菱形的定义和性质
菱形的性质与概念
菱形的性质与概念菱形是一个几何形状，它具有一些特殊的性质与概念。
一个菱形是一个四边形，它的四个边长相等，且相邻两边之间的夹角是直角。
下面我将详细介绍菱形的性质与概念。
首先，菱形的定义非常直观，它是一个有四条边的形状，但与其他四边形不同的是，四条边的长度相等，这意味着它的对角线也是相等的，且对角线互相平分。
换句话说，菱形的两个对角线互相垂直且相等长。
菱形有一些重要的性质和概念，其中之一是它的对称性。
菱形具有两条对称轴，这意味着对于任意一条菱形的对角线，其余两条边分别关于这条对角线对称。
这种对称性使得菱形在许多领域中有着广泛的应用，比如纺织品和装饰品设计。
另一个与菱形相关的重要概念是内角和外角。
内角是指菱形内部的角，而外角是指菱形外部的角。
对于一个菱形，它的内角是90度，因为相邻两条边之间的夹角是直角。
与内角相对应的是外角，其度数等于360度减去内角的度数。
因此，菱形的外角也是90度。
菱形还有一个重要的特点是它的四个顶点位于一个圆上。
这个圆被称为菱形的外接圆，它通过菱形的四个顶点，因此，对于任何一个菱形，我们可以找到这个唯一的外接圆。
外接圆具有一些特殊的性质，其中一个是菱形的对角线是它的直径。
也就是说，菱形的两条对角线互相垂直，并且它们的中点位于外接圆的圆心。
除了以上提到的性质和概念，菱形还有一些其他有趣的特点。
例如，菱形的面积可以通过对角线的长度和夹角的正弦值来计算。
具体计算公式为：菱形的面积等于对角线1和对角线2的乘积的一半，即面积=（对角线1×对角线2）/2。
此外，菱形还可以通过旋转正方形得到。
如果我们以正方形的一个顶点为中心，并将该顶点向外旋转45度，则可以得到一个菱形。
因此，菱形也可以被视为正方形的一个特殊形状。
总之，菱形是一个特殊的四边形，它具有许多独特的性质和概念。
它是一个有四条边的几何形状，其特点是四边相等，对角线互相垂直且相等长，内角为90度，外角为90度，顶点位于一个圆上，可以通过正弦定理计算面积，可以通过旋转正方形得到等等。
数学菱形知识点总结
数学菱形知识点总结一、菱形的定义菱形是一个四边形，它有着以下几个特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。
2. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
3. 相邻角相等：菱形的相邻两个角是相等的，并且相邻角的和是180度。
二、菱形的性质菱形是一种特殊的平行四边形，在平行四边形的基础上，菱形还有以下几个特殊的性质：1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。
2. 对角平分：菱形的对角线互相平分对角。
3. 对角线平分：菱形的对角线互相平分四边形的面积。
4. 对角线角度：菱形的对角线夹角为90度。
三、菱形的面积菱形的面积可以通过以下公式计算：菱形的面积=对角线1乘以对角线2除以2即S=d1*d2/2其中，d1和d2分别是菱形的两条对角线的长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算菱形的面积。
四、菱形的周长菱形的周长可以通过以下公式计算：菱形的周长=4乘以边长即P=4L其中，L是菱形的边长。
通过这个公式，我们可以很容易地计算菱形的周长。
五、菱形的性质应用菱形的性质在实际问题中有着广泛的应用，包括以下几个方面：1. 计算几何中的面积：当我们知道了菱形的对角线长度时，可以利用菱形的面积公式计算菱形的面积，从而解决相关问题。
2. 计算几何中的周长：当我们知道了菱形的边长时，可以利用菱形的周长公式计算菱形的周长，从而解决相关问题。
3. 利用菱形的垂直性求解问题：利用菱形对角线的垂直性质，可以解决一些与菱形相关的几何问题。
六、总结菱形是数学中一个重要的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过本文的介绍，读者可以更加全面地理解和掌握菱形的相关知识，从而更好地解决与菱形相关的数学问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢！。
菱形的特征与性质
菱形的特征与性质菱形是一种四边形，具有独特的特征和性质。
本文将对菱形的定义、特征以及其性质进行详细论述。
一、菱形的定义菱形是指具有以下特点的四边形：1. 所有边的长度相等。
2. 两对相邻的边互相垂直。
3. 拥有两对对角线，每对对角线互相垂直，且交点是菱形的中心点。
二、菱形的特征菱形具有以下特征：1. 对角线平分彼此。
菱形的两对对角线相交于中心点，且对角线彼此平分。
也就是说，菱形的每条对角线上的任意两点到中心点的距离相等。
2. 对边平行。
菱形的两对相对边平行。
由于菱形具有对称性，所以菱形的相邻边也是平行的。
3. 内角度数。
菱形的每个内角都是直角。
因为菱形的两对相邻边互相垂直，所以每个内角都是90度。
4. 对边相等。
菱形的两对相对边长度相等。
这是因为菱形的每条边都与其他三条边相交于垂直的角度，所以边长必须相等。
三、菱形的性质菱形具有以下性质：1. 对角线之间的关系。
菱形的对角线互相垂直且彼此平分。
这意味着对角线的长度相等。
2. 高度与面积的关系。
菱形的高是指从一条边到对角线的距离。
菱形的面积等于边长乘以高度。
由于菱形的对角线平分彼此，所以高度等于对角线的一半。
3. 外接圆与内切圆。
菱形可以被一个外接圆和一个内切圆完全包围。
外接圆切四个顶点，而内切圆切四条边中点。
4. 对称性。
菱形具有多个对称轴。
通过菱形的对角线可以找到四个对称轴，即将菱形分为四个对称的三角形。
总结：菱形是一种具有特殊几何性质的四边形。
它的定义为边长相等的四边形，两对相邻边互相垂直。
菱形的特征包括对角线平分彼此、对边平行、内角为直角以及对边长度相等。
其性质包括对角线之间关系、高度与面积关系、外接圆与内切圆、以及对称性。
菱形在几何学中有着重要的应用和意义。
菱形的性质和判定
要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. 要点三、菱形的判定1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．3.菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．一.选择题1. 下列命题中，正确的是()A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（）A．75°B．65°C．55°D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______ 11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。
菱形的性质及判定
菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。
点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。
菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。
判定③:四边相等得四边形就是菱形。
重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。
菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。
菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。
由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。
如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。
例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。
菱形性质知识点总结
菱形性质知识点总结一、菱形的定义和基本性质菱形是一个四边形，有四条边，四个顶点，且所有的边相等长。
另外，菱形的对角线相互垂直且相等长，这使得菱形具有很多特殊的性质。
首先，菱形的对角线相等长。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么有AC=BD。
这是菱形独有的性质，也是菱形的基本特征之一。
其次，菱形的对角线相互垂直。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么有AC⊥BD。
这也是菱形的一个基本性质，同时也是菱形的特征之一。
第三，菱形的角是直角。
由于菱形的对角线相互垂直，所以菱形的角也是直角。
这是菱形独有的性质，也是菱形的一个重要特征。
以上就是菱形的基本定义和基本性质，这些性质为我们研究菱形提供了基础。
二、菱形的周长和面积菱形的周长是其四条边的长度之和。
由于菱形的四条边相等长，所以菱形的周长等于4倍边长。
设菱形的边长为a，那么菱形的周长为4a。
菱形的面积可以用不同的方法求解，下面我们分别介绍两种方法。
方法一：菱形的面积可以用对角线长度来表示。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么菱形的面积可以表示为S=1/2×AC×BD。
方法二：菱形的面积也可以用边长来表示。
设菱形的边长为a，那么菱形的面积可以表示为S=1/2×d1×d2，其中d1和d2分别为菱形的两条对角线长度。
这两种方法都可以用来求解菱形的面积，根据题目的要求和给定的条件选择合适的方法进行计算。
通过上述内容，我们了解了菱形的周长和面积的计算方法，这对我们在解决数学问题时非常有用。
三、菱形的性质及应用菱形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有很多重要的性质和应用。
1.菱形的内角性质菱形的内角性质是菱形重要的性质之一。
由于菱形的对角线相等长，所以菱形的内角也是相等的。
这为我们解决一些几何问题提供了便利。
2.菱形的对称性菱形具有对称性，即菱形沿对角线对称。
这一性质在解决一些几何问题和证明中经常会用到。
3.菱形的面积性质菱形的面积计算方法灵活多样，我们可以根据具体问题和给定条件选择合适的方法进行计算，这为解决实际问题提供了方便。
第1课时 菱形的性质
第1课时 菱形的性质
与左图相比较，这种平行四边 形特殊在哪里？你能给菱形下 定义吗？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
想一想
菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四 边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？
菱形的对边平行且相等，对角相等，对角 线互相平分。中心对称图中， AB=AD,
对角线AC与BD相交于点O求证：（1） AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD.
证明： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD= BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD
∴AB=BC=CD=AD
（2）∵AB=AD
∴△ABD是等腰三角形 又∵四边形ABCD是菱形
请同学们用菱形纸片折 一折，回答下列问题：
（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条 对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
答：菱形是轴对称图形； 有四条对称轴； 两条对角线，两条中位线
结论
• 菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形领 条对角线所在的直线。两条对称轴互相垂直。
• 菱形的邻边相等，对边相等，四条边都相等。
随堂练习
如图，在菱形ABCD中，对 角线AC与BD 相交于点O. 已知 AB=5cm，AO=4cm ，求 BD的长.
1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形 是菱形。
2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称 轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边 都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。
3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的 性质可以进行计算和推理。
∴OB=OD（菱形的对角线互相平分） 在等腰三角形ABD中，
∵OB=OD ∴AO⊥BD 即AC⊥BD
菱形的性质及判定
如图，在 ABC 中， AB AC ， D 是 BC 的中点，连结 AD ，在 AD 的延长线上取 一点 E ，连结 BE ， CE ．当 AE 与 AD 满 足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱 形？并说明理由．
B
7.
CF 分别为 ABC 中 B 、 如图， 已知 BE 、 C 的 平 分 线 ， A M B E 于 M ， AN CF 于 N ，求证： MN ∥ BC ．
D E H A P F B C
B
图2
C
例题精讲
板块一、菱形的性质
【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等 三角形的对数为 ⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，
1.3 菱形的性质和判定
【例4】 ☆ 如图 1 所示，菱形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于点 O ，H 为 AD 边中点， 菱形 ABCD 的周长为 24 ，则 OH 的长等 于 ．
图2
【例5】 ☆ 菱形的周长为 20 cm ， 两邻角度数之比 为 2 :1 ，则菱形较短的对角线的长度为 【巩固】 如 图 2 ， 在 菱 形 ABCD 中 ， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（ ） A． 5 B． 10 C． 6 D． 8
A D
【例3】 如图， E 是菱形 ABCD 的边 AD 的中点， EF AC 于 H ，交 CB 的延长线于 F ， 交 AB 于 P ， 证明： AB 与 EF 互相平分．
D
A
A
C
B E C F
D
【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次， 然后剪下一个角，为了得到一个锐角为 60 的菱形，剪口与折痕所成的角 的度 数应为（ ） A ． 15 或 30 B ． 30 或 45 C． 45 或 60 D． 30 或 60
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菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。
三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。