2020年高考数学大一轮复习高考专题突破四高考中的立体几何问题课件文苏教版
高考专题突破四
高考中的立体几何问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面 平行
A答1B案1BA的解位析置关系为______.
如图取B1C1的中点为F， 连结EF，DF，DE，
则EF∥A1B1，DF∥B1B， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA.
2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z均为直线；
②x、y是直线，z是平面；
பைடு நூலகம்
③z是直线，x、y是平面； ④x、y、z均为平面.
②③
由正方体模型可知①④为假命题； 其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是______.
由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.
答案 解析
3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F
跟踪训练1 正三棱锥的高为1，底面边长为 2 6，
内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：
(1解)这答个正三棱锥的表面积； 底面正三角形中心到一边的距离为13× 23×2 6＝ 2， 则正棱锥侧面的斜高为 12＋ 22＝ 3. ∴S 侧＝3×12×2 6× 3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝9 2＋12× 23×(2 6)2 ＝9 2＋6 3.
跟踪训练2 (2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－
ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.
过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，
SC的中点.
证明
求由证AS：＝(1A)B平，面AEFF⊥GS∥B知平F面为ASBBC中；点，
则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，
由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AADE＝CCDF ， 故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系， 即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54 ，OD′＝2 2 积.
解答
，求五棱锥D′-ABCFE的体
思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接 利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分 割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的 直观图，然后根据条件求解.
(2)求证：C1F∥平面ABE；
证明
(3)求三棱锥E－ABC的体积.
解答
因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， AC2－BC2＝ 3.
所以AB＝
V所＝以13三S△棱ABC锥·AEA－1＝A13B×C的12×体积3×1×2＝
3 3.
思维升华
(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题， 再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE： (ⅰ) 利 用 判 定 定 理 ， 关 键 是 在 平 面 ABE 中 找 ( 作 ) 出 直 线 EG ， 且 满 足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一 个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化. (2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高， 不能直接用公式时，注意进行体积的转化.
分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝664，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则 几答何案体EF解C析1－DBC的体积为_____.
4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱 VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则VFBB＝___2__.
答案 解析
解答
思维升华
平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和 度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发 生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
跟踪训练3 (2016·苏州模拟)如图(1)，四边形 ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中 点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后， 点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
解答
题型二 空间点、线、面的位置关系 例2 (2016·扬州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面， AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是证A明1C1，BC的中点. (1在)求三证棱：柱平AB面CA－BAE1⊥B1平C1面中B，1BBCBC1⊥1；底面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B， 所以AB⊥平面B1BCC1. 又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.
若PA平⊥行AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与垂平直面DEF的位置关系 是______；平面BDE与平面ABC的位置关系是_______.(填“平行”或 “答垂案直”解) 析
题型分类 深度剖析
题型一 求空间几何体的表面积与体积 例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角 线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上， AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到 △D′EF的位置. (1)证明：AC⊥HD′； 证明
例3 (20151·陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝2 ， AB＝BC＝2 AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折
起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
证明
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36 2，求a的值.
因此平面EFG∥平面ABC.
(2)BC⊥SA.
证明
由平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB， AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC. 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.
题型三 平面图形的翻折问题 π
高考中的立体几何问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面 平行
A答1B案1BA的解位析置关系为______.
如图取B1C1的中点为F， 连结EF，DF，DE，
则EF∥A1B1，DF∥B1B， ∴平面EFD∥平面A1B1BA， ∴DE∥平面A1B1BA.
2.设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：
①x、y、z均为直线；
②x、y是直线，z是平面；
பைடு நூலகம்
③z是直线，x、y是平面； ④x、y、z均为平面.
②③
由正方体模型可知①④为假命题； 其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是______.
由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.
答案 解析
3.(2016·无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F
跟踪训练1 正三棱锥的高为1，底面边长为 2 6，
内有一个球与它的四个面都相切(如图).求：
(1解)这答个正三棱锥的表面积； 底面正三角形中心到一边的距离为13× 23×2 6＝ 2， 则正棱锥侧面的斜高为 12＋ 22＝ 3. ∴S 侧＝3×12×2 6× 3＝9 2. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝9 2＋12× 23×(2 6)2 ＝9 2＋6 3.
跟踪训练2 (2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－
ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.
过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，
SC的中点.
证明
求由证AS：＝(1A)B平，面AEFF⊥GS∥B知平F面为ASBBC中；点，
则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，
由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AADE＝CCDF ， 故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系， 即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝54 ，OD′＝2 2 积.
解答
，求五棱锥D′-ABCFE的体
思维升华 (1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接 利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分 割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的 直观图，然后根据条件求解.
(2)求证：C1F∥平面ABE；
证明
(3)求三棱锥E－ABC的体积.
解答
因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， AC2－BC2＝ 3.
所以AB＝
V所＝以13三S△棱ABC锥·AEA－1＝A13B×C的12×体积3×1×2＝
3 3.
思维升华
(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题， 再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE： (ⅰ) 利 用 判 定 定 理 ， 关 键 是 在 平 面 ABE 中 找 ( 作 ) 出 直 线 EG ， 且 满 足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一 个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化. (2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高， 不能直接用公式时，注意进行体积的转化.
分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝664，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则 几答何案体EF解C析1－DBC的体积为_____.
4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱 VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则VFBB＝___2__.
答案 解析
解答
思维升华
平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和 度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发 生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
跟踪训练3 (2016·苏州模拟)如图(1)，四边形 ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中 点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后， 点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.
(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积.
解答
题型二 空间点、线、面的位置关系 例2 (2016·扬州模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面， AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是证A明1C1，BC的中点. (1在)求三证棱：柱平AB面CA－BAE1⊥B1平C1面中B，1BBCBC1⊥1；底面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B， 所以AB⊥平面B1BCC1. 又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点.
若PA平⊥行AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.则直线PA与垂平直面DEF的位置关系 是______；平面BDE与平面ABC的位置关系是_______.(填“平行”或 “答垂案直”解) 析
题型分类 深度剖析
题型一 求空间几何体的表面积与体积 例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角 线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上， AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到 △D′EF的位置. (1)证明：AC⊥HD′； 证明
例3 (20151·陕西)如图1，在直角梯形 ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝2 ， AB＝BC＝2 AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折
起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1-BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
证明
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36 2，求a的值.
因此平面EFG∥平面ABC.
(2)BC⊥SA.
证明
由平面SAB⊥平面SBC， 平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB， AF⊥SB， 所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC. 又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB， 又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.
题型三 平面图形的翻折问题 π
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2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第八章 立体几何 高考专题突破四
(2)若∠BAD＝60°，求二面角B－OB1－C的余弦值.
师生共研
题型三 立体几何中的探索性问题
例 4 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，AD∥BC，AD⊥CD， 且 AD＝CD＝2 2，BC＝4 2，PA＝2. (1)求证：AB⊥PC；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M－AC－D的大小为45°，如果 存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.
角为 β，则 θ＝π2－β 或 θ＝β－π2，故有 sin θ＝|cos β|＝||ll|·|nn||.
跟踪训练2 (2018·宿迁期末)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1， AA1＝t，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. (1)若t＝1，求异面直线AC1与A1B所成角的大小；
跟踪训练4 如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝ PC＝2，作如图(2)折叠，折痕EF∥DC.其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿 EF折叠后，点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF. (1)证明：CF⊥平面MDF；
(2)求三棱锥M－CDE的体积.
2 课时作业
123456
技能提升练
5.等边三角形 ABC 的边长为 3，点 D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且满足ADDB＝ CEAE＝12，如图 1.将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使二面角 A1—DE—B 为直二面角，连结 A1B，A1C，如图 2. (1)求证：A1D⊥平面BCED；
PART TWO
基础保分练
1.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD. (1)证明：BC⊥PB；
高考数学总复习 专题(4)立体几何综合题的解答课件 苏教版
第十三页，共18页。
探究三 空间距离的计算 高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重 要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算 距离．距离问题的关键是“垂直”，通过作垂线把求解的距离问题 纳入到一个具体的平面图形中进行计算．距离问题也与逻辑推理、 空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力 的深化．
第二页，共18页。
立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下，将重点考查逻 辑推理能力，考查方式必然是空间线面位置关系的证明和空间角的 计算等．考生在学习该部分内容时要注意把握好如下两个问题：一 是多方位地认识空间几何体的结构，熟悉它们在各种不同位置下的 直观图和三视图，熟悉其表面积和体积的计算公式；二是熟练掌握 四个公理，熟练掌握空间线面位置关系的判定和性质定理，这些公 理和定理是我们进行推理和计算的主要工具，是立体几何的根本所 在．
第十一页，共18页。
由 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD 得 PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB. 而 PB⊂平面 PAB，∴BC⊥PB.
在 Rt△PAB 中，PB＝ PA2＋AB2＝ 5，
在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝3.
在
Rt△PBC
第三页，共18页。
探究一 平行与垂直的判定与证明 对于直线与平面的位置关系，高考中主要考查平面的基本性质， 考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用 平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证，一般会以选择题或解 答题的形式进行考查．解题的策略：结合图形进行平行与垂直的推 理证明，由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行 或垂直证明面面平行或垂直．如果是选择题还可以依据条件举出反 例否定．
探究三 空间距离的计算 高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重 要内容之一，在计算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算 距离．距离问题的关键是“垂直”，通过作垂线把求解的距离问题 纳入到一个具体的平面图形中进行计算．距离问题也与逻辑推理、 空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力 的深化．
第二页，共18页。
立体几何解答题在考查空间想象能力的前提下，将重点考查逻 辑推理能力，考查方式必然是空间线面位置关系的证明和空间角的 计算等．考生在学习该部分内容时要注意把握好如下两个问题：一 是多方位地认识空间几何体的结构，熟悉它们在各种不同位置下的 直观图和三视图，熟悉其表面积和体积的计算公式；二是熟练掌握 四个公理，熟练掌握空间线面位置关系的判定和性质定理，这些公 理和定理是我们进行推理和计算的主要工具，是立体几何的根本所 在．
第十一页，共18页。
由 PA⊥平面 ABCD，BC⊂平面 ABCD 得 PA⊥BC. 又 BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB. 而 PB⊂平面 PAB，∴BC⊥PB.
在 Rt△PAB 中，PB＝ PA2＋AB2＝ 5，
在 Rt△PAC 中，PC＝ PA2＋AC2＝3.
在
Rt△PBC
第三页，共18页。
探究一 平行与垂直的判定与证明 对于直线与平面的位置关系，高考中主要考查平面的基本性质， 考查空间的线线、线面和面面的平行关系与垂直关系的判定并运用 平行、垂直的判定定理与性质进行推理论证，一般会以选择题或解 答题的形式进行考查．解题的策略：结合图形进行平行与垂直的推 理证明，由线线平行或垂直推证出线面平行或垂直，再由线面平行 或垂直证明面面平行或垂直．如果是选择题还可以依据条件举出反 例否定．
2020版高考数学(文科)江苏版1轮复习课件：第7章 立体几何 2 第2讲 直线、平面平行的判定与性质
用 如图，P 为▱ABCD 所在平面外一 点，M，N 分别为 AB，PC 的中点，平面 PAD∩平面 PBC＝l. (1)判断 BC 与 l 的位置关系，并证明你的 结论； (2)判断 MN 与平面 PAD 的位置关系，并证明你的结论．
【解】 (1)结论：BC∥l，证明如下： 因为 AD∥BC，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 BC∥平面 PAD. 又因为 BC⊂平面 PBC，平面 PAD∩平面 PBC＝l， 所以 BC∥l.
文字语言
图形语言
如果一个平面内有 判 _两__条__相__交__直__线___都平
定 行于另一个平面，那
定 么这两个平面平行
理 (简记为“线面平行
⇒面面平行”)
符号语言 因为___a_∥__β___， ___b_∥__β____，
__a_∩_b_＝__P___，
___a_⊂__α____， ___b_⊂__α____，所 以 α∥β
所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D⊂平面 C1BD，AB1⊄平面 C1BD， 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1＝B1， AB1⊂平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1， 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD.
(2)如图，连结 A1C1，交 B1D1 于点 O1，连 结 AO1，与 A1C 交于点 E. 又因为 AO1⊂平面 AB1D1， 所以点 E 也在平面 AB1D1 内， 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点． 连结 AC，交 BD 于点 O，连结 C1O，与 A1C 交于点 F， 则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点． 下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1， 平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F，
【解】 (1)结论：BC∥l，证明如下： 因为 AD∥BC，BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD， 所以 BC∥平面 PAD. 又因为 BC⊂平面 PBC，平面 PAD∩平面 PBC＝l， 所以 BC∥l.
文字语言
图形语言
如果一个平面内有 判 _两__条__相__交__直__线___都平
定 行于另一个平面，那
定 么这两个平面平行
理 (简记为“线面平行
⇒面面平行”)
符号语言 因为___a_∥__β___， ___b_∥__β____，
__a_∩_b_＝__P___，
___a_⊂__α____， ___b_⊂__α____，所 以 α∥β
所以 AB1∥C1D. 又因为 C1D⊂平面 C1BD，AB1⊄平面 C1BD， 所以 AB1∥平面 C1BD. 同理 B1D1∥平面 C1BD. 又因为 AB1∩B1D1＝B1， AB1⊂平面 AB1D1，B1D1⊂平面 AB1D1， 所以平面 AB1D1∥平面 C1BD.
(2)如图，连结 A1C1，交 B1D1 于点 O1，连 结 AO1，与 A1C 交于点 E. 又因为 AO1⊂平面 AB1D1， 所以点 E 也在平面 AB1D1 内， 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点． 连结 AC，交 BD 于点 O，连结 C1O，与 A1C 交于点 F， 则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点． 下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1， 平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F，
2020年高考数学一轮复习专题四立体几何课件文
【典例】 (2016·新课标全国卷Ⅰ，12 分)如图，已知正三棱锥 P－ABC 的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投 影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G.
(1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法及理由)， 并求四面体 PDEF 的体积．
所以 CD⊥平面 A1OC.
第七章
看，立体几何是历年高考的重点，约占 整个试卷的 13%，通常以一大一小的模式命题，以中、低档难度为 主．三视图、简单几何体的表面积与体积，点、线、面位置关系的 判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容，前者多以客观题 的形式命题，后者主要以解答题的形式加以考查．着重考查推理论 证能力和空间想象能力，而且对数学运算的要求有加强的趋势，转 化与化归思想贯穿整个立体几何的始终．
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6，可得 DE＝2， PE＝2 2.
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF＝PF＝2.(11 分) 所以四面体 PDEF 的体积 V＝13×12×2×2×2＝43.(12 分)
【阅卷点评】 本题通过正投影考查线面垂直．第(1)题较基 础，考查学生对垂直的判定和性质的理解；第(2)题较复杂，既考 查了学生的抽象推理能力，又考查了学生的计算能力．
【标准解答】 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D， 所以 AB⊥PD.
因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE.(2 分) 又 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥PG. 又由已知可得，PA＝PB，从而 G 是 AB 的中点．(4 分)
(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即 为 E 在平面 PAC 内的正投影．(5 分)
(江苏专用)2020版高考数学一轮复习第十二章立体几何12.1空间几何体的表面积和体积课件
3
名师点睛 解题的关键要认清空间中的点、线、面的位置关系,要重点掌握直线与直线、直
线与平面、平面与平面的平行和垂直的关系.对于一些常见的几何体,如棱长为a的正方体或
正四面体,要会求相关线段的长度、有关面积与体积,掌握好特殊几何体,能更好地提升空间想
象能力.
3.(2017江苏,6,5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记
的核心素养是直观想象、数学运算.
因为长方体的体积是120,所以2S△BCD·CC1=120,
则S△BCD·CC1=60.所以VE-BCD=
1 3
S△BCD·EC=13
·S△BCD·12
CC1=16
×60=10.
评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.
8
8
即 1 SA·SBsin∠ASB= 1 · 2 r· 2 r× 15 =5 15 ,所以r2=40,故圆锥的侧面积为πrl= 2 πr2=40 2 π.
2
2
8
疑难突破 利用底面半径与母线的关系,以及△SAB的面积值求出底面半径是解题的突破口.
2.(2018课标全国Ⅰ文改编,5,5分)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平
3
3
高为8,且它们的底面半径相同,可设两几何体的底面半径均为r(r>0),则 1 ×π×r2×4+π×r2×8= 196
3
3
π,解得r2=7,从而r= 7 .
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 空间几何体的表面积
1.(2018课标全国Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为 7 ,SA与圆锥
2020高考数学一轮复习大题规范解读全辑高考大题规范解答系列4立体几何课件理
︵ 因为 M 为CD 上异于 C，D 的两点，
且 DC 为直径，所以 DM⊥CM.
3 分 得分点②
又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC． 4 分 得分点③
而 DM⊂平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC． 5 分 得分点④
(2)以 D 为坐标原点，D→A的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系 D－xyz.
∵O 为 BD 中点，∴FO⊥BD，
又 AC⊥FO，AC∩BD＝O，∴FO⊥平面 ABCD．
∵OA，OB，OF 两两垂直， ∴可建立空间直角坐标系 O－xyz，如图所示，
设 AB＝2，∵四边形 ABCD 为菱形，∠DAB＝60°， ∴BD＝2，AC＝2 3. ∵△DBF 为等边三角形，∴OF＝ 3. ∴A( 3，0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，F(0,0， 3)，
︵ 当三棱锥 M－ABC 体积最大时，M 为CD 的中点． 由题设得 D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)， A→M＝(－2,1,1)，A→B＝(0,2,0)，D→A＝(2,0,0)．
7 分 得分点⑤
设 n＝(x，y，z)是平面 MAB 的法向量，
∴MG∥平面 CDEF.
2 分 得分点①
由于 G，N 分别为 AD，BC 的中点， 由棱柱的性质可得 GN∥DC， ∵CD⊂平面 CDEF，GN⊄平面 CDEF，
∴GN∥平面 CDEF.
3 分 得分点③
又 GM⊂平面 GMN，GN⊂平面 GMN，MG∩NG＝G，
∴平面 GMN∥平面 CDEF，
∴A→D＝(－ 3，－1,0)，A→F＝(－ 3，0， 3)，A→B＝(－ 3，1,0)． 设平面 ABF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
2020版高考数学(江苏专用)新增分大一轮课件：第八章 立体几何 8.3
⇒l⊥α
a ⊥α b⊥α
⇒a∥b
2.直的射影 所成的锐角，叫做这条直线和这个
平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是 直角 ，若一条直 线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 0° 的角.
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
判定 定理
图形语言
符号语言
l⊥α ⇒ α ⊥β l⊂β
⇒l⊥α α∩β＝a l⊥a
如果一个平面经过另一
个平面的一条 垂线 ，那 么这两个平面互相垂直 如果两个平面互相垂直，
性质 那么在一个平面内垂直
定理 于它们 交线 的直线垂 直于另一个平面
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5. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，点 O ， M ， N 分别是线段 BD ， 垂直 DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是______. 解析 因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1， 又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以AC⊥平面BDD1B1， 因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心.
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题组三 易错自纠 4.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的 充分不必要 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分 ____________ 又不必要”) 解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立； 若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立， 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件.
2020江苏高考数学新增分一轮课件：第八章 立体几何 8.3
∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.
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2. 设 l ， m 表示直线， m 是平面 α 内的一条直线，则 “l⊥m” 是 “l⊥α” 成立的
必要不充分 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又 ____________
不必要”) 解析 由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线， 则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立， 反之，直线垂直于平面，
思维升华 对命题条件的探索的三种途径 途径一：先猜后证. 途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 途径三：将几何问题转化为代数问题.
跟踪训练3
如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的
正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1. (1)求证：平面CFG⊥平面ACE；
又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD， 又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以CD⊥平面PAD. 又因为CD⊂平面ABCD， 所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)求证：EF∥平面PAD.
思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的 垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高， 即O为△ABC的垂心.
2020版高考数学新增分大一轮江苏专用课件：第八章 立体几何 8.5
对空间任一点 O，—O→P＝xO—→M＋ y—O→A＋(1－x－y)—O→B
跟踪训练 2 (1)设 A，B，C，D 是空间四点，有以下条件： ①—O→D＝—O→A＋21—O→B＋13—O→C； ②—O→D＝12—O→A＋13—O→B＋41—O→C； ③—O→D＝12—O→A＋13—O→B＋51—O→C； ④—O→D＝12—O→A＋13—O→B＋61—O→C. 其中能使 A，B，C，D 四点一定共面的条件是_④___.(填序号) 解析 对于共面四点 A，B，C，D，当能写成—O→D＝x—O→A＋y—O→B＋z—O→C时，
大一轮复习讲义
第八章 立体几何
§8.5 空间向量及其运算
考情考向分析
KAOQINGKAOXIANGFENXI
本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、 定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以 解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解 题要求有较强的运算能力.
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5.已知a＝(2,3,1)，b＝(－4,2，x)，且a⊥b，则|b|＝__2__6__. 解析 ∵a⊥b， ∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2， ∴|b|＝ －42＋22＋22＝2 6.
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6.O 为空间中任意一点，A，B，C 三点不共线，且O→P＝34O→A＋18O→B＋tO→C，若 1
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ ) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) (5)若 A，B，C，D 是空间任意四点，则有A→B＋B→C＋—C→D ＋D→A＝0.( √ )
高考数学大一轮复习 高考专题突破四 高考中的立体几何
(2)求证：C1F∥平面ABE；
证明
(3)求三棱锥E－ABC的体积.
解答
因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝ AC2－BC2＝ 3. 所以三棱锥E－ABC的体积 V＝13S△ABC·AA1＝13×12× 3×1×2＝ 33.
思维升华
(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题， 再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题.②证明C1F∥平面ABE： (ⅰ) 利 用 判 定 定 理 ， 关 键 是 在 平 面 ABE 中 找 ( 作 ) 出 直 线 EG ， 且 满 足 C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一 个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化. (2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高， 不能直接用公式时，注意进行体积的转化.
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝
5 4
，OD′＝
2
2 ，求五棱锥D′-ABCFE的体积.
解答
思维升华
(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接 利用公式进行求解.其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积. (2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分 割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直 观图，然后根据条件求解.
跟踪训练2 (2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－ ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB. 过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA， SC的中点. 求证：(1)平面EFG∥平面ABC； 证明
由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点， 则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B， 因此平面EFG∥平面ABC.