李雅普诺夫指数讲解
4. 李亚普诺夫稳定性分析
如果 pij p ji ，则P为实对称阵。
例
2 2 2 V ( x) x1 2 x1x 2 x2 x3 ( x1
x2
1 1 0 x1 x3 )1 1 0 x2 0 0 1 x 3
P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过线性 变换 x Tx ， V ( x) xT Px x T T T PTx x T T 1 PTx
s 1
1
系统输出稳定。
5.3 李雅普诺夫第二方法
预备知识： 1. 标量函数的符号性质 V ( x) 为n维矢量x所定义的标量函数，且在 x 0处， 恒有V ( x) 0 。对任意x，如果： 1）V ( x) 0 ，则 V ( x) 为正定的。 2）V ( x) 0 ，则 V ( x) 为负定的。 3）V ( x) 0 ，则 V ( x) 为半正定的。 4）V ( x) 0 ，则 V ( x) 为半负定的。 5）V ( x) 0 或V ( x) 0 ，则 V ( x) 不定的
P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过线性 变换 x Tx ，
V ( x) x T Px x T T T PTx x T T 1 PTx 1 2 0 T T x Px x 0 n x
n
i 1
i xi2
特征值： 1 , 1
系统不是渐进稳定的。
系统传递函数： W ( s ) c( sI A) 1 b
传递函数的极点
s 1 0 1 1 0 0 s 1 1 s 1 1 ( s 1)(s 1) s 1
定义8 大范围渐进稳定: 如果 是稳定的，而且从状态空间中所有初始条件 出发的轨线都是渐进稳定的，则称这种平衡状态是 大范围渐进稳定
-Lyapunov指数的计算方法
【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。
关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。
（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。
以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫方法
李雅普诺夫方法（Lipunov Method）是一种分析系统的动力学性质的方法，它可以用来估计系统的稳定性和收敛性。
它也被称为“Lyapunov函数”或者“Lyapunov理论”。
这种方法最初是由俄罗斯物理学家谢尔盖·李·雅普诺夫（Sergi Lyapunov）提出的。
李雅普诺夫方法是一种可以用来评估系统的稳定性和收敛性的动态分析方法，它是基于系统中用于表示系统状态的状态变量的无穷级数而设计的。
这种方法被广泛应用于工程、科学和数学领域，用于对各种动力学系统的性能进行研究。
在李雅普诺夫方法中，通常使用一个叫做Lyapunov函数的函数来表示系统的状态。
Lyapunov函数是一个满足特定条件的函数，它表示系统当前状态与其原始状态之间的差异。
Lyapunov函数的计算依赖于系统中的状态变量，因此，通过计算Lyapunov函数，可以检测出系统内部是否存在不稳定性（即状态变量的变化率大于期望）。
李雅普诺夫方法可以用来识别系统的稳定性，以及在系统状态发生变化时，系统的性能如何受到影响。
在工程和科学应用中，李雅普诺夫方法可用于模拟和分析系统的行为，以及系统的性能如何受到不确定性因素的影响。
李雅普诺夫方法有许多优点，其中最重要的是它可以用来判断系统的稳定性和收敛性，并评估系统性能的变化情况。
此外，它还可以用来分析系统中存在的非线性关系，以及系统在非线性环境下的行为。
它也可以帮助人们更好地理解系统的行为，从而改善系统的性能。
总之，李雅普诺夫方法是一种用于分析系统的动力学性质的有效方法，它可以用来估计系统的稳定性和收敛性，并且可以分析系统的行为，从而改善系统的性能。
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
李亚普诺夫稳定性分析
x1x1
0 x2
x23
0
的解，即下述状态空间中的三个状态为其平衡状态。
0 xe,1 0
0 xe,2 1
0 xe,3 1
对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，因此对 于系统而言只有一种稳定性，可以一般地说系统是否稳定。对 于非线性系统，由于系统中可以存在不同的平衡状态，而不同 的平衡状态又可以有不同的稳定性，所以，一般来说，只能提 某一平衡状态的稳定性，不能笼统地谈系统的稳定性。
令
x 所 0求得的解 x ,便是平衡状态。
李亚普诺夫稳定性分析
➢ 由于导数表示的状态 的运动变化方向,因此 平衡状态即指能够保 持平衡、维持现状不 运动的状态,如图所示。
平衡态 平衡态
平衡态
李亚普诺夫稳定性分析
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0
当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡状态 xe=0;
李亚普诺夫稳定性分析
4 大范围(全局）渐近稳定性
当初始条件扩展至整个状态空间，且平衡状态具有渐近稳定性时，
称此平衡状态是大范围渐近稳定的。此时 ,S() 。
对于线性定常系统,因为线性系统稳定性与初始条件的 大小无关，所以如果其平衡状态是渐近稳定的,则一 定是大范围渐近稳定的。
✓ 但对于非线性系统则不然,渐近稳定性是一个局部性 的概念,而非全局性的概念。
不定性:V ( x ) 在域S内可正可负，则称V ( x ) 不定。如 V(x)x1x2 是不定的。
二次型函数 是一类重要的标量函数，记
p11 p1nx1
V(x)xTP xx1 xn
其中，P 为对称矩阵，有 pij p ji 。 pn1 pnnxn
李雅普诺夫方法(专业课堂)
对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
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2
2．内部稳定性 考虑输入量为零时的线性系统
x(t) = A(t) x(t)
x
(t
)
t
t0
x(t0 )
x0
如果由非零初始状态 x0引起的系统自由运动x(t) 有界，即：
x(t) k
并满足渐近属性，即 lim x(t) 0 ，则称该系统是内部稳定的。 t 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平
4．不稳定判定定理： 如果 V (x,t) 满足条件： （1）V (x,t) 为正定； （2）V ( x,t) 为正定；
则系统的平衡状态xe 0是不稳定的。
条件（2）表明“能量”函数随着系统的运动不断增大，即运动沿着 越来越远离平衡点的大“能量”方向进行。
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如果上述定理的条件（2）为V (x,t) 0 即正半定时，也可推论出 两种情况：
④ 若 i 0
i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
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（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
设系统的状态方程为 x = f (x,t) ，且其平衡状态为 xe 0 ，如 果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数 V (x,t) ，并且满足 条件：
（1）V (x,t) 为正定；
线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。
渐近稳定等同于工程上稳定的概念。有界性，渐近性
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3. 不稳定
无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域内S( ) 总存在非
李亚普诺夫方法
麻省理工学院电气工程与计算机科学系6.241：动态系统－2003年秋复习 6李亚普诺夫方法在这一小节中我们将回顾稳定性的概念，并使用李亚普诺夫直接法、间接法对系统平衡点附近的稳定性进行分析。
接下来我们将提供一系列的例子。
稳定性的定义考虑一个自由（时不变）非线性系统，该系统可以描述为()(())x t f x t •=。
这个系统的一个平衡点就是方程的一个根。
因为任意一个平衡点()0f x −=x −不在原点的系统都可以很方便的转化为一个平衡点在原点的相似系统（例如，令z x x −=−），所以在定义中，我们假定所讨论的系统的平衡点在原点。
如果对于任意给定的0ε>，都存在0δ>，使得若0()x t δ<，()x t ε<对于一切都成立，那么称系统在原点附近的平衡点是李亚普诺夫意义下稳定的（i.s.L ）。
如果系统在原点附近的平衡点附近是稳定的，并且存在0t t >0α>，使得若0()x t α<，则当时，那么称系统是李亚普诺夫条件下渐近稳定的。
如果t →∞()0x t →lim ()0t x t →∞=在任意初始条件，即0()x t 在状态空间的任意位置都成立，那么系统是全局渐近稳定的。
李亚普诺夫直接法总体说来，证明一个形如()(())x t f x t •=的非线性系统在原点附近的全局渐近稳定性是一个非常困难的工作，其难度相当于在任一初始条件0()x t 下求解()x t 的封闭解的表达式。
对于线性时不变系统（()()()x t Ax t Bu t •=+），我们得到封闭解表达式，即： 00()()()0()()tA t t A t Bu d t x t e x t e τττ−−=+∫ （1）对于任意矩阵A （不论是否可以对角化），当且仅当A 的特征向量全部位于左半开复平面1，线性系统x Ax •=在原点附近是渐近稳定的。
这是由()x t 表达式中的衰减指数项决定的。
李雅普诺夫方法
pn1 pn2
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
为实对称矩阵 P
① 若 i 0 (i 1, 2, , n，) P为正定；
②若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
(i 1, 2, ，, n)P为负定；
③若 ④若
i 0 （i 1, 2, i 0 (i n)
，n ，1)P为正半定；
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
i 0 i 0 i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
x = f (x,t)
设系统的状态方程为
，且其平衡状态为
x，e 如0 果存在
一个具有连续一阶偏导数的标量函数
，并且V (满x,足t) 条件：
（1）V ( x,t) 为正定；
平衡状态 x是e 稳定的几何解释：
从球域 S(内) 任一点出发的运动 都不超越球域 S( )。
一个二维状态空间中零平衡 状态 xe 0 是稳定的几何解释 如右图 。
如果 与 t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。