理论力学-质点的振动
理论力学 第十章振动
k2
k1
δ st
r F1
k eq = k1 + k 2
δ st r
r mg
keq k1 + k 2 = m m
m
r F2
mg = k eqδ st
keq称为等效弹簧刚性系数 并联系统的固有频率为
mg k2
ωn =
当两个弹簧并联时，其等效弹簧刚度等于两个弹簧刚度的和。 这一结论也可以推广到多个弹簧并联的情形。
O
δ st
x
r F r P
则解为：
x = A sin(ω nt + θ )
表明：无阻尼自由振动是简谐振动。 其运动图线为：
x
A
x
x0
θ ωn
O
t
t+T
x
2.无阻尼自由振动的特点 无阻尼自由振动的特点
（1）固有频率 ）
无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时t， 无阻尼自由振动是简谐振动，是一种周期振动，任何瞬时 ，其 运动规律x（t）总可以写为: 运动规律 （ ）总可以写为: x（t）= x（t+T） （） （ ） T为常数，称为周期，单位符号为s。 为常数， 周期， 符号为 为常数 称为周期 单位符号 。 这种振动经过时间T后又重复原来的运动 后又重复原来的运动。 这种振动经过时间 后又重复原来的运动。 考虑无阻尼自由振动微分方程 考虑无阻尼自由振动微分方程
r F r P
x
两个根为： r1 = +iω n 方程解表示为：
r2 = −iω n
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
x = C1 cos ω nt + C2 sin ω nt
质点振动方程
质点振动方程
质点振动是指质点在物理系统中运动时，其位置随时间的变化呈现周期性的变化。
质点振动的运动方程通常是二阶常微分方程，可以表示为：
F=-kx
ma+F=0
其中，k是物体的弹簧常数，x是物体的位移，m是物体的质量，a是物体的加速度。
上述方程式可以用来描述质点在单摆运动、振动梁运动等情况下的运动规律。
解决这个方程组可以得到质点的位移随时间的变化规律，从而对质点的振动进行分析和预测。
需要注意的是，上述方程式仅适用于简单的质点振动情况，在实际应用中，质点振动的运动方程可能会更复杂，需要根据具体情况进行调整。
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
质点振动讲解(常微分)
数学摆是系于一根 长度为l的线上而 质量为m的质点M， 在重力作用下，它 在垂直于地面的平 面上沿着圆周运动， 如图：
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（1）无阻尼自由振动
考察数学摆的无阻尼微小自由振动方程 d 2 g 0 2 l dt ，（1.9） g 2 记 ，这里 0 是常数，（1.9）变为 l d 2 2 0 2 （4.39） dt 这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为
这里M,N是待定常数，将（4.53）代入（4.52），比 较同类项系数，得到 2 2
M
2npH
2 2
2
p
4n
2
p
2
N
p H
2
p
2 2
4n
2
p2
为了获得更明显的物理意义，令
M H * sin *
N H * cos *
M N
2 2
即令（4.54）
d d g 0 2 m dt l dt
2
，（1.10）
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记 写成：
2n g 2 ，l ，这里n，是正常数，（1.10）可以 m
d d 2 2 n 0 2 dt dt
2
（4.43）
2 1 2 2
， cos
c2
2 c12 c 2
因此，若取
2 A c1 c 2 2
，
2 1 2 2
则（4.40）可以写成 即 A sint
c c Asin cost cos sin t
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
第二章 质点振动学
第2章质点振动学振动学是研究“声学”的基础。
声学现象实质上就是传声媒质（气体、液体固体等）质点所产生的一系列力学（机械）振动传递过程的表现，而且声波的发生（无论是自然产生还是人工获得）基本上都来源于物体的振动。
当有一阵风吹来时，人们就会听到树叶振动发怵的“沙沙”的响声。
当人们欣赏一直交响乐队的演奏时，就会发现乐队的演奏者都在各自忙碌而又紧张地操作着自己的乐器，有的用槌子击鼓，有的用弓拉动小提琴的弦，等等。
看起来不同乐器的动作似乎是杂乱无章，然而人们所听到的优美的音乐，却正是这些乐器上的振动体“杂乱无章”运动的总效果。
既然声是从物体振动而来，因而，从物体的振动规律自然也可以预知声的一些规律。
例如，由扬声器发出的声音的强弱及其频率与扬声器纸盆振动的幅度及其频率有关。
作为声学工作者免不了要使用或者研制一些电声器件（如扬声器和传声器等），而这些器件的大多数都具有一个（或者多个）振动系统，如扬声器的纸盆与传声器的音膜等。
可以发现，这些振动系统的特性，对控制电声器件的声学性能往往会起着关键作用。
此外一些恼人的噪声也常常来自物体的强烈振动，而如何检测、抑制和隔离这些振动也已经成为现代声学的重要课题。
因此，物体的振动是产生声音，无论从声音产生的原因上看，还是从声音的传播上讲，甚至涉及声音的接收，它们都与振动有着极其密切的联系。
因此，对于振动规律的研究分析，在了解声音的产生、传播和接收方面具有极其重要的意义。
由此可见，振动学的基础知识对从时声学的工作者来说，是非常重要的、必不可少的。
振动学所研究的范围非常广泛，这里所介绍的主要限于与声学问题联系比较密切的力学（机械）振动的基础知识，本章将主要讨论质点振动规律，以求在基本原理上有一概念性的理解。
至于更复杂的振动方式，由于涉及的数学工式比较高深，一般读者可不必追究。
当然，它们不仅在理论上，而且在实用中还是十分重要的。
下一章将讨论一些简单形状弹性体（如弦、膜、棒等）的振动。
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解
理论力学(金尚年-XXX编著)课后习题答案详解高等教育出版社的《理论力学课后题答案》一书中，第一章包含了以下三个问题的解答：1.2 题目要求写出在铅直平面内的光滑摆线，并分方程。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后证明了质点在平衡位置附近作振动时，振动周期与振幅无关。
1.3 题目要求证明单摆运动的振动周期与摆长无关。
解答中使用了微积分和力学原理，得出了运动微分方程。
最后通过进一步计算，得出了单摆运动的振动周期公式。
1.5 题目要求使用拉格朗日方程计算质点的运动。
解答中使用了拉格朗日方程，并通过进一步计算得出了质点的运动轨迹。
如图，在半径为R时，地球表面的重力加速度可以由万有引力公式求得：g=\frac{GM}{R^2}$$其中M为地球的质量。
根据广义相对论，地球表面的重力加速度还可以表示为：g=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)$$其中c为光速。
当半径增加到R+ΔR时，总质量仍为M，根据XXX展开，可以得到：frac{1}{(R+\Delta R)^2}=\frac{1}{R^2}-\frac{2\DeltaR}{R^3}+\mathcal{O}(\Delta R^2)$$代入上式可得：g'=\frac{GM}{R^2}\left(1-\frac{2GM}{c^2R}\right)\left(1+\frac{2\Delta R}{R}\right)$$ 化简后得：g'=g-\frac{2g\Delta R}{R}$$因此，当半径改变时，表面的重力加速度的变化为：Delta g=-\frac{2g\Delta R}{R}$$2.在平面极坐标系下，设质点的加速度的切向分量和法向分量都是常数，即$a_t=k_1$，$a_n=k_2$（其中$k_1$和$k_2$为常数）。
根据牛顿第二定律，可以得到质点的运动方程：r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}=k_2$$ddot{r}-r\dot{\theta}^2=k_1$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
理论力学—质点系运动微分方程
解
AB杆的动力学方程：
mxc mg TA
myc 0
1 12
ml 2
1 2
lTA
需补充方程后求解
o
y
TA
A
c
yc B
mg
x
xc
ac aA art arn
xc
art
1 2
l
aA 0; art l / 2; arn 0 ( 0)
联立求解得：
3g
在例1中，对瞬心D的动量 矩为：
JD
1 12
ml 2
1 ml2 4
1 ml2 3
保持不变
由对瞬心D的动量矩定理：
1 ml2 1 mgl sin
3
2
3g 2l
sin
y
A XA
D
C
P O
YB x
B
与前面结果相同
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
J C*
3 mr 2 2
第7章
质 点 系 动 力 学
讨论
对瞬心的动量矩定理
若圆盘有偏心。
y
J A JC + m 2
随时间而变
O
dLA dt
J A
m d 2
dt
dLA dt
J A
x
C
A mg
N
F
x
仅当动瞬心到质心的距离保持不变时才有：
dLA dt
J A
讨论
对瞬心的动量矩定理
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mvl
m(l)l
ml2
d
dt
MOz mgl sin
O φ0
φ
l
F
Mv
mg
第九章 质点的振动
动量矩定理 动量矩 力矩
从而可得
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
dLOz dt
M Oz
LOz
ml2
d
dt
,
MOz mgl sin
d (ml2 d ) mgl sin
dt dt
O φ0
φ
l
F
Mv
其通解为
x C1 cos0t C2 sin 0t
把上式对时间求导数，得
v x C10 sin 0t C20 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x C1 cos0t C2 sin 0t
l0
OM
v x C10 sin 0t C20 cos0t
当 t=0时，质点的初坐标和初速度
F kx
式中c称为弹簧的刚度系数，简称刚度。 因F 恒指向平衡位置O，故它可写成
Fx cx
于是，质点M的运动微分方程写成
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
mx kx 或
x k x 0 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
引入参量
2 0
k m
则上式可写成标准形式
x
2
0
x
0
这就是在线性恢复力单独作用下，质点受初扰动后的无阻尼自 由振动微分方程，它是二阶常系数线性齐次微分方程。
d ) d
将式(a)代入上式，得
J d2 kd 2
dt2
例 题 9-6
l
d
m
O
φ
Fk
mg
第九章 质点的振动
例题
振动
例 题 9-6
J
d2
dt 2
k d 2
上式移项，可化为标准形式的无阻尼自由 振动微分方程
l
d
m
O
φ
Fk
mg
d2 kd2 0
( b)
dt 2 J
则此摆振系统的固有频率为
0 d
mg
化简即得单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题9-1
单摆的运动微分方程
d2
dt 2
g l
sin
0
O φ0
φ
微小摆动中，φ 值始终很小，可以认为 sinφ ≈ φ，则
g 0
l
考虑初始条件：t = 0, 0, 0。得单摆的运动规律
l
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
可见，质点无阻尼自由振动是简谐振动，其运动如图所示。
x
T
O
t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
二、自由振动的基本参数
x
T
（1）振幅和相角
O
t
由式（a）可见质点相对于振动中
心（平衡位置）的最大偏离
xmax A
x02
( x0
0
)2
x Asin( 0t ) （a）
W
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
解： 1. 并联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下作铅直平动，静变形
为λs ，有
W k1s k2s (k1 k2 )s
k1
k2
λs
W
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替并联的两弹簧 ，使它在相等的变形
下，产生与并联的两弹簧相等的恢复力，有
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。简单的模型如 图(a)所示的质量一弹簧系统。
l0
OM
(a)
M F
O
x
x
(b)
质点受到初始扰动后，将得到初位移和初速度，此后质点在 弹簧力维持下的运动，即为自由振动。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
一、自由振动的微分方程及其解
取坐标轴Ox，原点O是质点M的平衡位置。如图（a ）所示。 当M的坐标是x时，弹簧作用于M的力F的大小表示成
s 1s 2s
k1 k2
W λ1 s+λ2 s
k
λs
W
选择弹簧刚度系数为k的弹簧代替串联的两弹簧 ，使它的静变形λs等于串 联的两弹簧静变形之和λ1 s+λ2 s。
由于弹簧是串连的，每个弹簧受的力W相等，于是
1s
W k1
,
2s
W k2
,
s
W k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
s 1s 2s
c1
s
W k
,
1s
W k1
,
得 W W W , k k1 k2
2s
W k2
11 1 ,
k k1 k2
c2
W λ1 s+λ2 s
串联弹簧的等效刚度系数为
k 1 k1k2 1 1 k1 k2 k1 k2
弹簧串联后的刚度系数减小，柔度系数增大。
固有频率
k 1
k1k2
2 π m(k1 k2 )
第九章 质点的振动
c
λs
W
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
k1
O
k2
k1
1
1
O
k2
2
2
第九章 质点的振动
例题
v m
振动
例 题 9-3
提升重物系统中，钢丝绳的 横截面积S＝2.89 10－4 m2，材料 的弹性模量E＝200 GPa。重物的 质量m＝6000 kg，以匀速v＝0.25 m·s－1下降。当重物下降到l＝25 m时，钢丝绳上端突然被卡住， 求重物的振动规律。
恢复力。 ● 质点振动时还可能受阻力作用，这里只考虑与速度一次方成正比
的线性阻力。
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
自由振动是质点仅在恢复力作用下进行的振动。
质量一弹簧系统
简单的模型为下面所示的质量一弹簧系统。 m
k
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
l0 +δs
k
Fd OF
Fd cv
M
其中，c称为粘滞阻力系数（以
为kg单位）， s
表示质点在单位速度时，所受的阻力值，
其大小与介质和物体的形状等因素有关，
可由实验测定。式中负号表示阻力与速度
的方向恒相反。
Mv
G
x
第九章 质点的振动
§9-3 质点的衰减振动
W ks (k1 k2 )s
上式说明并联弹簧的等效刚度系数为
k k1 k2
固有频率
0
1 2π
k1 m 2π
k1 k2 m
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
例题 9-2
2. 串联情形。
设弹簧刚度系数分别为k1和k2 ， 在W重力作用下，两弹簧的总静变
形λs等于单个弹簧的静变形之和， 有
称为振幅。（ω0t+α）称为相角，而α称为初相角。 由式 （b）可见，振幅和初相角都和运动的初始
扰动 (
x0) ,有x0关。
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
（b）
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
（2）周期和频率
x
● 周期
每重复一次运动状态所需的时间间隔，
O
称为周期，并用T 表示。
(a)
M F
x x0,
v x0
O
x
x
令t=0且 x x0 和 x x0 ，就可以确定积分常数
(b)
C1 x0
和
C2
x0
0
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
co00 sin 0t x0 cos0t
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
这样，质点无阻尼自由振动规律和速度变化规律分别是
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x x00 sin 0t x0 cos0t
通常把上二式写成
x Asin( 0t )
x A0 cos(0t )
利用三角变换，可以确定
A
x02
( x0
0
)2
,
tan 0 x0
x0
第九章 质点的振动
§9-2 质点的自由振动
x
x0
cos0t
x0
0
sin
0t
x Asin( 0t )
有的变形，即静变形（如图a）。
l0
显然，由平衡条件G -F0=0有
mg ks
（1）
以平衡位置O作为原点，令轴Ox铅直
向下，则当物块在任意位置x时，弹簧力F
在轴x上的投影 Fx=-k( λs+x)（如图b）。
可得物块的运动微分方程
F0 O
M
G
xF
（a）
M xG
mx mg k(s x)
（b）
第九章 质点的振动
T
t
每隔一个周期T，相角应改变 ω0T=2π。因
此，周期可以表示成