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第五章李雅普诺夫稳定性分析
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
n维离散系统李雅普诺夫指数
n维离散系统李雅普诺夫指数
在数学和动力系统理论中，n维离散系统的李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是一种描述系统稳定性和混沌性质的重要指标。
它衡量了在系统的相空间中初始条件微小变化的指数增长率。
对于一个n维离散系统，设其状态变量为x=[x1, x2, ..., xn]，时间步长为τ。
考虑一个由初始条件x0引起的微小扰动，用δx 表示，表示初始条件发生微小变化后得到的新状态变量。
通过迭代系统的动力学方程，可以得到δx的演化方程：
δx(t+τ) ≈ J(t) δx(t)
其中，J(t)表示系统在时间t处的雅可比矩阵，其定义为系统状态变量对于时间的导数。
李雅普诺夫指数λ定义为：λ = lim (1/t)log‖J(t)δx(0)‖
其中，t趋近于无穷大，‖‖表示向量的模。
李雅普诺夫指数的值可以为正、负或零，分别表示系统的指数增长、指数衰减或者不变。
n维离散系统的李雅普诺夫指数对于系统的稳定性和混沌性有着重要的意义。
当所有的李雅普诺夫指数都为负时，系统是稳定的；当至少一个李雅普诺夫指数为正时，系统是混沌的；而当所有的李雅普诺夫指数为零时，系统是边界稳定的或周期性的。
通过计算和分析系统的李雅普诺夫指数，可以揭示系统的
动力学性质，例如系统的稳定性、周期性还是混沌性质，并对系统的行为进行预测和控制。
因此，李雅普诺夫指数在动力系统理论和非线性科学领域有着广泛的应用。
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
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李雅普诺夫指数• 1.李雅普诺夫指数的定义• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。
李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapunov指数。
一维映射就对应一个李雅普诺夫指数,而且当时,该系统具有混沌特性。
当时,对应着分岔点或系统的周期解,既系统出现周期现象。
时,系统有稳定的不动点,即此时对应的是一个点。
而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。
Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度,仅从数学角度考虑,Lyapunov特性指数无量纲。
n 维系统具有n 个Lyapunov 特性指数,形成指数谱。
其中数值最大的被称为最大Lyapunov 特性指数。
最大Lyapunov 指数定义为其中,表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。
最大Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标,也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。
其中一维系统只有一个指数,二维系统有两个指数来表征。
在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.二李雅普诺夫指数的物理意义系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时,系统对初值的敏感性。
指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的,此方向的运动是稳定的；而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠,以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关,从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测,即所谓的初值敏感性。
李雅普诺夫方法
满足渐近稳定的球域 S ( )只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 x e 为局部渐近稳定，并且称S ( ) 为渐近稳定吸引区，表示只 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态x e 。
线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。
一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为V ( x , t )， 如果不显含时间 t ，则表示为V ( x ) 。
（一）预备知识
1．标量函数的定号性 设 V ( x ) 为关于n维向量 x 的标量函数，并且在 x 0 处，有V(x) 0，
则对于任意的非零向量 x 0 ，有：
① 若V(x) 0 ，V ( x ) 为正定； ② 若V(x) 0 ，V ( x ) 为正半定；
条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。
2．渐近稳定判定定理2 ：
系统及平衡状态同上，如果 V ( x , t ) 满足条件：
（1） V ( x , t ) 为正定；
（2） V&( x,t) 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 x 0 有V&(x,t) 0 ； 则系统的平衡状态x e 0 是渐近稳定的。同样，如果还满足
3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在x e 0 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 f ( x ) 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。
李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统控制领域被广泛研究，并被广泛应用在科
学和工程中。
李雅普诺夫稳定性特征根分布是对一个系统的稳定性的影响因素的研究和分析。
李雅普诺夫稳定性特征根分布可以通过一个表达式来表示：λn=(-
βn)+(α+(2π/πn))^2，其中λn为特征根，εn为特征值，α为系统系数，和
πn为系统周期。
它表示了系统的稳定性特征根分布和稳定性特征值分布之间的关系。
由于特征根和特征值严格地反映了一个系统的稳定性，所以李雅普诺夫稳定性
特征根分布被用于分析一个系统的稳定性。
该分布一般包括一个特征根的实部和虚部，它们的关系可以描述为：如果特征根的实部都大于零，则系统是稳定的；如果特征根的实部小于零，则系统是不稳定的；如果特征根的实部有正有负，则系统就会出现振荡。
为了检验一个系统的稳定性，通常先用信号在控制系统上模拟，然后计算系统
的特征根和特征值，并绘制出李雅普诺夫稳定特征根分布图表。
通过该图表分析，如果特征根的实部均大于零，则系统的稳定性得到证明；如果有负特征根，则系统就是不稳定的。
通过李雅普诺夫稳定性特征根分布曲线，在一定程度上可以反映出系统稳定性，从而用于系统状态的判断，以此为基础，改正或调节系统，提高系统的效率，获得更好的性能。
因此，李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统应用和控制中有着重要的应用，为后续的系统控制工作提供了可取的依据。
第4章李雅普诺夫稳定性分析
第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。
李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。
在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。
平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。
在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。
接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。
根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。
不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。
这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。
周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。
这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。
当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。
通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。
如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。
总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。
不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。
04第四章 李雅普诺夫稳定性理论汇总
系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )
1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。
主要内容：
李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令
1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe
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李雅普诺夫指数
• 1.李雅普诺夫指数的定义
• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义
• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用
一李雅普诺夫指数的定义
李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。
李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：
（1）
并利用微分中值定理有：
（2）
n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：
（3）
由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：
其中
那么式（4）就变为：
（5）
则称（6）为Lyapunov指数。
一维映射就对应一个李雅普诺夫指数,而且当时,该系统具有混沌特性。
当时,对应着分岔点或系统的周期解,既系统出现周期现象。
时,系统有稳定的不动点,即此时对应的是一个点。
而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。
Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度,仅从数学角度考虑,Lyapunov特性指数无量纲。
n 维系统具有n 个Lyapunov 特性指数,形成指数谱。
其中数值最大的被称为最大Lyapunov 特性指数。
最大Lyapunov 指数定义为
其中,表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。
最大Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标,也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。
其中一维系统只有一个指数,二维系统有两个指数来表征。
在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.
二李雅普诺夫指数的物理意义
系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时,系统对初值的敏感性。
指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的,此方向的运动是稳定的；
而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠,以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关,从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测,即所谓的初值敏感性。
进一步意义
•设某一系统的指数谱为
•（从大到小排列）,若该系统具有混沌吸引子,则必须同时满足以下条件
•（1）至少存在一个正李雅普诺夫指数
•（2）至少存在某一指数为0
•（3）指数谱之和为负。
三此指数在混沌系统中的应用
•混沌运动的基本特点是运动状态对初始条件的高度敏感性。
两个极为靠近的初值所产生的轨道,随时间推移按指数形式分离,Lyapunov指数是定量描述这一现象的量。
对所讨论的Duffing振子,若它的Lyapunov指数均小于零, :若存在一个Lyapunov特性指数大于零,就说明系统是处于混沌状态。
这种判别方法计算简单,物理意义明确,误差小。
五计算此指数的几种方法
•用Logistic映射产生的模拟时间序列数据,采用两种从实验数据时间序列恢复动力学的方法,计算混沌吸引子的Lyapunov 指数。
•一种方法是S.J.Chang和J.Wright提出的混合嫡法〔8一〕,这种方法特别适合一维的实验系统。
另一种方法是A.wolf提出的重构吸引子法〔7〕,这种方法可以推广到相空间维数及动力学规律都不知道的更普遍的实验系统,在原则上可以计算系统的全部正Lyapunov指数谱。
具体的方法还有
1.从动力学规律计算Lyapunov指数
2. Chang一Wright混合嫡法
Chang一wright混合嫡法仅适用于可化为一维凸映射的情况。
一般来说,总点数N及盒子数凡越大,所得结果越精确。
3. Wolf重构法
Wolf重构法以Takens的延迟坐标重构相空间技术为基础,对于一个由观测得到的实验数据时间序列x(t)以延迟坐标重构m 维相空间中的一条轨道,
计算最大Lyapunov指数的Wolf程序,一般适合于嵌入维m>1的重构吸引子的时间序列。
知识改变命运。