圆中多解问题
专题三+圆中的多解问题
专题三圆中的多解探究学习单
一、学习目标：
利用圆的基本性质解决圆中的多解问题
二、学习重点和难点
重点：圆的基本性质的灵活运用
难点：圆中的多解问题，学生易漏掉答案。
三、学习过程：
1、类型一：已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为9cm，则⊙O的半径为．
2、类型二：在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则弦AB所对的圆周角的度数为.
3、类型三：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，且AD＝6，∠ABC ＝∠CAD.求弦AC所对的弧长.
4、类型四：已知，⊙O的半径是5，弦AB∥CD，AB=8，CD=6，求AB与CD之间的距离.
5、类型5：已知⊙O的半径为1，弦AB=，AC=1，求∠BAC的度数.
6、类型6：已知在圆内接△ABC 中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3，圆的半径为7，求腰AB的长.
7、知识拓展：如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC＝60º.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A的方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3),连结EF，当△BEF是直角三角形时，求t的值.
四、课堂小结。
专题提优7圆中常见的多解问题
9. 如图，☉ O 的直径为10， A 、 B 、 C 、 D 是☉ O 上四个动点，且 AB ＝6， CD ＝ 8，若点 E 、 F 分别是弦 AB 、 CD 的中点，试求线段 EF 的长度的取值范围. 连接 OE 、 OF 、 OA 、 OC ，如图所示. ∵☉ O 的直径为10，∴ OA ＝ OC ＝5.
当△ ABC 为△ A1 BC 时，连接 OB 、 OC .
类型六 由直线与圆的位置关系引发多解问题（切线、公共点问题）
15. 已知 l1∥ l2， l1、 l2之间的距离是3 cm，圆心 O 到直线 l1的距离是1 cm，如果☉ O 与直线 l1、 l2有三个公共点，那么☉ O 的半径为 2或4 cm. 16. 已知∠ ABC ＝45°，点 O 为 BC 上的一点，且 OB ＝6，若以点 O 为圆心， r 为
.
（第18题）
易错提醒 遇动点问题时注意考虑全面，本题中☉ P 与正方形的边相切，情况不止一种，需分 情况讨论，先画出符合题意的图形，再利用切线的性质解题.
当☉ C 在直线 l 上方与直线 l 相切时，如图①.
设切点为 D1，连接 C1 D1、 C1 A . ∵ C （0，1.5），∴ OC ＝1.5，∴ C1 D1＝1.5.
B. 相交或相离
C. 相离或相切
D. 相交或相切
2. 若☉ O 所在平面内一点 P 到☉ O 上的点的最大距离为 a ，最小距离为 b （ a ＞
b ），则此圆的半径为
.
类型二 由点在弧（或弦）上的位置引发多解问题
3. 已知☉ O 的半径为5，点 O 到直线 l 的距离为3，则☉ O 上到直线 l 的距离为2的点
如图②，当 CD 在圆心上方时， EF ＝ OF ＋ OE ＝120＋50＝170（cm）.故答案为70 或170.
圆中的多解问题
圆中的多解问题
1、：已知⊙O的弦AB所对的圆心角等于140O，则弦AB所对的圆周角的度数为__________.
2、已知⊙O是∆ABC的外接圆，OD⊥BC且交BC于点D，∠BOC=40O，则∠BAC为多少度？
3、如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，AB=2，CO⊥AB, 在图中画出弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数。
4、：点p到⊙O的最大距离为6cm，最小距离为2cm，求⊙的半径。
5、：⊙O的半径为5，已知平面上一点P到圆周上的点的最短距离为3，则到圆周上的点的最长距离为___________.
6、（2007南京中考）如图，点A是半径为12cm⊙O上的一个定点，动点P从A点出发，以2πcm/s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A时立即停止运动。
如果∠POA=90O，求点P的运动时间。
7、如图：点p是半径为5的⊙O内一点，且OP=4，在⊙O中，过点P
的所有弦中，
（1）存在长为8的弦吗？猜一猜！（2）存在长为4的弦吗？为什么？
B A
8、已知点P到圆周上的点的最长距离为7，最短距离为3，此圆的半径是___________.
9、、已知⊙O的半径是6cm，
⊙O的弦AB=6cm，
则弦AB所对的圆周角等于_______ 。
10、已知圆形下水道的横截面直径为100cm，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度。
11、已知半径为5cm的⊙O内有两条平行弦AB、CD，且AB=6cm，CD=8cm，求AB、CD间的距离。
12、在半径为1的⊙O中，AE为直径，点B、C在圆O上，ΔABE和ΔACE
均为直角三角形，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC等于________。
圆中三解及更多解问题研究
图5
图6
图7
数学学习与研究 2019. 13
例 4 半径分别为 1 cm 和 2 cm 的两圆外切，那么与这
两圆都相切且半径为 3 cm 的圆的个数有
个．
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
解 （ 1） 所求圆与已知两圆外切时有 2 个，分别如图 8
和 9 所示；
（ 2） 所求圆与一个已知圆内切、另一已知圆外切时各有
解 共有八种情况，如下图： （ 1） 三个定圆均在所画圆
内部； （ 2） 三个定圆有两个在所画圆内部，一个在所画圆的
外部（ 这有三种情况） ； （ 3） 三个定圆有一个在所画圆的内
部，有两个在所画圆的外部（ 这有三种情况） ； （ 4） 三个已知
定圆均在所画圆的外部，共有以下八种情况．
综上可知，在解决有关圆的问题时，特别当题目中没有 给出图形时，就需要根据题意画出各种可能出现的图形，然 后分类求解．
情况． 需注意⊙O 与两圆相切（ 而非一圆相切） ． 分类时还要
考虑内外切和外内切的情况． 这样分类才是完整的．
解 ① 当⊙O 与⊙O1 和⊙O2 都外切时，有两个圆，如 图 5 所示． ② 当⊙O 与⊙O1 和⊙O2 都内切时，有两个圆，如 图 6 所示． ③ 当⊙O 与⊙O1 内切和⊙O2 外切或⊙O 与⊙O1 外切、⊙O2 内 切 时，又 有 两 个 圆，如 图 7 所 示，故 与 ⊙O1 、 ⊙O2 都相切的圆一共有 6 个．
槡98 = 7 槡2；
② O1 O2 = 槡AO21 + AO22 = 槡（ 4 － 3） 2 + （ 4 － 3） 2 = 槡2； ③ O1 O2 = 槡CO21 + CO22 = 槡（ 4 + 3） 2 + （ 4 － 3） 2 = 5 槡2．
初中数学圆中常见的两解及多解问题分析
教法研究新课程NEW CURRICULUM现代教育中，学生综合能力发展与学生未来发展有着紧密联系。
因此，根据我国初中数学教学现状，对各种教学方法的应用情况进行深入了解，以圆的解题方式为例，可以更好地促使初中数学教学水平不断提高。
一、初中数学圆的两解和多解题型随着初中数学教育改革的不断推进，学生各方面的能力得到一定提高。
对初中数学中圆的相关知识进行分析发现，常见的两解和多解问题主要有如下几种题型：1.两平行弦之间的距离例1.已知圆的半径是4，弦AB长为7，CD长为9，其中，AB 和CD平行，求弦AB和CD之间的距离是多少？变式训练：（1）已知圆的半径是4，弦AB长为7，CD长为9，且AB和CD平行，求弦AC的距离是多少？（2）已知圆的两弦AB、CD的长是方程x2-42x+432=0的两个根，且AB和CD平行，同时两弦之间的距离是4，求圆的半径长为多少。
2.弦所对的圆周角例2.在半径长度为7的圆中弦AB的长度5，求弦AB所对的圆周角的弧度是多少？变式训练：（1）已知圆的弦长与圆的半径相等，求该弦所对的圆周角的弧度是多少？（2）在圆中内接有三角形ABC，其中，∠AOB的弧度为100，求∠ACB的弧度是多少？3.已知圆的半径和两弦的长度，求两弦的夹角的弧度是多少例3.已知圆的半径是2，弦AB的长度为1.2，弦AC的长度为1.3，求∠BAC的弧度是多少？变式训练：（1）已知圆中两弦AB、AC的长度分别为5.2，圆的半径为5，求∠BAC的弧度是多少？（2）已知圆的两弦AB、AC的长度分别为5.2和5，圆的半径为5，AB的中点为E，AC的中点为F，求∠EOF的弧度是多少？另外还有，点在弧上的位置不确定、点与圆的位置不确定和半径不等的相交两圆的圆心距等情况下出现的两解问题例4.如下图所示，A、B两点在直线MN上，其中AB的长度为15厘米，圆A和圆B的半径一样都是2厘米，圆A正在以速度为2cm/s、自左向右的状态运行，并且圆B的半径真正逐渐增大，它的半径r和时间t的关系式是r=1+t，求圆A在出发多久后，两个圆会出现相切情况。
圆周运动的多解性问题
圆周运动的多解性问题
圆周运动是物体沿着圆形轨道运动的一种运动形式，它是物理学中的一个重要概念，也是许多现实中的运动现象。
圆周运动的多解性问题是指圆周运动的解决方案有多种，可以根据不同的情况来选择最合适的解决方案。
首先，圆周运动的多解性问题可以从物理学的角度来考虑。
圆周运动的物理学解决方案可以分为动力学和动能学两种。
动力学解决方案是指利用力的作用来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动；动能学解决方案是指利用物体的动能来改变物体的运动状态，从而实现圆周运动。
其次，圆周运动的多解性问题也可以从数学的角度来考虑。
数学解决方案可以分为几何学和微积分两种。
几何学解决方案是指利用几何学的方法来求解圆周运动的问题；微积分解决方案是指利用微积分的方法来求解圆周运动的问题。
最后，圆周运动的多解性问题还可以从计算机科学的角度来考虑。
计算机科学解决方案可以分为算法学和计算机图形学两种。
算法学解决方案是指利用算法学的方法来求解圆周运动的问题；计算机图形学解决方案是指利用计算机图形学的方法来求解圆周运动的问题。
总之，圆周运动的多解性问题可以从物理学、数学和计算机科
学三个方面来考虑，每个方面都有不同的解决方案，可以根据实际情况选择最合适的解决方案。
圆周运动多解问题
多解问题v ，并沿直线匀速穿过圆筒.若子弹一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？.则圆筒上只的时间内，圆筒转过的角度为ππ+n 2,其中 3,2,1,0=n ，即ωππ+=n v d 2.2所示，周期为T 。
当P 经过图中D 点时，有一质量为m .为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同，即质点P 转过)43(+n 周)3,2,1,0( =n 经历的时间)3,2,1,0()43( =+=n T n t ①质点P 的速率T R v π2=②在同样的时间内，质点Q立以上三式,解得2,1,0()34(82=+=n T n mR F π3. 如图3所示,在同一竖直平面内,A 物体从物体在b 点相遇,求A 的角速度。
解析：A 、B 两物体在b 点相遇，则要求A 从a 匀速转到b 和B 从O 自由下落到b 用的时间相等。
A 从a 匀速转到b 的时间T n t )43(1+=)3,2,1,0(2)43( =+=n n ωπB 从O 自由下落到b 点的时间g R t 22=由21t t =，解得)3,2,1,0(2)43(2 =+=n R g n πω4。
如图，半径为R 的水平圆盘正以中心O 为转轴匀速转动，从圆板中心O 的正上方h 高处水平抛出一球，此时半径OB 恰与球的初速度方向一致。
要使球正好落在B 点,则小球的初速度及圆盘的角速分别为多少？解析:要使球正好落在B 点,则要求小球在做平抛运动的时间内，圆盘恰好转了n 圈（ 3,2,1=n )。
对小球221gt h =①t v R 0= ② 对圆盘)3,2,1(2 ==n t n ωπ ③联立以上三式，解得)3,2,1(2 ==n h g n πωh gR v 20=5。
一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，一台发出细光束的激光器装在小转台M 上，到轨道的距离MN 为d=10m ，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s,光束转动方向如图箭头所示.当光束与MN 的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s 光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）［分析]激光器扫描一周的时间T=60s ，那么光束在△t=2。
用分类讨论思想解圆的多解问题
图 １
图２
点评
此类题很容易漏解． 应强调平 行弦与 圆心的
图５ 图６
位置关 系有两种．
例 ２ 在 ＱＯ中 ， 径 Ａ ２ 弦 Ａ ， Ａ 直 Ｂ＝ ， Ｃ： 弦 Ｄ＝
，
求 ｃ Ｄ的度数． Ａ
解
・ ． ‘
过 Ａ作 Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｂ
：
分析
此题 应分 圆心在 Ｏ Ｄ的 内侧 和外侧 两种
一４ ：３ ．
弦 Ａ ＝６ Ｃ ＝８ ． Ｂ ＝３ Ｄ ＝４ ． Ｏ ＝ 日 ，Ｄ ，‘ Ｍ ． ，Ｎ ，． Ｍ
√
一３ ：４， ＯＮ ＝ √
部还是外部这样 的讨论 ， 在平 时教学 中不常见． 例 ３ 已知等腰 △ Ｃ内接于半径 为 ５的 ＱＯ， 如果
①两弦在 圆心的两侧时 ， 如图 １ ， 一ｌＭＮ＝ ３＝ ； ４＋ ７
：
分别 位于圆心两侧两种情况讨论．
别 为 ， ． Ⅳ
．
②Ｄ在 Ｏ Ｄ的外 侧时 ， 图 ４ ｃ Ｄ＝ ５ 一３ 。 如 ， Ａ ４ 。 ０
＝１ ． ５。
综上 ， ｃ Ｄ的度数 为 ７， 因为点（ 圆心 ） 在角的 内
２ 以优 弧 。 弧分 类 劣
图９
图 １ ０
１
① Ｃ在优弧上时， 如图９ ／ Ｃ ＿ Ｏ ６ 。 ， Ａ Ｂ＝ １／ Ｂ＝ ０ ； Ａ
二
② 点 Ｃ在 劣 弧上 时 ， 图 １ ， 如 ０
１
在一个圆中， 同一条 弦、 同一 个 圆周 角 所对 的弧 有
优弧劣弧之分 ， 因此需要分两种情况讨论．
解
‘ ． ‘
过 ０作 Ｏ Ｌ Ｂ于 Ｃ， Ｃ＿ Ａ 连接 Ｏ ． Ａ
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圆中多解问题
Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
圆中的多解问题
一、根据点与圆的位置分类
例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为 。
二、三角形与圆心的位置关系
例２：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
例3：已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。
三、角与圆心的位置关系
例4:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
四、圆中两平行弦与圆心的位置关系
例5.圆O 的直径为10cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD cm =8，求AB 和CD 的距离。
五、弦所对的圆周角有两种情况
例6：半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
练习：
1.AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（）。
2.一条弦分圆为1∶5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为（）
六、圆与圆的位置关系
例7、已知圆O 1和圆O 2相内切，圆心距为1cm ，圆O 2半径为4cm ，求圆O 1的半径。
例8、两圆相切，半径分别为4cm 和6cm ，求两圆的圆心距。
例9、相交两圆半径分别为5cm 和4cm ，公共弦长6cm ，则两圆的圆心距等于_______
七．弦所对弧的优劣情况不确定
例10.已知横截面直径为100cm 的圆形下水道，如果水面宽AB 为80cm ，求下水道中水的最大深度。
练习：
1.平面内有一点P 到⊙O 上的点的最短距离为3，最长距离为5，则圆的半径为
2．在半径为5cm 的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm ，另一条弦长为8cm ，则两条平行弦之间的距离为_________。
3.过⊙O 内一点M 的最长弦为10cm ，最短弦为8cm ，则OM=cm.．
4.在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 与x 轴交于A （－2，0）、B （4，0），则圆心点M 坐标为_________.
5.若O 为△ABC 的外心，且0
60=∠BOC ，求BAC ∠的度数 6．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为。
7．若两个圆相切于A 点，它们的半径分别为10cm 、4cm ，则这两个圆的圆心距为()．
A ．14cm
B ．6cm
C ．14cm 或6cm
D ．8cm
8．已知⊙Ａ，⊙Ｂ相切，圆心距为１０ｃｍ，其中⊙Ａ的半径为４ｃｍ，求⊙Ｂ的半径。
9．已知：相交两圆的公共弦的长为6cm ，两圆的半径分别为cm 23，cm 5，求这两个圆的圆心距．
10.一条弦分圆周为3：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数为。
难题：
1.如图，已知⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点分别在半径OM ，OP 以及⊙O 上，并且
045=∠POM ，求AB 的长.
2、如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm 2,则该半圆的半径为（ ）
A.(45)+cm
B.9cm
C.45cm
D.62cm
3．如图，P 为⊙O 的弦AB 上的点，PA=6，PB=2，⊙O 的半径为5，则OP=______．
4．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD 的长．
5．如图，⊙O 中，直径AB=15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥
CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．
(1)求证：AE=BF ；
(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．
6．在⊙O 中，若圆心角∠AOB=100°，C 是
上一点，则∠ACB 等于()． A ．80° B ．100° C ．130° D ．140°。