高斯公式与斯托克斯公式
§3高斯公式与斯托克斯公式
§3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式都是数学中的重要公式，用于计算曲线、曲面和体积的积分。
本文将对高斯公式和斯托克斯公式进行详细介绍。
一、高斯公式高斯公式是数学中的一个定理，描述了矢量场在一个闭合曲面上的积分与矢量场的散度在整个包围该曲面的体积上的积分之间的关系。
设D为一个封闭的三维空间区域，其边界为S，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在D上的矢量场，其中P，Q和R在D上具有偏导数。
高斯公式的数学表达为：∫∫SF·dS=∭D∇·FdV其中∫∫S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇·F表示矢量场F的散度，∭D表示对区域D进行体积分，dV表示体积元素。
高斯公式提供了计算闭合曲面上矢量场的散度的方法，将曲面S上的面积分转化为闭合区间D内的体积分。
这个公式在电磁学和流体力学等领域中有广泛应用。
例如，在电磁学中，电通量是电场与闭合曲面之间的关系，可以利用高斯公式来计算。
斯托克斯公式是数学中的另一个定理，描述了矢量场环路积分与矢量场旋度在包含该环路的曲面上的面积分之间的关系。
设C为一个平面闭合曲线，其边界为曲线C，函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))为定义在包含C的曲面S上的矢量场，其中P，Q和R在S上具有偏导数。
斯托克斯公式的数学表达为：∮C F·dr = ∬S (∇×F)·dS其中∮C表示对闭合曲线C进行环路积分，dr表示路径元素，∬S表示对曲面S上的面积元素dS进行面积分，∇×F表示矢量场F的旋度。
斯托克斯公式提供了计算闭合曲线上矢量场的旋度的方法，将闭合曲线上的环路积分转化为包含该曲线的曲面上的面积分。
这个公式在电磁学和流体力学等领域中也有广泛应用。
例如，在电磁学中，安培环路定律描述了磁场与闭合曲线之间的关系，可以利用斯托克斯公式来计算。
高斯公式和斯托克斯公式_681302766
,
a2 − x2 − y2
x
zy =
−y a2 − x2 − y2
∫∫ I = [ a2 − x2 − y2 ⋅
−x
Dxy
a2 − x2 − y2
+ 2 a2 − x2 − y2 ⋅
−y
− y]dxdy
2009-4-3
a2 − x2 − y2
25
z
I = − ∫∫ ( x + 3 y)dxdy
D xy
dz
−
∂Z ∂x
dz^
dx
假设：S : z = z( x, y)二阶偏导连续 , 上侧
S的单位法向量 nv =
1+
1
z
2 x
+
z
2 y
(
−
z
' x
,
−
z
' y
,1)T
= (cos α , cos β , cos γ )T
∂S在 xoy 平面上的投影为 L∗ , L∗所围区域是 D xy
2009-4-3
2009-4-3
3
[证] 先证明第三项
∫∫
S外
Zdx^
dy
=
∫∫∫ Ω
∂Z ∂z
dV
z nv S2 : z = z2(x, y)
•
假设Ω如图所示
nv
∫∫∫ ∫∫ ∫ ∂Z dV= dxdy ∂Z z2 ( x, y) dz
Ω ∂z
D xy
∂z z1 ( x , y ) o
S3
nvS1 : z• = z1(x, y) y
验证斯托克斯公式的正 确性
∫L zdx + xdy + ydz
第六节高斯公式和斯托克斯公式
第六节高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式是微积分中的两个重要定理，是对向量场的积分定理，用于求解曲面和曲线上向量场的积分。
本文将介绍高斯公式和斯托克斯公式的定义、推导过程和应用。
一、高斯公式（Gauss's theorem）高斯公式又称为高斯散度定理，它是从向量微积分中的散度定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界闭区域，S是Ω的边界曲面，而n为S上的单位外法向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，高斯公式的数学表达式为：∬S(F·n)dS=∭ΩdivFdV其中，“S”表示对曲面S的积分，“∬”表示对曲面上的每个点都进行积分，“∭”表示对空间Ω中的每个点都进行积分，“div”表示F 的散度。
2.推导过程为了推导高斯公式，我们先考虑最简单的情况，即立方体的情况。
假设Ω是一个立方体，S是它的六个面，而n为各个面的单位外法向量。
我们将立方体按照坐标轴方向切割成一个个小的立方体，每个小立方体的体积为ΔV。
在每个小立方体上应用散度定理，可以得到：∬S(F·n)dS=Σi∆Si(F·ni)其中，Σi表示对立方体的所有小立方体求和，Si表示第i个小立方体的表面积，ni为第i个小立方体的单位外法向量。
我们知道，在Ω中每个小立方体的边长趋于零的极限过程中，散度div F趋于ΔV的比例的极限值就是div F在相应点处的函数值，即div FdV。
因此，当小立方体的数量趋于无穷大时，上式等于∭ΩdivFdV，从而得到了高斯公式的表达式。
3.应用高斯公式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁学和流体力学中。
例如，根据高斯公式，我们可以计算电荷的总电量和电场的密度分布等。
二、斯托克斯公式（Stokes's theorem）斯托克斯公式是从向量微积分中的环量定理演变而来。
1.定义设Ω是空间中的一块有界曲面，C是Ω的边界曲线，而n为曲面Ω上的单位法向量，t为曲线C上的单位切向量，则对于向量场F=(P,Q,R)，斯托克斯公式的数学表达式为：∫C(F·t)ds=∬Ω(rotF·n)dS其中，“C”表示对曲线C的积分，“∫”表示对曲线上的每个点都进行积分，“∬”表示对曲面Ω的每个点都进行积分，“rot”表示F的旋度。
高斯公式和斯托克斯公式
高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式：解读电磁场与物质相互作用的数学工具引言：电磁场与物质之间的相互作用是自然界中一种重要的现象。
为了描述和理解这种相互作用，科学家们发展了一系列的数学工具和公式。
本文将介绍两个重要的公式：高斯公式和斯托克斯公式。
这两个公式在电磁场与物质相互作用的研究中起着至关重要的作用。
一、高斯公式高斯公式是描述电场与电荷之间相互作用的数学工具。
它由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于19世纪初提出。
高斯公式的核心思想是电场线通过闭合曲面的总通量等于包围在曲面内的电荷量的比例。
具体而言，高斯公式可以用以下形式表示：∮E·dA=Q/ε₀其中，∮E·dA表示电场E在闭合曲面上的通量，Q表示曲面内的电荷量，ε₀是真空中的电介质常数。
高斯公式的应用非常广泛。
例如，在计算电场分布时，可以通过计算闭合曲面上的电场通量来确定曲面内的电荷分布情况。
同时，高斯公式也能够帮助我们理解电场与电荷之间的相互作用规律，揭示自然界中电磁现象的本质。
二、斯托克斯公式斯托克斯公式是描述磁场与电流之间相互作用的数学工具。
它由英国物理学家乔治·斯托克斯于19世纪中期提出。
斯托克斯公式的核心思想是磁场线沿闭合曲线的环绕的总磁通等于通过曲线所围成的面积的比例。
具体而言，斯托克斯公式可以用以下形式表示：∮B·ds=μ₀I其中，∮B·ds表示磁场B沿闭合曲线的环绕磁通，I表示通过曲线所围成的电流，μ₀是真空中的磁导率。
斯托克斯公式在磁场与电流相互作用的研究中起着重要的作用。
例如，在计算磁场分布时，可以通过计算闭合曲线上的磁场环绕磁通来确定曲线内的电流分布情况。
同时，斯托克斯公式也能够帮助我们理解磁场与电流之间的相互作用规律，深化对电磁现象的认识。
结论：高斯公式和斯托克斯公式是描述电磁场与物质相互作用的重要数学工具。
高斯公式用于描述电场与电荷的相互作用，斯托克斯公式用于描述磁场与电流的相互作用。
高斯公式和斯托克斯公式
Pdx
Qdy
Rdz
R y
Q z
dydz
P z
R x
dzdx
Q x
P y
dxdy
R y
Q z
cos
高等数学
高斯公式和斯托克斯公式
格林公式建立起了平面区域上的二重积分与其区域边界上的曲线积分 之间的关系．由此可推想，空间区域上的三重积分与其区域边界上的曲面 积分之间是否也有类似的关系呢？更进一步，重积分能转化成定积分进行 计算，那么曲面积分与曲线积分是否也可以呢？本节讨论的高斯公式和斯 克托斯公式将给出以上问题的答案．
3
3
3
111
333
ydx zdy xdz
x
y
z
1 1 1
dS
3
3
3
dS
3 dS．
yzx
1.2 斯托克斯公式
例 4
计算曲线积分
ydx zdy
xdz
，其中
x2 y2 : x yz
z2 a2 0，
，若从 z
轴正向看
去， 取逆时针方向．
因为平面 x y z 0 过原点，球 x2 y2 z2 a2 的球心在原点，所以它们的交线 是圆心在原点、半径为 a 的圆周，于是 的面积为 a2 ．根据对面积的曲面积分性质 3，
P z
R x
cos
Q x
P y
cos
dS
．
其中 cos ，cos ，cos 是 在点 (x ，y ，z) 处法向量的方向余弦．
高斯公式与斯托克斯公式-一、高-斯-公-式
P Q R
S S1
V
x
y
z
dV
(8 y 1 4 y 4 y)dV dV 2
V
V
2 (1 32)dzdx
S1 Dzx
32 , 故 I 2 ( 32 )
34 .
四、斯托克斯(stokes)公式
定理 设L为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以
L为边界的分片光滑的有向曲面，L的正向与S的
x 0 所成的曲面，其法向量与
y
轴正向夹角大于
.
2
解 旋转面S方程为:
y 1 z2 x2
y x2 z2 1,
欲求
2
I (8 y 1)xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy
S
作辅助面S1：y 3, x2 z2 2 取右侧.
I
S S1
S1
S1
h2dxdy h4 .
Dxy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
S
1 h4 h4 1 h4 .
2
2
例3 计算I 8 y 1 xdydz 2 1 y2 dzdx 4 yzdxdy,
S
其中S是由曲线
z
y 11 y 3绕 y轴旋转一周
S
为锥面x2 y2 z2介于平面z 0
及z hh 0之间的部分的下侧.
且S在点 x, y,z处的法向量的方
向余弦为cos , cos , cos .
解 曲面S 不是封闭曲面, 为利用高斯公式
补充 S1 : z h ( x2 y2 h2 ) S1取上侧，
S S1构成封闭曲面， S S1围成空间区域V . 在V 上使用高斯公式,
Dxy
根据曲面积分的计算法 S1取下侧,S2取上侧.
11.6高斯公式与斯托克斯公式
4. P,Q, R在上具有一阶连续偏导数.
例 2 计算曲面积分
( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) ds , 其 中 Σ 为
锥 面 x 2 y 2 z2介 于 平 面
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y
z)ds
( 在上x y z 3) 2
43
9
ds 2 3
3 2
Dxy
3dxdy
6
z
z 0及 z h(h 0)
之间的部分的下侧,
h
cos , cos , cos
是 Σ 在 ( x , y,z)处
的法向量的方向余弦.
o
y
x
解 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式
补充 1 : z h ( x2 y2 h2 ) 1 h
一 问题的提出
格林公式表达了平面区域上二重积 分与其边界曲线上的曲线积分之间的 关系。而在空间上，也有同样类似的 结论，这就是高斯公式，它表达了空 间区域上三重积分与区域边界曲面上 曲面积分之间的关系。
二 高斯公式
设空、Q( x, y, z)、R( x, y, z)在 上具有
高斯公式与斯托克斯公式
另一种形式
cos cos cos ds Pdx Qdy Rdz x y z P Q R
其中n {cos , cos , cos }
Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
(当Σ 是 xoy 面的平面闭区域时)
§3 高斯公式与斯托克斯公式
一、高 斯 公 式
设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数 P ( x , y , z ) 、Q ( x , y , z ) 、 R( x , y , z ) 在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式
P Q R ( )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z
例3 验证曲线积分
L
( y z )dx ( z x)dy ( x y)dz
与路径无关，并求被积 函数的原函数 u.
斯托克斯公式
特殊情形
格林公式
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的 三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧 z 的法向量之间符合右手规则.
1
n
y
0
D xy
1
x
1
例 2 计算曲线积分
( y 2 z 2 )dx ( z 2 x 2 )dy ( x 2 y 2 )dz
h
cos , cos , cos 是Σ 在( x , y , z ) 处
的法向量的方向余弦.
o
y
x
二、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线 , 是以
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P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 lim M V
P Q R M x y z 此式反应了流速场在点M 的特点: 其值为正,负或 0, 分别反映在该点有流体涌出, 吸入, 或没有任何变化.
1 f x f y
1 f x f y
cos fy cos
©
P P cos cos d S 因此 P d x y z cos P P cos cos d S z y P P dzdx d xd y z y Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z x z R R R d x y d y d z x d z d x
(2x z)dydz zdxdy ,
其中 为有向曲面
解:设 P 2 x z， Q 0，R z
P 2 x
Q 0 y
R 1 z
2 2
为了用高斯公式,补面 1 : z 1, ( Dxy : x y 1)下侧． 设 与 1 围成立体 由高斯公式, 则
2 1 3
Dx y
3 1
y
x
R d x d y R d x d y
R( x, y, z 2 ( x, y ))dxdy R( x, y, z1 ( x, y )) d xdy
Dx y Dx y
©
R 所以 z d x d y d z R d x d y 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . P d x d y d z Pd y d z 类似可证 x Q y d x d y d z Qd z d x 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： P Q R x y z d x d ydz P d y d z Q d z d x R d xdy
A n d S 为向量场 A 通过
P Q R 记作 div A x y z
称为向量场 A 在点 M 的散度.
©
说明: 由引例可知, 散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
为确定起见, 不妨设 取上侧 (如图).
©
y C
则
P d x C P( x, y, z( x, y)) d x
P( x, y, z ( x, y )) d x d y (利用格林公式) Dx y y n P P z z d xd y Dx y y z y P P o f y cos d S y y D z xy x C fy 1 cos , cos , 2 2 2 2
©
例+. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
1 1
d x d ydz (1) ( x ) d x d y
13 12
2
o
x
1y
2
0
d
0
1
Dxy
dr
2 0
cos d
2
©
在闭区域 上具有一阶和 v 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 Pu 2 2 2 x v v v d x d y d z v u x2 y 2 z 2 Qu y v v v v u cos cos cos d S Ru y z x z u v u v u v d x d y d z x x y y z z 其中 是整个 边界面的外侧. P Q R 分析: 高斯公式 x y z d x d ydz
I ( x 3 z x) d y d z x 2 yz d z d x x 2 z 2 d x d y. z 解: 作取下侧的辅助面 2 2 2 ( x , y ) D : x y 1 1 : z 1 xy 1 用极坐标 1 I 用柱坐标
©
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向 曲面, 其单位法向量 n, 则称
有向曲面 的通量(流量) .
在场中点 M(x, y, z) 处
第六节
第十章
高斯公式 通量与散度
Green 公式
推广
Gauss 公式
一、高斯公式 二、通量与散度 三、斯托克斯公式 四、环流量与旋度
©
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲
面 所围成, 的方向取外侧, 函数 P, Q, R 在 上有连续的一阶偏导数 , 则有
(2x z)dydz zdxdy
©
例1续
1 1
(2 x z )dydz zdxdy
1
(2 1)dv 1dxdy
3 dz
0
1
x2 y2 z
dxdy dxdy
v v v u cos cos cos d S x y z
移项即得所证公式.(见同济 P171)
©
二、通量与散度 引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
2 : z z2 ( x, y ), 则 z R z2 ( x, y ) R xd y dz z d x d y d z Dxd z1 ( x , y ) z y
Dx y
2
R ( x , y , z 2 ( x, y ) )
R( x, y, z1 ( x, y ) ) d x d y
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
div v 0
故它是无源场.
©
三、 斯托克斯( Stokes ) 公式
定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线, 的
公式就是格林公式,故格林公式是斯作:
9 d rd r (r sin z ) d z 0 0 0 2 思考: 若 改为内侧, 结果有何变化? 若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
2 1 3
©
(r sin z )r dr d d z
o 1 x
y
例1 计算
z x2 y 2 , (0 z 1) 的上侧．
记， 1 所围区域为, 则
I (
1 1
在 1 上 , 0 2
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
2
xy
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
©
I 2 ( x y z ) d xdydz
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0