必修5等差数列(含答案)

等 差 数 列

[考点梳理]

1. 等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的__________等于同一个___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的___________，通常用字母d 表示，即___________＝d (n ∈N ＋，且n ≥2)或___________＝d (n ∈N ＋)．

2．等差中项

三个数a ，A ，b 成等差数列，这时A 叫做a 与b 的____________．

3．等差数列的通项公式

若{a n }是等差数列，则其通项公式a n ＝___________.

①{a n }成等差数列⇔a n ＝pn ＋q ，其中p ＝___________，q ＝___________，点(n ，a n )是直线___________上一群孤立的点．

②单调性：d ＞0时，{a n }为___________数列；d ＜0时，{a n }为___________数列；d ＝0时，{a n }为___________．

4．等差数列的前n 项和公式

(1)等差数列前n 项和公式S n ＝___________＝___________.其推导方法是___________．

(2){a n }成等差数列，求S n 的最值：

若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎨⎧a n ___________，a n ＋1___________

时，S n 最大； 若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎨⎧a n ___________，a n ＋1___________

时，S n 最小； 或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．

5．等差数列的判定方法

(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(3)通项公式法：a n ＝kn ＋b (k ，b 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；

(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．

6．等差数列的性质

(1)a m －a n ＝___________d ，即d ＝a m －a n m －n

. (2)在等差数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则有a p ＋a q ＝a m ＋___________；若2m ＝p ＋q ，则有___________a m ＝a p ＋a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．但要注意：在等差数列a n ＝kn ＋b 中，若m ＝p ＋q ，易证得a m ＝a p ＋a q 成立的充要条件是b ＝0，故对一般等差数列而言，若m ＝p ＋q ，则a m ＝a p ＋a q 并不一定成立．

(3)若{a n }，{b n }均为等差数列，且公差分别为d 1，d 2，则数列{pa n }，{a n ＋q }，{a n ±b n }也为___________数列，且公差分别为___________，___________，___________.

(4)在等差数列中，按序等距离取出若干项也构成一个等差数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m ，…为等差数列，公差为md.

(5)等差数列的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…为等差数列，公差为n 2d.

(6)若等差数列的项数为2n ，则有S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1

. 自查自纠：

1．差 常数 公差 a n －a n －1 a n ＋1－a n

2．等差中项

3．a 1＋(n －1)d ①d a 1－d y ＝dx ＋(a 1－d ) ②单调递增 单调递减 常数列

4．(1)n （a 1＋a n ）2 na 1＋n （n －1）d 2

倒序相加法 (2)≥0 ≤0 ≤0 ≥0 6．(1)(m －n ) (2)a n 2 (3)等差 pd 1 d 1 d 1±d 2

[基础自测]

在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．6

解：由等差数列的性质知a 2，a 4，a 6成等差数列，所以a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0.故选B.

设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

解：∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2

＝5a 3＝5.故选A. 已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则其前10项的和为( )

A ．100

B ．210

C ．380

D ．400

解：在等差数列{a n }中，∵a 2＝7，a 4＝15，∴d ＝a 4－a 22＝4，a 1＝a 2－d ＝3，∴S 10＝10×3＋10×92

×4＝210.故选B.

在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.

解：∵{a n }是等差数列，∴a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，得a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.故填10.

设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.

解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，∴1S 1

＝－1.由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n ＋1·S n ，两边同时除以－S n ＋1·S n ，得1S n ＋1

－1S n ＝－1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，S n ＝－1n .故填－1n .

[典例解析]

类型一 等差数列的判定与证明

设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于所有的正整数n ，都有S n ＝n （a 1＋a n ）2

，证明{a n }是等差数列．

证明：当n ≥2时，由题设知 a n ＝S n －S n －1＝n （a 1＋a n ）2－（n －1）（a 1＋a n －1）2

＝12

[a 1＋na n －(n －1)a n －1]， 同理a n ＋1＝12[a 1＋(n ＋1)a n ＋1－na n ]．从而a n ＋1－a n ＝12

[(n ＋1)a n ＋1－2na n ＋(n －1)a n －1]． 整理得(n －1)a n ＋1＋(n －1)a n －1＝2(n －1)a n ，∵n ≥2，∴a n ＋1＋a n －1＝2a n .

所以{a n }是等差数列．

归纳小结：判定数列是等差数列的方法可参看本节“考点梳理”，证明一个数列是等差数列只能用前两种方法，做客观题时可用后两种方法．

已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (p ，q ∈R ，且p ，q 为常数)．

(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？

(2)求证：对任意实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }是等差数列．