点F处．若点D的坐标为（10，8）,则点E的坐标为10.如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE、DE，将△DEC沿线段DE翻折，点C恰好落在线段AE上的点F处．若AB=6，BE：EC=4：1，则线段DE的长为．11.如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C1处，BC1交AD于点E，则线段DE的长为 .12.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为 .13.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，则AG的长是__________．14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB折叠，使点A落在A/的位置上.若OB=,OC=2BC,则点A′的坐标 .15.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEO的度数是．16.如图,已知把长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点D与点B重合,点C落在点C′的位置上,若∠1=60°，AE=2．（1）求∠2，∠3的度数．（2）求长方形ABCD的纸片的面积S．17.如图，在矩形ABCD中，沿EF将矩形折叠，使A、C重合，AC与EF交于点H.(1)求证：△ABE≌△AGF；(2)若AB=6，BC=8，求△ABE的面积．18.如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．19.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．20.已知矩形OABC在平面直角坐标系中，O为原点，A(8，0)，C（0，4），如图所示.D在AB上(D可以与A、B重合)，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△CDE.（1）如图1，若E点落在OA上，求D、E坐标；（2）如图2，F为CD中点，连接BF、EF、BE，若BEF为直角三角形，求E点坐标；（3）如图3，若F点始终为CD的中点，求F点运动路径长度.图1 图2 图3答案1.D2.B.3.D4.C；5.答案为：1106.答案为：127.答案为：45°8.答案为：75/16；9.答案为：（10，3）．10.答案是：2．11.答案为：3.7512.答案为：；13.答案为：1.514.答案为：(-0.6,0.8)15.答案为：100°．16.17.18.解：（1）GF=GC．理由如下：连接GE，∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C=90°，∴∠EFG=90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=4/3．19.解：（1）△AED≌△CEB′证明：∵四边形ABCD为矩形，∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，又∵∠B′EC=∠DEA，∴△AED≌△CEB′；（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，∵CD∥AB，∴∠CAB=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，延长HP交AB于M，则PM⊥AB，∴PG=PM．∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．20.解：(1)D(8,),E(,0);(2)E();(3)F点运动路径长度为2.。
2019中考数学专题复习 和折叠有关的题型突破 ( Word版,无答案)
2019中考数学专题复习和折叠有关的题型突破（ Word版，无答案）以折叠为背景的题型分析【解题思路】折叠问题题型多样，变化灵活，从考察学生空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题. 考查的着眼点日趋灵活，能力立意的意图日渐明显.这对于识别和理解几何图形的能力、空间思维能力和综合解决问题的能力都提出了比以往更高的要求.本专题内容在考查中常涉及到特殊平行四边形的折叠与性质、特殊三角形的判定、勾股定理的运用，角平分线的性质等. 因此考生在复习中应熟练掌握一些基本图形的性质和判定定理以及图形折叠的性质. 图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。
【中考原题】【例 1】如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是AD 边上的一个动点，将△AEF 沿EF 所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C 的长的最小值是．（考点：折叠动点）2019中考数学专题复习和折叠有关的题型突破（ Word版，无答案）【例2】如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C 落在AD 边上的点M 处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP 的值；（4 分）（考点：勾股定理）（2）在AB 边上有一个动点F，且不与点A，B 重合．当AF 等于多少时，△MEF的周长最小？（4 分）（考点：折叠性质将军饮马）（3）若点G，Q 是AB 边上的两个动点，且不与点A，B 重合，GQ=2．当四边形MEQG 的周长最小时，求最小周长值.（计算结果保留根号）（4 分）（考点：将军饮马）【例 3】已知二次函数及一次函数 y = x 2 + x + 6 ,将该二次函数在 x 轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示)当直线 y=x+m 与新 图象有 4 个交点时,m 的取值范围是（） （考点：函数的交点判断）(A) - 254 < m < 3 (B) - 254< m < -2(C) - 2 < m < 3 (D) - 6 < m < -2【相关知识扩展】类型1 与角度有关的折叠1．把一张长方形纸片按如图所示折叠2 次，若∠1=50︒，则∠2的度数为()A．10︒ B．15︒C．20︒D．25︒3．如图，在∆ABC 中，∠B = 32︒，将∆ABC 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则∠1 -∠2 的度数是()A．32︒ B．64︒C．65︒D．70︒4．如图，点D 为∆ABC 边BC 的延长线上一点．∠ABC 的角平分线与∠ACD 的角平分线交于点M ，将∆MBC 以直线BC 为对称轴翻折得到∆NBC ，∠NBC 的角平分线与∠NCB 的角平分线交于点Q ，若∠A=48︒，则∠BQC 的度数为()A．138︒B．114︒C．102︒ D．100︒6.已知长方形ABCD ，E 点和F 点分别在AB 和BC 边上，如图将∆BEF 沿着EF 折叠以后得到△B'EF，B'E与AD相交于点M，B'F与AD相交于点G ，则∠1与∠2的数量关系为．7. 如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在点E 处，ED 交BC 于点F ．若∠ABD=48︒，∠CFD=40︒，则∠E的度数为．8.如图，在四边形ABCD 中，∠B = 120︒，∠B 与∠ADC 互为补角，点E 在BC 上，将∆DCE 沿DE 翻折，得到△DC'E，若AB//C'E，DC'平分∠ADE，则∠A的度数为︒．9. 如图，在△ABC中，将△ABC沿DE 折叠，使顶点C 落在△ABC三边的垂直平分线的交点O 处，若BE=BO，则∠BOE=度．10.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+β B．γ=α+2β C．γ=α+β D．γ=180°﹣α﹣β类型2 与长度、周长、面积有关的折叠1. 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，B C=8cm，点D 在BC 边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为．A DC MFDNB E A B E C第1 题图第2 题图2. 如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在点F处，折痕为MN，则线段CN 的长为．3. 如图，在长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF，则△ABE 的面积为．A E DB F CC'4. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D 落在BC 边上的点F 处，若AB=4cm，B C=5cm，则EF的长为．A DEB F C5. 如图，在△ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，E 为BC 边上一点，把△ABC 沿AE 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分（阴影部分）的面积．AC6. 如图，正方形ABCD 的边长为3，E、F 分别是AB、CD 上的点，且∠CFE=60°，将四边形BCFE 沿EF 翻折，得到B′C′FE，C′恰好落在AD 边上，B′C′交AB 于点G，则GE 的长是（）A. 4B. 5C. 4-5-7. 如图，四边形ABCD 是边长为9 的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的B'处，点A 的对应点为A'．若B'C=3，则CN=_ ，AM=_．A'A M DFA M DB' EB NC B N C第7 题图第8 题图8. 如图，将长为4cm，宽为2cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边的中点E 处，压平后得到折痕MN，则线段AM 的长为．9. 如图，在△ABC 中，AB=3，BC=4，∠B=90°，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合．若折痕分别交AC，BC 于点E，F，则BF= ，EF= _．AEB F C10. 如图，将长方形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕为EF，若AB=3，AD=4，则DE的长为．A E DB F C11. 如图，在长方形纸片ABCD 中，AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕交BC 于点E，若EF=3，则AB 的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6A DFB E C第11 题图12. 把长方形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则DE= ．A'A E D(B')B F C13. 如图，将正方形纸片ABCD 沿MN 折叠，使点D 落在边AB 上，对应点为D′，点C 落在C′处．若AB=6，AD′=2，则DM=，CN= ．FD CN A E DC'MB CA D' B第13 题图第14 题图14. 如图，在长方形ABCD 中，BC=4，CD=3，将该长方形沿对角线BD 折叠，使点C 落在点F 处，BF 交AD 于点E，则EF=．A F DGB E CD'C'第15 题图15. 如图，已知在长方形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE，将长方形沿着过点E 的直线翻折后，点C，D 分别落在边BC 下方的点C′，D′处，且点C′，D′，B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F，D′F 与BE 交于点G．设AB=t，那么△EFG 的周长为．（用含t 的代数式表示）16. 如图，长方形ABCD 中，AB=15cm，点E 在AD 上，且AE=9cm，连接EC，将长方形ABCD沿直线BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A'处，则A'C= cm．A E D A E DA' M A′NB C B F C第18 题图第19 题图17. 如图，将长方形纸片ABCD 对折，得折痕MN，展开后再沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上的A′处，得折痕BE，连接EA′并延长交BC 于点F．若AB=2，则BE=，EF=．18. 如图，在∆ABC 中．∠ACB = 90︒，AC = 4 ，BC ，点D 在AB 上，将∆ACD 沿CD 折叠，点A 落在点A1 处，A1C 与AB 相交于点E ，若A1 D / / BC ，则A1 E 的长为( )2019中考数学专题复习 和折叠有关的题型突破 （ Word 版，无答案）A ．B ．83C ．3D ．4 - 220. 如图，矩形ABCD 中， AB = 4 ， BC = 3 ，点 E 是 DC 边上一点，连接 BE ，把 ∠C 沿 BE 折叠，使点 C 落在点 F 处，当 ∆DEF 为直角三角形时， DE 的长为 ．第 20 题图 第 21 题图21. 图，矩形ABCD 中， AB = 5 ， BC = 8 ，点 E 、 G 为直线 BC 上两个动点， BE = CC ，连接 AE ， 将∆ABE 沿 AE 折叠，将 ∆DCC 沿 DG 折叠，当对应点 F 和 H 重合时， BE 的长为 ．22. 将一张宽为5cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形， 则这个三角形面积的最小值是 ()A ．3 cm 2 B ．252cm 2 C ． 25cm 2D ．3 cm 223. 如图， 在矩形ABCD 中， AB = 4 ，BC = 6 ，E 为 BC 的中点 ． 将 ∆ABE 沿 AE 折叠， 使 点 B 落在矩形内点 F 处， 连接CF ，则 ∆CDF 的面积为 ( )A ．3.6B ．4.32C ．5.4D ．5.7624. 如图，在ABCD 中，BC = 4 ，CD = 6 ，点E 是AB 边上的中点，将∆BCE 沿CE 翻折得∆FCE ，连结DF ，射线CF 交直线DA 于点P ，当∠CPD = 90︒时，∆DCF 的面积是．25. 如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB = 8 ，AD = 6 ．先将矩形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将∆AEF 沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则∆GCF 的周长为．26. 如图，在四边形ABCD 中，AB = 10 ，BD ⊥AD ．若将∆BCD 沿BD 折叠，点C 与边AB 的中点E 恰好重合，则四边形BCDE 的周长为．27. 如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，E 是边CD 上一点，连接AE 、折叠该纸片，使点A 落在AE 上的G 点，并使折痕经过点B ，得到折痕BF ，点F 在AD 上，若DE = 5 ，则GE 的长为．第27 题第28 题28. 如图，矩形纸片ABCD 中，AD = 6 ，AB = 10 ，E 为CD 中点，将矩形纸片沿AE 折叠，点D 落在点D'处，延长AD'交BC 于点F ，则D'F 的长度为．29. 如图，在矩形ABCD 中，AD = 2 ．将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A'，折痕为DE ．若将∠B 沿EA'向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B'，则AB = ．第29 题第30 题30. 如图，矩形ABCD 中，AB =，BC = 12 ，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将∆AEF 沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是．31. 如图，在∆ABC 中，∠ABC = 45︒，AB = 3 ，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE =1．连接DE ，将∆AED 沿直线AE 翻折至∆ABC 所在的平面内，得∆AEF ，连接DF ．过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G ．则四边形DFEG 的周长为( )A．8 B．C．+ 4 D．+ 232. 形纸片ABCD 如图 2 那样折叠，使顶点B 与顶点D 重合，折痕为EF . 若AB , AD = 3 ，则∆DEF 的周长为.33. 如图（1）的矩形纸片折叠，B、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处，如图（2），已知∠MPN=90º，PM=3，PN=4，那么矩形ABCD 的周长为。
2019中考数学专题汇编全集 几何图形的折叠(10道)
几何图形的折叠1. 如图，在矩形ABCD中，把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕为AF.把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，则∠HAF＝________.第1题图45°【解析】由折叠的性质可得∠DAH＝∠GAH，∠BAF＝∠EAF，∵∠DAH＋∠GAH＋∠BAF＋∠EAF＝90°，∴2∠GAH＋2∠EAF＝90°，∴∠GAH＋∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°.2. 如图，把矩形纸片ABCD沿EF翻折，点A恰好落在BC边上的A′处，若AB＝3，∠EF A＝60°，则四边形A′B′EF的周长是________．第2题图5＋3【解析】由折叠知，∠EF A＝∠EF A′＝60°，又BC∥AD，∴∠A′EF＝∠EF A＝60°，∴△A′EF为等边三角形，∴A′F＝EF＝A′E，又∠B′A′F＝90°，∴∠B′A′E＝30°，∵AB＝A′B′＝3，∴B′E ＝1，A′E＝2，∴C四边形A′B′EF＝A′B′＋B′E＋A′F＋EF＝3＋1＋2＋2＝5＋ 3.3. (2018淄博)在如图所示的▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，将△ACD 沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，且AE过BC的中点O，则△ADE的周长等于________．第3题图10【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝2，又∵△ACE是由△ACD折叠而来，∴由折叠的性质可知AE＝AD＝3，CE＝CD＝2，∴△ADE的周长为3＋3＋2＋2＝10.4. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，BC边上有一点E，BE＝4，将纸片折叠，使A点与E点重合，折痕MN交AD于点M，则线段AM的长为________．第4题图132 【解析】如解图，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝∠B ＝90°，∴四边形ABFM 是矩形，∴BF ＝AM ，FM ＝AB ＝6，∵将纸片折叠，使A 点与E 点重合，折痕MN 交AD 于M 点，∴AM ＝ME ，设AM ＝x ，则EF ＝BF ＝x ，∴EF ＝x －4，在Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2，∴x 2＝(x －4)2＋62，解得x ＝132，∴AM ＝132.第4题解图5. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，cos B ＝34，点D 在BC 边上，将△ABD 沿直线AD 翻折得到△AED ，点B 的对应点为点E ，AE 与BC 边交于点F .若BD ＝2，那么EF ＝________.第5题图3215 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于点H , ∵AB ＝AC ＝8，cosB ＝34， ∴BH ＝6＝CH ，BC ＝12, 由折叠可得，BD ＝DE ＝2，∠E＝∠ABC ＝∠C ，AB ＝AE ＝6, 又∵∠AFC ＝∠DFE , ∴△AFC ∽△DFE , ∴DF AF ＝EF CF ＝DE AC ＝14.设EF ＝x ，则CF ＝4x ，AF ＝8－x , ∴DF＝14AF ＝2－14x , ∵BD ＋DF ＋CF ＝BC , ∴2＋2－14x ＋4x ＝12, 解得x ＝3215，∴EF ＝3215.第5题解图6. 如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF 折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为43且∠AFG ＝60°，GE ＝2BG ，则折痕EF 的长为________．第6题图2 【解析】∵∠AFG ＝60°，∴∠FGE ＝60°，∠GFE ＝∠DFE ＝60°，∴△EFG 为等边三角形，∵∠FGH ＝∠D ＝90°，∴在Rt △EGH 中，∠EGH ＝30°，∴GE ＝2EH ，GH ＝30tan EH ＝3EH ，∵GE ＝2BG ，∴EH ＝EC ＝BG ，∴CD ＝GH ＝3EH ＝3BG ，∴BC ＝BG ＋GE ＋EC ＝BG ＋2BG ＋BG ＝4BG ，∵S 矩形ABCD ＝43，∴BC ·CD ＝4BG ·3BG ＝43，∴BG ＝1，GE ＝2，∴EF ＝GE ＝2.7. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，CD 是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE.若DE∥AC，则AE的长为________．第7题图23【解析】∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD＝AD，∴∠B＝∠BCD，由折叠性质得BD＝DE，∠BCD＝∠DCE，∠B＝∠DEC，∴∠DEC＝∠DCE，∵DE∥AC，∴∠DEC＝∠ACE，∴∠DEC＝∠ACE＝∠BCD，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴∠B＝30°，∴AC＝AD＝DE，又∵DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形，∵CD ＝DE，∴四边形ACDE是菱形，∴AC＝AE，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝33BC＝33×6＝23，∴AE＝2 3.8. (2018襄阳)如图，将面积为322的矩形ABCD沿对角线BD 折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E.若BE＝2，则AP的长为__________．第8题图1623【解析】∵点A与点P关于BD对称，∴BD垂直平分AP ，∴∠1＋∠2＝90°，又∵∠3＋∠2＝90°，∴∠1＝∠3，在矩形ABCD 中，∠ABE ＝∠BAD ＝90°，∴△ABE ∽△DAB ，∴AD AB AB BE =，∵BE ＝2，∴AD ＝12AB 2，∵S 矩形ABCD ＝AB ·AD ＝AB ·12AB 2＝322，∴AB ＝4，AD ＝82，∴由勾股定理得BD ＝22AD AB +＝12，∵S 四边形ABPD ＝S 矩形ABCD ，∴12AP ·BD ＝322，∴AP ＝1623.第8题解图9. 如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 、DE ，将△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处．若AB ＝6，BE ∶EC ＝4∶1，则线段DE 的长为________．第9题图210 【解析】由矩形ABCD ，得∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ，AD ∥BC .由△DEC 沿线段DE 翻折，点C 恰好落在线段AE 上的点F 处，得△DFE ≌△DCE ，∴DF ＝DC ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∵DF ＝AB ，∠AFD ＝90°，∴∠AFD ＝∠B ，由AD ∥BC 得∠DAF ＝∠AEB ，∴在△ABE 和△DF A 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠DF AB AFD B DAF AEB ，∴△ABE ≌△DF A . ∵BE ∶EC＝4∶1，∴设CE ＝x ，BE ＝4x ，则AD ＝BC ＝5x ，由△ABE ≌△DF A ，得AF ＝BE ＝4x ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得DF ＝3x ，又∵DF ＝CD ＝AB ＝6，∴x ＝2，在Rt △DCE 中，DE ＝22DC CE +＝22＋62＝210.10. 如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝9，BC ＝6，在矩形边上有一点P ，且DP ＝3，将矩形纸片折叠，使点B 与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E ，F ，则EF 长为________．第10题图 62或210 【解析】①如解图①，当点P 在边CD 上时，∵PD ＝3，CD ＝AB ＝9，∴CP ＝BC ＝6，∵△EPF 由△EBF 折叠而来，∴PF ＝FB ，∠EPF ＝∠ABC ＝90°，又∵∠PEB ＝∠EBF ＝90°，∴四边形PFBE 是正方形，∴EF ＝62；②如解图②，当点P 在边AD 上时，过E 作EQ ⊥AB 于点Q ，∵PD ＝3，AD ＝6，∴AP ＝3，∴PB ＝AP 2＋AB 2＝310，∵EF 垂直平分PB ，∴∠FEQ ＋∠EFQ ＝∠PBA ＋∠EFQ ，∴∠FEQ ＝∠PBA ，∵∠A ＝∠EQF ，∴△ABP ∽△QEF ，∴PB FE ＝AB QE ，∴310FE ＝96，∴EF ＝210.综上所述，EF 长为62或210.第10题解图。
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2019年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与BC交于点 E，则点 D 的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（） A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A 重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 9 17.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。
若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（）A.2B.4C.D.二填空题:21.如图，矩形ABCD 的边长AB=8，AD=4，若将△DCB沿BD所在直线翻折，点C落在点F处，DF与AB交于点E. 则cos∠ADE = ．22.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为__________.23.将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°，则∠EFB= ．24.在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，点P是AC上的一个动点，过点P作EF垂直于AC交AD 于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，使点A落在点A'处，当△A'CD是直角三角形时，AP的长为 .25.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝______°。
26.如图，将矩形纸片ABC（D）折叠，使点（D）与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若，那么的度数为度。
27.如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M 是AD、BC边的上距DC最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N= （用含有n的式子表示）．28.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处.（1）矩形ABCD的面积= ；（2）当△CEB′为直角三角形时，BE= ．29.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为 .30.如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F 在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若=，则= 用含k的代数式表示）．31.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=6，点E是AD上一点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰落在∠ADC的平分线上时，DA1= ．32.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为．33.如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为DC边上的一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点刚好D落在矩形ABCD的对称轴上时，则DE的长为．34.如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△AEF沿EF折叠，使点A′在BC边上，当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动．则A′C的取值范围为．三简答题:35、长为1，宽为a的矩形纸片（＜a＜1），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．（I）第二次操作时，剪下的正方形的边长为；（Ⅱ）当n=3时，a的值为．（用含a的式子表示）36.问题情境：如图将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F 处，折痕EG分别交AB、CD于点E、G，FN与DC交于点M，连接BF交EG于点P.独立思考：（1）AE=_______cm，△FDM的周长为_____cm（2）猜想EG与BF之间的位置关系与数量关系，并证明你的结论.拓展延伸：如图2，若点F不是AD的中点，且不与点A、D重合：①△FDM的周长是否发生变化，并证明你的结论.②判断（2）中的结论是否仍然成立，若不成立请直接写出新的结论（不需证明）.37.长方形ABCD中，AD=10，AB=8，将长方形ABCD折叠，折痕为EF（1）当A′与B重合时（如图1），EF= ；（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上，同时F点也在线段AD 上，则A′在BC上的运动距离是；38.感知：如图①，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形ABCD内部的点F处，延长AF交CD于点G，连结FC，易证∠GCF=∠GFC．探究：将图①中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，如图②，判断∠GCF=∠GFC 是否仍然相等，并说明理由．应用：如图②，若AB=5，BC=6，则△ADG的周长为16 ．39.（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次的折叠基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D′处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．参考答案1、C2、A3、D4、C5、D6、B7、C8、B9、13 10、C 11、C 12、C；13、B 14、D 15、D 16、A 17、B 18、A 19、A 20、A 21、 22、 2 23、25°．24、2或 25、60°．26、125º27、 28、（1）48 （2） 3，629、6 30、 31、：2． 32、 33、或． 34、4cm≤A′C≤8cm ．35、1﹣a 或【考点】翻折变换（折叠问题）．【解答】解：由题意，可知当＜a＜1时，第一次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1﹣a，所以第二次操作时正方形的边长为1﹣a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1﹣a，2a﹣1．故答案为：1﹣a；此时，分两种情况：①如果1﹣a＞2a﹣1，即a＜，那么第三次操作时正方形的边长为2a﹣1．∵经过第三次操作后所得的矩形是正方形，∴矩形的宽等于1﹣a，即2a﹣1=（1﹣a）﹣（2a﹣1），解得a=；②如果1﹣a＜2a﹣1，即a＞，那么第三次操作时正方形的边长为1﹣a．则1﹣a=（2a﹣1）﹣（1﹣a），解得a=．故答案为：或．36、（1）3，16(2)EG⊥BF, EG=BF则∠EGH+∠GEB=90°由折叠知，点B、F关于直线GE所在直线对称∴∠FBE=∠EGH∵ABCD是正方形∴AB=BC ∠C=∠ABC=90°四边形GHBC是矩形，∴GH=BC=AB∴△AFB全等△HEG∴BF=EG(3)①△FDM的周长不发生变化由折叠知∠EFM=∠ABC=90°∴∠DFM+∠AFE=90°∵四边形ABCD为正方形，∠A=∠D=90°∴∠DFM+∠DMF=90°∴∠AFE=∠DMF∴△AEF∽△DFM∴设AF为x，FD=8-x∴∴FMD的周长=∴△FMD的周长不变②（2）中结论成立37、1）EF=10 （2）5（3）438、【解答】解：探究：∠GCF=∠GFC，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECG=180°，又∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴∠AFE=∠B，EF=BE，又∵∠AFE+∠EFG=180°，∴∠ECG=∠EFG，又∵点E是边BC的中点，∴EC=BE，∵EF=BE，∴EC=EF，∴∠ECF=∠EFC，∴∠ECG﹣∠ECF=∠EFG﹣∠EFC，∴∠GCF=∠GFC；应用：∵△AFE是由△ABE翻折得到，∴AF=AB=5，由（1）知∠GCF=∠GFC，∴GF=GC，∴△ADG的周长AD+AF+GF+GD=AD+AB+GC+GD=AD+AB+CD=6+5+5=16，故答案为：应用、16．39、【解答】解：（1）同意．如图，设AD与EF交于点G．由折叠知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．又由折叠知，∠AGE=∠DGE，∠AGE+∠DGE=180°，所以∠AGE=∠AGF=90°，所以∠AEF=∠AFE．所以AE=AF，即△AEF为等腰三角形．（2）由折叠知，四边形ABFE是正方形，∠AEB=45°，所以∠BED=135度．又由折叠知，∠BEG=∠DEG，所以∠DEG=67.5度．从而∠α=67.5°﹣45°=22.5°．。