菱形的性质及判定

菱形的性质

及判定

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．

③

对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．

重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

重、难点

知识点睛

中考要求

板块一、菱形的性质

【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是

【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则

1∠= 度．

图2

1

C

B

A

⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．

【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，

证明：AB 与EF 互相平分．

P H

F

E D

C

B

A

【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的

周长为24，则OH 的长等于 ．

图1

H

O D

C B

A

【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，

，于点E ，则DE 的长为 E F D

B

C A

例题精讲

【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为

【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）

A ．5

B ．10

C ．6

D ．8

图2

D

C

B

A

【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则

FPC ∠=（ ）

A ．35︒

B ．45︒

C ．50︒

D ．55︒

图3

E D

P C

F B

A

【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪

口与折痕所成的角α的度数应为（ ）

A ．15︒或30︒

B ．30︒或45︒

C ．45︒或60︒

D ．30︒或60︒

【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．

【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚

线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）

A ．210cm

B ．220cm

C ．240cm

D ．280cm

图1

D

C

B

A

【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，

的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是

【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和

BD ，求两条小路的长和花坛的面积．

图2

【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

板块二、菱形的判定

【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件

是 ．

D

C

A

B

【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边

形BEDF 是菱形

F

E

D

C

B

A

【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .

求证：四边形AFCE 是菱形.

O

D

E

F

C

A

B

【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在

AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．

C'D

C

B A E

【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，

证明：AB 与EF 互相平分

A

B C

D

E

F P P

F E

D

C B A

【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E

与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？

证明你的结论．

G

F E D

C

B

A

【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．

分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．

P

M

F E D

G C

B

A

【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD

于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．

H

F D

E

C

B

A

【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将M AB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移

动到点'M 的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结'MD MC MM ，

，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；

⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？

M'

M D

C B

A

三、与菱形相关的几何综合题

【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点

除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .

⑴求证四边形AEPM 为菱形

⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？

M

P

F

A

B

C

D

E

1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．

2.

如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC

+的最小值为

D

B

3. 已知菱形的一个内角为60︒

，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________．

4.

已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．

F

E

D

C

B

A

5.

如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC

是菱形？并说明理由．

E

D

C

B A

6.

如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．

⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．

课后练习

F

E

D

C

B A

7.

如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．

N

M

E

F

C

B

A