2013自主招生物理精品讲义

A B
3、质量为m的人造地球卫星，在圆轨道上运行， 运行中受到大小恒为f的微弱阻力作用，以r表示 卫星轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星 在旋转一周过程中： （1）轨道半径的改变量r；
GMm GMm GMm E 2r 2 r 2( r r ) 2r
1 1 2 2 mv0 2 mv A 2 2 2 v v0 A 2
B
vA
A

C
mv0 2mv cos A
4 2 2 vA 2T cos maB T maB cos m l 2 v0 T m 4l




4．一块足够长的木板，放在光滑水平面上，如图所示。 在木板上自左向右放有序号为1、2、3、…、n号木块， 所有的木块质量均为m，与木板间的动摩擦因数均为。 开始时，木板静止不动，第1、2、3、…、n号木块的 初速度分别为v0、2 v0、3 v0、…、n v0，v0方向向右， 木板的质量与所有木块的总质量相等，最终所有的木 块与木板以共同速度运动，试求：
n
由系统的动力学分析可知，第（n1）号木块在整个运 动中的最小速度发生在第（n1）号木块相对木板静止 时刻，此时，共有（n1）个木块相对木板静止，设此 时第（n1）号木块在整个运动中的最小速度为vmin，而 此时第n号木块的速度为v，由动量守恒定律，得
mv0 2mv0 3mv0 ... nmv0 [(n 1)m nm]vmin mv
v1
2n GM 3 n 3R
由动量守恒，得
(m1 m2 )v m1v1 m2v2
m1 m2
2 1 2n 1 3 n
4、频率为f的一个光子具有质量m，满足E=mc2， 其中E是光子的能量。从一颗星球表面向外发射 出的光子，当光子逃离星球引力场时，便会损 失能量。试论证：初始频率为f的光子从星球表 面到达无穷远处，若将它的频移（频率增量） 记为f，证明
A C O R θ B
1 1 2 2 m A gR cos m Av A m B v B 2 2
A C O R θ B
v A v B tan
v A 2 gR cos /(1 2 cot )
2

vB
vA
v B 2 gR cos /(1 2 tan )
第三部分 重要知识点专题解析
1连接体的速度关联问题
2引力势能的应用 3动量问题 4带电粒子在电磁场中的运动
5电场 电势的叠加原理及其应用
6电磁感应的综合问题
专题1连接体的速度关联问题 杆或（张紧的）绳约束物系各点速度的相关 特征是： 在同一时刻必具有相同的沿杆、绳方向的分速 度. 一个转动的物体的速度的特征是： 物体的角速度相等
vn、vn−1、…、v3、v2、v1
3、如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两 根长均为l的轻绳连成一条直线而静止在光滑水 平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0， 方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械能损失， 轻绳不可伸长。求： (1)当小球A、C第一次相碰时，小球A的速度；
v0 A l B
l
接触物系接触点速度的相关特征是：
沿接触面法向的分速度必定相同
1.在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的 光滑斜面，其上有一质量为m的物块，如图所 示。物块在下滑的过程中M和m对地的加速度。
N sin max MaM
m
mg N cos may aM sin a y cos a x sin
m
要求小球在左边最远点B停住，除 满足上式外，小球在B点所受弹性 力不得超过最大静摩擦力，即
O l0 A
kl1 mg
l0 l1 3
专题三、动量
动量定理的应用
动量守恒的矢量性：一维问题，二维问题。
动量守恒的同一性：相对运动
三种基本碰撞的特点与应用 动量问题中的能量问题
1、如图所示，一帆船在静水中顺风飘行， 风速为v0，问船速v为多大时，风供给船 的功率最大？设帆面与风向垂直，且风吹 到帆面后相对帆面静止。
M
物理约束是什么？ 几何约束是什么？

l m
解：系统水平方向动量守恒，有：
M
u
mv x Mu
系统机械能守恒，有：

l
vx vy
1 1 2 2 2 mgl sin Mu m(v x v y ) 2 2
速度关联
m
u cos v y sin v x cos
2 M gl sin v ( M m )(m cos2 M )
2 3 2 x
3、如图所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形 碗，放在光滑的水平桌面上，A是质量为mA的细长直杆， 被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运 动，碗和杆的质量关系为：mA＝2mB，初始时，A杆被 握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如 图），然后从静止开始释放A，A、B便开始运动，设A 杆的位置用 表示， 为碗面的球心O至A杆下端与球 面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角，求A与B 速度的大小（表示成 的函数）。
m O l0 A
由能量关系，若能通过O点，则动摩擦因数 的最 大值 1满足
m
1 2 kl0 kl0 1mgl0 0 1 O l0 A 2mg 2 若只能一次通过O点，则动摩擦因数 的最小值2 满足 1 kl 2 mg( l 2l )
2
0 2 0 1
l1是小球向左运动的最远点B距O点的距离，由能量关 2 mg 系有 2 mg(l0 l1 ) 1 k (l02 l12 ) l l 2
mv0 2mv mv A B
A
l B l C
B
1 1 1 2 2 mv 2 mv0 2 m v A B 2 2 2
A
vx l C vy
l
2 v v0 A 3
1 v v0 B 3
A l
2 v0 T m l
B
l
C
(3)运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根 绳的夹角θ以及绳子的张力。
f
GM f Rc 2
式中G为引力恒量，R为星球半径，c为真空光 速，M为星球质量。
Mm hf G hf R
hf mc2
5.如图所示，水平弹簧一端固定，另一端系一质 量为m的小球，弹簧的弹性系数为k，小球与水 平面的动摩擦因数为，当弹簧为原长时小球位 于O点，开始时小球位于O点右方的A点，O点与 A点之间的距离为l0，从静止释放小球。 （1）为使小球能通过 O点，且只能通过O点 一次，试问动摩擦因数 应满足什么条件？
W f f (2r )
r 4r f /(GMm)
3
（2）卫星动能的改变量Ek。
1 1 1 GM 1 GM 2 2 E k mv2 mv1 2 2 2 r r 2 r 1 GM r 2fr 2 2 r
3.卫星携带一探测器在半径为3R (R为地球半径) 的圆轨道上绕地球飞行。在a点，卫星上的辅 助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射 出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）。 若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿 新的椭圆轨道运动，其近地点b距地心的距离 为nR(n<3)，求卫星与探测器的质量比。
（2）第（n1）号木块在其整个运动中的最小 速度。 v0 2v0 3v0 nv0
1 2 3 …… n
mv0 2mv0 3mv0 ... nmv0 [(n 1)m nm]vmin mv
r1v1 r2v2 r1 a c r2 a c
v1
r1
y
c b a F o r2
v2 x
弹性势能
1 2 E p kx 2
1、证明：在地球表面附近，重力势能是引 力势能的近似表示。
Mm Mm 1 1 E G ( G ) GMm( ) Rh R R Rh Mm 1 Mm G (1 ) G 2 h mgh R 1 h/ R R
2
1 0
k
4m 2 g 2 2 1 2 2 3mgl0 kl0 0 k 2
kl0 kl0 4mg 2mg
kl0 2 4mg
7.如图所示，水平弹簧一端固定，另一端系一质量为m 的小球，弹簧的弹性系数为k，小球与水平面的动摩擦 因数为，当弹簧为原长时小球位于O点，开始时小球 位于O点右方的A点，O点与A点之间的距离为l0，从静 止释放小球。 （2）在上述条件下，若小球在O点左方的B点停下来， 试问B点与O点之间的最大距离l1是多少？
2
专题二、引力势能和弹性势能及其应用
引力势能的表达式
Mm E p G r
y c b a F o x
引力势能的应用
（1）圆轨道卫星的总机械能
Mm E G 2r
（2）椭圆轨道卫星的总机械能
Mm E G 2a
（3）椭圆轨道卫星的两个基本定律
1 GMm 1 GMm 2 2 mv1 mv2 2 r1 2 r2
v0 1 2v0 2 3v0 3 …… nv0 n
（1）第n号木块从开始运动到与木板刚好相对静止的 过程中对地的位移；
（1）第n号木块从开始运动到与木板刚好相对静止的 过程中对地的位移；
v0 1 2v0 2 3v0 3 ……
nv0
n
（1）设系统的末速度为vt，由系统的动量守恒定律，得
mv0 2mv0 3mv0 ... nmv0 2nmvt
M sin cos ax g 2 M m sin
M
( M m ) sin2 ay g 2 M m sin
m sin cos aM g 2 M m sin
2、如图所示，质量为M的滑块可以在光滑 的水平导轨上无摩擦地滑动，长为l的轻绳 一端系于滑块M上，另一端系一质量为m的 小球。今将轻绳沿水平方向拉直，使小球 与滑块等高，并同时释放。试问，当轻绳 与水平方向的夹角为 时m的速度大小？