浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第三十一讲 图形的旋转与中心对称》基础演练

【基础演练】
1．(2011·宁波)平面直角坐标系中，与点(2，－3)关于原点中心对称的点是() A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(－2，3) D．(2，3)
解析根据关于坐标原点对称的点的坐标的规律：横纵坐标互为相反数，所以(2，－3)关于原点对称的点为(－2，3)．
答案 C
2．(2012·烟台)如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
解析A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
答案 C
3．下列交通标志既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()
解析A是轴对称但不是中心对称；B、C既不是轴对称也不是中心对称，D 既是轴对称也是中心对称．
答案 D
4. (2010·永州)如图，这是一个正面为黑，反面为白的未拼完
的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木，现欲
拼满拼木盘并使其颜色一致，请问应选择的拼木是()
解析A、C和D旋转之后都不能与图形拼满，B旋转180°后可得出与图形空白处相同的形状．
答案 B
5．(2012·苏州)如图，将△AOB绕点O按逆时针方向
旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则
∠AOB′的度数是()
A．25°B．30°C．35°D．40°
解析∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°
后得到△A′OB′，
∴∠A′OA＝45°，∠AOB＝∠A′OB′＝15°，
∴∠AOB′＝∠A′OA－∠A′OB′＝45°－15°＝30°.
答案 B
6. (2012·玉林)如图，两块相同的三角板完全重合
在一起，∠A＝30°，AC＝10，把上面一块绕直
角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在
AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D＝
________．
解析∵∠A＝30°，AC＝10，∠ABC＝90°，
∴∠C＝60°，BC＝BC′＝1
2AC＝5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′＝5，
∵∠A′C′B＝∠C′BC＝60°，∴C′D∥BC，
∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′＝1
2BC＝
5
2.
答案5 2
【能力提升】
7．(2012·南通)如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于
()
A．2 011＋671 3 B．2 012＋671 3
C．2 013＋671 3 D．2 014＋671 3
解析∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
AC＝1，∴AB＝2，BC＝3，∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝2＋3＋1＝3＋3；又∵2 012÷3＝670…2，
∴AP2 012＝670(3＋3)＋2＋3＝2 012＋671 3.
答案 B
8. (2012·无锡)如图，△ABC 中，∠C ＝30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△ADE ，AE 与BC 交于F ，则∠AFB ＝________度． 解析 ∵△ADE 是由△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到的， ∴∠CAF ＝60°； 又∵∠C ＝30°(已知)，
∴在△AFC 中，∠CF A ＝180°－∠C －∠CAF ＝90°， ∴∠AFB ＝90°. 答案 90
9. 如图四边形ABCD 和四边形OEFG 都是正方形，点O
是正方形ABCD 两对角线的交点，已知AB ＝2，EF ＝3，正方形OEFG 绕点O 转动，OE 交BC 上一点N ，OG 交CD 上一点M .求四边形OMCN 的面积．
解 ∵四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交 于点O ，
∴OB ＝OC ，∠4＝∠5＝45°，∠BOC ＝90°， 即∠1＋∠2＝90°.
又∵四边形OEFG 是正方形， ∴∠EOG ＝90°， 即∠2＋∠3＝90°， ∴∠1＝∠3.
在△BON 和△COM 中⎩⎨⎧∠1＝∠3OB ＝OC ∠4＝∠5
∴△BON ≌△COM (ASA)
∴S 四边形OMCN ＝S △ONC ＋S △OCM ＝S △ONC ＋S △BON ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ＝1
4×22＝1.
即四边形OMCN 的面积为1.
10．(2012·莱芜)如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，将△ABC 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB ′C ′(如图②)．
(1)探究DB ′与EC ′的数量关系，并给予证明； (2)当DB ′∥AE 时，试求旋转角α的度数． 解 (1)DB ′＝EC ′.理由如下：
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，
∴AD ＝AE ＝1
2AB ，∵△ABC 绕点A 顺时针旋转α角(0°＜α＜180°)，得到△AB ′C ′，
∴∠B ′AD ＝∠C ′AE ＝a ，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴AB ′＝AC ′， 在△B ′AD 和C ′AE 中，
∵⎩⎨⎧AB ′＝AC ′
∠B ′AD ＝∠C ′AE ，∴△B ′AD ≌△C ′AE （SAS ），AD ＝AE
∴DB ′＝EC ′；
(2)∵DB ′∥AE ，∴∠B ′DA ＝∠DAE ＝90°， 在Rt △B ′DA 中， ∵AD ＝12AB ＝1
2AB ′，
∴∠AB ′D ＝30°，∴∠B ′AD ＝90°－30°＝60°， 即旋转角α的度数为60°.
11. (2012·宿迁)(1)如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE ＝1
2∠ABC (0°＜
∠CBE ＜1
2∠ABC )，以点B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针旋转，得到△BE ′A (点C 与点A 重合，点E 到 点E ′处)连接DE ′. 求证：DE ′＝DE .
(2)如图2，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝90°，D ，E 是AC 边上的两点，且满足∠DBE ＝1
2∠ABC (0°＜∠CBE ＜∠45°)． 求证：DE 2＝AD 2＋EC 2. (1)证明 ∵∠DBE ＝1
2∠ABC ， ∴∠ABD ＋∠CBE ＝∠DBE ＝1
2∠ABC ， ∵△ABE ′由△CBE 旋转而成， ∴BE ＝BE ′，∠ABE ′＝∠CBE ， ∴∠DBE ′＝∠DBE ， 在△DBE 与△DBE ′中， ∵BE ＝BE ′，∠DBE ＝∠DBE ′ BD ＝BD
∴△DBE ≌△DBE ′(SAS)，∴DE ′＝DE . (2)如图所示：把△CBE 旋转90°， 连接DE ′，
∵BA ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCE ＝45°，
∴图形旋转后点C 与点A 重合，CE 与AE ′重合， ∴AE ′＝EC ，
∴∠E ′AB ＝∠BCE ＝45°， ∴∠DAE ′＝90°，
在Rt △ADE ′中，DE ′2＝AE ′2＋AD 2， ∵AE ′＝EC ，
图 2
∴DE′2＝EC2＋AD2
同(1)可得DE＝DE′，∴DE2＝AD2＋EC2.。