2014年陕西省宝鸡市园丁中学高考数学一模试卷(文科)

2014年陕西省宝鸡市园丁中学高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知集合，，，，则A∩B的真子集个数为（）A.3B.6C.7D.8【答案】C【解析】解：集合B表示圆x2+y2=1（y≥0）的上半部分；集合A表示抛物线y=x2-1（|x|≥1）和y=1-x2（|x|＜1）．∵，，解为（-1，0）（1，0）；，，＜解为（0，1）∴A∩B={（-1，0），（1，0），（0，1）}真子集的个数为23-1．故选C根据集合表示，利用解方程组求出A∩B，再根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N-1求解．本题考查集合的交集运算与集合的子集个数问题．2.若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如图所示，∵两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，∴四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC．∴∠OBA=．∵∠COB=∠OAB+∠OBA．∴∠COB=．∴向量+与-的夹角为．故选：C．如图所示，由于两个非零向量|+|=|-|=2||，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可知：四边形ABCD是矩形，且==cos∠BAC，进而得出．本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、直角三角形的边角关系，属于中档题．3.下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A.a＞b+1B.a＞b-1C.a2＞b2D.a3＞b3【答案】A【解析】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．4.若tanθ+=4，则sin2θ=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．5.奇函数f（x）在（0，+∞）上的解析式是f（x）=x（1-x），则在（-∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）=-x（1-x）B.f（x）=x（1+x）C.f（x）=-x（1+x）D.f（x）=x（x-1）【答案】B【解析】解：当x∈（-∞，0）时，-x∈（0，+∞），由于函数f（x）是奇函数，故f（x）=-f（-x）=x（1+x）．故选B把x∈（-∞，0）的函数解析式通过函数是奇函数的性质转化求出函数f（x）在（0，+∞）上的解析式．已知函数的奇偶性和函数在一个区间上的解析式求这个函数在其关于坐标原点对称的区间上的函数解析式，就是根据函数的奇偶性进行转化的，这类试题重点考查化归转化思想是运用．6.按如图的流程，可打印出一个数列，设这个数列为{x n}，则x4=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出i＞100时，打印x值．程序在运行过程中各变量的情况如下表示：i a b x是否继续循环循环前101是第一圈21是第二圈3是第三圈4是…所以这个数列的第4项是．故选C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i＞100时，打印x值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型．属于基础题．7.设函数f（x）=2x+-1（x＜0），则f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数【答案】A【解析】解：∵x＜0，∴，当且仅当即x=取等号故选项为A．利用基本不等式求最值时，一定要注意满足的条件，不是正数提出负号后再用基本不等式．利用基本不等式求最值，注意“一正”“二定”“三相等”要同时满足．8.若双曲线-=1（a＞0）的离心率为2，则a=（）A.2B.C.D.1【答案】B【解析】解：=2，（a＞0），∴a=．故选B．由题意知=2，（a＞0），由此可以求出a的值．本题考查双曲线的离心率，比较简单．会利用公式就能求出实数a．9.已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．10.已知某人每天早晨乘坐的某一班公共汽车的准时到站的概率为，则他在3天乘车中，此班车至少有2天准时到站的概率为（）A. B. C. D.【答案】C解：此班车正好有2天准时到站的概率为=．此班车3天都准时到站的概率为=，故他在3天乘车中，此班车至少有2天准时到站的概率为+=，故选：C．求出此班车正好有2天准时到站的概率，再加上此班车3天都准时到站的概率，即得所求．本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设，，，则a，b，c从小到大的顺序为______ ．【答案】c＜a＜b【解析】解：因为f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx，设，，，所以a=，b=，c=，因为当0＜x＜1时，f（x）=lgx＜0，函数是增函数，所以＜＜，所以＜＜，即c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．利用函数的周期性，把a，b，c转化为0＜x＜1时的函数值，通过函数的单调性判断大小即可．本题考查对数函数的单调性，函数的周期性函数的奇偶性的应用，考查基本知识的灵活运用．12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是______ ．【解析】解：根据题意，球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径，设这个半径为r∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，∴△PAD和△PCD都是直角边长为m的等腰直角三角形，可得S△PAD=S△PCD=m2∵R t△PAB中，PA=m，AB=m，∴S△PAB=PA•AB=m2，同理可得S△PBC=m2又∵S ABCD=m2，∴四棱锥P-ABCD的表面积为S表=S△PAD+S△PCD+S△PAB+S△PBC+S ABCD=（2+）m2因此，四棱锥P-ABCD的体积V=×S表×r=（2+）m2r∵PD⊥底面ABCD，且PD=m，底面ABCD是边长为m的正方形，∴四棱锥P-ABCD的体积V=×S ABCD×PD=m3，由此可得（2+）m2r=m3，解之得r=m=因此，在四棱锥P-ABCD内放一个球，该球的最大半径是．故答案为：根据题意，该球的最大半径是四棱锥P-ABCD的内切球半径．因此设内切球的半径为r，算出四棱锥P-ABCD的表面积，从而得到四棱锥P-ABCD的体积V=（2+）m2r，再根据PD是四棱锥的高且底面ABCD是正方形，得到V=m3，由此即可解出内切球的半径r值，从而得到该球的最大半径．本题给出底面为正方形、一条侧棱与底面垂直的四棱锥，求它的内切球半径．着重考查了锥体体积公式和球的内切、外接多面体等知识，属于中档题．13.已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0与l2：2（k-3）x-2y+3=0平行，则k的值是______ ．【答案】3或5【解析】解：当k=3时两条直线平行，当k≠3时有所以故答案为：3或5．考查题意，不难发现x=3为所求，然后利用直线平行的条件解答即可．本题考查直线与直线平行的条件，是基础题．14.若实数x，y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m= ______ ．【答案】5【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点使目标函数z=x-y取得最小值，由可得，，代入x-y=-1得∴m=5故答案为：5画出不等式组表示的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数m的方程组，消参后即可得到m的取值如果约束条件中含有参数，先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．15.不等式|2x-1|-x＜1的解集是______ ．【答案】（0，2）【解析】解：|2x-1|-x＜1⇒|2x-1|＜x+1⇒-（x+1）＜2x-1＜x+1，∴＜＜⇒0＜x＜2，故答案为（0，2）．利用绝对值的几何意义去绝对值号转化为一次不等式求解．考查绝对值不等式的解法，此类题一般两种解法，一种是利用绝对值的几何意义去绝对值号，另一种是用平方法去绝对值号，本题用的是前一种方法．16.如图，过点P作⊙O的割线PAB与切线PE，E为切点，连接AE、BE，∠APE的平分线分别与AE、BE相交于点C、D，若∠AEB=30°，则∠PCE= ______ ．【答案】75°【解析】解：如图，PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，∵PC是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，又∠AEB=30°，∴∠EDC=∠ECD=75°，即∠PCE=75°，故答案为：75°．利用弦切角，以及三角形的外角与内角的关系，结合图形即可解决．本题考查弦切角的性质和应用，解题时要认真审题，注意三角形的外角与内角的关系和数形结合法的合理运用．17.若M，N分别是曲线ρ=2cosθ和上的动点，则M，N两点间的距离的最小值是______ ．【答案】【解析】解：曲线ρ=2cosθ和，可化为直角坐标方程为：x-y+1=0与（x-1）2+y2=1∴M、N在直线与圆心（1，0）半径为1的圆上圆心（1，0）到直线的距离d==∴M，N两点间的距离的最小值d min=-1．故答案为：．可以先将极坐标方程化为直角坐标方程，M、N是直线与圆上的两个动点，最小距离为圆心到直线的距离减去半径即可．本题考查极坐标与直角坐标之间的转化，点到直线的距离，考查计算能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)18.已知向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，求实数m的最大值．【答案】解：（Ⅰ）∵向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•．∴f（x）=2sin2x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=2sin（2x-）+1∴≤2x-≤（k∈Z）∴（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间为，（k∈Z）；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立∵x∈[0，]，∴2x-∈，∴sin（2x-）∈，∴f（x）=2sin（2x-）+1∈[0，3]∴m≤0∴m的最大值为0．【解析】（Ⅰ）根据向量=（2sinx，cosx），=（sinx，2sinx），函数f（x）=•，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，]都成立，即f（x）min≥m成立．本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【答案】解：设事件A为“方程有实根”．当a＞0，b＞0时，方程有实根的充要条件为a≥b（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0）（0，1）（0，2）（1，0）（1，1）（1，2）（2，0）（2，1）（2，2）（3，0）（3，1）（3，2）其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是【解析】首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．20.在等差数列{a n}中，a1=3，前n项和为S n，等比数列{b n}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{b n}的公比q=（1）求数列{a n}通项a n；（2）记，试比较T n与的大小．【答案】解：（1）等比数列{b n}的公比为q，结合题意可得，解之得，q=3或q=-4（负值舍去），a2=6∴{a n}的公差d=a2-a1=3，可得a n=3+（n-1）×3=3n．（2）由（1），得到{a n}的前n项和为，∴由此可得：=．∴令＜0，得n＜5，故n=1，2，3，4；令=0，得n=5；令＞0，得n＞5∴当n=1，2，3，4时，＜；当n=5时，；当n＞5（n∈N+）时，＞．【解析】（1）根据等比数列的通项公式，结合题意建立关于q和a2的方程组，解之可得a2=6，进而得到{a n}的公差d=a2-a1=3，用等差数列通项公式可求得数列{a n}的通项；（2）根据（1）中求出的{a n}的通项，结合等差数列求和公式得出，从而化简出，用裂项法求出T n=，最后根据n与5的大小关系进行讨论，即可得到T n与的大小的几种情况．本题给出等差、等比数列模型，求通项公式并比较{a n}的前n项和的倒数和与的大小．着重考查了等差数列、等比数列的通项公式与求和公式，以及用不等式比较大小等知识，属于中档题．21.如图所示的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm）．（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连接BC′，证明：BC′∥面EFG．【答案】解：（1）如图（2）所求多面体的体积长方体正三棱锥（3）证明：如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，则AD′∥BC′因为E，G分别为AA′，A′D′中点，所以AD′∥EG，从而EG∥BC′，又EG⊂平面EFG，所以BC′∥平面EFG；【解析】（1）按照三视图的要求直接在正视图下面，画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，利用转化思想V=V长方体-V正三棱锥，求该多面体的体积；（3）在长方体ABCD-A′B′C′D′中，连接AD′，在所给直观图中连接BC′，证明EG∥BC′，即可证明BC′∥面EFG．长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识，对三视图的相关知识掌握不到位，求不出有关数据．三视图是新教材中的新内容，故应该是新高考的热点之一，要予以足够的重视．22.设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e-x的单调区间．【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2+bx+c得到f'（x）=2ax+b．因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，即-2a+b=0，因此b=2a．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，故当时，bc取得最小值-．此时有，．从而，′，g（x）=-f（x）e-x=（x2+x-）e-x，所以g′（x）=[f（x）-f′（x）]e-x=-（x2-4）e-x．令g'（x）=0，解得x1=-2，x2=2．当x∈（-∞，-2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上为减函数；当x∈（-2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（-2，2）上为增函数．当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）把（0，2a+3）代入到f（x）的解析式中得到c与a的解析式，解出c；求出f'（x），因为在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，得到切线的斜率为0，即f′（-1）=0，代入导函数得到b与a的关系式，解出b即可．（Ⅱ）把第一问中的b与c代入bc中化简可得bc是关于a的二次函数，根据二次函数求最值的方法求出bc的最小值并求出此时的a、b和c的值，代入f（x）中得到函数的解析式，根据求导法则求出g（x）的导函数，将f′（x）和f（x）代入即可得到g′（x），然后令g′（x）=0求出x的值，利用x的值分区间讨论g′（x）的正负即可得到g（x）的增减区间．本题是一道综合题，要求学生会利用导数研究函数的单调性，会利用导数研究曲线上某点的切线方程．做题时注意复合函数的求导法则．23.给定椭圆C：=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，，其短轴上的一个端点到F的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．（Ⅱ）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，且l1，l2分别交其“准圆”于点M，N．①当P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求l1，l2的方程；②求证：|MN|为定值．【答案】解：（I）因为，，所以b=1所以椭圆的方程为，准圆的方程为x2+y2=4．（II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点，所以△=144k2-4×9（1+3k2）=0，解得k=±1．所以l1，l2方程为y=x+2，y=-x+2．（2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或，当l1方程为时，此时l1与准圆交于点，，，，此时经过点，（或，）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0-tx0））2-3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0-tx0）x+3（y0-tx0）2-3=0，△=[6t（y0-tx0）]2-4•（1+3t2）[3（y0-tx0）2-3]=0，经过化简得到：（3-x02）t2+2x0y0t+1-y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3-x02）t2+2x0y0t+（x02-3）=0，所以t1•t2=-1，即l1，l2垂直．综合①②知：因为l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直，所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．【解析】（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程（2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理．本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力．。