数列解答题的解法
数列解答题的常见题型及解题策略
数列解答题的常见题型及解题策略常见题型一：等差、等比数列的通项公式，前n 项和公式和性质的基本运算例1．已知等差数列{}n a 的前项和为n s ，1n nb s =，且3312a b =，3521s s +=．⑴．求数列{}n b 的通项公式； ⑵．求证：122n b b b +++<．分析：本题的关键是正确求出等差数列{}n a 的通项公式及前n 项和，进而求{}n b 的通项公式。
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由3312a b =，331b s = 得332a s =，即112433a d a d +=+，得1a d =， 又3521s s +=，得181321a d +=，解得：11a d ==，所以11n a n n =+-=，(1)2n n n S +∴=2(1)n b n n ∴=+．⑵．由2112()(1)1n b n n n n ==-++，得：12111112[(1)()()]2231n b b b n n +++=-+-++-+ 12(1)21n =-<+ 所以122n b b b +++<常见题型二：n a 和n S 的递推关系型问题解题策略：n a 和n S 的递推关系型问题抓住本质问题12n n S a a a =+++进行变形，常用的方法是少写一项作差，注意首项是否满足要求。
例2．设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*3332123,,n n N a a a a ∈=++++2n 都有S 其中S n 为数列{}n a 的前n 项和。
（Ⅰ）求证：n n n a S a -=22； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）设λλ(2)1(31an n n n b ⋅-+=-为非零整数，*N n ∈），试确定λ的值，使得对任意*N n ∈，都有n n b b >+1成立。
分析：本题的入手点在于对3332123na a a a =++++2n S 的变形应用，所以n a 和n S 的递推关系的应用就很重要。
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析
高中数学数列试题的解题方法与技巧分析数列是高中数学中的一个重要概念，也是一个经常出现的考点。
数列的性质和运算方法不仅能够帮助学生理解数学知识，还能培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
有些学生在学习数列时会感到困惑，不知道如何解题或者如何运用数学方法进行推导和计算。
本文将针对高中数学数列试题的解题方法与技巧进行分析和讨论，帮助学生更好地掌握数列知识，提高解题能力。
一、了解数列的基本概念数列是按照一定的顺序排列的数的集合，通常用a₁,a₂,a₃,...,aₙ,...表示。
其中a₁,a₂,a₃,...分别称为数列的项，n称为项数。
数列可以分为有限项数的数列和无限项数的数列两种，其中有限项数的数列又称为有穷数列，无限项数的数列称为无穷数列。
对于数列的项，有些数列存在着特定的规律，通过这种规律可以逐项推算出数列的每一项。
这种规律通常称为数列的通项公式或递推公式。
了解数列的基础概念和规律对于解题是至关重要的，因为只有掌握了数列的特点和规律，才能更好地应用相关的方法去解答题目。
二、数列的求和技巧数列的求和是数列中一个非常重要的知识点，也是高考中经常考察的内容。
对于求和问题，有两种常用的方法，一种是数学归纳法，一种是直接求和法。
1. 数学归纳法数学归纳法是一种常见的数学证明方法，用于论证某种数学结论对于一切自然数都成立。
对于数列的求和问题，数学归纳法的思路是假设对于n=k时结论成立，然后证明n=k+1时结论也成立，从而得出结论对所有自然数都成立的证明。
例如对于等差数列aₙ=2n+1(n∈N*)求前n项和的问题，我们可以使用数学归纳法来证明求和公式Sn=n(2a₁+(n-1)d)/2成立，从而对全体自然数n成立。
这样，就能得到等差数列前n项和的通式公式的证明。
2. 直接求和法对于一些简单的数列，也可以通过直接求和的方法来计算数列的和。
例如等差数列的和Sn=n(a₁+an)/2，等比数列的和Sn=a₁(1-qⁿ)/(1-q)，对于这一类数列可以直接套用公式，快速求出数列前n项和的结果。
高考解答题专项突破(三) 数列的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析
[考情分析]预计2025年高考会从以下两个角度对数列的综合问题进行考查：(1)考查等差、等比数列的基本运算和数列求和的问题，可能与函数、方程、不等式等知识综合起来进行考查；(2)以新定义为载体，考查对新数列性质的理解及应用，以创新型题目的形式出现．考点一等差、等比数列的综合问题例1(2024·山东滨州模拟)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝2，b 2＝4，a n ＝2log 2b n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{a n }中不在数列{b n }中的项按从小到大的顺序构成数列{c n }，记数列{c n }的前n 项和为S n ，求S 100.解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为b 2＝4，所以a 2＝2log 2b 2＝4，所以d ＝a 2－a 1＝2，所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .又a n ＝2log 2b n ，即2n ＝2log 2b n ，所以n ＝log 2b n ，所以b n ＝2n .(2)由(1)得b n ＝2n ＝2·2n －1＝a 2n －1，即b n 是数列{a n }中的第2n －1项．设数列{a n }的前n 项和为P n ，数列{b n }的前n 项和为Q n ，因为b 7＝a 26＝a 64，b 8＝a 27＝a 128，所以数列{c n }的前100项是由数列{a n }的前107项去掉数列{b n }的前7项后构成的，所以S 100＝P 107－Q 7＝107×（2＋214）2－2－281－2＝11302.对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系．利用方程思想和通项公式、前n 项和公式求解，求解时注意对性质的灵活运用.1.(2022·浙江高考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝－1，公差d >1.记{a n }的前n项和为S n (n ∈N *)．(1)若S 4－2a 2a 3＋6＝0，求S n ；(2)若对于每个n ∈N *，存在实数c n ，使a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，求d 的取值范围．解(1)因为S 4－2a 2a 3＋6＝0，a 1＝－1，所以－4＋6d －2(－1＋d )(－1＋2d )＋6＝0，所以d 2－3d ＝0，又d >1，所以d ＝3，所以a n ＝3n －4，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝3n 2－5n2.(2)因为a n ＋c n ，a n ＋1＋4c n ，a n ＋2＋15c n 成等比数列，所以(a n ＋1＋4c n )2＝(a n ＋c n )(a n ＋2＋15c n )，(nd －1＋4c n )2＝(－1＋nd －d ＋c n )(－1＋nd ＋d ＋15c n )，c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0，由已知可得方程c 2n ＋(14d －8nd ＋8)c n ＋d 2＝0的判别式大于等于0，所以Δ＝(14d －8nd ＋8)2－4d 2≥0，所以(16d －8nd ＋8)(12d －8nd ＋8)≥0对于任意的n ∈N *恒成立，所以[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]≥0对于任意的n ∈N *恒成立，当n ＝1时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]＝(d ＋1)(d ＋2)≥0，当n ＝2时，由(2d －2d －1)(4d －3d －2)≥0，可得d ≤2，当n ≥3时，[(n －2)d －1][(2n －3)d －2]>(n －3)(2n －5)≥0，又d >1，所以1<d ≤2，即d 的取值范围为(1，2]．考点二通项与求和问题例2(2023·黑龙江哈九中模拟)在①S 3＝2a 3－15；②a 2＋6是a 1，a 3的等差中项；③2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，并解答．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，且满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设a n ＝b n －1b n ，求数列2n n 项和T n .注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，若选①：由S 3＝2a 3－15，得a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－15，所以a 3－a 2－a 1＝15，又由a 1＝3，可得3q 2－3q －18＝0，解得q ＝3或q ＝－2(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选②：由a 2＋6是a 1，a 3的等差中项，可得a 1＋a 3＝2(a 2＋6)，又因为a 1＝3，可得3＋3q 2＝2(3q ＋6)，即q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1(舍去)，所以a n ＝3×3n －1＝3n (n ∈N *)．若选③：由2S n ＝t n ＋1－3(t ≠0)，当n ＝1时，2a 1＝6＝2S 1＝t 2－3，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)，所以2S n ＝3n ＋1－3，当n ≥2时，2a n ＝2S n －2S n －1＝3n ＋1－3－(3n －3)＝2·3n ，所以a n ＝3n (n ≥2)．经验证当n ＝1时，满足a n ＝3n ，所以a n ＝3n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n ＝3n ，所以b n －1b n ＝3n ，n ＝9n ，所以b 2n ＋1b 2n＝9n＋2，所以T n 2122 (2)n (91＋2)＋(92＋2)＋…＋(9n ＋2)＝91＋92＋…＋9n＋2n ＝9（1－9n ）1－9＋2n ＝9n ＋1＋16n －98.解决非等差、等比数列求和问题的两种思路思路一转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成思路二不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和2.(2024·广东深圳中学月考)若一个数列的奇数项为公差为正的等差数列，偶数项为公比为正的等比数列，且公差、公比相同，则称数列为“摇摆数列”，其表达式为a n ＝1＋n －12d ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，2qn －22，n ＝2k ，k ∈N *，若数列{a n }(n ∈N *)为“摇摆数列”且a 1＝1，a 1＋a 2＝a 3，a 2a 3＝20.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ∑ni ＝1i 2解(1)＋a 2＝a 3，2a 3＝202＝4，3＝52＝－5，3＝－4(舍去)，∴d ＝q ＝4，∴a n n －1，n ＝2k ＋1，k ∈N ，n ，n ＝2k ，k ∈N *.(2)b n ＝na n n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，·2n ，n ＝2k ，k ∈N *.先求奇数项的和：b n ＝2n 2－n ，n ＝2k ＋1，k ∈N ，S n ＝2×[12＋32＋…＋(2n －1)2]－n 2，引入W n ＝22＋42＋…＋(2n )2＝4(12＋22＋…＋n 2)，12(S n ＋n 2)＋W n ＝∑2ni ＝1i 2＝n （2n ＋1）（4n ＋1）3⇒S n＝2(∑2ni ＝1i 2－W n )－n 2＝2n （2n ＋1）（4n ＋1）3－4×n （n ＋1）（2n ＋1）6－n 2＝8n 3－3n 2－2n 3，再求偶数项的和：b n ＝n ·2n ，n ＝2k ，k ∈N *，S n ′＝2×22＋4×24＋…＋2n ×22n ，4S n ′＝2×24＋4×26＋…＋2(n －1)×22n ＋2n ×22n ＋2，两式相减，得－3S n ′＝2×22＋2×24＋2×26＋…＋2×22n －2n ×22n＋2＝8×（1－4n ）1－4－2n ×22n ＋2＝（1－3n ）×22n ＋3－83，∴S n ′＝（3n －1）22n ＋3＋89，∴T 2n ＝S n ＋S n ′＝8n 3－3n 2－2n3＋（3n －1）22n ＋3＋89.考点三数列与不等式的综合问题例3(2023·安徽十校联考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2(n ≥2且n ∈N *)，a 2＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)n 项和为T n ，求证：23≤T n <1.解(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －1－a n ＝－2，所以a 1＋a 2＋…＋a n －a n ＋1＝－2，两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，当n ＝2时，a 1－a 2＝－2，又a 2＝4，所以a 1＝2，a 2＝2a 1，所以a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：因为2n（a n －1）（a n ＋1－1）＝2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1，所以T n …1－12n ＋1－1<1，由n ≥1，得2n ＋1≥4，所以1－12n ＋1－1≥23，综上，2≤T n <1.1．数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．2．放缩法常见的放缩技巧(1)1k 2＜1k 2－1＝121k －1－1k ＋1.(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k.(3)2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．(4)12n ＋1＜12n ＋1＜12n ，13n ＜13n －1≤12·3n －1.3.(2023·河南五市高三二模)已知数列{a n }满足a 1＝23，且2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，n∈N *.(1){a n }的通项公式；(2)记T n ＝a 1a 2a 3…a n ，n ∈N *，S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n .证明：S n 解(1)由2a n ＋1－a n ＋1a n ＝1，得a n ＋1＝12－a n ，则11－a n ＋1－11－a n＝1，是首项为11－a 1＝3，公差d ＝1的等差数列，所以11－a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，整理得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，经检验，符合要求．(2)证明：由(1)得a n ＝n ＋1n ＋2(n ∈N *)，T n ＝a 1a 2…a n ＝2n ＋2，∴T 2n ＝4（n ＋2）2>4（n ＋2）（n ＋3）＝∴S n ＝T 21＋T 22＋…＋T 2n －14＋…＋1n ＋2－即S n 考点四数列与函数的综合问题例4(2024·江苏辅仁中学阶段考试)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列前n 项和T n .解(1)由已知，得b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 的图象在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.则a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2，所以d ＝a 2－a 1＝1，从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n.所以T n ＝2n ＋1－n －22n.数列与函数综合问题的常见类型及注意事项常见类型类型一已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题类型二已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形注意事项注意点一数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或有限子集)，它的图象是一群孤立的点注意点二转化为以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题注意点三利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化4.(2024·湖南湘潭一中阶段考试)设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±2π3(k ∈Z )．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知，x n ＝2n π－2π3(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－2n π3＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sinn （n ＋1）π－2n π3.因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，所以n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin2n π3.当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sinS n ＝－m π＝－32；当n ＝3m －1(m ∈N *)时，sin S n ＝－m π＝32；当n ＝3m (m ∈N *)时，sin S n ＝－sin2m π＝0.综上所述，sin S nn ＝3m －2（m ∈N *），＝3m －1（m ∈N *），3m （m∈N *）.课时作业1．(2023·新课标Ⅱ卷){a n }为等差数列，b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，记S n ，T n 分别为数列{a n }，{b n }的前n 项和，S 4＝32，T 3＝16.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：当n >5时，T n >S n .解(1)设等差数列{a n }的公差为d ，而b n n －6，n 为奇数，a n ，n 为偶数，则b 1＝a 1－6，b 2＝2a 2＝2a 1＋2d ，b 3＝a 3－6＝a 1＋2d －6，4＝4a 1＋6d ＝32，3＝4a 1＋4d －12＝16，1＝5，＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋3，所以{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋3.(2)证法一：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝2(n －1)－3＋4n ＋6＝6n ＋1，T n ＝13＋（6n ＋1）2·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝32(n ＋1)2＋72(n ＋1)－[4(n ＋1)＋6]＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .证法二：由(1)知，S n ＝n （5＋2n ＋3）2＝n 2＋4n ，b n n －3，n 为奇数，n ＋6，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝－1＋2（n －1）－32·n 2＋14＋4n ＋62·n 2＝32n 2＋72n ，当n >5时，T n －S n 2＋72n (n 2＋4n )＝12n (n －1)>0，因此T n >S n ；当n 为奇数时，若n ≥3，则T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1)＝－1＋2n －32·n ＋12＋14＋4（n －1）＋62·n －12＝32n2＋52n －5，显然T 1＝b 1＝－1满足上式，因此当n 为奇数时，T n ＝32n 2＋52n －5，当n >5时，T n －S n 2＋52n －(n 2＋4n )＝12(n ＋2)(n －5)>0，因此T n >S n .所以当n >5时，T n >S n .2．(2023·江苏徐州第七中学校考一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝12·3n ＋b (b 为常数)．(1)求b 的值和数列{a n }的通项公式；(2)记c m 为{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数，求数列{a m c m }的前n 项和T n .解(1)由题设S n ＝12·3n ＋b ，显然等比数列{a n }的公比不为1，设{a n }的公比为q ，则S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝a 11－q －a 1q n1－q ，∴b ＝a 11－q ＝－12且q ＝3，∴a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)令－3m ≤3n －1≤3m ，n ∈N *，解得0≤n －1≤m ，∴1≤n ≤m ＋1，数列{a n }在区间[－3m ，3m ](m ∈N *)内的项的个数为m ＋1，则c m ＝m ＋1，∴a m c m ＝(m ＋1)×3m －1，∵T n ＝2×30＋3×31＋…＋(n ＋1)×3n －1，①3T n ＝2×31＋3×32＋…＋(n ＋1)×3n ，②两式相减，得－2T n ＝2×30＋31＋…＋3n－1－(n ＋1)×3n＝1＋1－3n1－3－(n ＋1)·3n ＝（－1－2n ）·3n ＋12，∴T n n －14.3．(2024·河南郑州外国语学校阶段考试)已知f (x )＝－4＋1x2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点P n n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，且a 1＝1，a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足T n ＋1a 2n ＝T na 2n ＋1＋16n 2－8n －3，确定b 1的值使得数列{b n }是等差数列．解(1)因为f (x )＝－4＋1x2，且点P n ，n ∈N *)在曲线y ＝f (x )上，所以1a n ＋1＝4＋1a 2n ，即1a 2n ＋1－1a 2n＝4，1为首项，4为公差的等差数列，所以1a 2n＝1＋4(n －1)＝4n －3，即a n ＝14n －3(n ∈N *)．(2)由(1)知T n ＋1a 2n ＝T n a 2n ＋1＋16n 2－8n －3，即为(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n －3)(4n ＋1)，整理得T n ＋14n ＋1－T n 4n －3＝1，T 1为首项，1为公差的等差数列，则T n 4n －3＝T 1＋n －1，即T n ＝(4n －3)(T 1＋n －1)，当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4b 1＋8n －11，若{b n }是等差数列，则b 1适合上式，令n ＝1，得b 1＝4b 1－3，解得b 1＝1.4．(2023·黑龙江齐齐哈尔模拟)在①S n ＝32a n －3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和；②a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }满足________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1为数列{a n }中的项？若存在，求出m ；若不存在，说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解若选择条件①：(1)令n ＝1，则a 1＝321－3，所以a 1＝6，由于S n ＝32a n －3，则当n ≥2时，S n －1＝32a n －1－3，两式相减，得a n ＝32a n －32a n －1，则a n a n －1＝3，所以{a n }是首项为6，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n ＝6×3n －1＝2×3n .(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则2×3m ＋2×3m ＋1＝2×3k ，所以4×3m ＝3k ，此等式左边为偶数，右边为奇数，所以不存在正整数m 满足题意．若选择条件②：(1)因为a 1＝1，a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a n ≠0，1a n ＋1－1a n＝1，是首项为1a 1＝1，公差为1的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝1n.(2)假设存在正整数m ，使得a m ＋a m ＋1＝a k (k ∈N *)，则1m ＋1m ＋1＝1k，化简得m 2＋(1－2k )m －k ＝0，解得m ＝2k －1＋1＋4k 22，因为2k <1＋4k 2<2k ＋1，所以2k －12<m <2k ，m 无正整数解，故不存在正整数m 满足题意．5．已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6.(1)求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ成立，求实数λ的取值范围．解(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6，得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，S n ＝n （9－n ）2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m 1－1281m ，的值随m 增加而减小，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n （9－n ）2＝－12(n 2－9n )－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ，则10＜8＋λ，解得λ＞2.故实数λ的取值范围为(2，＋∞)．6．(2024·河北衡水调研)已知数列{a n }满足a 1＝37，3a n ，2a n ＋1，a n a n ＋1成等差数列．(1){a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求证：1271S n <7528.解(1)由已知得4a n ＋1＝3a n ＋a n a n ＋1，因为a 1＝37≠0，所以由递推关系可得a n ≠0恒成立，所以4a n ＝3a n ＋1＋1，所以4a n －4＝3an ＋1－3，即1a n ＋1－1又因为1a 1－1＝73－1＝43，是首项为43，公比为43的等比数列，所以1a n －1，所以a n ＝11.(2)证明：由(1)可得a n ＝111－1＝37×－1，所以S n ≥37＋37×＋…＋37×－1＝1271a n ＝11<1，S 1＝37<7528，当n ≥2时，S n <37＋＋ (37)1－34＝7528－<7528.综上所述，1271S n <7528成立．。
2020版高考数学浙江专用二轮课件：2.3 数列部分 解答题 1 数列的求和问题
【拓展提升】分组转化法求和的常见类型
(1)若an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用
分组求和法求{an}的前n项和. (2)通项公式为an= cbnn，，nn为为偶奇数数，的数列,其中数列{bn}, {cn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
【变式训练】已知数列{an}的前n项和Sn=
(1
1 22
)
5. 64
【拓展提升】 1.用裂项法求和的裂项原则及规律 (1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项直到发 现被消去项的规律为止. (2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边 剩第几项,后边就剩倒数第几项.
2.裂项相消法求数列和的步骤 (1)求通项:利用求通项的常见方法求出数列的通项公 式. (2)巧裂项:对数列的通项公式准确裂项,表示为两项之 差的形式.
(3)消项求和:把握消项的规律,求和时正负项相消,只 剩下首尾若干项,准确求和.
1 2
B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n, 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2.
考向二 错位相减法求和 【例2】(2019·温州一模)设数列{an}的前n项和为Sn. 已知2Sn=3n+3①. 世纪金榜导学号 (1)求{an}的通项公式. (2)若数列{bn}满足anbn= log3an②,求{bn}的前n项和Tn.
式.
(2)求证:
Sn＞
1 2
4n 1 1 ②,n∈N*.
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
将点的坐标代入函数解析 式,构造新数列求解.
②
构造法求数列通项解答题
1.设数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记()2log 1n n b a =+，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和nS．答案：(1) 21nn a =- ；(2)()()111222n n n n ++-+-⋅ .解答： (1)11111211211201021n n n n n n n a a a a a a a a ++++=+∴+=++=≠∴+≠∴=+，（）（）,，，，∴{1}n a +是以2为公比、2为首项的等比数列，12n n a ∴+＝， ∴21nn a -＝；(2)22211221()(2)n n n n n n n n n a b log a log n b a n n n -∴+⋅∴⋅-⋅-＝，＝＝＝，＝＝，记122112222212122n n n A n A n n +=⨯+⨯++⋅∴=⨯++-⋅+⋅，（）， ()211121222222212212n n n n n A A A n n n +++-∴-=-=+++-⋅=-⋅=-⋅--（），1122n A n +∴=-⋅+（），()()()11121222n n n n S A n n ++=-+++-+-⋅＝．2. 已知数列{}n a ，0n a >，其前n 项和n S 满足122n n n S a +=-,其中*n ∈N ．(1){}n b 是等差数列； (2)设2nn n c b -=⋅，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：3n T ；(3)设14(1)2n bn n n d λ-=+-⋅（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立． 答案： (1)1n b n =+；(2)略； (3)-1 解答：(1)当1n =时，1124S a =-，∴14a =，当2n ≥时，1112222n nn n n n n a S S a a +--=-=--+，∴122nn n a a --=，∴11n n b b --=（常数）， 又1122a b ==，∴{}n b 是首项为2，公差为1的等差数列，1n b n =+． (2)12(1)2n n n n c b n -=⋅=+⋅， 所以2231222n n n T +=+++，231123122222n n n n n T ++=++++， 相减得23111111122222n n n n T ++=++++- 211111(1)13112211222212n n n n n n -++-++=+-=---，∴213333222n n n n n n T ++=--=-<，(3) 由n n d d >+1得10n n d d +-> ，1211()441120()2n n n n n n λλ++-+-+---> ，111134312012n n n n n λλ-+-->∴⨯--∴-<（），（），(i)当n 为奇数时，即12n λ-<恒成立，当且仅当n=1时，12n -有最小值为1，1λ∴<；(ii)当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，当且仅当n=2时，12n --有最大值-2，2λ∴>-．21λ∴-<<，又λ为非零整数，则λ=-1．综上所述：存在λ=-1，使得对任意*n ∈N ，都有n n d d >+1成立．3. 已知数列{}n a 的首项11a =，23a =，前n 项和为n S ，且*1121(2,)n n n n n nS S a n n N S S a +--+=≥∈-，设11b =，*12log (1)()n n n b a b n N +=++∈(1)设11114n b n n n n c a a +-++=，记1nn k k G c ==∑，试比较n G 与1的大小，并说明理由；(2)若数列{}n l 满足*2log (1)(n n l a n N =+∈），在每两个k l 与1k l +之间都插入12(1,2,k k -=3,,*)k N ∈个2，使得数列{}n l 变成了一个新的数列{}p t ，试问：是否存在正整数m ，使得数列{}p t 的前m 项的和2015m T =？如果存在，求出m 的值；如果不存在，说明理由． 答案： (1) n G 小于1；(2) 存在990m =使得2015m T = 解答： (1)由题意得1121n n n n n nS S a S S a +--+=-，有121n n a a +=+*(2,)n n N ≥∈得112(1)n n a a ++=+*(2,)n n N ≥∈， 又2112(1)a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+*()n N ∈ 又1+1=20a ≠，有10n a +≠，从而1121n n a a ++=+，故数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列.从而12n n a +=，即21nn a =-，从而12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +-=当2n ≥时，211b b -=，322b b -=，…，11n n b b n --=- 以上式子相加得(1)12n n n b -=+(2)n ≥，又11b =也适合，从而(1)12n n n b -=+， 则1111114211(21)(21)2121n b n n n n n n n n n c a a +-++++===-----， 2231111111111()()()1121212121212121nn k n n n k G c ++===-+-++-=-<-------∑(2)由(1)知22log (1)log 2nn n l a n=+==，数列{}p t 中，k l （含k l 项）前的所有项的和是0122(123)(2222)2k k -+++++++++⨯=(1)222k k k ++-， 当10k =时，其和为10552210772015+-=<， 当11k =时，其和为11662221122015+-=>， 又因为201510779384692-==⨯， 所以2810(1222)469990m =++++++=时，2015m T =所以存在990m =使得2015m T =.4. 已知数列{}n a 中，113,21(1)n n a a a n +==-≥，(1)设1(1,2,3)n n b a n L =-=，求证：数列{}n b 是等比数列； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)设12n n n n c a a +=，求证：数列{}n c 的前n 项和13n S <．答案： (1)略；(2) 21nn a =+；(3)略 解答：(1)由121n n a a +=-得112(1)n n a a +-=-即1121n n a a +-=-，又1n n b a =-，故12n nb b +=所以数列{}n b 是等比数列． (2)由(1)知{}n b 是1312b =-=，2q =的等比数列，故1112221n n n n n b b q a --====-，∴21nn a =+．(3)1111122(21)(21)11(21)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n n n n n c a a ++++++-+====-++++++，∴122311111111111()()()2121212121213213n n n n S ++=-+-++-=-<+++++++． 5. 设数列{}{},n n ab 均为正项数列，其中1122,1,3a b b ===，且满足： ,11,n n n a b a ++成等比数列，,1,n n n b a b +成等差数列.(1)(1)证明数列是等差数列；(2)求通项公式na ，nb ；(2)设1(2)n n x n a =+，数列{}n x 的前n 项和记为n S，证明：12n S <.答案： (1)略； (2)略 解答：(1)由题意可知：211n n n b a a ++=，12n n n a b b +=+，所以1n b +=2n ≥时，n b=，当2n ≥时，2n a ==所以数列是等差数列；因为1122,1,3a b b ===，所以222192b a a ====，故等差数列，)12n =-=)1n +，所以()2112n a n =+，()112n b n n =+，(2)由(I)可知()()212(2)12n n x n a n n ==+++，()111(1)(2)n n n n =-+++，所以121n n n S x x x x -=++++2112(1)(2)nnk k k x k k ====+⋅+∑∑12(1)(2)nk k k k =<⋅+⋅+∑111(1)(1)(2)nk k k k k =⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭∑()()11112122n n =-<⨯++ .6. 已知数列{}n a 的相邻两项1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -+=∈的两实根，且1 1.a =(1)求234,,a a a 的值； (2)求证：数列1{2}3nn a -⨯是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式． 答案：(1)2341,3,5a a a ===； (2)1[2(1)]3nn n a =-- 解答： (1)解：1,n n a a +是关于x 的方程2*20()n n x x b n N -⋅+=∈的两实根，112nn n n n n a a b a a ++⎧+=⎪∴⎨=⋅⎪⎩ ， 因为11a =，所以2341,3,5a a a ===．(2)111111222(2)333 1.111222333n n n n n n n n n nn n n a a a a a a +++-⨯--⨯--⨯===--⨯-⨯-⨯分 故数列1{2}3n n a -⨯是首项为12133a -=，公比为1-的等比数列．所以1112(1)33n n n a --⨯=⨯-，即1[2(1)]3n n n a =--．7. 已知数列{}n a 中，*1112,2(2,)n n a a n n N a -==-≥∈，设n S 是数列{}n b 的前n 项和，lg n n b a =，求99S .答案： 2 解答：111111111112,1,1,111111n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------=-∴-=∴==+∴-=-----, ()1111(1),11n n n n a n N a n-∴=+-=∴=+∈*- ,()1lg lg 1lg 1lg ,n n b a n n n ⎛⎫∴==+=+- ⎪⎝⎭99lg100lg99lg99lg98lg 2lg12S ∴=-+-++-=.8. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且首项113,3()n n n a a S n N *+≠=+∈.(1)求证：{}3n n S -是等比数列； (2)若{}n a 为递增数列，求1a 的取值范围. 答案： (1)略；(2) (9,3)(3,)-⋃+∞ 解答：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以123nn n S S +=+ ，,所以11323n n nn S S ++-=-，分 且130a -≠，所以{3}nn S -是以13a -为首项，以2为公比的等比数列；（2）由（1）得，113(3)2n n n S a --=-⨯，所以11(3)23n nn S a -=-⨯+ 当2n ≥时，2111(3)223n n n n n a S S a ---=-=-⨯+⨯，若{}n a 为递增数列，则1n n a a +>对*n N ∈恒成立 当2n ≥时，11(3)223n n a --⨯+⨯>211(3)223n n a ---⨯+⨯即22132[12()3]02n n a --⨯+->对2n ≥，*n N ∈恒成立 则19a >-， 又2113a a a =+>所以1a 的取值范围是(9,3)(3,)-⋃+∞. 9. 已知数列{n a }满足：411=a ，1231=-+n n a a （n N *∈）； 数列{nb }满足：n n n a a b -=+1（n N *∈）.(1)求数列{n a }的通项公式及其前n 项和n S ； (2)证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列. 答案：(1) 1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）, 221()3293()243413n n n S n n --=-⨯=+--（n N *∈）. (2)略. 解答：(1)由1231=-+n n a a ，得)1(3211-=-+n n a a . 因为411=a ，所以4311-=-a . 因此数列{1-n a }是以43-为首项，32为公比的等比数列.所以1)32(431-⨯-=-n n a ，即1)32(431-⋅-=n n a （n N *∈）.所以])32()32(1[431121-+++-=+++=n n n n a a a S49)32(321)32(1432-+=--⨯-=-n n n n （n N *∈）. (2)由(1)，得111)32(41])32(431[])32(431[--+⋅=⋅--⋅-=-=n n n n n n a a b .下面用反证法证明：数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.假设数列{n b }中存在三项t s r b b b ,,（t s r <<）按某种顺序成等差数列，由于数列{n b }是首项为41，公比为32的等比数列，于是有t s r b b b >>，则只能有t r s b b b +=2成立. 所以111)32(41)32(41)32(412---⋅+⋅=⋅⋅t r s ，两边同乘r t --1123，化简得r t r t s t r s ----+=⋅⋅23322.因为t s r <<，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{n b }中的任意三项不可能成等差数列.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n n S a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案：311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭解答：因为1(1)32n n n nS a n =-++- ①， 当1n =时，1111122a S a ==-⨯+-，即134a =-， 当2n ≥时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++- ②， ①-②得11111111(1)(1)1(1)(1)1222n n n n n n n n n n n n a a a a a -----=---+-+=----+， 当n 为偶数时，解得1112n na -=-+；当n 为奇数时，解得111111111212(1)32222n n n n n n a a -++-=-+-=-+--+=-， 综上，111,213,2n n nn a n +⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数，所以，当n 为偶数时，2111133234n n a a =-≤=-=， 当n 为奇数时，1113124n n a a +=-+≤=-， 又1()()0n n t a t a +--<等价于介于相邻两项之间，所以31144t -<<. 11. 数列{}n a 满足1=1a ，()()1=11n n na n a n n ++++，且2=cos 3n n n b a π，记n S 为数列{}n b 的前n 项和，求120S . 答案：7280解答：由()()1=11n n na n a n n ++++得，111n n a a n n +=++，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，且111a =，所以n a n n =，2n a n =，22cos3n n b n π=，所以 222222212011111234561202222S =-⨯-⨯+-⨯-⨯+-+22222221(1223456120)2=-+-⨯++-+-222222221[(123120)3(369120)]2=-++++-⨯++++22222221139(1240)(123120)22=⨯⨯⨯++-⨯++++140418111201212413972802626⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-⨯=；12. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S *()n N ∈，且满足21n n a S n +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求证：21223111112223n n n a a a a a a ++++<．答案： 解答：(1)∵21n n a S n +=+，令1n =，得123a =，∵21n n a S n +=+，∵112(1)1n n a S n --+=-+，*(2,)n n N ≥∈，分 ， 12n n n a a ++3111((2122n ++-++--． 13. 已知数列{}n a 中，311=a ，)(21*+∈-=N n a a a n n n . (1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列，并求{}n a 通项公式n a ；(2)设n nn a na b -=1，求证：21<∑=ni i b .答案：(1)证明见解答，121+=n n a ； (2)见解答． 解答：(1)由已知得：1211-=+nn a a ；∴)11(2111-=-+n n a a ，∴211111=--+nn a a ，所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为2111=-a ，公比为2的等比数列，∴n n n a 222111=⋅=--，∴121+=n n a . (2)n n n n na nab 21=-=， 令n n n S 222212+⋅⋅⋅++=，∴1322222121++⋅⋅⋅++=n n nS ， 相减得113222122121212121+++-=-+⋅⋅⋅+++=n n n n n n S ，∴2222<+-=n n n S .14. 已知函数()21f x x =+，数列{},{}n n a b 分别满足1(),()n n n a f n b f b -==，且11b =. 定义[]()x x x =+，[]x 为实数x 的整数部分，()x 为小数部分，且0()1x ≤<.(1)分别求{},{}n n a b 的通项公式； (2)记n c =()1nn a b +，求数列{}n c 的前项n 和. 答案：(1)12,12-=+=nn n b n a ；(2)1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩.(1)已知可得()21n a f n n ==+,即21na n =+;()1121n n n b f b b --==+,()1121n n b b -∴+=+,1121n n b b -+∴=+,所以数列{}1n b +为首相为112b +=,公比为2的等比数列.11222n n n b -∴+=⋅=,21n n b ∴=-.(2)依题意，11131,2 2a c b ==；22251,44a cb ==； 当3n ≥时，可以证明0212n n <+<，即21012nn +<<， 所以2121c ()3)22n n n n n n ++==≥（， 则112S =，2113244S =+=，117921...(3)248162n n n S n +=+++++≥． 令7921...(3)8162n n W n +=+++≥，117921...(3)216322n n W n ++=+++≥， 两式相减得291219253)42242n n n n n W n -++=---≥=（． ∴2533)2n n n S n +=-≥（，检验知，1n =不合，2n =适合， ∴1,12253,22n nn S n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪-≥⎪⎩．15. 数列{}n a 满足*196(,2)n n a n N n a -=-∈≥. (1)求证：数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； (2)若16a =，求数列{}lg n a 的前999项的和.(1)见解答；(2) 3999 3.S lg =+ 解答：(1)证明：11111131111=33393393n n n n n n n a a a a a a a --------=-=-----(n ≥2). ∴数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； (2)∵1a =6，由(1)知1111=+(-1)=.3333n nn a a -- 31*),N n a n n n+∴=∈（）,(lg lg(1)lg lg3*).N a n n n n ∴=+-+∈,(∴数列{}lg n a 的前999项和99932132100099()9S lg lg lg lg lg lg lg =+-+-+⋯+-999 3 10003999 3.lg lg lg =+=+16. 数列{}n a 满足11a =,132nn n a a +=+．(1)求证数列{}2n n a +是等比数列； (2)证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<…． 答案：(1)证明见解答； (2)证明见解答.解答：(1)由132+=+n n n a a 有,)2(3211n n n n a a +=+++,又321=+a , 所以{}nn a 2+是以3位首项,3为公比的等比数列； (2)由(1)知nn n a 23-=,又)2(223≥>-n nn n ,故221211111113232n nn a a a +++=+++--231113131222222nn ⎛⎫<++++=-< ⎪⎝⎭. 17. 已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. (1)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)证明：1231112na a a ++<…+.答案：(1)n a =312n -；(2)见解答解答：(1)证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+， 所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3， 所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.(2)由(1)知：n a =312n -，所以1231n n a =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅， 于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<. 18. 设111,(*)n a a b n N +==∈(1)若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；(2)若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的结论. 答案：(1)1n a ()*n N ∈； (2)存在，14c = 解答：(1)解法一：232,1a a == 再由题设条件知()()221111n n a a +-=-+ 从而(){}21n a-是首项为0公差为1的等差数列，故()21n a -=1n -，即()*1,n a n N =∈解法二：232,1a a ==可写为1231,1,1,a a a ==.因此猜想1n a =. 下用数学归纳法证明上式： 当1n =时结论显然成立.假设n k =时结论成立，即1k a =.则1111k a +===这就是说，当1n k =+时结论成立.所以()*1,n a n N =∈(2)解法一：设()1f x =，则()1n n a f a +=.令()c f c =，即1c =，解得14c =. 下用数学归纳法证明加强命：2211n n a c a +<<<当1n =时，()()2310,01a f a f ====，所以23114a a <<<，结论成立. 假设n k =时结论成立，即2211k k a c a +<<<易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()2121k c f c f a f a +=>>=即2221k c a a +>>>再由()f x 在(],1-∞上为减函数得()()()22231k c f c f a f a a +=<<=<. 故231k c a +<<，因此2(1)2(1)11k k a c a +++<<<，这就是说，当1n k =+时结论成立. 综上，符合条件的c 存在，其中一个值为14c =.解法二：设()1f x =，则()1n n a f a +=先证：01n a ≤≤()*n N ∈…………………………① 当1n =时，结论明显成立.假设n k =时结论成立，即01k a ≤≤ 易知()f x 在(],1-∞上为减函数，从而()()()01011k f f a f =≤≤<即101k a +≤≤这就是说，当1n k =+时结论成立，故①成立. 再证：221n n a a +<()*n N ∈………………………………②当1n =时，()()2310,01a f a f ====，有23a a <，即当1n =时结论②成立 假设n k =时，结论成立，即221k k a a +< 由①及()f x 在(],1-∞上为减函数，得()()2122122k k k k a f a f a a +++=>= ()()()()212221211k k k k a f a f a a +++++=<=这就是说，当1n k =+时②成立，所以②对一切*n N ∈成立.由②得21k a <即()22222122k k k a a a +<-+因此214k a <又由①、②及()f x 在(],1-∞上为减函数得()()221n n f a f a +> 即2122n n a a ++>所以211,n a +>解得2114n a +>. 综上，由②③④知存在14c =使2211n n a c a +<<<对一切*n N ∈成立.19. 数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈(1)证明：数列{}na n是等差数列；(2)设3nn b ={}n b 的前n 项和n S 答案： (1)数列{}na n是等差数列； (2)1(21)334n n n S +-⋅+=.解答：(1)证明：由已知可得，111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+， 所以{}n a n 是以111a=为首项，1为公差的等差数列. (2)由(1)得1(1)1na n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅. 1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅ ②①－②得12123333n n n S n +-=+++-⋅113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-.所以1(21)334n n n S +-⋅+=.20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥ 时，211458n n n n S S S S ++-+=+． (1)求4a 的值； (2)证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式． 答案： (1)78； (2)证明见解答；(3)()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．解答：(1)当2n =时，4231458S S S S +=+， 即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得：478a =(2)因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥）， 即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==， 所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列(3)由(2)知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列， 所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列， 所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.答案：(1)56-=n a n ； (2)详见解答； (3))0,41(-. 解答：(1)因为)(211n n n n b b a a -=-++，53+=n b n ， 所以()1122(3835)6n n n n a a b b n n ++-=-=+--=，所以是等差数列，首项为11=a ，公差为6，即56-=n a n .}{n a(2)由)(211n n n n b b a a -=-++，得n n n n b a b a 2211-=-++，所以}2{n n b a -为常数列，1122b a b a n n -=-，即1122b a b a n n -+=， 因为n n a a ≥0，*∈N n ，所以111122220b a b b a b n n -+≥-+，即n n b b ≥0， 所以}{n b 的第0n 项是最大项.(3)因为n n b λ=，所以)(211nn n n a a λλ-=-++，当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+⋅⋅⋅+-+-=---λλλλλλλ3)(2(2)(22211+-+⋅⋅⋅+-+-=---n n n n λλ+=n 2，当1=n 时，λ31=a ，符合上式， 所以λλ+=n n a 2，因为031<=λa ，且对任意*∈N n ，)6,61(1∈n a a ， 故0<n a ，特别地0222<+=λλa ，于是)0,21(-∈λ， 此时对任意*∈N n ，0≠n a ，当021<<-λ时，λλλ>+=n n a 22||2，λλλ<+-=--1212||2n n a ， 由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为0222<+=λλa ，最小值为λ31=a ，由题意，n ma a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，由61312>+λ及6123<+λ，解得041<<-λ， 综上所述，λ的取值范围是)0,41(-.22. 设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .(1) 求2a 的值;(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3)) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 答案： (1)4；(2)2*,n a n n N =∈； (3)见解答.解答：(1) 解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ 当1n =时,112212221233a S a a ==---=-又11a =,24a ∴= (2)解:2121233n n S a n n n +=---,n N *∈. ∴ ()()321112122333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- ①∴当2n ≥时,()()()111213n n n n n S n a =-+=--，②由① — ②,得 ()()112211n n n n S S na n a n n -+-=---+ ,1222n n n a S S -=- ,()()1211n n n a na n a n n +∴=---+ ,111n n a a n n +∴-=+,数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列. ()()2111,2nn a n n a n n n∴=+⨯-=∴=≥ ， 当1n =时,上式显然成立.2*,n a n n N ∴=∈；(3)证明:由(2)知,2*,n a n n N =∈①当1n =时,11714a =<,∴原不等式成立.②当2n =时,121117144a a +=+<,∴原不等式亦成立. ③当3n ≥时,()()()()221111,11n n n n n n >-⋅+∴<-⋅+ ()()()2221211111111111121324211n a a a n n n n n ∴+++=+++<+++++⨯⨯-⋅-⋅+111111111111111121322423522211n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111112132435211n n n n ⎛⎫=+-+-+-++-+- ⎪--+⎝⎭1111171117121214214n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=+--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴当3n ≥时,,∴原不等式亦成立.综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 23. 已知数列{}n a 满足11a =，11n n a aλ-=+，(1λ≠，2n ≥且*)n ∈N ． (1)求证：当0λ≠时，数列1{}1n a λ+-为等比数列； (2)如果2λ=，求数列{}n na 的前n 项和n S ； (3)如果[]n a 表示不超过n a 的最大整数，当1λ=时，求数列{[(1)]}n a λ-的通项公式．答案： (1)证明略； (2) 2222)1(21nn n n --+⨯-+；(3) []()()2)1(231212nnn n c ---+-++=．解答：(1)当0λ≠时，设11n n b a λ=+-，则 当2n ≥时，111111n n n n a b b a λλ--+-=+-． 因为 11n n a a λ-=+，所以 11111111n n n n a b b a λλλ---++-=+-11111()111111n n n n a a a a λλλλλλλλ----++--===++--为常数． 因为 11011a λλλ+=≠--，所以 数列1{}1n a λ+-是首项为1λλ-，公比为λ的等比数列． (2)由(1)知 2λ=时{1}n a +为首项为1λλ-，公比为λ的是等比数列，所以12nn a +=． 2n n na n n =-． 设212222n n A n =⨯+⨯++⨯， 则231212222n n A n +=⨯+⨯++⨯．相减得212222n n n A n +=----+⨯1(1)22n n +=-⨯+．设21222n n n B n =+++=+，n S =n n A B -=21(1)2222n n nn +-⨯+--．即n S =21(1)2222n n n n +-⨯+--．(3)由(1)可知111111n n n a λλλλλλ--=-=---． 设(1)11)1n n n n c a λλ=-=-=-， 由二项式定理可知1)(1)n n +为整数，所以1)(1)2,2,[]1)(1)1,2 1.n nn n nn k c n k ⎧+-=⎪=⎨+-=-⎪⎩*()k ∈N ． 所以3(1)[]1)(1)22nnnn c -=+--.24. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n n S a λλ=-+，(1λ≠±，*)n ∈N ． (1)如果0λ=，求数列{}n a 的通项公式；(2)如果2λ=，求证：数列1{}3n a +为等比数列，并求n S ； (3)如果数列{}n a 为递增数列，求λ的取值范围． 答案： (1)1n a =-；(2)1222333n n n n n S a ++=-=-；(3)1λ>或1λ<-． 解答：(1)0λ=时，n S n =-，当1n =时，111a S ==-， 当2n ≥时，11n n n a S S -=-=-， 所以1n a =-．(2)证明：当2λ=时，23n n nS a =-， 11123n n n S a +++=-， 相减得1123n n a a +=+．所以1112()33n n a a ++=+，又因为113a =，112033a +=≠，所以数列1{}3n a +为等比数列，所以1233n n a +=，1222333n n n n n S a ++=-=-．(3)由(1)可知，显然0λ≠当1n =时，则1111S a λλ=-+，得1211a λ=-． 当2n ≥时，1n n nS a λλ=-+，1111n n n S a λλ---=-+， 相减得12111n n a a λλλ-=+--， 即111()111n n a a λλλλ-+=++-+．因为1λ≠±，所以121011a λλλ+=≠+-．所以1{}1n a λ++为等比数列．所以12111()()111111n n n a λλλλλλλλλ-=-=---++-+． 因为数列{}n a 为递增数列，所以 10111λλλ⎧>⎪⎪+⎨⎪>⎪-⎩或 101011λλλ⎧<⎪⎪+⎨⎪<<⎪-⎩，所以λ的取值范围是1λ>或1λ<-．25. 已知数列{}n a 满足1112431n n n a a a -+=+⋅=，，求数列{}n a 的通项公式. 答案：114352n n n a --=⋅-⋅解答：解法一（待定系数法）：设11123(3n n n n a a λλλ-++=+⋅)，比较系数得124,2λλ=-=，则数列{}143n n a --⋅是首项为111435a --⋅=-，公比为2的等比数列，所以114352n n n a ---⋅=-⋅，即114352n n n a --=⋅-⋅解法二（两边同除以1+n q）： 两边同时除以13n +得：112243333n n n n a a ++=⋅+，下面解法略 解法三（两边同除以1+n p）： 两边同时除以12+n 得：nn n n n a a )23(342211⋅+=++，下面解法略 26. 在数列}{n a 中，,23,111n a a a n n +==+求通项n a .（逐项相减法） 解： ，,231n a a n n +=+ ①∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，两式相减得 2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b ，所以2351+⋅=-n n b ，即 13511-⋅=--+n n n a a ②再由累加法可得213251--⋅=-n a n n . 亦可联立①②解出213251--⋅=-n a n n .27. 在数列{}n a 中，362,2311-=-=-n a a a n n ,求通项n a .答案：96)21(9-+⋅=n a nn解答：原递推式可化为y n x a y xn a n n ++-+=++-)1()(21 比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b 所以{}n b 是一个等比数列，首项299611=+-=n a b ,公比为21.1)21(29-=∴n n b 即：nn n a )21(996⋅=+- 故96)21(9-+⋅=n a nn .28. 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式.答案：42231018n n a n n +=---解答：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ，比较系数得3,10,18x y z ===，所以2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ 由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++， 故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。
高考数学数列题型解题的方法总结
2021年高考数学数列题型解题的方法总结高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。
有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。
探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。
本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。
近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。
（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。
（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。
试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。
知识整合1. 在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2. 在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。
3. 培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法。
2021年高考数学解答题专项复习-《数列》(含答案)
2021年高考数学解答题专项复习-《数列》1.设{a}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．2.设{a}是等差数列，且a1=ln2,a2+a3=5ln2.n（1）求{a n}的通项公式；（2）求错误!未找到引用源。
.3.设数列{a}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.n（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足a n·b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n.4.已知{a}是公差为1的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和．5.已知数列{a}前n项和为S n,且S n=2n2+n,n∈N+,数列{b n}满足a n=4log2b n+3，n∈N+.n(1)求a n和b n的通项公式；(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.6.已知数列{a}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.n（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.7.S为数列{a n}的前n项和.已知a n＞0，=.n（1）求{a n}的通项公式；（2）设 ,求数列{b n}的前n项和.8.已知等差数列{a}满足a3=6，前7项和为S7=49.n（1）求{a n}的通项公式（2）设数列{b n}满足b n=(a n-3)·3n，求{b n}的前n项和T n.9.设数列{a}满足a1+3a2+...+(2n-1)a n=2n.n（1）求{a n}通项公式；（2）求数列的前n项和．10.已知等比数列{a}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列{b n}满足b1=1，n数列{（b n+1-b n）a n}的前n项和为2n2+n．（1）求q的值；（2）求数列{b n}的通项公式．11.已知数列{a}是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，，求数列{b n}的前n项和T n．12.已知数列{a}为递增的等差数列，其中a3=5，且a1,a2,a5成等比数列．n（1）求{a n}的通项公式；（2）设记数列{b n}的前n项和为T n，求使得成立的m的最小正整数．13.等比数列{a}的各项均为正数，且.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前n项和T n.14.已知数列{a}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设错误!未找到引用源。
专题19 常见数列通项公式的求解(解析版)
专题19 常见数列通项公式的求解一,题型选讲 题型一, 公式法若已知一个数列是等差数列或者等比数列则直接运用通项公式求,即可.例1,已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,其前n 项和为n S ,且2344026a a S ⋅==，． 则数列{}n a 的通项公式 ； 【答案】31n a n =-．【解析】 因为数列{}n a 是正项等差数列,设首项为1a ,公差为(0)d d >,所以111()(2)40,4(41)426,20.a d a d d a d ++=⎧⎪-⎪+=⎨⎪>⎪⎩ 解得123a d =⎧⎨=⎩,所以31n a n =-．题型二,之间的关系与s a nn用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2,将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题,则考虑转化为仅含有S n 的关系式,特别注意当n≥2时,S n －S n －1＝a n ,.例2,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)题型二,累加法若已知连续两项差的形式,形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2).则运用累加法进行求数列的通项.即：n ≥2时,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1．例3,(2019南京学情调研)在数列{a n }中,已知a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）(n ∈N *),则a 10的值为________．【答案】1910【解析】 由a n ＋1＝a n ＋1n （n ＋1）得a n ＋1－a n ＝1n －1n ＋1,故a 2－a 1＝1－12,a 3－a 2＝12－13,a 4－a 3＝13－14,…,a 10－a 9＝19－110,所以a 10＝1910.例4, 已知数列{}n a 满足11a =,21a =-,当3n ≥,n N *∈时,1312(1)(2)n n a a n n n n --=----． (1)求数列{}n a 的通项公式； 【解析】 ∵当3n ≥,n N *∈时,13113()12(1)(2)21n n a a n n n n n n --==-------, ∴3213(1)212a a -=-,34113()3223a a -=-,…,1113()1221n n a a n n n n --=-----． 把上面1n -个等式左右两边分别相加,得1213(1)11n a a n n --=---,整理,得25n a n =-． 当2n =时,满足．∴ 2.1,1,25,n n a n n =⎧=⎨-⎩≥题型三,叠乘法若已知连续两项的商的形式,形如a na n －1＝f (n )(n ∈N*且n ≥2),则运用叠乘法进行求数列的通项.即 ：n ≥2时,a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1．例5,(2018徐州期末)已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝2n a n －1(n ∈N *且n ≥2),则a n ＝ ． 【答案】a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．解析由题意,a na n －1＝2n ,a n －1a n －2＝2n －1, …, a 2a 1＝22, 叠乘得a n a 1＝2n ·2n －1·…·22＝2(n －1)(n ＋2)2, 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2(n ≥2),a 1＝1也符合． 所以a n ＝2(n －1)(n ＋2)2．题型四,构造法若一个数列既不是等差数列页不是等比数列,则考虑次数列加减一个实数或者变量,或者进行其它变形的处理得当一个特殊数列.形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N*且n ≥2,p ≠1) 化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋qp －1)形式．令b n ＝a n＋qp －1,即得b n ＝pb n －1,转化成{b n }为等比数列,从而求数列{a n }的通项公式． 例6,设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈.求数列{}n a 的通项公式. 【解析】2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. ∴ 321112(1)(2)2333n n n n n n S na n n n na ++++=---=- . ①∴当2n ≥时,1(1)(1)2(1)3n n n n n S n a =-+=--. ②由①—②,得 1122(1)(1)n n n n S S na n a n n -+-=---+.1222n n n a S S -=-,12(1)(1)n n n a na n a n n +∴=---+.111n n a a n n +∴-=+,∴数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为111a =,公差为1的等差数列.()()21112nn a n n a n n n，∴=+⨯-=∴=≥ . 当1n =时,上式显然成立. 2*,n a n n N ∴=∈. 例7,已知数列{a n }中,a 1＝1,且a n ＋1＋3a n ＋4＝0,n ∈N *. (1) 求证：{a n ＋1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式；(2) 数列{a n }中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列？若存在,求满足条件的项；若不存在,说明理由．规范解答 (1) 由a n ＋1＋3a n ＋4＝0得a n ＋1＋1＝－3(a n ＋1),n ∈N *.(2分) 其中a 1＝1,所以a 1＋1＝2≠0,可得a n ＋1≠0,n ∈N *.(4分)所以a n ＋1＋1a n ＋1＝－3,n ∈N *,所以{a n ＋1}是以2为首项,－3为公比的等比数列．(6分)所以a n ＋1＝2(－3)n －1,即a n ＝2(－3)n －1－1,则数列{a n }的通项公式为a n ＝2(－3)n －1－1,n ∈N *.(8分) (2)若数列{a n }中存在三项a m ,a n ,a k (m <n <k )符合题意,其中k －n ,k －m ,n －m 都是正整数．(9分) 分以下三种情形：①a m 位于中间,则2a m ＝a n ＋a k ,即2＝2(－3)n －1－1＋2(－3)k －1－1, 所以2(－3)m ＝(－3)n ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2＝(－3)n －m ＋(－3)k －m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；②a n 位于中间,则2a n ＝a m ＋a k ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)k －1－1,所以2(－3)n ＝(－3)m ＋(－3)k ,两边同时除以(－3)m 得2(－3)n －m ＝1＋(－3)k －m,即1＝2(－3)n －m －(－3)k－m,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去；③a k 位于中间,则2a k ＝a m ＋a n ,即2＝2(－3)m －1－1＋2(－3)n －1－1, 所以2(－3)k ＝(－3)m ＋(－3)n ,两边同时除以(－3)m ,得2(－3)k －m＝1＋(－3)n －m ,即1＝2(－3)k－m－(－3)n －m ,等式右边是3的倍数,等式不成立,舍去．(15分)综上可得,数列{a n }中不存在三项满足题意．(16分)题型五,总体代入形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n ) 列出⎩⎨⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作差得a n ＝f (n )－f (n －1)n(n ∈N *且n ≥2),或者列出⎩⎨⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2),两式作商得a n ＝f (n )f (n －1) (n ∈N *且n ≥2),例8,(2019镇江期末)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列,a 1＝2,a 2a 4＝64.数列{b n }满足：对任意的正整数n,都有a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. (1) 分别求数列{a n }与{b n }的通项公式．. 规范解答 (1)设等比数列{a n }的公比为q(q>0),因为a 1＝2,a 2a 4＝a 1q·a 1q 3＝64,解得q ＝2,则a n ＝2n .(1分) 当n ＝1时,a 1b 1＝2,则b 1＝1；(2分)当n≥2时,a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·2n ＋1＋2 ①, a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·2n ＋2 ②, ①－②得a n b n ＝n·2n ,则b n ＝n. 综上,b n ＝n.(4分)题型六,通项公式中奇偶性的讨论形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1),两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n ),即找到隔项间的关系．例9, 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11(1)(1)6()n n n a a a a S n ，+=++=+,*∈N n ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若对于n *∀∈N ,都有(31)n S n n +≤成立,求实数a 取值范围． 解 (1)当1n时,121(1)(1)6(1)a a S ,故25a ；当2n ≥时,11(1)(1)6(1)n nn a a S n ,所以+111(1)(+1(1)(1)6()6(1)n n nnnna a a a S n S n ）,即11(1)()6(1)n nn na a a a ,又0na ,所以116nna a , 所以216(1)66k a a k ka,25+6(1)61ka k k ,*kN ,故**33, ,,31, ,.nn a n n a n n n N N 为奇数为偶数二,达标训练1,(2018盐城三模)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*2()n n S a n n N =+∈,则数列{}n a 的通项公式为n a =▲ ．【答案】：12n-【解析】：因为2n n S a n=+,当1n =时,11121a S a ==+,即11a =-；当2n ≥时,()()111221221n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=+-+-=-+⎡⎤⎣⎦ ,即121n n a a -=- ,所以()1121n n a a --=- ,即1121n n a a --=- ,所以数列{}1n a -为首项112a -=- ,公比2q =的等比数列,所以1122n n a --=-⨯,即12n n a =-.2,(2019无锡期末)设等比数列{a n }的公比为q(q>0,q≠1),前n 项和为Sn,且2a 1a 3＝a 4,数列{b n }的前n 项和Tn 满足2Tn ＝n(bn －1),n ∈N *,b 2＝ 1.(1) 求数列 {a n },{b n }的通项公式； 解：(1) 因为2a 1a 3＝a 4,所以2a 1·a 1q 2＝a 1q 3, 所以a 1＝q 2,所以a n ＝q 2q n －1＝12q n .(2分)因为2T n ＝n (b n －1),n ∈N * ① 所以2T n ＋1＝(n ＋1)(b n ＋1－1),n ∈N ②②－①,得2T n ＋1－2T n ＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n ,n ∈N *. 所以2b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n －(n ＋1)＋n . 所以(n －1)b n ＋1＝nb n ＋1,n ∈N *, ③(4分) 所以nb n ＋2＝(n ＋1)b n ＋1＋1,n ∈N , ④④－③得nb n ＋2－(n －1)b n ＋1＝(n ＋1)b n ＋1－nb n ,n ∈N * 所以nb n ＋2＋nb n ＝2nb n ＋1,n ∈N *,所以b n ＋2＋b n ＝2b n ＋1, 所以b n ＋2－b n ＋1＝b n ＋1－b n ,所以{b n }为等差数列． 因为n ＝1时b 1＝－1,又b 2＝1. 所以公差为2,所以b n ＝2n －3.(6分)3,(2018南京学情调研)已知数列{a n }的各项均为正数,记数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n}的前n 项和为T n ,且3T n ＝S 2n ＋2S n,n ∈N *. (1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 由3T 1＝S 21＋2S 1,得3a 21＝a 21＋2a 1,即a 21－a 1＝0.因为a 1＞0,所以a 1＝1.(2分)(2) 因为3T n ＝S 2n ＋2S n , ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②②－①,得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＋2a n ＋1,即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )a n ＋1＋2a n ＋1,因为a n ＋1＞0,所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2, ③(5分) 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2, ④④－③,得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1,即a n ＋2＝2a n ＋1, 所以当n≥2时,a n ＋1a n＝2.(8分)又由3T 2＝S 22＋2S 2,得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2),即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0,所以a 2＝2,所以a 2a 1＝2,所以对n ∈N *,都有a n ＋1a n＝2成立,所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1,n ∈N *.(10分)4,(2018扬州期末)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n ＝a 2n ＋a n ,数列{b n }满足b 1＝12,2b n ＋1＝b n ＋b na n.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式； 规范解答 (1) 2S n ＝a 2n ＋a n ①,2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1 ②,②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0.因为{a n }是正数数列,所以a n ＋1－a n －1＝0,即a n ＋1－a n ＝1,所以{a n }是等差数列,其中公差为1. 在2S n ＝a 2n ＋a n 中,令n ＝1,得a 1＝1, 所以a n ＝n.(2分)由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列,其中首项为12,公比为12,所以b n n ＝⎝⎛⎭⎫12n ,即b n ＝n2n .(5分)5,(2018苏锡常镇调研)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,a 1＝3,且2S n ＝a n ＋1－3(n ∈N *)． (1) 求数列{a n }的通项公式；规范解答 (1) 2S n ＝a n ＋1－3,2S n －1＝a n －3(n≥2),两式相减,得2a n ＝a n ＋1－a n .即当n≥2时,a n ＋1＝3a n .(2分) 由a 1＝S 1＝3,得6＝a 2－3,即a 2＝9,满足a 2＝3a 1. 所以对n ∈N *,都有a n ＋1＝3a n ,即a n ＋1a n＝3.所以数列{a n }是首项为3,公比为3的等比数列,通项公式a n ＝3n .(4分)6, 已知各项均为正数的数列{}n a 的首项11a = ,n S 是数列{}n a 的前n 项和,且满足111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-= (n ∈N *)．(1)求证：1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项n a ．解 (1)因为111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++-+-=,所以1111112n n n n n n S S a a a a +++-+-=, 即111112n n n n S S a a ++++-=, 所以数列1n n S a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以2为首项,12为公差的等差数列．(2)由(1)可知112(1)2n n S n a +=+-⋅,即,31()22n n n S a +=+ ． ① 当n ≥2时, 111(1)2n n nS a --+=+． ②①－②得,13222n n n n n a a a -++=-． 即1(1)(2)n n n a n a -+=+,所以121n n a an n -=++ (n ≥2),所以2n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是常数列,且为13,所以1(2)3n a n =+．。
高考数学解答题(新高考)数列求和(倒序相加法、分组求和法)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题05 数列求和（倒序相加法、分组求和法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1、倒序相加法，即如果一个数列的前n 项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前n 项和.2、分组求和法2.1如果一个数列可写成n n n c a b =±的形式，而数列{}n a ，{}n b 是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2.2如果一个数列可写成n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数的形式，在求和时可以使用分组求和法.二、典型例题类型1：倒序相加法例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．100B ．105C ．110D ．115思路点拨：根据题意：，对应关系作用下的量“”和“”始终满足： ；再结合求解目标：，可使用倒序相加法解答过程：；倒序重写一次： ；两式相加因为函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=， 121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②， 由①+②可得21n a n =+，12n n a +∴=， 所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=. 故选：D.例题2．（2022·全国·高三专题练习）设函数()221x f x =+，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（ ） A ．9 B ．11C ．92D ．112思路点拨：通过观察求解目标：求，注意到对应关系作用下的量头尾复合关系“”，故先验证的值.解答过程：设 倒序重写一次： 则 两式相加()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++， 则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =. 故选：B.类型2：分组求和角度1：通项为n n n c a b =±型求和例题3．（2022·河南郑州·三模（文））已知数列{}n a 满足111,1n n a a S +==+，其中n S 为{}n a 的前n 项和，n *∈N ． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a -是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{}n b 的前n 项和． 【答案】(1)12n na (2)221n n -+(1)11a =，11n n a S +=+， 当1n =时，可得2112a a =+=．当2n ≥时，11n n a S -=+，则1n n n a a a +-=，即12n n a a +=，且212a a =． 故{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列 所以12n n a第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，并且知是首项为1，公差为2的等差数列，可先求出的通项，再求出的通项.解答过程：设的前项和为由是首项为1，公差为2的等差数列，，由（1）知注意到表达式为等差+等比；可用分组求和(2)由题意12(1)21n n b a n n -=+-=-，所以1221n n b n -=+-， 设{}n b 的前n 项和为n T()()()01121212112222132121.122n n n n n n n T b b b n n -+--=+++=+++++++-=+=-+- 角度2:通项为nn na n c bn ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数型求和例题4．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知数列{}n a 的前n 项和为112n n S a +=-，且214a = (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()0.5*log ,,n n n a n b n N a n ⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ； 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)211334nn +-⨯ (1)在数列{}n a 中， 由112n n S a +=-可知1212n n S a ++=-，两式作差可得()()1211212n n n n S a S a +++---=-，即2112n n a a ++=，当1n =时，1212S a =-，，即112a =，211412a a ==，所以数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，即1111222n nn a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；第（2）问解题思路点拨：由（1）知：，可代入到第（2）问中，求出的通项公式：，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧（注意到本例求解的为偶数项和，最后一项一定是代入偶数的通项公式，否则，若是求，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，则需要讨论）分组求和(2)由（1）知()*,1,2nn n n b n N n ⎧⎪=∈⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数为偶数，所以()()21321242n n n T b b b b b b -=+++++++()211113214162n n ⎛⎫=+++-++++ ⎪⎝⎭()111441211214nn n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦=+-211334nn =+-⨯. 例题5．（2022·江西·新余四中模拟预测（理））在数列{}n a 中，21,,2,n nn n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 (1)求1a ，2a ，3a ； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．第（2）问解题思路点拨：由题意知，注意到奇偶项通项不同，直接考虑分组求和.奇偶项通项不同，采用分组求和可作为一个解题技巧当为偶数时，数列{的前项中有个奇数项，有个偶数项． （注意到本例求解的，最后一项是代入奇数项通项，还是代入偶数项通项，需要讨论）（讨论时优先讨论为偶数）为奇数为偶数当为奇数时，为偶数，注意到为偶数，所以可使用偶数项和的结论，代入左侧求和结果：，则：，整理：综上：21n b -++1n a -+，注意到最后一项n 为偶数，再利用1n n a -+，其中奇数项，偶数项各为【答案】(1)11a =，24a =，35a =(2)212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 (1)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数所以12111a =⨯-=，2224a ==，32315a =⨯-=，(2)因为21,,2,,n n n n a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数 所以1a ，3a ，5a ，是以1为首项，4为公差的等差数列，2a ，4a ，6a ，是以4为首项，4为公比的等比数列．当n 为奇数时，数列的前n 项中有12n +个奇数项，有12n -个偶数项．所以()()1231322431n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++12211141411242214221423n n n n n n n -+⎛⎫++⎛⎫-- ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-； 当n 为偶数时，数列{{}n a 的前n 项中有2n 个奇数项，有2n个偶数项．所以()()1231331242n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ---=+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅++2224141242214221423nn n n n n n +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=⨯+⨯+=+-． 所以212224,,2324,.23n n n n n n S n n n ++⎧+-+⎪⎪=⎨--⎪+⎪⎩为奇数为偶数 三、题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+【答案】C由题已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，故()()F x F x -=-， 代入得：()11222f x f x x R ⎛⎫⎛⎫-++=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴函数()f x 关于点112⎛⎫⎪⎝⎭，对称， 令12t x =-， 则112x t +=-， 得到()()12f t f t +-=， ∵()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，倒序相加可得()221n a n =+， 即1n a n =+， 故选：C ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()113sin 22f x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2018B ．2019C ．4036D ．4038【答案】A()11113sin 22f x x x ⎛⎫-=-+-+ ⎪⎝⎭，()()12f x f x ∴+-=，令122018201920192019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则201712019201922018019S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得：222018S =⨯，2018S ∴=. 故选：A .3．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知函数()1e e xx f x =+，数列{}n a 为等比数列，0n a >，1831a =，则()()()()123365ln ln ln ln f a f a f a f a ++++=______．【答案】3652∵()e e 1xx f x =+，∴()()e e e e 1)e (e 1)2e e 1e 1e 1(e 1)(e (e 1)2e x x x x x x x xxx x x x xf x f x -------++++++-=+===++++++． ∵数列{}n a 是等比数列，∴2136523641831a a a a a ====，∴2136523643651183ln ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a a +=+==+==．设()()()36512365ln ln ln S f a f a f a =+++，①则()()()3653653641ln ln ln S f a f a f a =+++，②①＋②，得()()()()()()()()()3651365236436512ln ln ln ln ln ln S f a f a f a f a f a f a =++++++365=，∴3653652S =． 故答案为：36524．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()331xx f x =+，()x R ∈，正项等比数列{}n a 满足501a =，则()()()1299f lna f lna f lna ++⋯+等于______． 【答案】992因为3()31x x f x =+，所以33()()13131x xx x f x f x --+-=+=++．因为数列{}n a 是等比数列，所以21992984951501a a a a a a a =====，即1992984951ln ln ln ln ln ln 0a a a a a a +=+==+=．设9912399(ln )(ln )(ln )(ln )S f a f a f a f a =++++ ①，又99999897(ln )(ln )(ln )=++S f a f a f a ＋…＋1(ln )f a ②，①+②，得99299=S ，所以99992=S ． 5．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）设4()42xx f x =+，若122014()()()201520152015S f f f =++⋯⋯+，则S ＝________. 【答案】1007解：∵函数f （x ）442xx =+，∴f （x ）+f （1﹣x ）11114444442424242(42)44242x x x x x x xx x x x x x ----⋅=+=+=+=++++⋅++ 1 故可得S ＝f （12015）+f （22015）…+f （20142015）＝1007×1＝1007, 故答案为：10076．（2022·全国·高二课时练习）已知()442xx f x =+，求122010201120112011f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1005.因为()442x x f x =+，所以()1144214242442x x xx f x ---===++⨯+， 所以()()11f x f x +-=.令12200920102011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 倒写得20102009212011201120112011S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 两式相加得22010S =，故1005S =.7．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n a S +=. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)22122++⎛⎫- ⎪⎝⎭nn n(1)∵1n n a S +=，① 当1n =时，111a a +=，即112a =， 当2n ≥时，111n n a S --+=．②由①－②得120n n a a --=，即112n n a a -=， ∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(2)由（1）知22lo 111log 222g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-nnnn n n n b a a ，∴()121211112222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nn n n T b b b∴()()21112211121112222212⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++++⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-nn n n n n n n n ．8．（2022·广东·二模）已知递增等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2134a a a =，314S =． (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n b 满足()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩，求数列{}n b 的前15项和． 【答案】(1)2n n a =(2)92(1)设{}n a 的公比为q ，则由2134a a a =，得21114a q a a q =⋅．整理得14a q =．又314S =，得()21114a q q ++=．联立得()1214114a q a q q =⎧⎪⎨++=⎪⎩，消去1a ，得22520q q -+=． 解得2q 或12q =． 又因为{}n a 为递增等比数列， 所以2q，12a =．所以112n nn a a q -==．(2)（方法一）当1k =时，()1*,31,03n a n b n N n =⎧=∈⎨<<⎩，则121b b ==，312b a ==，同理，列举得452b b ==，2622b a ==，783b b ==，3932b a ==，10114b b ==，41242b a ==，13145b b ==，51552b a ==．记{}n b 的前n 项和为n T ，则 151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-． 所以数列{}n b 的前15项和为92．（方法二）由()()*,3,313k n a n k b k N k k n k=⎧=∈⎨-<<⎩， 得()*,32,31,3n k k n k b k n k k N a n k =-⎧⎪==-∈⎨⎪=⎩，记{}n b 的前n 项和为n T ，则151215123451122334455T b b b a a a a a =+++=++++++++++++++ ()()1234521234522222=⨯+++++++++()()5212155292212⨯-+⨯=⨯+=-． 所以数列{}n b 的前15项和为92．9．（2022·甘肃兰州·一模（理））在①5913S S =，②2a 是1a 和4a 的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：已知公差d 不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，36a =．(1)______，求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列2n a n b =，n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】(1)答案见详解；(2)()24413n n T n n =++- (1)选①：由于()1553552a a S a +==，()1995992a a S a +== 所以53955193S a S a ==，又36a =，所以510a =，故()53122d a a =-= 所以()332n a a n d n =+-=；选②：2a 是1a 和4a 的等比中项，则2214a a a =，所以()()()23332d d a d a a -=-+，又36a =，解得2d =，0d =（舍去）所以()332n a a n d n =+-=；(2)24==n a n n b ，24n n n n c a b n =+=+，则()()()22422424n n T n =++⨯++++ ()()2212444n n =+++++++ ()()22414441143n n n n n n -=++=++-- 10．（2022·重庆·二模）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，()2243n n n a a S n *+=+∈N .若数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=()n N *∈. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设()()1,21,,2,n n n n k k NS c b n k k N **⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩，求数列{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】(1)21n a n =+，2n n b =(2)1244213n n n T n +-=++ (1)由0n a >，2243n n n a a S +=+①，得：当1n =时，211230a a --=,解得13a =或11a =-（负值舍去），当2n ≥时，2111243n n n a a S ---+=+②，-①②得：()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+， 所以12n n a a --=，所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.所以()*21n a n n N =+∈.因为数列{}n b 满足12b =，24b =，212n n n b b b ++=.所以数列{}n b 是等比数列，首项为2，公比为2.所以2n n b =.(2)因为()*21N n a n n =+∈，所以()()2321222n n n S n n n n ++==+=+， 所以()()242211112221335572121n n T n n =+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ ()414111111111233557212114n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41411122114n n -⎛⎫=-+ ⎪+-⎝⎭ 144213n n n +-=++. 11．（2022·陕西咸阳·二模（理））已知函数()()*21f n n n N =-∈，数列{}n b 满足()()*2f n n b n N =∈.数列{}n a为等差数列，满足11a b =，322a b =-.(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n S .【答案】(1)2n a n =；212n n b -=；(2)21212233n n S n n +=⋅++-. (1)由题意得：212n n b -=，112a b ==，3226a b =-=，∴等差数列{}n a 的公差3122a a d -==， ()2212n a n n ∴=+-=；(2)由（1）得：2122n n n a b n -+=+；()()()()1352121421232222114n n n S n n n --∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=++-()()2122121412333n n n n n n +=++-=⋅++-。
三类数列通项公式问题的解法
解题宝典数列通项公式问题的命题形式有很多种,这一问题的综合性较强.当遇到一些陌生的、复杂的递推式时,很多同学常常会束手无策.为解决这一问题，帮助同学们提高解题的效率，笔者对下列三类数列通项公式问题及其解法进行了总结.一、a n +1=pa n +q 型问题对于形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)的数列通项公式问题，一般地，可将其转化为a n +1+λ=p (a n +λ)的形式，构造出等比数列{}a n +λ，然后通过对比系数建立关系式，求得λ=qp -1,便可根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例1.若数列{}a n 的前n 项和为S n ,且S n =n -5a n-85,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：由S n =n -5a n -85,n ∈N *,①可得a 1=S 1=1-5a 1-85，即a 1=-14.而S n +1=()n +1-5a n +1-85,②将②-①可得a n +1=1-5()a n +1-a n ，设a n +1+x =56()a n -x ,则x =-1,即a n +1-1=56()a n -1,n ∈N *，所以{}a n -1是首项为a n -1=-15、公比为56的等比数列，则其通项公式为a n -1=-15×æèöø56n -1，则a n =-15×æèöø56n -1+1.我们首先由数列的通项公式与前n 项的和公式之间的关系：a n ={S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2,求得a n 的表达式.而该表达式形如a n +1=pa n +q (p ,q 为常数)，于是引入参数x ，构造出等比数列{}a n -1，根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.二、a n =pa n -1+f ()n 型问题当遇到a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题时，通常可根据题意寻找关于n 的函数g (n ),以此为切入点构造新的递推关系式：a n +g ()n =p [a n -1+g (n -1)],如此便可得到一个等比数列{}a n +g ()n ，继而根据等比数列的通项公式求出数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=2a n -n 2+3n ,n ∈N *,求数列{}a n 的通项公式.解：若{}a n +λn 2+μn 为等比数列，则存在q ≠0，使得a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，将a n +1=2a n -n 2+3n ，代入a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 中，可得()q -2a n +()λq -λ+1n 2+()μq -2λ-μ-3n -λ-μ，而a n +1+λ()n +12+μ()n +1=q ()a n +λn 2+μn 对任意n ∈N *恒成立，所以ìíîïïïïq -2=0,λq -λ+1=0,μq -2λ-μ-3=0,-λ-μ=0,解得ìíîïïq =2,λ=-1,μ=1.即当λ=-1，μ=1时，数列{}a n +λn 2+μn 是公比为2的等比数列，其通项公式为a n =2n -1+n 2-n .a n =pa n -1+f ()n 型的数列通项公式问题较为复杂.在解题时，我们需以关于n 的函数g (n )为切入点，构造出新等比数列，从而使问题获解.三、a n +1=pa n +q ∙r n 型问题对于形如a n +1=pa n +q ∙r n型的数列通项公式问题，我们一般可采用如下两种思路来求解.一是在递推式的两边同时除以r n ，二是在递推式两边同时乘以λ∙r n +1.然后将所得的关系式进行整理，将问题转化为求a n +1=pa n +q 型的数列通项公式问题进行求解.例3.已知a 0为常数，且a n =3n -1-2a n -1,n ∈N *.证明对于任意n ≥1,都有a n =15[]3n+(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2na 0.证明：∵a n =3n -1-2a n -1()n ∈N *，∴a n 3n =13-23∙a n -13n -1设b n =a n3n ,∴b n =-23∙a n -13n-1+13，∴b n -15=-23æèöøb n -1-15，∴{}b n -15是以b 1-15=23æèöø15-a 0为首项，-23为公比的等比数列，∴b n -15=æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n，∴a n 3n =b n =æèöø15-a 0(-1)n -1æèöø23n+15，∴a n =15[]3n +(-1)n -1∙2n +(-1)n ∙2n a 0.这里在递推式的两边同时除以3n ，通过代换，将问题转化为a n +1=pa n +q 型问题，构造出等比数列，然后根据等比数列的通项公式来求得结果，证明结论.虽然数列通项公式问题具有一定的难度，但是我们只要学会将一些陌生的、非常规的数列问题转化为熟悉的、常规的数列问题，就可以将复杂的问题简单化，从而提高解答数列通项公式问题的效率.(作者单位:重庆市开州区陈家中学)熊启英43。