第14章 相对论相对论II

Ek
mc2
m0c2
1 2
m0v
2
火箭的质量的增加量为
m m m0 Ek
c2
1 2
m0
v
c2
1 2
1000
103
11.2
103
9 1016
0.7 103
kg
火箭质量可近视为不变
§15.6 光的多普勒效应
经典多普勒效应： 对于光波，有 ν c
ν
u u
v0 vs
ν
0
与空间有关 与时间有关
解 (1)
t '
(t '2
x'2 c
)
(t '1
x'1 c
)
τ τ u (1 u)τ
c
c
t'2 t'1
t'2
t'1
x'2 x'1
t1 0
1 50 1
1 0.60 100（分钟） 1 0.60
(2)
t2
u
c
0
1 50 1
1 0.60 25 (分钟) 1 0.60
设两粒子完全相同，其静止质量为 m0
S
S' u
m1 v m2
m1 v u m2
u
M
M0
O
S 系的观察者
M m m0 Mu mv m0 m v
mu
x
O'
x'
根据洛伦兹变换 v u u 1 uu / c2
u v
c2 v2
1
1
v2 c2
1
2
m0 m v mu
u v
与物体运动无关
以两粒子的碰撞为例
S m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
S S' u
根据洛伦兹变换
S
m1
1
v '10 u v '10 u /
c2
m2
1
v '20 u v '10 u /
c2
m1 v1
m2 v2
若质点质量
m1
1
v '1u v '1 u /
c2
m2
v '2 u 1v '1 u / c2
(1) 注意相对论动能与经典力学动能的区别和联系
Ek mc2 m0c2
Ek m0v 2 / 2
当v << c 时， 0, 有
Ek
c 2
m0 1v2
/ c2
m0
牛顿力学中 v c
的动能公式 出现退化
m0c2 (1
1v2 2 c2
3v4 8 c4
1)
m0v 2 2
(2) 当v c，Ek ，意味着将一个静止质量不为零的粒子， 使其速度达到光速，是不可能的。
求 其质量和动量各等于多少？
解 动能：Ek mc2 m0c2
Ek m0c2
m 2m0
由质速关系 m m0 1β 2
由此得，动量
p mv =
m0v 1 (v )2
c
v=
3 2
c
3m0c
例 设火箭的静止质量为 100 t ，当它以第二宇宙速度飞行时，
求 其质量增加了多少？
解 火箭的第二宇宙速度 v = 11. 2 10 3 m/s ，因此 v <<c ，所以 火箭的动能为
能为零。则质点动能就是其从静止到以v 的速率运动的过程
中,合外力所做的功
dA
F
dr
d p
dr
dp
v
vdm
mdv v
c2dm
dt
m m0
两边微分
1β 2
dm
c2
m v
2
v
dv
EK
F dr
L
m c2d m
m0
c2 v 2 dm mv dv
讨论
EK mc2 m0c2 相对论的动能表达式
θ 0
νl ν0
1β 1β
(1) 若光源离开观察者，上式中 取正号，这时l <0 ，实测
频率 l 小于光源固有频率0
“红移
”
(2) 若光源趋近观察者，上式中 取负号，这时l >0 ，实测
频率 l 大于光源固有频率0
“蓝移
2. 光的横向多普勒效应
”
θ ν t 0 1β 2
二.机械波和光的多普勒效应的区别
1β 2
u c2
dx
v z
dz dt
dz dt
1β 2
u c2
dx
整理得
v x
vx u
1
u c2
v
x
v y
vy 1β 2
1
u c2
v
x
请大家自己想想逆变换式的形式？
v z
vz 1
1β 2
u c2
v
x
特别注意的：v,u 的方向
例 一宇宙飞船以速度 u 远离地球沿 x 轴方向飞行，发现飞船 前方有一棒形不明飞行物，平行于 x 轴。飞船上测得此物 长为l ' ，速度大小为 v ' ，方向沿 x 轴正向。
m2c4 m2v 2c2 m02c4
取极限情况考虑，如光子
m0 0 E pc pE c
E hν
p hν h
c
m
E c2
hν c2
mc2 Ek
m0c2
pc
m0c2
例 两个静质量都为 m0 的粒子，其中一个静止，另一个以v 0 = 0.8 c 运动，它们对心碰撞以后粘在一起。
求 碰撞后合成粒子的静止质量。
与速度无关 与相对性原理矛盾
m1v '10 m2v '20 m1v '1m2v '2
在相对论中，若仍定义质点动量为质量与速度的乘积，要 使动量守恒定律在洛伦兹变换下保持不变，则要求质量 m 与质点运动速度有关
考虑到空间各向同性，质点质量 m 应与速度方向无关
以两粒子的弹性正碰为例来导出质速关系
代入题给数据，解得
v 0.31c 0.93108 m s
例 以 0.6 c 速度飞行的宇宙飞船上的乘客，通过电磁波收看来 自地球的物理讲座。对地球上报告厅里的学生来说，该讲座 持续了50分钟。
求 飞船处于下列情况下，飞船上的乘客要用多长时间看完整个 讲座。(1)飞船离开地球远去时；(2)飞船向着地球返回时。
狭义相对论II
爱因斯坦 (Einstein)
坐标变换式
正变换
逆变换
x ut x'
1 2
x x' ut'
1 2
y y'; z z'
上式怎么来的呢？
先看 x 变换
x x' ut'
1 2
再来看时间：t
对(x,y,z)的观察依赖于从该点发过来的光.
x2 y2 z2 (ct)2 x2 y2 z2 (ict)2 0
E 4.18105 J
m 4.6 1012 kg
(4) 对于一个存在有内部结构和内部运动的系统来说
E Ek M0c2
Ek 系统随质心平动的动能 M0c2 系统的内能
四.相对论能量和动量的关系
m m0 1β 2
两边平方
E2 p2c2 E02
m2 1β 2 m02
两边乘以 c 4
解 取两粒子作为一个系统，碰撞前后动量、能量圴守恒，设碰
撞后合成粒子的静止质量为 M0 ，运动质量为 M ，运动速度
为 V ，则
mv0 0 MV
m v0 m0
mc2 m0c2 Mc2
由M
M0
得
1V 2 /c2
MV
M0 M
1V 2
/ c2
8 3
m0
1 0.5 2.31m0
例 某粒子的静止质量为 m0 ，当其动能等于其静能时，
3. 相对论质点动力学基本方程
经典力学 p m0v
F
dp dt
m0
dv dt
m0a
相对论力学
F
dp dt
d dt
m0 1β
2
v
低速退化
二.能量 质能关系
• 经典力学
• 相对论力学
Ek
m0v 2 2
? Ek 2
中，认为动能定理仍适用。若取质点速率为零时动
观察者
θ
O (0, 0, 0, t* ) x
xdx xudt c2(t * t)(dt * dt) c(t * t) x2 y2
dt* (1 x u)dt x2 y2 c
dt*
(1
u c
cosθ
)dt
dt dt0 1β 2
dt * dt0
(1
u c
cosθ
1β 2
)
T* T0
ν0 ν
1. 光的纵向多普勒效应
解 (1) 根据运动的相对性，飞船 A 上测得地球的速度为: 0.6c
(2) 设地面为 S 系，飞船 A 为 S' 系，S' 系相对与 S 系的速度
为 u = 0.6 c. 依题意飞船 B 在 S 系中的速度 v = 0.8c，
由洛仑兹速度变换，S' 系(飞 船 A)测得飞船 B 的速度为
S
S'
u
狭义相对论质点动力学简介
物理概念：质量，动量，能量，……
重新审视其定义
原 (1) 应符合爱因斯坦的狭义相对性原理 即经过洛伦兹变换时保持定律形式不变
则 (2) 应满足对应原理 即趋于低速时，物理量须趋于经典理论中相应的量