第9讲 全等三角形之特殊三角形

第9讲 全等三角形
—搞定特殊三角形系列
【知识点精讲】
一、证明题的三种分析法： （1）综合法：已知-推-结论
从已知条件出发，根据定义、性质、判定等推出各种可能的结论，直接推出所要证明的结论． （2）分析法：结论-反推-已知
从结论出发，看需要什么条件才能得出结论，逐步向已知条件靠拢． （3）分析-综合法：已知—中间—条件结论 在思考过程中，往往需要综合使用上述两法．
从结论出发，想一想要什么条件，层层递推，遇到障碍时，再从条件出发，顺推几步，看可以得什么结论，即从两边凑，直至沟通“已知”和“结论”． 二、常见的辅助线：
1、在△ABC 中，若AD 是中线，常采用的方法是：
（1）延长AD 到E ，使DE=AD ，连结BE(或过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E).倍长中线法 （2）取AC 的中点E ，连结DE(或过D 作DE ∥BA 交AC 于E)．
（3）延长BA 至E ，使AE=AB ，连结CE （或过C 作CE ∥AD 交BA 的延长线于E ）． 2、 在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的角平分线，常采用的方法是： （1）延长BA 到E ，使AE=AC ，(或过C 作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E). （2）在较长的AB 上截取AE=AC ，连结DE ．截长补短法 （3）过C 作CE ∥AB ，交AD 的延长线于E. （4）过D 作DE ∥AB ，交AC 于E ．
3、若△ABC 为特殊三角形，可利用特殊三角形的性质： （1）若为等腰三角形，考虑作顶角平分线. （2）若为直角三角形，考虑作斜边中线．
（3）若为一个角是0
30角的直角三角形，考虑斜边中线及0
30角所对边之间关系，也可作出中线．
【典例分析】 专题一：等腰三角形
【例1】如图：已知设△ABC 是等腰三角形，D 、E 分别是腰AB 及AC 延长线上的点，且BD=CE ，连接DE 交
BC 于G 点．求证：DG=EG ．
即时练习：
1．如图，已知△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，DE=DF ，求证：BE=CF ．
【例2】如图：已知D 是△ABC 的边BC 上一点，且CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线．试说明AC=2AE ．
A
B
C
D
E
G
A
B
C
D
E
F
即时练习：
1、如图：已知等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，∠ABD=∠DBC,CE ⊥BD 的延长线于E 点，求证：BA=2CE.
专题二：直角三角形
【例3】如图，已知在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是角平分线，和高AD 相交于F ，作FG ∥BC 交AB 于G ，
求证：AE ＝BG ．
专题三：等腰直角三角形
【例4】如图：已知在△ABC 中，AC=BC ，AC ⊥BC ，D 为BC 的中点，CF ⊥AD 于E ，BF ∥AC ，试说明DG=FG ．
A
D
F
B
C
E
G C
D
即时练习：
1如图，已知等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求证：（1）∠CDA ＝∠EDB ；（2）AD=CE+DE ．
1
2
A
B C
D
E
专题四：等边三角形
【例5】如图，已知点C 是AB 上一点，ΔACM 、ΔCBN 都是等边三角形. (1) 说明：△DCE 是等边三角形
(2) 将ΔACM 绕点C 按逆时针旋0
180，使A 点落在CB 上，请对照原题图在右图画出符合要求的图形； (3) 在(2)所得到的图形中，结论“AN=BM ”是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，也请说明理由． (4) 在(2)所得到的图形中，设AM 的延长线与BN 相交于点D ，请你判断ΔABD 的形状，并说明你的理由．
A B
C
【例6】如图：已知等边△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AC 于E ．
求证：AE ＝3CE ．
即时练习：
1.如图：已知△ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，AE=BD ，连结EC 、ED ，试说明CE=DE ．
【课后训练】
1.如图：已知在△ABC 中，已知∠FBC=∠ECB =∠A ，求证：BE=CF ．
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
2.如图，已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝900，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角形的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图所示：
（1）问PD与PE有何大小关系？并以图②为例加以说明．
（2）在旋转过程中，还会存在与图①②不同的情形吗？若存在，请在图③中画出，并加以说明．
E
①②③。