高中数学人教A版选修2-3练习：1.2.2.1组合与组合数公式Word版含解析.docx
学业分层测评
(建议用时： 45 分钟 )
[学业达标 ]
一、选择题
1．以下四个命题，属于组合问题的是 (
)
A ．从 3 个不同的小球中，取出 2 个排成一列
B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C ．在电视节目中，主持人从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星
D ．从 13 位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
【解析】 从 100 位幸运观众中选出 2 名幸运之星， 与顺序无关， 是组合问
题．
【答案】
C
2．某新农村社区共包括 8 个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个
村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条数为
()
A ．4
B ．8
C ．28
D ．64
【解析】
由于 “村村通 ” 公路的修建，是组合问题．故共需要建
C 82＝28
条公路．
【答案】
C
3．组合数 C n r
(n>r ≥1，n ，r ∈N )恒等于 (
)
r ＋1 r － 1
r － 1
A.n ＋1C n － 1
B ．(n ＋ 1)(r ＋1)
C n －1
r － 1
n r － 1
C ．nrC n －1
D. r C n － 1
【解析】
n r － 1 n
· －
n － 1 ！ ！＝
n ！
r
r C n －
1＝ r
1
！ －
r
！ －
r ！＝C n .
r n r
n
【答案】
D
2
5x － 5
)
4．满足方程 Cx － x 16＝C 16 的 x 值为 (
A ．1,3,5，－ 7
B ．1,3
C．1,3,5D．3,5
【解析】依意，有 x2－ x＝ 5x－5 或 x2－x＋5x－ 5＝ 16，解得 x＝1 或 x ＝5； x＝－ 7 或 x＝3，知，只有 x＝ 1 或 x＝3 符合意．【答案】 B 5．异面直 a，b 上分有 4 个点和 5 个点，由 9 个点可以确定的平面个
数是 ()
A．20B．9
C．C93D．C42C51＋C52C41
【解析】分两：第 1 ，在直 a 上任取一点，与直b 可确定 C41个
平面；第 2 ，在直 b 上任取一点，与直 a 可确定 C15个平面．故可确定 C14＋C15＝9 个不同的平面．
【答案】B
二、填空
6．C03＋ C14＋C25＋⋯＋ C1821的等于 ________．
【解析】原式＝ C04＋C14＋ C25＋⋯＋ C1821＝C15＋C52＋⋯＋ C1821＝C1721＋C1821＝C1822＝C422＝ 7 315.
【答案】 7 315
7．集合 A＝{ a1，a2， a3，a4， a5} ，集合 A 中含有 3 个元素的子集共有
________个．
【解析】从 5 个元素中取出 3 个元素成一就是集合 A 的子集，共3
有 C5＝ 10 个子集．
【答案】10
8．10个人分成甲、乙两，甲 4 人，乙 6 人，不同的分种数
________．(用数字作答)
【解析】从 10 人中任出 4 人作甲，剩下的人即乙，是
合，共有C410＝ 210 种分法．
【答案】210
三、解答
9．从 1,2,3,4,5,6 六个数字中任 3 个后得到一个由三个数成的最小三
位数，可以得到多少个不同的的最小三位数？
【解】 从 6 个不同数字中任选 3 个组成最小三位数， 相当于从 6 个不同元
素中任选 3 个元素的一个组合， 故所有不同的最小三位数共有
C 63＝6×5×4＝20 3×2×1 个．
1
1
7
10． (1)求式子 C 5x
－ C 6x
＝10C 7x
中的 x ；
(2)解不等式 C
m －1 m
8 >3C .
8
【解】
x ！ 5－x ！ x ！ 6－x ！ 7·x ！ 7－x ！
，∵
(1)原式可化为： 5！ － 6！ ＝
10·7！
0≤x ≤5，∴ x 2
－ 23x ＋42＝ 0，
∴x ＝21(舍去 )或 x ＝2，即 x ＝2 为原方程的解．
8！ 3×8！
，
(2)由
m －1 ！ 9－m ！ >
m ！ 8－m ！
1 3
得9－m >m ，∴ m>27－ 3m ，
27 1 ∴m> 4 ＝ 7－ 4.
又∵ 0≤ m － 1≤ 8，且 0≤m ≤ 8， m ∈ N ，
即 7≤ m ≤ 8，∴ m ＝7 或 8.
[能力提升 ]
1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所
有线段在圆内的交点有 (
)
A ．36 个
B ．72 个
C ．63 个
D ．126
个
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形， 所有四边形的对
角线交点个数即为所求，所以交点为
4
C 9＝126 个．
【答案】 D
2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型
电视机各 1 台，则不同的取法共有 (
) 【导学号： 97270017】
A ．140 种
B ．84 种
C ．70 种
D ．35 种
1
2
【解析】 可分两类：第一类，甲型 1 台、乙型 2 台，有 C 4·
5＝ 4×10＝40(种)
C
取法，第二类，甲型 2 台、乙型 1 台，有 C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种
不同的取法．
【答案】C
3．对所有满足 1≤ m<n≤5 的自然数 m，n，方程 x2＋C m n y2＝ 1 所表示的不同椭圆的个数为 ________．
【解析】∵1≤ m<n≤5，所以 C m n可以是 C12，C31， C23，C14， C42，C43，C51，C25，C35，C45，其中 C13＝ C23，C14＝ C34，C15＝C45，C25＝C35，∴方程 x2＋C m n y2＝ 1 能表示的不同椭圆有 6 个．
【答案】6
m n m
4．证明： C n＝n－m C n－1.
n m n n－1 ！
【证明】C n－1＝·
n－m n－m m！ n－1－m ！
n！m
＝C n.
＝
m！ n－m ！
高中数学学习技巧：
在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
重视基础题和领悟数学思想方法，多做综合题目。
人教版高中数学选修2-3练习第一章1.2-1.2.2第1课时组合与组合数公式 Word版含解析
第一章计数原理排列与组合组合第课时组合与组合数公式级基础巩固一、选择题．已知平面内、、、这个点中任何点均不共线，则由其中任意个点为顶点的所有三角形的个数为( )．．．．解析：＝＝.答案：．集合＝{＝，是非负整数}，集合＝{，，，}，则下列结论正确的是( )．∪＝{，，，，} ．．⊆．∩＝{，}解析：依题意，中，可取的值为，，，，所以＝{，，}，所以∩＝{，}．答案：．下列各式中与组合数(≠)相等的是( )！) 解析：因为＝·＝，所以选项正确.．解析：因为＝·＝，所以选项正确.答案：．＋＋＋…＋＝( )．．．．解析：原式＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝…＝＋＝.答案：．个代表分张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )．种．种．种．种解析：由于张同样的参观券分给个代表，每人最多分一张，从个代表中选个即可满足，故有种．答案：二、填空题．名志愿者中安排人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排人，则不同的安排方案共有种(用数字作答)．解析：第一步安排周六有种方法，第二步安排周日有种方法，所以不同的安排方案共有＝(种)．答案：．按血型系统学说，每个人的血型为、、、四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是型时，子女一定不是型，若某人的血型为型，则父母血型所有可能情况有种．解析：父母应为、或，＝(种)．答案：．从一组学生中选出名学生当代表的选法种数为，从这组学生中选出人担任正、副组长的选法种数为，若＝，则这组学生共有人．解析：设有学生人，则)＝，解之得＝.答案： 三、解答题答案：三、解答题。
高中数学人教A版高二选修2-3教学案：1.2.2_第一课时_组合与组合数公式_Word版含解析
1．2．2组合第一课时组合与组合数公式预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？[新知初探]1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念、公式、性质[点睛]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23．()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C28＋C38＋C29＝________．答案：120组合的概念[典例]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？(2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？(3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？(4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？[解](1)因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．(2)因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题．(4)因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信； (4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题． (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题．有关组合数的计算与证明[典例] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)证明：m C m n ＝n C m －1n －1．[解] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)证明：m C m n＝m ·n ！m ！(n －m )！ ＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n 进行计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[活学活用]1．计算：C 38－n 3n ＋C 3n n ＋21的值．解：∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9．5≤n ≤10．5．∵n ∈N *，∴n ＝10．∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466． 2．求使3C x －7x －3＝5A 2x －4成立的x 值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，即3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解得x ＝11或x ＝－2． 经检验知x ＝11时原式成立． 3．证明下列各等式． (1)C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (2)C 0n ＋C 1n ＋1＋C 2n ＋2…＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ．解：(1)右边＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！[(n ＋1)－(m ＋1)]！＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ＝左边，∴原式成立．(2)左边＝(C 0n ＋1＋C 1n ＋1)＋C 2n ＋2＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 1n ＋2＋C 2n ＋2)＋C 3n ＋3＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C 2n ＋3＋C 3n ＋3)＋…＋C m －1n ＋m －1＝(C3n ＋4＋C 4n ＋4)＋…＋C m －1n ＋m －1＝…＝C m －2n ＋m －1＋C m －1n ＋m －1＝C m －1n ＋m ＝右边，∴原式成立．简单的组合问题[典例] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果． [活学活用]一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球． (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解：(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C 38＝8×7×63×2×1＝56．(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C 27＝7×62×1＝21． (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C 37＝7×6×53×2×1＝35．层级一 学业水平达标1．C 58＋C 68的值为( )A ．36B ．84C ．88D ．504解析：选A C 58＋C 68＝C 69＝C 39＝9×8×73×2×1＝84． 2．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地解析：选C 选项A 是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B 是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C 是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D 是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的．选C ．3．方程C x 14＝C 2x －414的解集为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆( )A ．220个B ．210个C ．200个D ．1 320个解析：选A C 312＝220，故选A ．5．从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．10种解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C 25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C 23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C 25·C 23＝30种．故选C ．6．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________． 解析：原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821 ＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315．答案：7 3157．若已知集合P ＝{1,2,3,4,5,6}，则集合P 的子集中含有3个元素的子集数为________．解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C 36＝20种．答案：208．不等式C 2n －n <5的解集为________．解析：由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0．解得－2<n <5．由题设条件知n ≥2，且n ∈N *， ∴n ＝2,3,4．故原不等式的解集为{2,3,4}． 答案：{2,3,4}9．(1)解方程：A 3m ＝6C 4m ； (2)解不等式：C x －18>3C x 8．解：(1)原方程等价于m (m －1)(m －2)＝6×m (m －1)(m －2)(m －3)4×3×2×1，∴4＝m －3，m ＝7．(2)由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≤8，x ≤8，∴x ≤8，且x ∈N *，∵C x －18>3C x8，∴8！(x －1)！(9－x )！>3×8！x ！(8－x )！．即19－x>3x ，∴x >3(9－x )，解得x >274，∴x ＝7,8．∴原不等式的解集为{7,8}．10．某区有7条南北向街道，5条东西向街道．(如图)(1)图中有多少个矩形？(2)从A 点走向B 点最短的走法有多少种？解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C 27·C 25＝210(个)．(2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A 到B 最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C 610＝C 410＝210(种)走法．层级二 应试能力达标1．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是( )A ．{6,7,8,9}B ．{0,1,2,3}C ．{n |n ≥6}D ．{7,8,9}解析：选A∵C 4n >C 6n，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6.⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6. ∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9． ∴n 的集合为{6,7,8,9}．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B 由题意，不同的放法共有C 13C 24＝3×4×32＝18种． 3．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( ) A ．60种 B ．63种 C ．65种D ．66种解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C 44＝1种，取2奇数2偶数的取法有C 24·C 25＝60种，取4个数均为奇数的取法有C 45＝5种，故不同的取法共有1＋60＋5＝66种．4．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A ．18对B ．24对C ．30对D ．36对解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C 46－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．5．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －116＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5．答案：{5}6．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C 58．(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 48·C 23．故不同买法种数为C 58＋C 48·C 23＝266． 答案：2667．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值． 解：由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2·n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0， 解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91．8．已知集合A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{0,1,2,3}，f 是从A 到B 的映射． (1)若B 中每一元素都有原象，则不同的映射f 有多少个？ (2)若B 中的元素0无原象，则不同的映射f 有多少个？(3)若f 满足f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＋f (a 4)＝4，则不同的映射f 又有多少个？ 解：(1)显然映射f 是一一对应的，故不同的映射f 共有A 44＝24个．(2)∵0无原象，而1,2,3是否有原象，不受限制，故A 中每一个元素的象都有3种可能，只有把A 中每一个元素都找出象，这件工作才算完成，∴不同的映射f 有34＝81个．(3)∵1＋1＋1＋1＝4,0＋1＋1＋2＝4,0＋0＋1＋3＝4，0＋0＋2＋2＝4，∴不同的映射有：1＋C 24A 22＋C 24A 22＋C 24＝31个．。
高中数学人教A版选修2-3教案：1.2.1排列第一课时 Word版含解析
1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。
最新高中数学：选修2-3人教A全册课时同步练习及解析 第1章1.2.1第二课时同步训练及解析
人教A高中数学选修2-3同步训练1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A14种，十位和百位从余下的数字中选，有A24种，于是有A14×A24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A14×A24(个)．由分类加法计数原理得：共有A35＋2A14×A24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A45个；第二类：个位上为5的五位数有A14×A34(个)，故满足条件的五位数共有A45＋A14×A34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3，4，5，共有A14×A35 (个)；第二类：形如14，15，共有A12×A24(个)；第三类：形如134，135，共有A12×A13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A14×A35＋A12×A24＋A12×A13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一种元素与其余5人全排，有A66种排法，所以有不同站法A22×A66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A44种，所以共有不同站法A33×A44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A44种，而由高到低有从左到右和从＝420(种)．右到左的不同，所以共有不同站法2×A77A44(4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A12×A14×A55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A14×A24×A44种站法，所以共有不同站法A12×A14×A55＋A14×A24×A44＝960＋1152＝2112(种)．。
高中数学人教A版选修2-3教学案1.2.2 第一课时 组合与组合数公式 Word版含解析
．．组合第一课时组合与组合数公式预习课本～，思考并完成以下问题．组合的概念是什么？．什么是组合数？组合数公式是怎样的？．组合数有怎样的性质？．组合的概念)个元素从个不同的元素中取出(≤，叫做从个不同元素中取出个元素的一个合成一组组合．．组合数的概念、公式、性质[点睛] 排列与组合的联系与区别联系：二者都是从个不同的元素中取(≥)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()从，，三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是．( )()从中任取两个数相乘可得个积．( )()与是同一个组合．( )()＝××＝．( )答案：()× ()√ ()√ ()×．＝，则的值为( )． ． ． ．答案：．从名学生中选出名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( )．种 ．种 ．种．种答案：．计算＋＋＝．答案：错误!组合的概念[典例] 判断下列问题是组合问题还是排列问题：()设集合＝{，，，，}，则集合的子集中含有个元素的有多少个？ ()某铁路线上有个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ ()人去干种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ ()把本相同的书分给个学生，每人最多得本，有几种分配方法？ [解] ()因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．()因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．()因为分工方法是从种不同的工作中取出种，按一定次序分给个人去干，故是排列问题． ()因为本书是相同的，无论把本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题．区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[活学活用]。
2019-2020学年数学人教A版选修2-3检测：1.2.2.1组合与组合数公式
1.2.2组合第一课时组合与组合数公式填一填1.组合及组合数的定义(1)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．2．组合数公式及其性质公式展开式C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘式C m n＝n！m！(n－m)！性质性质1C m n＝C n－mn性质2C m n＋1＝C m n＋C m－1n备注①n，m∈N*且m≤n；②规定：C0n＝1判一判判断(1．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.(√) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(√)3．C35＝5×4×3＝60.(×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.(√)5．10个人相互写一封信，共写出了C210封信．(×)6．10个人相互通一次电话，共通了A210电话．(×)7．从10个人中选3人去开会，有C310种选法．(√)8．从10个人中选出3人担任不同学科的科代表，有A310种选法．(√)想一想1.提示：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，这是排列，组合的共同点；它们的不同点是：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．2．“abc ”和“acb ”是相同的排列还是相同的组合？提示：由于“abc ”与“acb ”的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc ”与“acb ”是相同的组合，但不是相同的排列．3．我们知道，“排列”与“排列数”是两个不同的概念，那么，“组合”与“组合数”是同一个概念吗？为什么？提示：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，“组合”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．4．两个组合是相同组合的充要条件是什么？提示：只要两个组合中的元素安全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． 5．判断组合与排列的依据是什么？提示：判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．思考感悟：练一练1.(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？解析：(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的． (3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．2．求值：3C 38－2C 25.解析：3C 38－2C 25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148. 3．求值：C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310.解析：利用组合数的性质C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n， 则C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 310－C 44＝ … ＝C 411－1＝329.4．求值：C 5－n n ＋C 9－nn ＋1.(提示：先求n 的范围，再确立n 的值进而求值)解析：⎩⎪⎨⎪⎧5－n ≤n ，5－n ≥0，9－n ≤n ＋1，9－n ≥0，解得4≤n ≤5.又因为n ∈N *，所以n ＝4或n ＝5.当n ＝4时，原式＝C 14＋C 55＝5.当n ＝5时，原式＝C 05＋C 46＝16.知识点一组合的概念1.(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票价？(往返票价相同)(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ 在上述问题中，哪些是组合问题？哪些是排列问题？解析：(1)飞机票与起点、终点有关，有顺序，是排列问题． (2)票价与起点、终点无关，没有顺序，是组合问题． (3)3人分别担任三个不同职务、有顺序，是排列问题． (4)3人参加某项相同劳动，没有顺序，是组合问题.知识点二 组合数公式2.计算：C 581007解析：原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006. 3．下列计算结果为21的是( )A ．A 24＋C 26B ．C 37C ．A 27D ．C 27解析：C 27＝7×62×1＝21. 答案：D知识点三 组合数性质4.C 05＋C 15＋5555解析：原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋5×42×1＝32. 5．证明：C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C m n ＝C m ＋1n ＋2.解析：法一：左边＝n ！(m ＋1)！(n －m －1)！＋n ！(m －1)！(n －m ＋1)！＋2n ！m ！(n －m )！＝n ！(m ＋1)！(n －m ＋1)！[(n －m )(n －m ＋1)＋m (m ＋1)＋2(m ＋1)(n －m ＋1)] ＝n ！(m ＋1)！(n －m ＋1)！(n ＋2)(n ＋1) ＝(n ＋2)！(m ＋1)！(n －m ＋1)！ ＝C m ＋1n ＋2＝右边，原结论得证．法二：利用公式C m n ＝C m n －1＋C m －1n －1推得左边＝(C m ＋1n ＋C m n )＋(C m n ＋C m －1n )＝C m ＋1n 1＋C m n 1＝C m ＋1n 2＝右边.知识点四6.6解析：每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C 26＝15次．7．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名． (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解析：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种． (2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C 26种方法； 第2类，选出的2名是女教师有C 24种方法．根据分类加法计数原理，共有C 26＋C 24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C 26种，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C 26×C 24＝6×52×1×4×32×1＝90种．基础达标一、选择题1．以下四个命题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地解析：只有从100位幸运观众选出2位幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 答案：C2．计算C 28＋C 38＋C 29等于( )A ．120B ．240C ．60D ．480解析：∵C m －1n ＋C m n ＝C mn ＋1，∴原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120. 答案：A3．如果C 2n＝28，则n 的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6解析：∵C 2n ＝n (n －1)2， ∴n (n －1)2＝28，即n 2－n －56＝0，解得n ＝8.答案：B4．(C 2100＋C 97100)÷A 3101的值为( ) A ．6 B ．101 C.16 D.1101解析：(C 2100＋C 97100)÷A 3101＝(C 2100＋C 3100)÷A 3101＝C 3101÷(C 3101A 33)＝1A 33＝16.5．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )A ．C 310种B ．A 310种C ．A 13A 27种D ．C 13C 27种解析：每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C 13种选法；第二步，选男工，有C 27种选法．故共有C 13C 27种不同的选法．答案：D6．方程C x 14＝C 2x －414的解为( )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －42x －4≤14x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)2x －4≤14x ≤14解得x ＝4或6.故选C.答案：C7．从一个正方体的顶点中选四个点，可构成四面体的个数为( ) A ．70 B ．64 C ．58 D ．52解析：四个顶点共面的情况有6个表面和6个对角面，共12个，所以组成四面体的个数为C 48－12＝58.故选C 项．答案：C 二、填空题8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)解析：先选甲组有C 410，再选2组C 66，不同分组方法有C 410·C 66＝210种． 答案：2109．若A 3n ＝12C 2n ，则n ＝________.解析：因为A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)．又n ∈N *，且n ≥3，所以n ＝8.答案：810．若C m －1n ：C m n ：C m ＋1n＝3：4：5，则n －m ＝________. 解析：由题意知⎩⎨⎧C m －1nC m n ＝34，CmnCm ＋1n＝45，由组合数公式得⎩⎪⎨⎪⎧ 3n －7m ＋3＝0，9m －4n ＋5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝62，m ＝27.所以n －m ＝62－27＝35.答案：3511．不等式C 2n－n <5的解集为________． 解析：由C 2n－n <5，得n (n －1)2－n <5，∴n 2－3n －10<0，解得－2<n <5.由题设条件知n ≥2，且n ∈N *，∴n ＝2,3,4.故原不等式的解集为{2,3,4}．答案：{2,3,4}12．某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A 地到东北角B 地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走．因此，从A 地到B 地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有C 49C 55＝126(种)走法，故从A 地到B 地的最短路线共有126条．答案：126 三、解答题13．试判断下列问题是组合问题还是排列问题．(1)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成同一件工作，有多少种不同的选法？ (2)从a 、b 、c 、d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？ (3)a 、b 、c 、d 四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？ (4)a 、b 、c 、d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？ 解析：(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题． (2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题． (4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．14．(1)解方程：C x －2x ＋2＋C x －3x ＋2＝110A 3x ＋3； (2)解不等式：1C 3x －1C 4x <2C 5x.解析：(1)原方程可化为C x －2x ＋3＝110A 3x ＋3， 即C 5x ＋3＝110A 3x ＋3， ∴(x ＋3)！5！(x －2)！＝(x ＋3)！10·x ！， ∴1120(x －2)！＝110·x (x －1)·(x －2)！， ∴x 2－x －12＝0，解得x ＝4或x ＝－3， 经检验知，x ＝4是原方程的解．(2)将原不等式化简可以得到6x (x －1)(x －2)－24x (x －1)(x －2)(x －3)<240x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4). 由x ≥5，得x 2－11x －12<0，解得5≤x <12. ∵x ∈N *，∴x ∈{5,6,7,8,9,10,11}.能力提升15.设x ∈N *，求Cx －12x －3＋x ＋1解析：由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥x －1，x ＋1≥2x －3，解得2≤x ≤4.∵x ∈N *，∴x ＝2或x ＝3或x ＝4.当x ＝2时原式的值为4；当x ＝3时原式的值为7； 当x ＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.16．某足球赛共32支球队有幸参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队再分成8个小组决出8强，8强再分成4个小组决出4强，4强再分成2个小组决出2强，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次足球赛共进行了多少场比赛？解析：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有C24＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，16强分成8组，每组两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强再分成4组，每组两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，4强再分成2组，每组两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支队比赛1场，决出第三、四名，共有2场．综上，共有48＋8＋4＋2＋2＝64场比赛．。
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1.2.3 组合（一）
课前导引
问题导入
问题：（1）从1，3，5，7中任取两个数相除，可以得到多少个不同的商？
（2）从1，3，5，7中任取两个数相乘，可以得到多少个不同的积？
以上两个问题有何区别？
知识预览
1.组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
说明：
(1)对“取出”的理解：从n个不同元素中取出m个元素是指，一次取出m个具体的元素构成的一个组合.
(2)组合的实质：所谓组合是把几个事物放在一起，不计顺序，而且事物之间两两不同，当做一个组.组合的概念与集合类似，一个组合和一个集合都由其元素唯一确定.
(3)如果两个组合中的元素完全相同，那么不管它们的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，既使只有一个元素不同，就是不同的组合.
2.组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数叫做从n个不同元素中
C表示.
取出m个元素的组合数，用符号m
n
说明：“组合”与“组合数”是两个不同的概念，一个组合不是一个数，而是具体的一件事，而组合数是一个数.。
人教A版高中数学选修2-3课件 1.2.2.1组合与组合数公式课件
5!
6!
10 7!
化简得 m (7－m)(6－m),
6
60
即m2-23m+42=0，
解得m=2或m=21，
又因为0≤m≤5且m∈N*，
所以m=2.
答案：2
【常见误区】
错解
错因剖析
2或 忽视阴影处组合数中m的限制条件0≤m≤5且 21 m∈N*，而导致错误
【防范措施】 1.限制条件的挖掘 对题目中涉及组合数的参数，要认真分析，找出 其限制条件，如本例中0≤m≤5且m∈N*的限制. 2.公式与性质的灵活运用 对组合数公式的两种形式及两个性质的灵活运用， 在解题过程中往往起到关键的作用，如本例选用 阶乘式比选用乘积式要简单多.
同选法种数是
______.(2)
C18 20
=______.(3) C399 C929
＝______.
【解析】(1)由组合数公式知
C36
65 4 20. 3 2 1
答案：20
(2)
C18 20
C220
20 19 21
190.
答案：190
(3)
C399 C929＝C1300
1009998 161 700. 3 2 1
1.2.2 组合 第1课时 组合与组合数公式
问 1.组合的概念是什么？ 题 2.什么是组合数？组合数公式是怎样的？如何 引 推导？ 航 3.组合数有怎样的性质？
1.组合的定义 从n个不同的元素中取出m(n≥m)个元素 _合__成__一__组__，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合.
2.组合数的概念、公式、性质
在解题中要注意灵活运用.
2.组合数的两个性质及其关注点
性质1：Cmn
2020-2021学年人教A版数学选修2-3学案：1.2.2第一课时 组合与组合数公式含解析
1．2.2组合第一课时组合与组合数公式内容标准学科素养1.理解组合及组合数的概念．2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题. 利用数据分析发展数学建模提升数学运算[基础认识]知识点一组合的概念预习教材P21－22，思考并完成以下问题(1)什么叫排列？排列数公式是什么？提示：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．那么从n个不同元素中取出m个元素并成一组，如何计算呢？(2)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法．(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？提示：(2)一种选法就是两人的一个排列，共有A23个排列．因此共有A23种选法．(3)一种选法就是两人的一组，共有甲乙、甲丙、乙丙3种选法．知识梳理组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．思考：(1)排列与组合有什么区别？(2)两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？提示：(1)排列与组合都是从n个不同元素中取出m个不同元素；不同之处是组合选出的元素没有顺序，而排列选出的元素是有顺序的．组合是选择的结果，排列是先选再排的结果．(2)两个相同的排列需元素相同且元素排列顺序相同．两个相同的组合是只要元素相同，不看元素顺序如何．知识点二组合数的概念及公式预习教材P23－25，思考并完成以下问题前面已经提到，组合与排列有相互联系，我们能否利用这种联系，通过排列数A m n来求出组合数C m n呢？提示：求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可看作由以下2个步骤得到的：第1步，从这n个不同元素中取出m个元素，共有C m n种不同的取法；第2步，将取出的m个元素做全排列，共有A m m种不同的排法．根据分步乘法计数原理，有A m n＝C m n·A m m.知识梳理1.组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．2．组合数公式组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．若C2n＝28，则n的值为()A．9B．8C．7 D．6答案：B2．计算：C35＝________，C25＝________，C26＝________，C46＝________.答案：10101515授课提示：对应学生用书第12页探究一组合概念的理解[阅读教材P25练习1]甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，列出：(1)所有各场比赛的双方；(2)所有冠亚军的可能情况．解析：(1)所有各场比赛的双方为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁．(2)所有冠亚军的可能情况：甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、甲丁、丁甲、乙丙、丙乙、乙丁、丁乙、丙丁、丁丙．[例1]判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？ (4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？[解析](1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A 210＝90. (2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C 210＝45.(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C 210＝45. (4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C 310＝120. (5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A 310＝720. 方法技巧排列、组合问题的判断方法(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪探究1.判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果． (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？解析：(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)．探究二组合数公式的应用[阅读教材P 25练习5]计算并用计算器验证结果：(1)C 26；(2)C 38；(3)C 37－C 26；(4)3C 38－2C 25. 解析：(1)C 26＝A 26A 22＝6×51×2＝15.(2)C 38＝A 38A 33＝8×7×61×2×3＝56. (3)C 37－C 26＝A 37A 33－A 26A 22＝7×6×51×2×3－6×51×2＝35－15＝20. (4)3C 38－2C 25＝3×56－20＝148. [例2] (1)计算C 410－C 37·A 33； (2)求证：C m n ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1； (3)解不等式C 4n ＞C 6n .[解析](1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0. (2)证明：因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！ ＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ， 左边＝C m n ，所以左边＝右边，所以原式成立．(3)由C 4n ＞C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！＞n ！6！(n －6)！，n ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10＜0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1＜n ＜10，n ≥6， 又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}． 方法技巧1.组合数公式C m n ＝n n －1n －2…n －m ＋1m ！一般用于计算，而组合数公式C m n ＝n ！m ！n －m ！一般用于含字母的式子的化简与证明． 2．要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C m n 的隐含条件为m ≤n ，且m ，n ∈N *.3．计算时应注意利用组合数的两个性质：(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n. 跟踪探究2.(1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32017的值为( )A．C42017B．C52017 C．C42018－1 D．C52017－1(2)计算C98100＋C199200＝________.(3)解方程3C x－7x－3＝5A2x－4.解析：(1)C34＋C35＋C36＋…＋C32017＝C44＋C34＋C35＋C36＋…＋C32017－C44＝C45＋C35＋…＋C32017－1＝…＝C42017＋C32017－1＝C42018－1.(2)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100×992＋200＝5150.(3)原式可变形为3C4x－3＝5A2x－4，即3(x－3)(x－4)(x－5)(x－6)4×3×2×1＝5(x－4)(x－5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.答案：(1)C(2)5150(3)见解析探究三简单的组合问题[阅读教材P23例6]一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？题型：组合的简单应用方法步骤：对于(1)，一种上场方案就是11个人的一个组合，因此共有C1117＝12376种上场方案．对于(2)，分两步完成这件事．第一步：选出11名上场队员有C1117种选法．第二步：选守门员，有C111种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为C1117×C111＝136136.[例3]有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．[解析](1)从10名教师中选2名去参加会议，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合＝45.数，即C210＝10×92×1(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝15×6＝90(种)．[答案](1)45(2)21(3)90方法技巧 1.解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏．跟踪探究3.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？解析：法一：两项工作都能胜任的称为“多面手”以胜任英语翻译“有”无“多面手”分两类：第一类：胜任英语翻译的无多面手有C34C24＝24.第二类：胜任英语翻译有多面手，有C24C23＝18由分类加法计数原理共有24＋18＝42种．法二：可以分三类．第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C 34C 23种选法． 根据分类加法计数原理，一共有C 24C 23＋C 34C 13＋C 34C 23＝42(种)不同的选法.授课提示：对应学生用书第13页[课后小结](1)排列与组合的联系与区别①联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． ②区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． (2)关于组合数的计算①涉及具体数字的可以直接用公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；②涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算； (3)计算时应注意利用组合数的性质C m n ＝C n －mn简化运算．[素养培优]1.判断不出是排列还是组合出错有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？易错分析：8个小球的全排列，所以共有A 88种方法，该解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法．考查数学建模和数学运算的学科素养．自我纠正：8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，这样共有C 38＝56(种)排法．2．忽视字母取值范围致错 已知：1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则m ＝________. 易错分析：由组合数公式得，m ！(5－m ！)5！－m ！(6－m )！6！＝7×m ！(7－m )！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，所以m ＝21或2. 此解法忽视了m 的取值范围．在C m n 中m ≤n ，考查数学运算的学科素养．自我纠正：依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *}． 原等式化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×m ！(7－m )！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2.因为0≤m ≤5，m ∈N *，所以m ＝21应舍去，所以m ＝2. 答案：2。
高中数学人教a版选修2-3第一章1.2.2《组合与组合数公式》【练习】(学生版).docx
1.2.2 组合与组合数公式一、选择题1．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．6个B．9个C．18个D．36个2．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人3．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种B．36种C．28种D．25种4．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种B．36种C．38种D．108种5．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．366．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种B．60种C．120种D．210种二、填空题7．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)8．(2010·山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．三、解答题9．(1)计算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)C n－1＋15A2n＋3中n的值．n＋310．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．。