高三年级文科数学调研考试(附答案)

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四川省广安市2023届高三零诊文科数学试题(解析版)

（1）若，求证：平面BDM．
（2）当平面MBC时，求点E到平面BDM的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）连接与交于点，证明后可得线面平行；
（2）由题得是中点，然后利用等积法即得.
【小问1详解】
连接AC与BD交于点N，连接MN，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
又因为，
故选：A
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由三视图确定几何体，再计算组合体的体积.
【详解】由三视图可知，该几何体是组合体，左边是半个圆柱，右边是三棱柱，三棱柱的底面是如正视图右边一样的等腰直角三角形，
圆柱的底面半径为2，高为4，所以半个圆柱的体积，
,解得，所以 .
此时取得最大值，即．
故答案为： .
15.过双曲线（）的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P，为左焦点，直线的倾斜角为，则双曲线的离心率e为_______.
【答案】
【解析】
【分析】依题意表示出焦点坐标与渐近线方程，令，即可得到点坐标，再根据两点斜率公式得到，最后根据离心率公式计算可得.
（2）利用分层抽样知，在内的人数为2人，在内的人数为3人，利用列举法结合古典概型即可求解.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得：，解得；
由频率分布的直方图可得设中位数为m，故可得，解得，
所以这200名学生成绩中位数的估计值为76；
小问2详解】
由频率分布直方图可知：得分在和内的频率分别为0.04和0.06，

甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试文科数学试题(含答案解析)

甘肃省兰州市2023届高三下学期诊断考试文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．{}5A x x =∈N 是不大于的奇数，{}3,2,3B =-，则集合A B ⋃=（）A ．{}3,1,3,5-B ．{}3,1,2,3-C ．{}3,1,2,3,5-D ．{}32．已知复数z 满足()13i 24i z -=+，则z =（）A ．1i--B ．1i+C ．1i-+D ．2i -+3．2022年8—12月某市场上草莓价格（单位：元/千克）x 的取值为：12，16，20，24，28，市场需求量（单位：百千克）0.520y x =-+，则市场需求量的方差为（）A ．8B ．4C ．D ．24．18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n n γ+++⋅⋅⋅+=+（常数0.557γ=⋅⋅⋅）．利用以上公式，可以估计111100011000220000++⋅⋅⋅+的值为（）A ．()4ln 210⨯B ．4ln 2+C ．4ln 2-D ．ln 25．已知点P 在圆22:40C x x y -+=上，其横坐标为1，抛物线()220x py p =->经过点P ，则抛物线的准线方程是（）A ．6y =B ．12x =C ．6x =D ．12y =6．已知0a >，0b >2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值是（）A ．8B ．4C ．3D ．27．已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a”，则以下命题为真命题的是（）A ．p q ∨B ．p q∧C ．()p q ∨⌝D ．()()p q ⌝∧⌝8．如图是某算法的程序框图，若执行此算法程序，输入区间[]1,5内的任意一个实数x ，则输出的[]8,20x ∈的概率为（）A ．14B ．34C ．12D ．139．攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式，常见的有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑，兰州市著名景点三台阁的屋顶部分也是典型的攒尖结构．如图所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分，它可以看作是不含下底面的正四棱台和正三棱柱的组合体，已知正四棱台上底、下底、侧棱的长度（单位：dm ）分别为2，6，4，正三棱柱各棱长均相等，则该结构表面积为（）A ．28dmB ．244dmC ．248dm +D ．28dm +10．若将函数()πcos 2cos 23f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，则关于函数()y g x =的四个结论不正确．．．的是（）A ．()g x 的最小正周期为πB ．()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-C ．()g x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 的图象对称中心为π,12k ⎛⎫⎪⎝⎭11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线上存在关于原点O 对称的两点M 和N ，若双曲线的左、右焦点12,F F 与,M N 组成的四边形为矩形，若该矩形的面积为2，则双曲线的离心率为（）AB CD 12．已知函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中sin6a π=，33sin cos44b =，c =，则以下判断正确的是（）A ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x b x c -->B ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x a x b --<，()()220x a x b -->C ．函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且()()110x b x c --<，()()220x a x b --<D ．函数()f x 只有一个零点0x ，且()()000x a x b -->，()()000x b x c --<二、填空题13．在梯形ABCD 中，//AB CD ，0AD AB ⋅= ，112AD CD AB === ，则BC CD ⋅= ______．14．如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．15．用长度为1，4，8，9的4根细木棒围成一个三角形（允许连接，不允许折断），则其中某个三角形外接圆的直径可以是______（写出一个答案即可）．16．定义：如果任取一个正常数T ，使得定义在R 上的函数()y f x =对于任意实数x ，存在非零常数m ，使()()f x T m f x +=，则称函数()y f x =是“ξ函数”．在①21y x =+，②3212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，③3y x =，④()ln 1y x =-这四个函数中，为“ξ函数”的是______（只填写序号）．三、解答题17．已知数列{}n a ，11a =，对任意的i *∈N 都有n i n a a i +-=．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足：12n nn n b ab a ++=，且11b =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．如图所示的五边形SBADC 中ABCD 是矩形，2BC AB =，SB SC =，沿BC 折叠成四棱锥S ABCD -，点M 是BC 的中点，2SM =．(1)在四棱锥S ABCD -中，可以满足条件①SA =cos5SBM ∠=；③sin SAM ∠=，请从中任选两个作为补充条件，证明：侧面SBC ⊥底面ABCD ；（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．）(2)在（1）的条件下求点M 到平面SAD 的距离．19．2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行，这是继韩日世界杯之后时隔20年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，本届世界杯还是首次在北半球冬季举行的世界杯足球赛．每届世界杯共32支球队参加，进行64场比赛，其中小组赛阶段共分为8个小组，每个小组的4支队伍进行单循环比赛共计48场，以积分的方式产生16强，之后的比赛均为淘汰赛，1/8决赛8场产生8强，1/4决赛4场产生4强，半决赛两场产生2强，三四名决赛一场，冠亚军决赛一场．下表是某五届世界杯32进16的情况统计：欧洲球队美洲球队非洲球队亚洲球队32强16强32强16强32强16强32强16强1131094515121310105514031361085240414108550515138835263合计66444525256245(1)根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区其他地区合计并判断是否有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关？(2)已知某届世界杯比赛过程中已有2支欧洲球队进入8强并相遇，胜者进入4强，此时球迷预测还将有3支欧洲球队，2支美洲球队，1支亚洲球队进入8强，并在这6支球队中两两对决进行3场比赛，产生剩下的三个4强席位，求欧洲球队不碰面的概率．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82820．已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．(1)求椭圆E 的方程；(2)若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>的离心率为2，点P 也在1E 上，求证：直线AB与1E 相切．21．已知函数()()ln ln N n f x x x n x n *=-∈．(1)当1n =时，求函数()y f x =的单调区间；(2)当1n >时，函数()y f x =的图象与x 轴交于P ，Q 两点，且点Q 在右侧．若函数()y f x =在点Q 处的切线为()y g x =，求证：当1x >时，()()f x g x ≥．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos a ρρθ=+，其中1a >-．(1)当0a =时曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，求线段MN 的长度；(2)过点()3,1P -的直线l的参数方程为3,12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线2C 交于A 、B 两点，若1PA PB ⋅=，求实数a ．23．已知()212f x x x =++-．(1)解不等式()4f x ≥；(2)若对于任意正实数x ，不等式()10f x ax +->恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】列举法表示集合A ，根据并集定义可得结果.【详解】{}13,5A = ,，{}3,2,3B =-，{}3,1,2,3,5A B ∴=- .故选：C.2．C【分析】根据复数除法规则计算即可.【详解】()()()()()24i 13i 24i 13i 24i 1i13i 13i 13i z z +++-=+⇒===-+--+故选：C.3．A【分析】由草莓价格x 的方差结合方差的性质得出市场需求量的方差.【详解】1(1216202428)205x =⨯++++=，则草莓价格x 的方差为222221(1220)(1620)(2020)(2420)(2820)325⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦.因为0.520y x =-+，所以市场需求量的方差为2(0.5)328-⨯=.故选：A 4．D【分析】所求式子为1111111123200002310000⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据已知中的公式直接计算即可.【详解】1111111111110001100022000023200002310000⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()20000ln 20000ln10000ln 20000ln10000ln ln 210000γγ=+-+=-==.故选：D.5．D【分析】结合圆的方程可求得P 点坐标，代入抛物线方程可确定p 的值，进而确定准线方程.【详解】将1x =代入圆C 方程得：23y =，解得：y =(P ∴或(1,P ，P 在抛物线()220x py p =->上，1∴=-或1=，解得：p =p =，∴抛物线方程为2x y =，∴抛物线的准线方程为：y =.故选：D.6．B【分析】利用等比中项的性质得到1a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解．是2a 与2b 的等比中项，所以222a b =⋅，即22a b +=，所以1a b +=，又0a >，0b >，所以()111111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当ba ab=且1a b +=，即12a b ==时取等号．所以11a b+的最小值为4．故选：B ．7．A【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解.【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ：将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，对角线长为2，所以外接球的表面积为223π4π42a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题.故选：A.8．B【详解】由程序框图可知：输入[]01,5x ∈，当1n =时，满足循环体，执行循环体，0x =∈，2n =，当2n =时，满足循环体，执行循环体，此时02[2,10]x x =∈，3n =，当3n =时，满足循环体，执行循环体，此时0x =∈，4n =，当4n =时，满足循环体，执行循环体，此时04[4,20]x x =∈，5n =，当5n =时，不满足循环体，退出循环，由几何概型，得输出[8,20]x ∈的概率为20832044-=-.故选：B.9．A【分析】根据三棱柱和棱台表面积公式计算即可.【详解】由题可得正三棱柱的底面积为：2122sin 602⨯⨯⨯︒=，正三棱柱的外露表面积为：222228⨯⨯=+，=，四棱台外露表面积为：()214262⨯⨯+⨯=，该结构表面积为：288dm +.故选：A 10．B【分析】根据三角恒等变换公式，可得()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由函数图象的平移法则得()g x ，然后根据正弦函数的图象与性质，逐项分析选项，即可.【详解】因为()π13πcos 2cos 2cos 2cos 22cos 2223226f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()πππ212121662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.对于A ：2ππ2T ==，故A 正确；对于B ：由ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦知，π2,π3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2[0,1]x ∈，所以()g x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1B 错误；对于C ：令ππππ2,,,2244x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为ππππ,,4644⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()g x 在区间ππ,46⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 正确；对于D ：令2π,Z x k k =∈，π,Z 2k x k =∈，所以()g x 的图象对称中心为π,12k ⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B 11．C【分析】设()(),,0M m n m n >，根据矩形对角线长相等和矩形面积可构造方程组，化简得到关于,a c 的齐次方程，解方程可求得离心率.【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：by x a=±，不妨设,M N 在by x a =上，设()(),,0M m n m n >，则(),N m n --，b n m a∴=，四边形12F MF N 为矩形，122MN F F c ∴==，222m n c ∴+=，矩形12F MF N的面积221442MOF S S ==⨯= ，∴由22222b n m a m n c cn ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩得：422460c a c a --=，即4260e e --=，解得：23e =，e ∴=故选：C.12．B【分析】由已知可得12a =，12b <，12c >，进而利用零点存在性定理可得结论．【详解】解：因为π1sin62a ==，331311sin cos sin sin 4422222πb ==<=，又3πcos cos 044>>，所以1113ln e 222c =>=，即c a b >>，又()()()()()()()()()0f a a a a b a b a c a c a a a b a c =--+--+--=--<，()()()()()()()()()0f b b a b b b b b c b c b a b c b a =--+--+--=-->，()()()()()()()()()0f c c a c b c b c c c c c a c a c b =--+--+--=-->，则()()0f a f b <，()()0f a f c <，又()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--为定义域R 上的连续函数，所以函数()f x 必有两个不相同的零点，∴存在1(,)x b a ∈，使得1()0f x =，且11()()0x a x b --<，存在2(,)x a c ∈，使得2()0f x =，22()()0x a x c --<，22()()0x a x b -->，∴函数()f x 有两个零点1x ，212()x x x <，且11()()0x a x b --<，22()()0x a x b -->．故选：B ．13．1【分析】以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算可求得结果.【详解】0AD AB ⋅=，AD AB ∴⊥，则以A 为坐标原点，,AB AD正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，则()2,0B ，()1,1C ，()0,1D ，()1,1BC ∴=- ，()1,0CD =-，()()11101BC CD ∴⋅=-⨯-+⨯=.故答案为：1.14【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果.【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=，又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴，SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，2SO == ，122a OC AB ==，2tan 2a SO SCO a OC ∴∠===即SC 与BD15【分析】根据三角形性质确定三边边长，利用余弦定理和正弦定理计算出对应三角形外接圆的直径.【详解】4根细木棒围成一个三角形的三边长可以为5，8，9，设边长为9的边所对的角为θ，由余弦定理可知：2564811cos 25810θ+-==⨯⨯，因为()0,πθ∈，所以sin θ=由正弦定理知，92sin 11R θ==，所以其中某个三角形外接圆的直径可以是11..16．②【分析】根据“ξ函数”，依次判断各选项中的()()f x T f x +是否为常数即可.【详解】对于①，令()21f x x =+，则()()221212121f x T x T Tf x x x +++==+++，不是常数，21y x ∴=+不是“ξ函数”；对于②，令()3212x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()()332332112212x T T x f x T f x +--⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭为常数，3212x y -⎛⎫∴= ⎪⎝⎭是“ξ函数”；对于③，令()3f x x =，则()()()3322322333333331f x T x T x T x T x T T x T x T f x x x x +++⋅++⋅++===+，不是常数，3y x ∴=不是“ξ函数”；对于④，令()()ln 1f x x =-，则()()()()ln 1ln 1f x T x T f x x ++-=-，不是常数，()ln 1y x ∴=-不是“ξ函数”.故答案为：②.【点睛】关键点点睛：本题考查函数中的新定义问题的求解，解题关键是能够充分理解“ξ函数”的定义，即()()f x T f x +为常数的函数，从而根据运算法则来求解即可.17．(1)n a n =(2)21n n S n =+【分析】（1）取1i =，即可证得数列{}n a 为等差数列，由等差数列通项公式可求得n a ；（2）利用累乘法可求得n b ，采用裂项相消法可求得n S .【详解】（1）对任意的i *∈N ，都有n i n a a i +-=，∴当1i =时，11n n a a +-=，又11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，n a n ∴=.（2）由（1）得：12n n b nb n +=+，∴当2n ≥时，()1232112321123212111431n n n n n n n b b b b b n n n b b b b b b b n n n n n --------=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-+，又11b =满足()21n b n n =+，()211211nb n n n n ⎛⎫∴==- ++⎝⎭，111111111122121223341111n n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+++⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.18．(1)条件选择见解析，证明见解析【分析】（1）选条件①②，利用勾股定理逆定理证得SM AM ⊥，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；选条件①③，利用正弦定理推导出SM AM ⊥，，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；选条件②③，利用余弦定理求出SA 的长，利用勾股定理逆定理证得SM AM ⊥，由等腰三角形的几何性质可得出SM BC ⊥，利用线面和面面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）计算出三棱锥S ADM -的体积，计算出ASD 的面积，利用等体积法可求得点M 到平面SAD 的距离.【详解】（1）证明：方案一：选条件①②.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，因为2SM =，在Rt SBM 中，cos BMSBM SB∠==，1BM ∴=，又因为四边形ABCD 为矩形，2BC AB =，则1BM AB ==，AM ===因为SA =AM =2SM =，所以，222SA AM SM =+，则SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD ；方案二：选条件①③.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，在SAM △中，SA =sin 3SAM ∠=，2SM =，由正弦定理可得sin sin SA SM SMA SAM=∠∠=，所以，sin 1SMA ∠=，所以，π2SMA ∠=，即SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD ；方案三：选条件②③.因为在四棱锥S ABCD -中，SB SC =，点M 为BC 的中点，则SM BC ⊥，且2SM =，在Rt SBM 中，cos BMSBM SB∠==，1BM ∴=，又因为四边形ABCD 为矩形，2BC AB =，则1BM AB ==，所以，AM ===在SAM △中，sin 3SAM ∠=，则cos 3SAM ∠===，设SA x =，由余弦定理可得2222cos SM SA AM SA AM SAM =+-⋅∠，整理可得2360x --=，解得x =x =，所以，SA =，因为SA =AM =2SM =，所以，222SA AM SM =+，则SM AM ⊥，因为AM BC M = ，AM 、BC ⊂平面ABCD ，所以，SM ⊥平面ABCD ，因为SM ⊂平面SBC ，所以，侧面SBC ⊥平面ABCD .（2）解：在（1）的条件下，SM ⊥平面ABCD ，因为M 为BC 的中点，2SM =，1BM AB ==，在ADM △中，AM DM ==2AD =，则222AM DM AD +=，所以，AM DM ⊥，则211122ADM S AM DM =⋅=⨯=△，11212333S ADM ADM V S SM -=⋅=⨯⨯=△，在SAD 中，SA SD ==，2AD =，则2226642cos 2123SA SD AD ASD SA SD +-+-∠==⋅，所以，sin 3ASD ∠，所以，11sin 622ASD S SA SD ASD =⋅∠=⨯⨯△，设点M 到平面SAD 的距离为h ，由S ADM M ASD V V --=可得1233SAD S h ⋅=△，所以，2SADhS=△因此，点M到平面SAD19．(1)见解析(2)25【分析】（1）根据题意完成列联表，利用列联表求出2K，即可求解；（2）利用平均分组的方法求所有比赛的方法数，再由排列问题的应用求出欧洲球队不碰面的比赛方法数，再由古典概型概率公式.【详解】（1）解：根据上述表格完成列联表：16强非16强合计欧洲地区442266其他地区365894合计8080160所以22160(44582236)12.482 3.84180806694K⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为球队进入世界杯16强与来自欧洲地区有关；（2）由题意，3支欧洲球队，2支美洲球队，1支亚洲球队这6支球队中两两对决进行3场比赛，一场比赛对应着将6个球队平均分成3组，每组2支球队的一种分组方法，共有22264233C C C15A=(种)比赛方法；若欧洲球队不碰面，可将3支欧洲球队看成三个空格，将2支美洲球队，1支亚洲球队在3个空格进行排列，一种排列方法对应着一种满足条件的比赛方法，共有336A=(种)排列，所以欧洲球队不碰面的比赛方法共有6种.故欧洲球队不碰面的概率为62.155P==20．(1)2214x y+=(2)证明见解析【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【详解】（1）菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=.（2）由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+，由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k -=+，21212228221414k t ty y kx t kx t t k k ∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭；椭圆1Ee ∴=224=m n ，2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t ⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=，()()()22222222216441444164k t k tn k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+，()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系.21．(1)递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞；(2)证明见解析.【分析】（1）把1n =代入，利用导数求出函数的单调区间作答.（2）求出点Q 的坐标及切线()y g x =，再构造函数，利用导数探讨最小值作答.【详解】（1）当1n =时，函数()ln ln f x x x x =-的定义域为(0,)+∞，求导得1()ln 1f x x x=+-'，显然()f x '在(0,)+∞上单调递增，而()01f '=，则当01x <<时()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以函数()f x 的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,)+∞.（2）,N 1n n *>∈，()0ln ln 0n f x x x n x =⇔-=，解得1x =或1n x n =，则1(,0)n Q n ，11()ln n n n f x nx x x x--'=+-，111111()ln ln n n n nnn nnnn f n n nn nnn n---'=⋅+-=，函数()y f x =的图象在点Q 处的切线11(ln )()n nny nn x n -=-，于是1()(ln )ln n ng x nn x n n -=-，当1x >时，令()()()h x f x g x =-，求导得111()()(n )l ln n n n nn nxx xn n h x f x g x x---'''=+--=-，当11nx n <<时，1110ln ,1n n n x n x n n--<<<<，则11ln ln n n n nx x n n --<，即11ln ln 0n n n nx x n n ---<，显然n x n <，即1n n x x -<，10n n x x --<，因此()0h x '<，函数()h x 在1(1,)n n 上单调递减，当1nx n >时，111ln ln ,n n n x n x n n-->>，则11ln ln n n n nx x n n -->，即11ln ln 0n n n nx x n n --->，显然n x n >，即1n n x x ->，10n n x x-->，因此()0h x '>，函数()h x 在1(,)n n +∞上单调递增，于是当1x >时，111()()()()0n n n h x h n f n g n ≥=-=，所以当1x >时，()()f x g x ≥.【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理.22．(2)3a =或5a =【分析】（1）求出曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程，根据几何关系和点到直线距离公式计算即可；（2）将参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程中，根据韦达定理和直线参数t 的几何含义求解.【详解】（1）曲线1C 的直角坐标方程为：()2211x y +-=，圆心为()0,1，半径为1，当0a =时，曲线2C 的极坐标方程为22cos ρρθ=，转换为直角坐标方程为222x y x +=，相交弦所在的直线方程为：0x y -=，圆心()0,1到直线0x y -==，曲线1C 与曲线2C 交于M 、N 两点，线段MN的长度为：2（2）把直线l：3,212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线2C ：222x y x a +=+，得到：240t a +-=，所以124t t a =-，1PA PB ⋅=即41a -=，解得3a =或5a =.23．(1)[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ (2)5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）分别在1x ≤-、12x -<<和2x ≥的情况下，去除绝对值符号解不等式即可；（2）将问题转化为()()1f x a g x x->=恒成立问题，通过分类讨论可得()max g x ，进而得到a的取值范围.【详解】（1）当1x ≤-时，()()21234f x x x x =-++-=-≥，解得：43x ≤-；当12x -<<时，()()21244f x x x x =++-=+≥，解得：02x ≤<；当2x ≥时，()()21234f x x x x =++-=≥，解得：2x ≥；()4f x ∴≥的解集为[)4,0,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦ .（2）由0x >时，()10f x ax +->得：()1f x a x->，令()()1f x g x x -=，则()31,0213,2x xg x x x ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，当02x <≤时，()g x 单调递增，()()352122g x g ∴≤=--=-；当2x >时，()g x 单调递减，()()152322g x g ∴<=-+=-；()max 52g x ∴=-，52a ∴>-，即实数a 的取值范围为5,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.。

2019—2020学年度第一学期高三调研测试文科数学答案

∴ f (x) 在 x ln 2a 时取到极小值，∵ f (x) 的极值为 0
∴ f (ln 2a) 0
…………12 分 …………1 分
…………2 分 …………3 分
…………4 分 …………5 分
∴ eln2a 2a ln 2a 0 即 2a(1 ln 2a) 0
∴a e 2
19. 解：(1) 因为 AD EF ，所以 AD AP, AD AB ，
又 AP AB A， AP, AB 平面ABP
所以 AD 平面ABP
因为 BM 平面ABP ，所以 AD BM ；
由已知得， AB AP BP 2 ，所以 ABP 是等边三角形，又因为点 M 是 AP 的中点，所以 BM AP ；因为 AD BM , AP BM , AD AP A， AD, AP 平面ADP
①当 a 0 时， f '(x) 0 恒成立
∴ f (x) 在 (，+) 上单调递增，没有极值.
②当 a 0 时，由 f '(x)=0 ，得 x ln 2a
当 x (, ln 2a) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在 (, ln 2a) 上单调递减
当 x (ln 2a, ) 时， f '(x) 0 ， f (x) 在 (ln 2a, ) 上单调递增
4
min
…………9 分
此时点 P 的坐标为 (0,1) ，
所以 PQ 2 2 ，此时点 P 的坐标为 (0,1) . min
法二：曲线 C 是以 C(2, 3) 为圆心，半径为 2 2 的圆，
…………10 分 …………6 分
2+3+3

高三第三次调研考试数学文科含详细答案

广东省惠州市高三第三次调研考试数学试题(文科）本试卷共6页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知复数，，则z = 在复平面上对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知向量,且，则向量与的夹角为（） A ． B ． C ． D ． 3．在等比数列中，则（） A ．3 B ．C ．3或D ．或 4. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：①； ②; ③; ④. 其中正确命题的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 5.是（） A. 最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数6. 命题“”的否命题是（）13V Sh =s h i z +=21i z -=1221z z •12||,10||==b a 60-=⋅060012001350150{}n a 5113133,4,a a a a ⋅=+=155a a =13133-13-αb a ,αα⊥⇒⊥b b a a ,//αα⊥⇒⊥b a b a ,//αα//,b b a a ⇒⊥⊥b a b a //,⇒⊥⊥αα2(sin cos )1y x x =+-2π2πππ,11a b a b >->-若则A. B.若，则 C. D. 7．若方程在内有解，则的图象是（）8．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A ．B ．C ．D ．9．已知定义域为(－1，1)的奇函数又是减函数，且则a 的取值范围是（）A ．(3，)B ．(2，3)C ．(2，4)D ．(－2，3)10．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

2023届呼市高三年级质量普查调研考试—段考(文科数学)试卷真题+参考答案+详细解析

2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限 3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A ．10B ．22C ．3D ．38．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．202米C ．153米D ．25米9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．4510．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( ) A ．20x y π---= B ．2220x y π---= C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为． 15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()3f x x +=；④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，10BD =，2CD =．（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x=+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C 的参数方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ，求弦长||AB 的长．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m ，函数()2|1||2|f x x x m =--+的最大值为4．（1）求实数m 的值；（2）若实数a ，b ，c 满足2a b c m -+=，求222a b c ++的最小值．2023届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试文科数学参考答案及评分标准【选择题&填空题答案速查】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|24}x A x =>，集合{1,2,3,4}B =，那么集合(A B = )A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,3,4}D ．{3,4}【解析】{|24}{|2}x A x x x =>=>，{1,2,3,4}B =，{3,4}AB ∴=．故选：D ．【评注】本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算． 2．若(1)1i z -=，则下列说法正确的是( )A ．复数zB ．1z i =-C ．复数z 的虚部为i -D ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限【评注】本题考查的知识要点：复数的运算，复数的共轭运算，复数的模，复数表示的几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且12sin 13α=-，则1cos2(sin 2αα-= )A ．512B ．512-C ．125D ．125-【解析】因为角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(5,)P m -，且【评注】本题考查了任意角的三角函数的定义，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4．已知||2a =，||1b =，(2)()1a b a b +-=，则a 与b 的夹角为( ) A ．6π B ．4π C ．2π D ．34π (2)()1a b a b +-=，2221a a b b +-=，||2a =，||1b =，解1a b =，所2,2||||a b a b a b >==，又因为,[0,]a b π<>∈，故a 与b 的夹角为【评注】本题考查向量的数量积的求法，是基本知识的考查． 5．设123a -=，131()2b -=，21log 3c =，则( )A ．a c b <数列{}n a ，结合二次函数的性质可得前23项的和最大【评注】本题主要考查了等差数列的前n 项的和，解题的关键是判断出数列中正数的项．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的右焦点为F ，点A 是其渐近线上的一点，若||AF 的最小值为3a ，则该双曲线的离心率为( )A B ．C ．3D【解析】由题可知，双曲线渐近线为0bx ay ±=，则右焦点(,0)F c 到渐近线的距离为【评注】本题考查双曲线的简单性质的应用及焦渐距、离心率的求解，考查计算能力．8．小明同学学以致用，欲测量学校教学楼的高度，他采用了如图所示的方式来进行测量，小明同学在运动场上选取相距20米的C ，D 两观测点，且C ，D 与教学楼底部B 在同一水平面上，在C ，D 两观测点处测得教学楼顶部A 的仰角分别为45︒，30︒，并测得120BCD ∠=︒，则教学楼AB 的高度是( )A ．20米B ．C ．米D ．25米【评注】本题考查了解三角形、余弦定理的应用问题，也考查了推理能力与计算能力，属中档题． 9．已知函数[]y x =称为高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，如图，则输出的S 值为( )A ．42B ．43C ．44D ．45【解析】当03i <<时，3log 0i =；39i <时，3log 1i =；927i <时，3log 2i =；27i =时，3log 3i =，所以61182345S =⨯+⨯+=．故选：D ．【评注】本题考查了程序框图的运行过程与累加求和问题，是基础题． 10．曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线方程为( )A ．20x y π---=B ．2220x y π---=C ．2220x y π+-+=D ．20x y π+-+=【解析】sin 2cos y x x =+，cos 2sin y x x ∴'=-，∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的斜率1k =-， ∴曲线sin 2cos y x x =+在点(,2)π-处的切线的方程2()y x π+=--，即20x y π+-+=．故选：D ．【评注】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、直线方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．11．已知函数2()23f x x mx m =--，则“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若()0f x <对[1,3]x ∈恒成立，则(1)240(3)1860f m f m =-<⎧⎨=-<⎩，解得3m >，2m >不能推出3m >，充分性不成立， 3m >能推出2m >，必要性成立，故“2m >”是“()0f x <对[1,3]x ∈恒成立”的必要不充分条件．故选：C ．【评注】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．12．定义在R 上的函数()y f x =的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++的值为( )A ．2B ．1C ．1-D ．2-2(2021)f ++【评注】本题考查函数的周期性与对称性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x ，y 满足10101x y x y x -+⎧⎪++⎨⎪⎩，则2z x y =-的最大值是 4 ．【解析】由约束条件作出可行域如图，联立110x x y =⎧⎨++=⎩，解得(1,2)A -，由2z x y =-，得2y x z =-，由图可知，当直线2y x z =-过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为21(2)4⨯--=．故答案为：4．【评注】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14．已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点(0,4)A -，则圆C 的标准方程为22(2)(2)8x y +++= ．【解析】圆C 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=，其圆心为(,)C a b ，半径为(0)r r >，【评注】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．15．函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分图象如图所示，则下列关于()f x 的结论正确的序号为①③④ ．①()f x 的最小正周期为π； ②()f x 的图象关于直线6x π=对称；③若1x ，2(,)63x ππ∈-且12()()f x f x =，则12()f x x +=④()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位得到()g x 的图象，若()g x 图象的一个对称中心是(,0)6π，则θ的最小值为6π．【评注】本题考查了三角函数的图象，重点考查了三角函数的性质，属基础题． 16．如图，已知P 是半径为1圆心角为23π的一段圆弧AB 上的一点，若2AC CB =，则PA PC ⋅的取值范围是 [1 ．【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，203πθ，则1(2PA PC ⋅=-1(cos )(cos 226θ+203πθ，则，即PA PC ⋅的取值范围是，故答案为：【评注】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，34BCD π∠=，BD =CD =（1）求sin CBD ∠的值；（2）若ABD ∆的面积为4，求AD 的长．【评注】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）已知数列{}n a 满足112323(1)22(*)n n a a a na n n N ++++⋯+=-⋅+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n n a b a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：13n S <．）解：122a a ++2n 时，有223a a ++两式相减得：(1)2na n =-⋅2n ， 1n =时，有2=也适合上式，）证明：由（121n =-+11113<+．【评注】本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题． 19．（12分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质（至少3条）；（3）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．)1x ．设仅清洗一次，222((1)(a a a =+洗方法具有相同的效果；当【评注】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．20．（12分）已知函数()2x f x xe ax a =-+．（1）当12a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．上单调递增，)(1,)+∞．【评注】本题考查了函数的单调性、最值问题，隐零点的虚设与代换，考查导数的应用，属于难题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，椭圆的右焦点F与抛物线24y x =的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）A ，B 是椭圆的左，右顶点，过点F 且斜率不为0的直线交椭圆C 于点M ，N ，直线AM 与直线4x =交于点P ，记PA ，PF ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，1322k k k +是否为定值？并说明理由．【评注】本题考查求椭圆的方程及椭圆的性质的应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=．（1）求圆C的参数方程；（2）设圆C与直线l交于点A，B，求弦长||AB的长．【评注】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的转化方法，直线的参数方程的几何意义等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知0m，函数()2|1||2|f x x x m=--+的最大值为4．（1）求实数m的值；（2）若实数a，b，c满足2a b c m-+=，求222a b c++的最小值．||(22)x-m，()|2|f x m∴+=()2maxf x m∴=，又(f x（2）根据柯西不等式得：](2a b-+，2a b-+223c，当121a b c==-，即13a=，时取等号，22a b∴+的最小值为【评注】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

四川省遂宁市2023届高三零诊考试数学(文科)试题(解析版)

遂宁市高中2023届零诊考试数学（文科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上．并检查条形码粘贴是否正确．2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后，将答题卡收回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.已知集合}{1,2A =-，()}{20B x x x =->，那么A B ⋃等于（）A.{0x x <或}2x >B.{0x x <或}2x ≥C.{1x x <-或}2x ≥ D.{10x x -<<或}2x ≥【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B ⋃.【详解】()20x x ->，解得0x <或2x >，所以{|0B x x =<或}2x >，所以A B ⋃={0x x <或}2x ≥.故选：B2.已知复数(2i)(1i)z =+-（i 是虚数单位），则z 的虚部为（）A.i -B.3i- C.1- D.3-【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算求解得3i z =-，再求虚部即可.【详解】解：因为2(2i)(1i)22i i i 3i z =+-=-+-=-，所以，z 的虚部为1-.故选：C3.设m ，n 为实数，则“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别化简0.20.2m n >和2211log log m n>，根据充分条件和必要条件的定义判断两者关系.【详解】因为函数2log y x =为()0+∞，上的单调递增函数，又2211log log m n >，所以110m n>>，所以0m n <<，又函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，所以0.20.2m n >，所以“2211log log m n>”是“0.20.2m n >”的充分条件，因为函数0.2x y =在()-∞+∞，上单调递减，又0.20.2m n >，所以m n <，当m 为负数时，1m没有对数值，所以“2211log log m n >”不是“0.20.2m n >”的必要条件，所以“2211log log m n>”是“0.2m n >”的充分不必要条件，A 正确，故选：A .4.若{}n a 为等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，4614a a +=，735S =，则31a a -等于（）A.7B.6C.5D.4【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，进而建立方程组求解得2d =，再计算31a a -即可.【详解】解：根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为4614a a +=，735S =所以46171281472135a a a d S a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得121d a =⎧⎨=-⎩，所以3124a a d -==.故选：D5.已知tan()3,tan()5αβαβ+=-=，则tan 2β等于（）A.18B.17C.47-D.18-【答案】D 【解析】【分析】由2()()βαβαβ=+--，然后根据正切的和差公式求解即可．【详解】解：tan()3αβ+= ，tan()5αβ-=，tan 2tan[()()]βαβαβ∴=+--tan()tan()1tan()tan()αβαβαβαβ+--=++-3511358-==-+⨯．故选：D ．6.若实数x ，y 满足32122x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则z x y =+的最大值为（）A.8B.7C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再结合图象求出目标函数的最值.【详解】由约束条件作出可行域，如图：联立322x y x =⎧⎨=-⎩，解得()3,4A由z x y =+，得y x z =-+，z 为直线y x z =-+的纵截距.由图可知，当直线y x z =-+过点()3,4A 时，直线的纵截距z 最大，且max 347z =+=.故选：B.7.{}n a 为公比大于1的正项等比数列，且3a 和26a a 是方程2540x x -+=的两根，若正实数x ，y 满足4x y a +=，则12x y+的最小值为（）A.1B.32+C.2D.3+【答案】B 【解析】【分析】先利用等比数列的性质得到2635a a a a =，结合韦达定理2365a a a +=，2364a a a =，得到233540a a -+=，求出31a =或4，结合公比1q >，求出2q =，得到432a a q ==，利用基本不等式“1”的妙用求出12x y+的最小值.【详解】由题意得：2365a a a +=，2364a a a =，因为{}n a 为公比大于1的正项等比数列，所以2635a a a a =，故3355a a a +=，2354a a =，由2354a a =得5234a a =，将其代入3355a a a +=得：233540a a -+=，解得：31a =或4，设公比为q ，则1q >，当31a =时，52344a a ==，所以2534a q a ==，因为1q >，解得：2q =当34a =时，523414a a ==，所以253116a q a ==，因为1q >，不合题意，舍去；所以432a a q ==，即2x y +=，()1211212131232222xx y x y x y y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=+++≥+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎝+⎭⎭⎝，当且仅当2y x xy=，即2,4x y ==-时，等号成立，故选：B8.已知()f x 满足()()0f x f x +-=，且当0x <时，21()f x x x=+，则曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程为()A.10x y +-=B.320x y --=C.330x y --=D.20x y --=【答案】C 【解析】【分析】根据()()0f x f x +-=判断函数的奇偶性，再根据奇偶性和x ＜0时的解析式，求出f (x )在x ＞0时的解析式，再根据导数的几何意义即可求解．【详解】已知()f x 满足()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数，当0x >时，0x -<，因此()()()2211f x x f x f x x x x -=-+=-⇒=-，则x ＞0时，()()332121f x xx-'=--=+，曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线斜率()321131k f '==+=，又()211101f =-=，∴曲线()y f x =在点()1,(1)f ，即(1，0)处的切线方程为()031y x -=-，整理得330x y --=﹒故选：C ．9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()cos 2()g x x xf x =-，对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，若12log 7.1a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.9(2)b g =， 1.1(3)c g =，则,,a b c 的大小关系为（）A.b a c <<B.c b a<< C.a b c<< D.b<c<a【答案】A 【解析】【分析】由题知函数()g x 为偶函数，在[)0,∞+上单调递增，进而根据0.91.1222log 7.133<<<<结合函数的性质比较大小即可.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()cos 2()cos 2g x x x f x x xf x g x -=----=-=，即函数()g x 为偶函数，因为对于[)0,∞+上任意两个不相等实数1x 和2x ，()g x 都满足1212()()0g x g x x x ->-，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()()1222log 7.1log 7.1log 7.1a g g g ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，因为0.91.1222log 7.133<<<<，所以，()()()0.91.122log7.13g g g <<，即b a c <<.故选：A10.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列结论错误的是（）A.若sin sin A B >，则A B>B.若ABC 为锐角三角形，则sin cos A B>C.若cos cos a B b A c -=，则ABC 一定为直角三角形D.若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC 可以是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】A.由正弦定理及三角形中大角对大边即可判断.B.通过内角和为π化简，再借助角C 为锐角得到角,A B 满足的关系，在再取角的正弦值化简即可.C.边化角，运用两角差的正弦公式化简，得到角,,A B C 的关系，再借助内角和为π计算即可得到.D.通过内角和为π化简角C ，再利用两角和的正切公式化简即可得到tan tan tan tan tan tan 0A B C A B C ++=>，然后判断即可.【详解】A.因为sin sin A B >，所以由正弦定理知a b >，又因为在三角形中大角对大边，所以A B >.故选项A 正确.B.因为ABC 为锐角三角形，所以2A B C ππ+=->，即2A B π>-，所以sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭.故选项B 正确.C .由正弦定理边化角得()sin sin cos sin cos sin C A B B A A B =-=-,则C A B =-或C A B π+-=（舍），则A B C A π=+=-,即2A π=，则ABC 一定为直角三角形.故选项C 正确.D .()()tan tan tan tan tan 1tan tan A BC A B A B A Bπ+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦- ()tan tan tan tan tan 1A B C A B ∴+=-()tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 0A B C C A B C A B C ∴++=-+=>又因为最多只有一个角为钝角，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>，即三个角都为锐角,所以ABC 为锐角三角形.故选项D 错误.故选：D.11.在ABC 中，3AC =，5BC =，D 为线段BC 的中点，12AD BC =，E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，则2AE CB ⋅=（）A.73B.4C.7D.6-【答案】C 【解析】【分析】先根据题意得ABC 为直角三角形，2A π=，进而得216AB =，再根据AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥得22722AE CB C D B A AB AC =-⋅==⋅ .【详解】解：因为在ABC 中，D 为线段BC 的中点，所以()12AD AB AC =+ ，即2AD AB AC =+ ，因为3AC =，5BC =，12AD BC =，所以22242cos AD AB AC AC AB A =++ ，即2166cos AB AB A =+，因为BC AC AB=-，所以2222cos BC AC AB AC AB A =+- ，即2166cos AB AB A =-，所以，22166cos 6cos AB AB A AB AB A =+=-，即12cos 0AB A = ，所以cos 0A =，因为()0,A π∈，所以2A π=，即ABC 为直角三角形，所以22216AB BC AC=-=因为E 为线段BC 垂直平分线l 上任一异于D 的点，所以AE AD DE =+ ，CB AB AC =- ，DE CB ⊥，所以()()22222AE CB CB C A AD DE AD A B B ACD ⋅⋅=⋅=⋅-=+ ()()221697AB AC AB AC AB AC =+-=-=-= 故选：C12.已知向量,a b的夹角为60°，22a b == ，若对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，122112112x nx x nx a b x x ->--，则m 的取值范围是（）A.)3e ,∞⎡+⎣ B.[)e,+∞ C.1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D.1,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】根据向量数量积的定义求得1a b ⋅=，于是由数量积的应用可得22a b -= ，对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，则将1221121n 1n 2x x x x a b x x ->-- 转化为1221121n 1n 2x x x x x x ->-，即21211n 2ln 2x x x x --<，则构造函数()ln 2x f x x-=得函数在(),m +∞上单调递减，求导判断()f x 单调性，即可得m 的取值范围.【详解】解：已知向量,a b 的夹角为60°，22a b == ，则1cos 602112a b a b ⋅=⋅⋅︒=⨯⨯=所以22a b -== 所以对任意的1x 、2x (,)m ∈+∞，且12x x <，1221121n 1n 2x x x x x x ->-，则1221121n 1n 22x x x x x x -<-所以2121211n 1n 22x x x x x x -<-，即21211n 2ln 2x x x x --<，设()ln 2x f x x-=，即()f x 在(),m +∞上单调递减又()0,x ∈+∞时，()23ln 0xf x x'-==，解得3e x =，所以()30,ex ∈，()0f x ¢>，()f x 在()30,e x ∈上单调递增；()3e ,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 在()3e ,x ∞∈+上单调递减，所以3e m ≥.故选：A .第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上．2．试卷中横线的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答．本卷包括必考题和选考题两部分．第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b 垂直，则实数m 等于____．【答案】0或4【解析】【分析】根据向量坐标运算的垂直关系计算即可.【详解】向量(0,4)a m =- ，()21,b m m =+ ，若a 与b垂直，则22(0,4)(1,)40a b m m m m m ⋅=-⋅+=-=，解得0m =或4m =，故答案为：0或4.14.2353π8lg +2lg 2sin 22+-=__【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数、三角函数等知识确定正确答案.【详解】原式()()232352lg lg 212=++--252lg 415lg105162⎛⎫=+⨯+=+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：615.若命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[0,4)【解析】【分析】由题意，命题的否定为真命题，分别讨论0a =和0a ≠两种情况，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】因为命题“2000,10∃∈-+≤x R ax ax ”是假命题，所以命题的否定：2,10x R ax ax ∀∈-+>为真命题，当0a =时，10>恒成立，符合题意，当0a ≠时，由题意得：240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<.综上实数a 的取值范围是[0,4).故答案为：[0,4)16.正割（Secant ，sec ）是三角函数的一种，正割的数学符号为sec ，出自英文secant ．该符号最早由数学家吉拉德在他的著作《三角学》中所用，正割与余弦互为倒数，即1sec cos x x=．若函数()sec sin f x x x x =⋅-，则下列结论正确的有__①函数()f x 的图像关于直线x π=②函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π；③函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④()f x 为奇函数，且()f x 有最大值，无最小值．【答案】②③【解析】【分析】根据(0)(2)f f π≠判断①；根据导数的几何意义求切线方程判断②；根据导数求解函数的单调性判断③；结合函数的单调性判断④.【详解】解：对于①，由题知(0)0f =，1(2)2sin 22cos 2f πππππ=⋅-=，显然(0)(2)f f π≠，故函数()f x 的图像不关于直线x π=对称，故①错误；对于②，1()sin cos f x x x x =⋅-，2cos sin ()cos cos x x x f x x x+'=-，所以2cos sin ()cos 0cos f ππππππ+'=-=，1()sin cos f πππππ=⋅-=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线方程为y π=-，所以，函数()f x 图像在(),()f ππ处的切线与x 轴平行，且与x 轴的距离为π，故正确；对于③，因为()2322cos 1cos sin cos sin cos ()cos cos x x x xx x x x f x x x-++-'==2221sin 2sin cos sin sin 2cos cos x x x x x x x x x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，令()1sin 22g x x x =+，则()cos 210g x x =+≥'恒成立，所以，()1sin 22g x x x =+在R 上单调递增，因为()00g =，所以，(),0x ∈-∞时，()0g x <；()0,x ∈+∞时，()0g x >，因为函数()f x 的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭所以，当95,,1682x ππππ⎡⎤⎛∈⊆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭时，()0g x >，()0f x '>，所以，函数()f x 在区间95,168ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；对于④，函数的定义域为,Z 2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，()()()()1sin cos f x x x f x x -=-⋅--=--，故函数()f x 为奇函数；由③知，当02x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，函数()f x 为增函数，所以，当x 从0趋近于2π时，函数值()f x 趋近于+∞，故函数()f x 无最大值，当x 从π趋近于2π时，函数值()f x 趋近于-∞，故函数()f x 无最小值，故④错误.所以，正确的结论有：②③故答案为：②③三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合}{32A x x =-<≤，函数()g x =的定义域为集合B ．（1）当1a =时，求A B ⋂；（2）设命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(){}3,12A B =- （2）(](),42,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）根据题意得{|1B x x =<或2}x ≥，再求交集运算即可；（2）由题知|1{B x x a =≥+或}x a <，A B Ü，再根据集合关系求解即可.【小问1详解】解：当1a =时，()g x ==由题意201x x -≥-，解得1x <或2x ≥，所以{|1B x x =<或2}x ≥，又{}|32A x x =-<≤，所以(){}3,12A B =- .【小问2详解】解：由题意(1)0x a x a -+≥-，即()[(1)]00x a x a x a --+≥⎧⎨-≠⎩，解得：1x a ≥+或x a <，所以|1{B x x a =≥+或}x a <，因为p 是q 的充分不必要条件，所以，集合A 是集合B 的真子集，所以2a >或13a +≤-，解得2a >或4a ≤-故实数a 的取值范围(](),42,-∞-+∞ ．18.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足3520a a +=，48a =，数列{}n b 的通项公式为212n n b +=（1）求{}n a 的通项公式；（2）若n n p q a b =，求数列12(1)n n p q n n ⎧⎫+-⎨⎬+⎩⎭的前n 项和T n ．【答案】（1）12n n a -=（2）21nn n ++【解析】【分析】(1)利用等比数列的通项公式化简条件，求出等比数列的公比，由此可得数列{}n a 的通项公式；(2)由(1)可得22n n p q -=，利用裂项相消法和组合求和法求数列21(1)n n ++的前n 项和T n .【小问1详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，由3520a a +=，48a =，可得2333208a a q a q ⎧+=⎨=⎩，即得22520q q -+=，解得2q =或12q =（舍去），故4414822n n n n a a q ---==⨯=，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=；【小问2详解】若n n p q a b =，则12122n n p q -+=，故121n n p q -=+，即22n n p q -=，即1111222(1)(1)1n n p q n n n n n n +-=+=-++++所以1111112222231n T n n =-++-+++-++11111(12222311n nT n n n n n =-+-++-+=+++ .19.已知函数323()2a f x x x axb +=-++（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，求实数b 的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）1(,1)2.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再分类讨论求解不等式即可作答.（2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答.【小问1详解】函数323()2a f x x x ax b +=-++定义域R ，求导得()()()233313a f x x a x a x x ⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭'，若3a >，当13a x <<时，()0f x '<，当1x <或3a x >时，()0f x ¢>，即()f x 在(1,)3a上单调递减，在(,1)-∞和(,)3a+∞上单调递增；若3a =，恒有()0f x '≥．即()f x 在R 上单调递增；若3a <，当13ax <<时，()0f x '<；当3a x <或1x >时，()0f x '>，即()f x 在(,1)3a 上单调递减，在(,3a-∞和(1,)+∞上单调递增，所以当3a <时，函数()f x 的递减区间是(,1)3a，递增区间是(,)3a -∞和(1,)+∞；当3a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当3a >时，函数()f x 的递减区间是(1,)3a ，递增区间是(,1)-∞和(,)3a +∞.【小问2详解】当1a =时，32()2f x x x x b =-++，令23259()()(53)6322g x f x x x x x x b =--+=-++-，因函数()y f x =的图象与抛物线25532y x x =-+恰有三个不同交点，则函数()y g x =图象与x 轴有三个交点，而2()3963(1)(2)g x x x x x '=-+=--，由()0g x '>，解得1x <或2x >，由()0g x '<，解得12x <<，因此函数()y g x =在(,1),(2)-∞+∞上单调递增，在(1,2)上单调递减，于是得()g x 在1x =时取得极大值1(1)2g b =-，()g x 在2x =时取得极小值(2)1g b =-，依题意，1210b b ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解得112b <<，所以实数b 的取值范围为1(,1)2．20.已知函数21()cos sin sin()32f x x x x π=+⋅+-（1）求函数()f x 的对称中心及()f x 在[]0,π上的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，1()2f C =，22225b c a =-，求sin A 的值．【答案】（1）对称中心为1(,Z 2124k k -∈ππ；单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3（2）2114【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得()11sin 2264f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根据整体代换求解即可；（2）结合（1）得1sin(262C π+=，进而得3C π=，再根据余弦定理和已知条件得3b a =，c =，进而结合正弦定理求解即可.【小问1详解】解：函数2311()sin (cos sin )cos 222f x x x x x =++-()22211cos sin 1cos cos cos 22x x x x x x x =+-+=+111112cos2)sin 2224264x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭．由26x k ππ+=，Z k ∈，解得212k x ππ=-，Z k ∈故所求对称中心为1,,Z 2124k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．由222262k x k πππππ-≤+≤+，Z k ∈，解得36k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈令0k =，有36x ππ-≤≤，令1k =，有2736x ππ≤≤又[]0,x π∈，所以所求的单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2π,π3【小问2详解】解：因为1()2f C =，所以111sin(2)2642C ++=π，即1sin(262C π+=又在ABC 中(0,)C π∈，132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以5266C ππ+=，即3C π=，由余弦定理知，2222cos a b c ab C ab +-==，又22225b c a =-所以22230b ab a --=，解得3b a =，c =，由正弦定理知，sin sin a c A C=，所以sin sin 14a C A c ===21.已知函数()ln f x x x =+，()e x g x x =，其中e 为自然对数的底数．（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）令42e ()4e 11x x x τ=+---，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ>成立；（3）若不等式()()()0R g x af x a +≥∈在(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析；（3）[)e -+∞.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率，利用点斜式求切线方程；（2）利用导数求函数()g x 的最小值，利用基本不等式求()x τ的最大值，由此证明()()g x x τ>；（3）由已知可得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，设e x x μ=，则ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，利用导数求函数ln y μμ-=的最大值，可求a 的取值范围．【小问1详解】因为()ln f x x x =+，所以1()1f x x'=+，所以(1)1f =，(1)2f '=，所以曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线的斜率为2，故切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；【小问2详解】因为()e x g x x =，当2x ≥时，()(1)e 0x g x x '=+>，故()g x 在[)2,+∞上单调递增，所以2min ()(2)2e g x g ==，又4422e e ()4e 14e (1)11x x x x x τ⎡⎤=+--=--+⎢⎥--⎣⎦，因为[)2,x ∞∈+，所以11x -≥，4e 01x >-，所以()224e 2e x τ≤-，当且仅当4e 11x x -=-，即[)2e 12,x =+∈+∞时取等号，即当2e 1x =+时，[]2max ()2e x τ=，由于()g x 的最小值等于()x τ的最大值，且不是在同一点取得，故有()()g x x τ>成立【小问3详解】由不等式()()0g x af x +≥在()1,+∞上恒成立，即不等式e (ln )0x x a x x ++≥在()1,+∞上恒成立，得e ln(e )0x x x a x +≥在()1,+∞上恒成立，令e x x μ=，由(2)e x x μ=在()1,+∞上单调递增，所以e μ>，则ln 0a μμ+≥在(e,)+∞上恒成立，ln a μμ-≥在(e,)+∞上恒成立，令()(e)ln μϕμμμ-=>，则21ln (0(ln )μϕμμ-'=<()ϕμ∴在(e,)+∞递减，()(e)eϕμϕ<=-所以实数a 的取值范围是[),e -+∞【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)()a f x ≥恒成立⇔()max a f x ≥；(2)()a f x ≤恒成立⇔()min a f x ≤.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程］22.平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 交于M ，N 两点，求与直线MN 平行且过原点的直线l 的极坐标方程及MN 的值．【答案】（1）221x y +=；220x y x +-=（2）5()6R πθρ=∈【解析】【分析】（1）求曲线1C 的普通方程只需把,x y 平方即可，求曲线2C 的方程只需极坐标与直角坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩化简即可.（2）两圆方程联立即可求相交弦方程，即直线MN 的方程，再根据平行求出直线l 的方程，进而可求直线l 的极坐标方程，再利用圆的弦长与圆心到直线的距离，半径之间的关系即可求出MN 的值．【小问1详解】由曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），可得2222cos sin 1x y αα+=+=，即曲线1C 的普通方程为221x y +=；曲线2C 的极坐标方程为2sin 6πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭⇒2sin cos ρθρθ+⇒22x y x +=+.故曲线2C的直角坐标方程为220x y x +--=.【小问2详解】由（1）得22221100x y x x y x ⎧+=⎪⇒+-=⎨+--=⎪⎩即直线MN的方程为10x +-=，则与直线MN 平行且过原点的直线l 的方程为33y x =-，其倾斜角为56π所以直线l 的极坐标方程为()56R πθρ=∈；设曲线221:1C x y +=的圆心(0,0)到直线MN 的距离为d ，则12d =，故MN ==．故：MN =.［选修4—5：不等式选讲］23.已知函数()()2R f x x x a x a =-+∈（1）当1a =时，解不等式()1f x >；（2）若()2f x x <+对于任意的13,42x Î恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{12xx <<∣或1}x >（2）5,26⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论求解即可；（2）根据题意1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立，再求对应的最值即可得答案.【小问1详解】解：当1a =时，不等式()1f x >，即2|1|1x x x -+>，所以12(1)1x x x x ≥⎧⎨-+>⎩或12(1)1x x x x <⎧⎨-+>⎩，即得21210x x x ≥⎧⎨-->⎩或212310x x x <⎧⎨-+<⎩，解得112x <<或1x >，所以不等式()1f x >的解集为1{|12x x <<或1}x >【小问2详解】解：因为()2f x x <+对任意的13,42x Î恒成立，所以，||1x x a -<对任意的13,42x Î恒成立，即1||x a x -<，即11x a x x x-<<+，故只要1x a x -<且1a x x<+对任意的13,42x Î恒成立即可，因为12x x +≥=，13,42x Î，当且仅当1x x =时，即1x =时等号成立，所以min 1()2x x+=，令1()g x x x=-，13,42x Î，因为函数1,y x y x==-在13,42x Î上单调递增，所以()g x 在13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增，从而max 35()()26g x g ==，所以，526a <<，即实数a 的取值范围是5,26⎛⎫⎪⎝⎭第21页/共21页。

四川省绵阳南山中学2024届高三上学期零诊考试(9月)文科数学试题及参考答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．绵阳南山中学2021级高三上期零诊考试试题数学(文科)第Ⅰ卷 (选择题，共60分))1．集合A =-2，-1，0，1，2 ，∁A B =-1，0，2 ，则B =( )A ．-2 B ．1C ．-2，1D ．-2，0，22．设z =1-i1+i+2i ，则z 的虚部为( )A ．iB ．3iC ．1D ．33．“m >2”是“关于x 的方程2x 2-m x +1=0有两个不等实根”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知sin α+π6 =-13，则cos π3-α =( )A ．223B ．-13C ．-223D ．135．已知向量a =3，0 ，b =-1，1 ，c =1，k ，若a +b ⎳c ，则实数k 的值为( )A ．-2B ．-1C ．2D ．126．折扇在我国已有三千多年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征(如图1)，图2为其结构简化图，设扇面A ，B 间的圆弧长为l ，A ，B 间的弦长为d ，圆弧所对的圆心角为θ(θ为弧度角)，则l ､d 和θ所满足的恒等关系为( )A ．2sin θ2θ=d l B ．sin θ2θ=d l C ．2cos θ2θ=d l D ．cos θ2θ=d l7．将f (x )=cos ωx -π4 (ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后与函数g (x )=cos ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A ．34B ．12C ．14D ．328．已知函数f (x )在区间[-2，2]上的大致图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )=e x -e -x xB ．f (x )=e x -e -x sin xC ．f (x )=e x -e -x cos xD ．f (x )=e x -e -x x 29．若点P 是曲线y =ln x -x 2上任意一点，则点P 到直线l :x +y -4=0距离的最小值为( )A ．22B ．2C ．2D ．2210．一架飞机从保山云瑞机场出发飞往昆明长水机场，两地相距350km ，因雷雨天气影响，飞机起飞后沿与原来飞行方向成15°角的方向飞行，飞行一段时间后，再沿与原来飞行方向成30°角的方向继续飞行至终点，则本架飞机的飞行路程比原来的350km 大约多飞了( )(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)A ．15kmB ．25kmC ．30kmD ．40km11．下列结论正确的个数为( )①在△ABC 中，若a >b ，则cos A <cos B ；②在△ABC 中，不等式b 2+c 2-a 2>0恒成立，则△ABC 为锐角三角形；③在△ABC 中，若C =π4，a 2-c 2=bc ，则△ABC 为等腰直角三角形；④若△ABC 为锐角三角形，则sin A 0时，函数f x =ln x ，x >0-mx 2-mx ，x ≤0的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围为( )A ．0，1e B ．1，+∞C ．0，1e ∪1e，+∞ D ．0，1 ∪1，+∞第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．)13．命题“∃x ∈-1，1 ，x 2-x +3<0”的否定是.14．曲线y =1x在x =3处切线的斜率为.15．函数y =2-sin x -cos 2x 的值域为.16．已知f (x )为奇函数，当x ∈(0，1]，f (x )=ln x ，且f (x )关于直线x =1对称.设方程f (x )=x +1的正数解为x 1，x 2，⋯，x n ，⋯，且任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得x n +1-x n <M 成立，则实数M 的最小值为.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．(本小题满分12分)已知向量a ，b 满足a +b ⋅a -2b =-6，且a =1，b =2．(1)求a ⋅b ；(2)若a 与b 的夹角为θ，求θ的值.18．(本小题满分12分)函数f x =cos ωx +φ ω>0，φ <π2的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且f π6=1．(1)求f x 的单调递减区间；(2)当x ∈-π6，π3时，方程f x -a =0恰有两个不同解，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知二次函数f x =x 2-2mx -1，m ∈R .(1)若函数f x +1 是偶函数，求m 的值；(2)是否存在m ，使得函数f x 有两个零点x 1和x 2x 1<x 2 ，且在区间x 1，x 2 内至少存在两个整数点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．(本小题满分12分)如图所示：(1)证明余弦定理：a2=b2+c2-2bc⋅cos A；(2)在△ABC边AC上侧有一点D，若A，B，C，D四点共圆，且∠ABC=π3,AB=2,AC= 3,求△ACD周长的取值范围.21．(本小题满分12分)已知函数f x =ln x+a a∈R.(1)若函数g x =f x +12x2+ax，讨论函数g x 的单调性；(2)证明：当a≤12时，f x <e x-sinθ.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22. [选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+π4=22.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值.23.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知f x =2x+1+2x-1(1)解不等式f x ≤7；(2)若a+b+c=3，求证：∃x0∈R，使得f x0≤a+12+b2+c-12成立．数学(文科)参考答案一、选择题1．C2．C3．B4．B5．D6．A7．A8．C9．D10．B11．B12．D12.【详解】由题意可得，函数f(x)=-mx2-mx(x≤0)关于原点对称的图象g(x)= mx2-mx与函数f(x)=ln x(x>0)的图象有两个交点，即方程mx2-mx=ln x(x>0)有两个根，即m(x-1)=ln xx，令h(x)=ln xx(x>0)，则h (x)=1-ln xx2，当0<x<e时，h (x)>0，当x>e时，h (x)<0，所以h(x)在0，e上递增，在e，+∞上递减，y=m(x-1)的图象恒过点(1，0)，h(x)=ln xx(x>0)的图象也过点(1，0)，因为h (1)=1，所以h(x)=ln x x(x>0)在x=1处的切线方程为y=x-1，由图可知当0<m<1或m>1时，h(x)=ln x x(x>0)与y=m(x-1)的图象有2个交点，即mx2-mx=ln x(x>0)有两个根，所以实数m的取值范围为0，1∪1，+∞，故选：D二、填空题13．∀x∈-1，1，x2-x+3≥014．-1915．32，316．2【详解】因为f(x)为奇函数，所以f x =-f-x，且f0 =0，又f(x)关于直线x=1对称，所以f1+x=f1-x，所以f2+x=f-x=-f x ，则f4+x=-f2+x=f x ，所以函数f x 是以4为周期的周期函数，作出函数y=f x 和y=x+1的图像如图所示：由f (x )=x +1的正数解依次为x 1、x 2、x 3、⋅⋅⋅、x n 、⋅⋅⋅，则lim n →∞(x n +1-x n )的几何意义为函数f x 两条渐近线之间的距离为2，所以lim n →∞(x n +1-x n )=2.所以得任意的n ∈N ，x n +1-x n <2，已知任意的n ∈N ，总存在实数M ，使得x n +1-x n <M 成立，可得M ≥2，即M 的最小值为2.故答案为：2.三、解答题17．(1)-1；(2)2π3.【详解】(1)解：a +b ⋅a -2b=a 2-a ⋅b -2b 2=-6，又因为a=1，b =2，∴a ⋅b =a2-2b 2+6=1-8+6=-1；(2)解：由题意可得cos θ=a ⋅b |a |⋅|b |=-12=-12，又因为θ∈[0，π]，所以θ=2π3.18．(1)k π+π6，k π+2π3，k ∈Z ；(2)12,1 .【详解】(1)由题意可知，函数的周期T =2πω=2×π2，得ω=2，所以f π6 =cos 2×π6+φ =1，φ <π2，得φ=-π3，所以f x =cos 2x -π3，令2k π≤2x -π3≤2k π+π，解得：k π+π6≤x ≤k π+2π3，k ∈Z ；所以函数的单调递减区间是k π+π6，k π+2π3，k ∈Z ，(2)方程f x -a =0有两解，即a =f x ，x ∈-π6，π3，2x -π3∈-2π3，π3 ，所以f x ∈-12，1，又因为有两个不同解，所以由函数图象（略）可知，实数a 的取值范围是12,1 .19．(1)m =1;(2)-∞，0 ∪0，+∞ 【详解】(1)∵函数f x +1 是偶函数，∴f x +1 =f -x +1 对任意的x 恒成立.∴(x +1)2-2m x +1 -1=(-x +1)2-2m -x +1 -1，即4x -4mx =0.∴m =1.(2)∵二次函数f x 的图像开口向上且过点0，-1 ，对称轴为x =m ，∴对任意的实数m ，函数f x 都有两个零点x 1和x 2，且0∈x 1，x 2 .∴①当m =0时，函数f x =x 2-1的两个零点分别为-1，1，在区间-1，1 内只有一个整数点，不满足题目要求；②当m >0时，只需f 1 =-2m <0，即m >0，此时至少有两个整数0和1在区间x 1，x 2 内；③当m <0时，只需f -1 =2m <0，即m <0，此时至少有两个整数0和-1在区间x 1，x 2 内.∴m 的取值范围是-∞，0 ∪0，+∞ .20．(1)证明见解析；(2)(23,2+3].【详解】(1)向量法：因为BC =AC -AB，则BC 2=AC -AB 2=AC 2+AB 2 -2AC ⋅AB =b 2+c 2-2bc cos A ，即a 2=b 2+c 2-2bc cos A ．(2)因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D +B =π，D =π-B =2π3.在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =CD sin ∠CAD =ACsin ∠ADC=2，即AD =2sin ∠ACD ,CD =2sin ∠CAD ,所以周长=AD +CD +AC =2(sin ∠ACD +sin ∠CAD )+3=2(sin ∠ACD +sin (π3-∠ACD )+3=sin ∠ACD +3cos ∠ACD +3=2sin (∠ACD +π3)+3，又因为∠ACD ∈(0,π3),所以(∠ACD +π3)∈(π3,2π3),所以sin (∠ACD +π3)∈(32,1],所以周长的取值范围为(23,2+3]21．(1)答案见解析；(2)证明见解析【详解】(1)g x =f x +12x 2+ax =ln x +a +12x 2+ax x >0 ，g x =1x +x +a =x 2+ax +1x，当a ≥0时，在区间0，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，当a <0时，若Δ=a 2-4≤0，即-2≤a <0时，在区间0，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，若Δ=a 2-4>0，即当a <-2时，函数y =x 2+ax +1的开口向上，对称轴x =-a2>1，令gx =0，即x 2+ax +1=0，解得x 1=-a -a 2-42，x 2=-a +a 2-42，而x 1+x 2=-a >0，x 1x 2=1>0，所以x 1，x 2是两个正根，所以在区间0，x 1 ，x 2，+∞ 上，g x >0，g x 单调递增，在区间x 1，x 2 上，g x <0，g x 单调递减.综上所述，当a ≥-2时，g x 在区间0，+∞ 上单调递增；当a <-2时，g x 在区间0，-a -a 2-42 ，-a +a 2-42，+∞上单调递增，在区间-a -a 2-42，-a +a 2-42上单调递减.(2)要证明：当a ≤12时，f x <e x -sin θ，即证明：当a ≤12时，ln x +a <e x -sin θ，即证明：当a ≤12时，ln x +a -e x +sin θ<0，构造函数h x =ln x +a -e x +sin θx >0，a ≤12，h x =1x -e x ，函数h x =1x-e x 在0，+∞ 上为减函数，h 1 =1-e <0，h 12 =2-e >0，所以存在x 0∈12，1 ，使h x =1x 0-e x=0，1x 0=e x，所以h x 在区间0，x 0 上h x >0，h x 单调递增，在区间x 0，+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，h x ≤h x 0 =ln x 0-e x 0+a +sin θ=ln e -x 0-1x 0+a +sin θ=-x 0+1x 0+a +sin θ<-2x 0⋅1x 0+a +sin θ=-2+a +sin θ<0，即h x <0，所以当a ≤12时，ln x +a -e x +sin θ<0，所以当a ≤12时，f x <e x -sin θ.22．(1)直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0，曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1(2)2【详解】(1)由ρsin θ+π4 =22，得ρsin θcos π4+ρcos θsin π4=22，22ρsin θ+22ρcos θ=22，所以ρsin θ+ρcos θ=4，所以直线l 的直角坐标方程为x +y -4=0，由x =3cos αy =sin α (α为参数)，得x23+y 2=1，即曲线C 的普通方程为x 23+y 2=1，(2)设点P (3cos α，sin α)(α∈[0，2π))，则点P 到直线l 距离为d =3cos α+sin α-412+12=2sin α+π3 -4 2，所以当sin α+π3 =1时，d 取得最小值22= 2.23．(1)-2，32；(2)证明见解析．【详解】(1)f x ≤7可化为x ≤-1-2x +1 -2x +1≤7 或-1<x <122x +1 -2x +1≤7或x ≥122x +1 +2x -1≤7，解得-2≤x ≤-1或-1<x <12或12≤x ≤32，∴f x ≤7解集为-2，32(2)f x =2x +1 +2x -1 ≥2x +1 -2x -1 =3当x =-1时取“=”，∴f x min =3∵a +b +c =3，∴a +1 +b +c -1 =3，∴12+12+12 a +1 2+b 2+c -1 2 ≥a +1 +b +c -1 2 =32，∴a +1 2+b 2+c -1 2≥3，故∃x 0∈R ，使得f x 0 ≤a +1 2+b 2+c -1 2.。

江西省稳派教育2020届高三下学期调研考试(三)数学(文科)试题(含答案)

2019-2020学年高三年级调研考试(三)数学(文)卷一、选择题1.若集合A =x ,y x 2-2x =0,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，则A ∩B 中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】因为A =x ,y x =0 或x =2,y ∈R ，B =x ,y y 2=2x ，所以A ∩B =0,0 ,2,2 ,2,-2 ，故选C .2.已知a +2i 2a ∈R 是纯虚数，则a +i =()A.3 B.5 C.3D.5【答案】B【解析】a +2i 2=a 2-4+4a i ，因为a +2i 2a ∈R 是纯虚数，所以a 2-4=04a ≠0，所以a =±2，由a +i =±2+i =5 ，故选B .3.若a 1b>1D.ab +1>a +b【答案】D【解析】取a =23 ，b =34 ，可排除A ，取a =-2，b =-12 ，可排除B ，取a =-2，b =12，可排除C ，由a 0，展开得ab +1>a +b ，故选D .4.已知圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m -y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则m =()A.12B.13C.15D.17【答案】D【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0关于双曲线C :x 22m-y 2m +1=1m >0 的一条渐近线对称，则圆心1,-2 在渐近线y =-m +12mx 上，所以m +12m =2，m =17，故选D .5.已知a ,b 是单位向量，且a +b =2,-1 ，则a -b =()A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】因为a ,b 是单位向量，a +b =2 ,-1 ，两边平方得2a ⋅b =1，所以a -b =a 2-2a ⋅b +b 2=1，故选A .6.已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，若a 6=2，a 2+a 10 2a 3+a 9 =12，则S 5=()A.5B.3C.-3D.-5【答案】D【解析】由题意得a 2+a 10 2a 3+a 9 =2a 6a 3+a 3+a 9 =2a 6a 3+2a 6 =4a 3+4 =12，可得a 3=-1，所以S 5=5a 3=-5，故选D .7.新冠肺炎病毒可以通过飞沫方式传染，已知甲通过检测确诊为新冠肺炎，经过追踪发现甲有A ,B ,C ,D ,E 5名密切接触者，现把这5人分为2组(一组2人，一组3人)，分别送到2个医院进行隔离观察，则A ,B 在同一个医院的概率为()A.15B.310C.25D.12【答案】C【解析】把A ,B ,C ,D ,E 分为2组(一组2人，一组3人)，结果有：AB ,CDE ，AC ,BDE ，AD ,BCE ，AE ,BCD ，BC ,ADE ，BD ,ACE ，BE ,ACD ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共10种，A ,B 在同一个医院的结果有：AB ,CDE ，CD ,ABE ，CE ,ABD ，DE ,ABC ，共4种，所以所求概率P =410 =25 ，故选C .8.已知函数f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，则下列结论错误的是()A.g f x =0B.f f x =f xC.f x g x =sinπxD.f g x +2 =1【答案】C【解析】由f x =1,x >00,x =0-1,x <0，g x =sinπx ，可得当x >0时，g f x =g 1 =sinπ=0，当x =0时，g f x =g 0 =sin0=0，当x <0时g f x =g -1 =sin -π =0，所以A 正确；当x >0时，f x =1，f f x =f 1 =1，f f x =f x 成立，当x =0时，f 0 =0，f f 0 =f 0 =0，f f x =f x 成立，当x <0时，f x =-1，f f x =f -1 =-1，f f x =f x 成立，所以B 正确，由f 32 g 32 =-1，可知C 错误，由g x ≥-1，g x +2≥1，可知f g x +2 =1正确，故选C .9.已知函数f x =x 3+ax 2-3x +b 满足f x +f -x =2，则f x 的图象在x =1处的切线方程为()A.y =-1B.y =0C.y =x -1D.y =-x +1【答案】A【解析】由f x +f-x=2可得2ax2+2b=2，所以a=0，b=1，f x =x3-3x+1，f x =3x2-3，f1 =-1，f 1 =0，所以f x 的图象在x=1处的切线方程为y=-1，故选A.10.《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，共17卷，是中国古代数学名著，明朝数学家程大位著.书中有这样一道著名的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚各几丁？”现给出该问题中求小僧人数的算法的程序框图，则图中①②可分别填入()A.s=3m+n3 ；n=100B.s=3n+m3 ；n=100C.s=3n+m3 ；s=100D.s=3m+n3 ；s=100【答案】D【解析】由程序框图可知，n表示小僧人数，m表示大僧人数，根据“大僧三个更无争，小僧三人分一个”，设馒头数为s，则s=3m+n3 ，所以①中填入s=3m+n3，当s=100时结束程序，输出n，故选D.11.如图，正三角形ABC为圆锥的轴截面，D为AB的中点，E为弧BC的中点，则直线DE与AC所成角的余弦值为()A.13B.12C.22D.34【答案】C【解析】取BC 中点O ，BO 中点F ，连接OD ,OE ,FE ,DF ，则∠ODE 就是直线DE 与AC 所成角.设AB =4，则OD =2，OF =1，OE =2，DF =3 ，EF =OE 2+OF 2 =5 ，DE =DF 2+EF 2 =22 ，所以∠ODE =π4 ，即直线DE 与AC 所成角的余弦值为22，故选C .12.已知椭圆C :x 2a 2 +y 2b2 =1a >b >0 的右焦点为F ，设c =a 2-b 2 ，直线x c +y b =1与椭圆C 在第四象限交于点A ，点A 在x 同上的射影为B ，若AB ⋅AF =49b 2，则椭圆C 的离心率为()A.15B.5 5C.25D.10 5【答案】B【解析】由AB ⊥x 轴可得AB ⋅AF =AB 2，所以AB =2b 3，又AB FB=tan ∠BFA =b c ，所以FB =2c 3 ，所以A 5c 3 ,-2b3，代入椭圆C 的方程得25c 29a 2+49 =1，所以e =5 5，故选B .二、填空题13.若函数f x =x 2,x ≥1a x +1 ,x <1的值域为R ，则a 的取值范围是______.【答案】12 ,+∞ 【解析】当x ≥1时，f x =x 2≥1，若a =0，x <1时，f x =0，f x 的值域不是R ；若a <0，x <1时，f x >2a ，f x 的值域不是R ，若a >0，x <1时，f x <2a ，所以当2a ≥1时，f x 的值域为R ，所以a 的取值范围是12,+∞ .14.正项数列a n 满足a 2=1，a 2n +1a n=2a n +a n +1，则使a n >100的最小的n 值为______.【答案】9【解析】由a 2n +1a n=2a n +a n +1得a 2n +1-a n a n +1-2a 2n =0，即a n +1+a n a n +1-2a n =0，因为a n >0，所以a n +1-2a n =0，a n +1=2a n ，a n =a 2⋅2n -2=2n -2，a 8=64，a 9=128，所以使a n >100的最小的n 值为9.15.已知f x =sin x +π3 ，若方程f x =a 在0,5π3上只有4个不同实根x 1,x 2,x 3,x 4x 1<x 2<x 3<x 4 ，则a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为______.【答案】23π【解析】画出f x 的图象，由图象可知3 2≤a <1，x 1+x 2=2×π6 =π3 ，x 2+x 3=2×2π3 =4π3 ，x 3+x 4=2×7π6 =7π3，相加得x 1+2x 2+2x 3+x 4=4π，所以a x 1+2x 2+2x 3+x 4 的最小值为23 π.16.在△ABC 中，AB =AC =3，BC =3，点D 在BC 上，且BD =2DC ，将△ABD 沿AD 折起，使点B 到达点P 位置，且AP ⊥AC ，则三棱锥P -ACD 的外接球半径为______.【答案】7 2【解析】由题意可得AD =DC =1，AB ⊥AD ，因为AP ⊥AC ，所以三棱锥P -ACD 中，AP ⊥底面ADC ，把三棱锥P -ACD 补成三棱柱，则该三棱柱的外接球就是三棱锥P -ACD 的外接球，球心是三棱柱上下底面外接圆圆心连线的中点，底面外接圆半径r =12 ⋅3 sin120°=1，又AP =3，所以三棱锥P -ACD 外接球半径R =12+3 22 =72.三、解答题17.2020年上半年，随着新冠肺炎疫情在全球蔓延，全球超过60个国家或地区宣布进人紧急状态，部分国家或地区直接宣布“封国”或“封城”，随着国外部分活动进入停摆，全球经济缺乏活力，一些企业开始倒闭，下表为2020年第一季度企业成立年限与倒闭分布情况统计表：企业成立年份20192018201720162015企业成立年限x 12345倒闭企业数量(万家) 5.28 4.72 3.58 2.70 2.15倒闭企业所占比例y %21.4%19.1%14.5%10.9%8.7%(1)由所给数据可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y 关于x 的回归方程，预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例.参考数据：5i =1y i =74.6 ，5i =1x i y i =190.2 ，5i =1y i-y 2≈10.70，10 ≈3.16，相关系数r =ni =1x i y i -nx yn i =1x i -x 2ni =1y i -y2，样本x i ,y i i =1,2,...,n 的最小二乘估计公式为b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2 ，a =y -b x .【答案】(1)用线性回归模型拟合y 与x 的关系;(2)4.84%【解析】(1)由表中数据及参考数据可得x =3，5i =1x i -x 2=10 ，5i =1y i -y 2≈10.70，由5i =1x i =15 ，5i =1y i =74.6 ，可得x =3，y =14.92，所以5i =1x i y i -5x y=190.2-5×3×14.92=-33.6 ，所以r ≈-33.610.70×3.16≈-0.99，因为y 与x 的相关系数近似为-0.99，说明y 与x 的相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系.(2)b =5i =1x i y i -5x y5i =1x 2i -5x 2 =-33.655-5×9 =-3.36，则a =y -b x=14.92+3.36×3=25，所以y 关于x 的回归方程y=-3.36x +25.当x =6时，y=-3.36×6+25=4.84，所以预测2014年成立的企业中倒闭企业所占比例为4.84%.18.已知△ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足c tan A tan C+1 -9b =0.(1)求cos A 的值；(2)若点D 在边BC 上，AD 平分角A ，且AD =5 ，求1b+1c 的值.【答案】(1)19 ;(2)23【解析】(1)由c tan Atan C+1 -9b =0及正弦定理可得sin C ⋅sin A cos C +sin C cos Asin C cos A-9sin B =0，即sin A +Ccos A-9sin B =0，因为sin A +C =sin π-B =sin B ，且sin B ≠0，所以cos A =19.(2)因为cos A =19 ，所以sin A =1-cos 2A =459 ，因为AD 平分角A ，所以sin ∠BAD =sin ∠CAD =1-cos A 2=1-19 2=23，由S △ABC =S △ADB +S △ADC ，可得12 bc sin A =12 c ⋅AD sin ∠BAD +12b ⋅AD sin ∠CAD ，12 bc ⋅459 =12 c ⋅5 ⋅23 +12 b ⋅5 ⋅23 ，整理得23bc =b +c ，所以1b+1c =23 .19.如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，点D 为BB 1中点，点E 为点B 关于直线AC 的对称点，AB =BC =AA 1=2，AC =22.(1)求证：平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1；(2)求三棱锥E -ADC 1的体积.【答案】(1)见解析;(2)三棱锥E -ADC 1的体积为23【解析】(1)设AC 1的中点为F ，连接BE 与AC 交于G ，则点G 为AC 中点，连接DF ,FG ，则FG ∥CC 1，且FG =12CC 1.又D 为BB 1的中点，所以DB ∥FG ，且DB =FG ，所以四边形BDFG 为平行四边形，所以BG ∥DF ，因为AA 1⊥底面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，因为AB =BC ，G 为AC 中点，所以BG ⊥平面ACC 1A 1，所以DF ⊥平面ACC 1A 1.又DF ⊂平面AC 1D ，所以平面AC 1D ⊥平面ACC 1A 1.(2)由(1)知BE ∥DF ，所以点E ,B 到平面ADC 1的距离相等，所以V 三棱锥E -ADC 1=V 三棱锥B -ADC 1=V 三棱锥A -BDC 1.由AB =BC =2，AC =22，可得AB ⊥BC ，因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，AB ⊥平面BCC 1B 1，又△BDC 1的面积S =12 ×1×2=1，所以V 三棱锥A -BDC 1=13 ×AB ×S =13 ×2×1=23，所以三棱锥E -ADC 1的体积为23.20.已知抛物线C :y 2=2px p >0 与直线y =x +1只有一个公共点，点A ,B 是抛物线C 上的动点.(1)求抛物线C 的方程；(2)①若k OA +k OB =1，求证：直线AB 过定点；②若P x 0,y 0 是抛物线C 上与原点不重合的定点，且k PA +k PB =0，求证：直线AB 的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)y 2=4x ;(2)①见解析;②见解析,定值为-2y 0 .【解析】(1)y 2=2px 与y =x +1联立得y 2-2py +2p =0因为抛物线C 与直线y =x +1只有一个公共点，所以△=2p 2-8p =0，p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)①设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k OA +k OB =4y 1 +4y 2=1，所以y 1y 2y 1+y 2 =4，又k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 ，所以直线AB 的方程为y -y 1=4y 1+y 2x -y 214，即y =4y 1+y 2 x +y 1-y 21y 1+y 2 =4y 1+y 2 x +y 1y 2y 1+y 2 =4y 1+y 2x +4，当x =0时y =4，所以直线AB 过定点0,4 .②设A y 214 ,y 1 ，B y 224 ,y 2，则k PA +k PB =y 1-y 0y 214 -y 204 +y 2-y 0y 224 -y 204=4y 1+y 0 +4y 2+y 0 =0，所以y 1+y 0+y 2+y 0=0，y 1+y 2=-2y 0，所以直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2y 214 -y 224=4y 1+y 2 =-2y 0 .即直线AB 的斜率为定值-2y 0 .21.已知函数f x =ax 2ln x +12-x ln x +1.(1)若a <e2，讨论f x 的单调性；(2)若a =1，x ≥1，求证：f x >32 x 2-2x +1+sin x .【答案】(1)当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减;(2)见解析【解析】(1)因为f x =ax 2ln x +12-x ln x +1，所以f x =2ax ln x +2ax -ln x -1=2ax -1 ln x +1 x >0 ，①若a ≤0，则2ax -1<0，当x ∈0,1e时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e,+∞ 时，f x <0，f x 是减函数；②若0<a <e 2 ，即12a >1e ，当x ∈0,1e 和x ∈12a ,+∞ 时，f x >0，f x 是增函数，当x ∈1e ,12a时，f x <0，f x 是减函数.综上可得，当a ≤0时，f x 在0,1e 上单调递增，在1e,+∞ 上单调递减；当0<a <e 2 时，f x 在0,1e 和12a ,+∞ 上单调递增，在1e ,12a上单调递减.(2)当a =1时，要证f x >32x 2-2x +1+sin x ，只需证f x ≥32 x 2-2x +2，即证x 2-x ln x -1+1x≥0，因为x ≥1，所以x 2-x ≥0，设g x =ln x -1+1x，则g x =1x -1x 2 =x -1x2 ≥0，所以g x 在1,+∞ 上是增函数，g x ≥g 1 =0，ln x -1+1x≥0，所以x 2-x ln x -1+1x≥0，因此f x >32x 2-2x +1+sin x 成立22.平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为3,3 ，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2+22 ρsin θ+π4.(1)求曲线C 的参数方程；(2)若P ,Q 是曲线C 上的不同两点，且AP 2+AQ 2=40，求证：线段PQ 的中点M 恒在一条直线上，并求出此直线的直角坐标方程.【答案】(1)曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数);(2)x +y =0【解析】(1)ρ2=2+22 ρsin θ+π4=2+2ρcos θ+2ρsin θ，由ρ2=x 2+y 2，ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，得曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2+2x +2y ，即x -1 2+y -1 2=4，设x -1=2cos φ，y -1=2sin φ，得曲线C 的参数方程x =1+2cos φy =1+2sin φ(φ为参数).(2)设P 1+2cos φ1,1+2sin φ1 ，Q 1+2cos φ2,1+2sin φ2 ，设M x ,y ，则x =1+cos φ1+cos φ2，y =1+sin φ1+sin φ2，由AP 2+AQ 2=40，得2cos φ1-2 2+2sin φ1-2 2+2cos φ2-2 2+2sin φ2-2 2=40，整理得1+cos φ1+cos φ2+1+sin φ1+sin φ2=0，即x +y =0，所以点M 恒在直线x +y =0上，所以此直线的直角坐标方程为x +y =0.23.已知函数f x =x -m -x -2m .(1)若m =2，求不等式f x >1的解集；(2)若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集∅，求m 的取值范围.【答案】(1)72,+∞ ;(2)m 的取值范围是-3,3【解析】解：(1)当m =2时，f x =x -2 -x -4 =-2,x <22x -6,2≤x ≤42,x >4，当x <2时，-2>1不成立，当2≤x ≤4时，由2x -6>1，得72<x ≤4，当x >4时，2>1成立，所以不等式f x >1的解集为72,+∞ .(2)因为f x =x -m -x -2m ≤x -m -x -2m =m ，所以-m ≤f x ≤m ，又a +1a -b b =a -b +b +1a -b b ≥33a -b b ⋅1a -b b=3，当a -b =b =1a -b b，即a =2，b =1时取等号，若对满足a >b >0的任意实数a ,b ，关于x 的方程f x =a +1a -b b的解集为∅，则m <3，所以m 的取值范围是-3,3 .。

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高三年级文科数学调研考试数学(文科)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题时间120分钟，满分150分.第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第一卷前，考生务必用蓝、黑墨水或圆珠笔将姓名、考试证号、填在答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡规定位置涂黑自己的考试证号和考试科目.2．每小题选出答案后，用铅笔涂黑答题卡上对应题目的答案标号.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案写在试卷上无效.一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共60分.在第小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．集合N M x N x y y M x则},44|{)},1lg(|{2<=+==等于（）A ．[)+∞,0B ．[)1,0C ．()+∞,1D ．(]1,0 2．15cot 15tan -的值是（）A ．3-B ．32C ．3D ．32-3．要得到函数)42sin(3π-=x y 的图象,可将函数x y 2sin 3=的图象沿x 轴（） A ．向左平移4π单位 B ．向右平移4π单位C ．向左平移8π单位D ．向右平移8π单位4．函数)(32R x y x∈+=的反函数为（）A ．)3(23log 2>-=x x y B ．)3)(3(log 2>-=x x yC ．)3)(3(log 2>-=x x yD ．)3(23log 2>-=x xy 5．011<<ba 若，则下列不等式正确的个数是（）①||||b a > ②ab b a <+ ③2>+baa b ④b a ba -<22A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．过点（1，1）的直线l 与圆4)2(22=+-y x 相交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最小时，直线l 的斜率为（）A ．2B ．－1C ．－2D ．1 7．等差数列{}1418161042,30,a a a a a a n -=++则中的值为（）A ．20B ．－20C ．10D ．－108．函数)(x f y =图象如右图所示,不等式0)()(>--x f x f 的解集是（） A ．（－1，0） B ．（0，1）C ．)0,1[-D ．]1,0(9．设a ，b ，c 是△ABC 的三条边，若a ，b ，c 成等比数列，且c =2a ，则cos B 等于（）A ．41 B ．43 C ．42 D ．32 10．已知△ABC 中，向量,0(=⋅+BC AC AB 满足与21=，则△ABC 为（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形11．已知点（x ，y ）在如图所示平面区域内运动（包含边界），目标函数.y kx z -=当且仅当54,32==y x 时，目标函数z 取最小值，则实数k 的取值范围是（）A ．)103,512(--B ．]103,512[--C ．)310,125(--D ．]310,125[--12．已知奇函数)(x f 的定义域为R ，且是以2为周期的周期函数，数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，则)()()(1021a f a f a f +++ 的值为（）A ．0B ．1C ．－1D ．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2．答卷前将密封线内项目填写清楚.二、填空题（本大题共4小数点题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．不等式21≥-xx 的解集为 . 14．若),(,2||,1||b a a b a -⊥==则向量a 与b 的夹角为 . 15．已知αββαtan ,41tan ,52)tan(则==+= . 16．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一常数，那么这个数列叫做“等积数列”，这个常数叫做该数列的公积。

已知数列{}n a 是等积数列，且,21=a 公积为5，则这个数列的前21项的和S 21的值为。

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程式演算步骤）17．（本小题满分12分）已知函数.3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 的单调弟增区间. 18．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式1)8(log >-ax a 在区间[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围。

19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项为S n ，且当*N n ∈时满足,632n n S n +-=数列{}n b 满足,)21(1-=n n b 数列{}n c 满足.61n n n b a c ⋅=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和T n .20．（本小题满分12分）如果)(x f 在某个区间I 内满足：对任意的)2()]()([21,,212121x x f x f x f I x x +≥+∈都有，则称)(x f 在I 上为下凸函数；已知函数.)(2x ax x f +=（Ⅰ）证明：当0>a 时，)(x f 在R 上为下凸函数；（Ⅱ）若)1,0(∈x 时，,1|)(|≤x f 求实数a 的取值范围. 21．（本小题满分14分）已知点A 、B 是抛物线2x y =上的两个不同于坐标原点O 的动点，且.0=⋅（Ⅰ）求以AB 为直径的圆的圆心轨迹方程；（Ⅱ）过A 、B 分别作抛物线的切线，证明：两切线交点M 的纵坐标为定值.22．（本上题满分12分）已知函数1)(23+++=cx bx x x f 在区间]2,(--∞上单调递增，在区间[－2，2]上单调递减，且.0≥b （Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）设20≤<m ，若对任意的x 1、x 2],2[m m -∈不等式m x f x f 16|)()(|21≤-恒成立，求实数m 的最小值。

参考答案13．)0,1[-14．3π 15．22316．47三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（本小题满分12分）解（Ⅰ）x x x f 2cos 32sin )(+=),32sin(2π+=x ………………………………………………………4分)(x f ∴的最小正周期为ππ=22.………………………………………………6分（Ⅱ）由πππππk x k 223222+≤+≤+-，…………………………………………8分得)(,12125Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ…………………………………………10分 )(x f ∴的单调增区间为)(]12,125[Z k k k ∈⋅++-ππππ……………………12分 18．（本小题满分12分）解当a ax a ax ax a a a a >-⇔>-⇔>->8log )8(log 1)8(log ,1时]).2,1[(18∈+<⇔x x a ………………………………………………………………3分根据条件，a 应小于])2,1[(18)(∈+=x x x f 的最小值是38，.831<<∴a …………………………………………………………………………6分当10<<a 时，a ax a ax ax a a a <-<⇔>-⇔>-80log )8(log 1)8(log])2,1[(.18,8∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+><⇔x x a xa …………………………………………………………9分根据条件，a 应小于])2,1[(8)(1∈=x xx f 的最小值4；同时a 应大于18)(2+=x x f ])2,1[(∈x 的最大值4，即44<<a ，不成立。

……11分综上，a 的取值范围是).38,1(…………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）解（Ⅰ）当,3,111===S a n 时……………………………………………………2分当,69,21n S S a n n n n -=-=≥-时………………………………………………4分.69n a n -=∴………………………………………………………………………6分（Ⅱ）n n n n n n n n n b a c b )21()23()21(66961,)21(11⋅-=⋅-=⋅==-- ,)21()32()21(3)21(2132n n n T ⋅---⋅--=∴ ………………………………8分,)21)(32()21())52()21()21(21132+--⋅----=n n n n n T ,)21()32(211])21(1[4122111+-⋅-+--⋅-=n n n …………………………10分.1)21)(12(-+=∴n n n T ………………………………………………………12分20．（本小题满分12分）解（Ⅰ）)2(2)()(2121x x f x f x f +-+ ]2)2([221221222121x x x x a x ax x ax +-+-+++= ,2)(221x x a -=………………………………………………………………4分),2()]()([21,02121x x f x f x f a +≥+∴>)(,0x f a 时当>∴为R 上的下凸函数。

………………………………6分（Ⅱ）,1|)(|≤x f,112≤+≤-∴x ax.111122xx a x x -<≤--∴………………………………………………10分 ),1,0(∈x.02≤≤-∴a ………………………………………………………………12分21．（本小题满分14分）解（Ⅰ）设),,(),,(),,(222211y x Q AB x x B x x A 中点…………………………1分,0,0,0,021222121≠≠=+∴=⋅x x x x x x 又.121-=∴x x …………………………………………………………………3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,2,2222121x x y x x x 又…………………………………………………………5分则2122122212)[(21][21x x x x x x y -+=+=] .12]24[2122+=+=x x AB ∴为直径的圆的圆心的轨迹方程为.122+=x y …………………………7分（Ⅱ）由2x y =，得x y 2='，……………………………………………………9分∴过A 点的切线方程为)(21121x x x x y -=-，即,2211x x x y -=①同理过B 点的切线方程为.2222x x x y -=②……………………………………12分设),,(y x M则02,221=+-y xt t x x 为方程的两根，由韦达定理知,21y x x =⋅又由（Ⅰ）,121-=x x.1,1--=∴的纵坐标为定值即M y …………………………………………14分22．（本小题满分12分）解（Ⅰ）,23)(2c bx x x f ++=']2,()(--∞在x f 上单调递增，在[－2，2]上单调递减2,2,,023)(21212≥-==++='∴x x x x c bx x x f 且有两个根，……2分3,322121c x x b x x =-=+ ， .0,2232,2322≤∴≥+-∴+-=∴b bb x …………………………4分又,0,0=∴≥b b,12,22-==∴c x.112)(3+-=∴x x x f ……………………………………………………6分（Ⅱ）已知条件等价于在.16)()(],2[min max m x f x f m m ≤--上……………………8分]2,2[)(-在x f 上为减函数，且].2,2[],2[,20-⊂-∴≤<m m m ……………………………………10分],2[)(m m x f -∴在上为减函数，,342,1616126)()(,112)()(,1)2(12)2()2()(2min max 3min 3max ≥-≤≤++-=-∴+-==+---=-=∴m m m m m x f x f m m m f x f m m m f x f 或得又.34,20min =∴≤<m m ………………………………………………12分。