中考数学几何模型专题专题五—轴对称
九年级轴对称知识点
九年级轴对称知识点轴对称是初中数学中的一个重要知识点，它涉及到图形的对称性和几何形状的特征。
通过学习轴对称知识点，我们可以更好地理解图形的性质和几何形状的变化规律。
下面将详细介绍九年级轴对称知识点。
一、轴对称的概念轴对称是指存在一个直线，使得图形关于这条直线对称，两侧是完全相同的。
这条直线叫做轴线，对称时图形的各点关于轴线对应。
轴对称是一种十分常见的对称性质，在生活和建筑中都能找到很多具有轴对称性的事物和结构。
二、图形的轴对称性质1. 基本图形的轴对称性质常见的基本图形如正方形、矩形、圆等都具有轴对称性质。
正方形和矩形的轴对称轴线可以选择在中心线上，圆的轴对称轴线可以选择为任意直径线。
2. 复合图形的轴对称性质由基本图形组合而成的复合图形也满足轴对称性质。
在判断复合图形是否轴对称时，可以逐个分析每个基本图形的轴对称性质，然后综合考虑整个复合图形是否存在对称轴线。
三、判断图形轴对称的方法1. 观察法通过观察图形的形状和结构，找出图形是否具有对称性。
如果能够找到一个轴线，使得图形关于这条轴线对称，那么该图形就是轴对称的。
2. 折叠法将图形沿着猜测的对称轴线折叠，如果折叠后两侧完全重合，那么该图形是轴对称的。
3. 尝试法在图形中任选一个点，通过猜测对称轴线将该点和对称点联系起来，然后继续寻找其他点是否也满足对称关系，直到找到所有对称点或确认没有对称点。
四、轴对称的应用轴对称性质不仅仅是一个几何概念，还在生活中得到广泛应用。
1. 设计和艺术领域轴对称的设计可以使作品更加美观和平衡，很多艺术品和建筑都运用了轴对称的概念。
2. 知识体系建构在学习其他几何形状和数学概念时，轴对称性质可以作为一个重要的基础概念，帮助我们更快地理解其他相关知识。
3. 科学研究轴对称性质也在科学研究中发挥着重要作用，例如在生物学中，通过观察生物体的轴对称性质可以研究其结构和功能。
五、总结通过对九年级轴对称知识点的学习，我们了解了轴对称的概念、图形的轴对称性质以及判断图形轴对称的方法。
中考数学知识点总结中考数学《轴对称》知识点：轴对称基本知识
中考数学知识点总结中考数学《轴对称》知识点：轴对称基本知识中考数学知识点总结|中考数学《轴对称》知识点：轴对称基本知识中学数学考试中的“轴对称”知识点：轴对称基本知识轴对称的定义：沿着直线折叠一个人物。
如果它能与另一个图形重合，则称这两个图形围绕直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后的重合点是对应点，称为对称点。
轴对称图形和轴对称图形的特征相同，且从对应点到对称轴的距离相等。
轴对称的性质：（1）与对应点相连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等，对应角相等;（3）关于一条直线对称的两个图形是全等图形。
轴对称的判定：如果两个图形对应点的连接线被同一条直线垂直平分，则两个图形围绕该直线对称。
这样就得到了以下性质：1.如果两个图形围绕一条直线对称，则对称轴是由任何一对对应点连接的线段的垂直平分线。
2.类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
3.线段垂直平分线上的点与线段的两个端点之间的距离相等。
4.对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。
轴对称作用：可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
通过画对称轴得到的两个图形是全等的。
扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。
轴对称的应用：关于平面直角坐标系的x,y对称意义如果点a和点B围绕坐标系中的直线X对称，则点a的横坐标保持不变，纵坐标为相反的数字。
相反的,如果有两点关于直线y对称,那么点a的横坐标为相反数,纵坐标不变。
关于二次函数像的对称轴公式（又称轴对称公式）设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c那么二次函数的对称轴是一条直线x=-B/2a，顶点的横坐标是-B/2a，顶点的纵坐标是（4ac-b2）/4A在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。
例如，等腰三角形通常会添加顶点角度的平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线;正方形和菱形问题通常会添加对角线等。
另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或者通过折叠将轴一侧的图形反射到另一侧，从而实现条件的相对集中。
初中数学轴对称的几何知识点总结
初中数学轴对称的几何知识点总结轴对称是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到点、线、图形等方面的内容。
下面是数学轴对称的几个重要知识点的总结：1.轴对称的定义：轴对称是指一个图形相对于一些轴线对称，即图形的一部分可通过轴线翻折到另一部分，使得两部分完全重合。
轴线称为对称轴，对称轴上的任意一点，在翻折过程中仍停留在轴上。
轴对称的图形呈镜像对称。
2.轴对称的性质：a.轴对称图形中对称轴的选择不唯一，同一个图形可以有多个对称轴。
b.轴对称的图形上的点经过对称轴翻折后所得的点和原来的点相等。
c.轴对称的图形是封闭的，对称轴上的点保持不变。
d.轴对称的图形上的点和它们的对称点关于对称轴对称。
3.对称图形的判断：判断一个图形是否轴对称有以下几种方法：a.通过纸张折叠法，将图形的一部分折到另一部分，看是否重合。
b.通过将图形看作由简单的基本图形组成，判断每个基本图形是否对称，进而判断整个图形是否对称。
c.观察图形在对称轴上的点，通过比较对称点之间的距离、角度等属性，判断图形是否对称。
4.常见轴对称图形：初中数学中常见的轴对称图形包括：a.点的轴对称：点是轴对称的，即任意一点相对于自身对称。
b.线的轴对称：直线在自身的中点处对称。
c.图形的轴对称：正方形、矩形、正五边形、圆等都是轴对称的图形。
5.轴对称图形的性质：a.轴对称图形的对称中心可以在图形内部或外部。
b.轴对称图形的对称轴通常是图形的中垂线或对角线等。
6.轴对称与平移的关系：轴对称是平移的一种特殊情况，当平移的向量等于对称轴上的一个向量时，平移的结果就是轴对称图形。
7.轴对称的应用：轴对称在几何题目中的应用非常广泛。
例如：a.用轴对称的方法来求图形的面积、周长等属性。
b.利用对称轴的性质来证明等式的成立。
c.利用轴对称的性质来解决几何问题，如寻找图形的对称中心等。
通过以上的总结，希望能够帮助你对初中数学轴对称的几何知识点有一个更全面和深入的了解。
中考数学经典几何模型之轴对称最值模型(解析版)
中考数学几何模型：轴对称最值模型名师点睛拨开云雾开门见山B'QDA'AP B C典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和P A+PB的最小值为2．【解答】解：设△ABP中AB边上的高是h．∵S△P AB＝S矩形ABCD，∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝4，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝10，AE＝4+4＝8，∴BE＝＝＝2，即P A+PB的最小值为2．故答案为：2．变式练习>>>1．如图Rt△ABC和等腰△ACD以AC为公共边，其中∠ACB＝90°，AD＝CD，且满足AD⊥AB，过点D 作DE⊥AC于点F，DE交AB于点E，已知AB＝5，BC＝3，P是射线DE上的动点，当△PBC的周长取得最小值时，DP的值为（）A．B．C．D．【解答】解：连接PB、PC、P A，要使得△PBC的周长最小，只要PB+PC最小即可，∵PB+PC＝P A+PB≥AB，∴当P与E重合时，P A+PB最小，∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AF＝CF，∵∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴AE＝BE＝AB＝2.5，∴EF＝BC＝1.5，∵AD⊥AB，∴△AEF∽△DEA，∴＝，∴DE＝＝，故选：B．例题2. 如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，求△BMN的周长的最小值.【解答】解：作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，DB，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M'和N'（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N'B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'+M'N'+N'B''，B'M'＝BM'，B''N'＝BN'，∴BM'+M'N'+BN'＞B'B''，又∵B'B''＝B'M+MN+NB''，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB+NM+BM＜BM'+M'N'+BN'，∴C△BMN＝NB+NM+BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B''D的延长线于点H，如图示2所示：∵在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，∴＝＝2，∴∠2＝30°，∴∠5＝30°，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1+∠2＝60°，∴∠1＝30°，∴∠7＝30°，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1+∠2+∠5+∠7＝120°，DB'＝DB''＝DB＝2，又∵∠B'DB''+∠6＝180°，∴∠6＝60°，∴HD＝，HB'＝3，在Rt△B'HB''中，由勾股定理得：＝＝＝6．∴C△BMN＝NB+NM+BM＝6，变式练习>>>2．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A．140°B．100°C．50°D．40°【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA于M，交OB于N，则OP1＝OP＝OP2，∠OP1M＝∠MPO，∠NPO＝∠NP2O，根据轴对称的性质，可得MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝80°，∴等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1＝100°，∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝100°，故选：B．例题3. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC 和AD上的动点，则CQ+PQ的最小值是2．【解答】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P′，连接CP′交AD于点Q，则CQ+PQ＝CQ+P′Q＝CP′．∵根据对称的性质知△APQ≌△AP′Q，∴∠P AQ＝∠P′AQ．又∵AD是∠A的平分线，点P在AC边上，点Q在直线AD上，∴∠P AQ＝∠BAQ，∴∠P′AQ＝∠BAQ，∴点P′在边AB上．∵当CP′⊥AB时，线段CP′最短．∵在△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA＝4，∴AB＝4，且当点P′是斜边AB的中点时，CP′⊥AB，此时CP′＝AB＝2，即CQ+PQ的最小值是2．故填：2．变式练习>>>3．如图，已知等边△ABC的面积为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（）A．3B．2C．D．4【解答】解：如图，作△ABC关于AC对称的△ACD，点E与点Q关于AC对称，连接ER，则QR＝ER，当点E，R，P在同一直线上，且PE⊥AB时，PR+QR的最小值是PE的长，设等边△ABC的边长为x，则高为x，∵等边△ABC的面积为4，∴x×x＝4，解得x＝4，∴等边△ABC的高为x＝2，即PE＝2，故选：B．例题4. 如图，∠MON＝30°，A在OM上，OA＝2，D在ON上，OD＝4，C是OM上任意一点，B是ON上任意一点，则折线ABCD的最短长度为2．【解答】解：作D关于OM的对称点D′，作A作关于ON的对称点A′，连接A′D′与OM，ON的交点就是C，B二点．此时AB+BC+CD＝A′B+BC+CD′＝A′D′为最短距离．连接DD′，AA′，OA′，OD′．∵OA＝OA′，∠AOA′＝60°，∴∠OAA′＝∠OA′A＝60°，∴△ODD′是等边三角形．同理△OAA′也是等边三角形．∴OD'＝OD＝4，OA′＝OA＝2，∠D′OA′＝90°．∴A′D′＝＝2．变式练习>>>4. 如图，在长方形ABCD中，O为对角线AC的中点，P是AB上任意一点，Q是OC上任意一点，已知：AC＝2，BC＝1．（1）求折线OPQB的长的最小值；（2）当折线OPQB的长最小时，试确定Q的位置．【解答】解：（1）作点B关于AC的对称点B′，作点O关于AB的对称点O′，连接AB′，QB′，AO′，PO′，B′O′，则QB＝QB′，OP＝O′P，折线OPQB的长＝OP+PQ+QB＝O′P+PQ+QB′，∴折线OPQB的长的最小值＝B′O′．∵在长方形ABCD中，∠ABC＝90°，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝30°，∵点B、B′关于AC对称，点O、O′关于AB对称，∴∠B′AC＝30°，AB′＝AB＝，∠O′AB＝30°，AO′＝AO＝1，∴∠B′AO′＝90°，∴B′O′＝，∴折线OPQB的长的最小值＝2；（2）设B′O′交AC于点Q′，∵在Rt△AO′B′中，AO′＝1，B′O′＝2，∴∠AB′O′＝30°，则∠AO′B′＝60°，∵在△AO′Q′中，∠Q′AO′＝∠Q′AB+∠BAO′＝60°，∴△AO′Q′是等边三角形，∴AQ′＝AO′＝1＝AO，∴点Q′就是AC的中点O．∴当折线OPQB的长最小时，点Q在AC的中点．例题5. 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD的中点，点P、Q为BC上两个动点，且PQ＝3，当CQ＝时，四边形APQE的周长最小．【解答】解：点A向右平移3个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，此时MQ+EQ最小，∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝＝2，∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，设CQ＝x，则NQ＝8﹣3﹣x＝5﹣x，∵△MNQ∽△FCQ，∴＝，∵MN＝AB＝4，CF＝CE＝2，CQ＝x，QN＝5﹣x，解得：x＝，则CQ＝故答案为：．变式练习>>>5．如图，已知A（3，1）与B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），当AP+PQ+QB最小时，Q点坐标为（）A．（，）B．（，）C．（0，0）D．（1，1）【解答】解：作点B关于直线y＝x的对称点B'（0，1），过点A作直线MN，使得MN平行于直线y＝x，并沿MN向下平移单位后得A'（2，0）连接A'B'交直线y＝x于点Q，如图理由如下：∵AA'＝PQ＝，AA'∥PQ∴四边形APQA'是平行四边形∴AP＝A'Q∵AP+PQ+QB＝B'Q+A'Q+PQ且PQ＝∴当A'Q+B'Q值最小时，AP+PQ+QB值最小根据两点之间线段最短，即A'，Q，B'三点共线时A'Q+B'Q值最小∵B'（0，1），A'（2，0）∴直线A'B'的解析式y＝﹣x+1∴x＝﹣x+1，即x＝∴Q点坐标（，）故选：A．例题6. 如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，求DF+GF的最小值为.【解答】解：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，∵G与G'关于BC对称，∴FG＝FG'，∴FG+DF＝FG'+DF，∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，现在再移动点E（也就是移动G），∵BG⊥AE，∴∠AGB＝90°，∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝﹣1＝﹣1，即DF+GF的最小值为﹣1．故选：A．变式练习>>>6．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（）A．5﹣4B．﹣1C．6﹣2D．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（2，3），∴点A′坐标（2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝5，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝5﹣3﹣1＝5﹣4，∴PM+PN的最小值为5﹣4．故选：A．例题7. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB＝（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC＝BC，∠DAC＝30°，∴AC＝CH，∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，∴∠DAC＝∠ACH＝30°，∵AE＝CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，∴∠AFB＝105°，故选：B．变式练习>>>7．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝30度．【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，∴△ABM≌△CHN（SAS），∴BM＝HN，∵BN+HN≥BH，∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，如图2中，当B，N，H共线时，∵△ABM≌△CHN，∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，∵∠ABD＝60°，∴∠DBM＝15°，∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，故答案为30．例题8. （1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为．（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，∵AC×BC＝AB×CD，∴CD＝＝，故答案为；（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝＝，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝＝，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝，过点F作FM⊥AC于M，∵EH⊥FG，EH⊥AC，∴四边形FGHM是矩形，∴FM＝GH＝∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，∴△CMF∽△CBA，∴，∴，∴CF＝1∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为（）A．5B．10C．15D．10【解答】解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．故选：D．2. 如图，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于﹣3．【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，∵点A坐标（﹣2，3），∴点A′坐标（﹣2，﹣3），∵点B（3，4），∴A′B＝＝，∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，∴PM+PN的最小值为﹣3．故答案为﹣3．3. 如图，已知直线y＝x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为（2，0），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是8﹣2和8+2．【解答】解：y＝x+4，∵当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣4，∴OA＝4，OB＝4，∵△ABE的边BE上的高是OA，∴△ABE的边BE上的高是4，∴要使△ABE的面积最大或最小，只要BE取最大值或最小值即可，过A作⊙C的两条切线，如图，当在D点时，BE最小，即△ABE面积最小；当在D′点时，BE最大，即△ABE面积最大；∵x轴⊥y轴，OC为半径，∴EE′是⊙C切线，∵AD′是⊙C切线，∴OE′＝E′D′，设E′O＝E′D′＝x，∵AC＝4+2＝6，CD′＝2，AD′是切线，∴∠AD′C＝90°，由勾股定理得：AD′＝4，∴sin∠CAD′＝＝，∴＝，解得：x＝，∴BE′＝4+，BE＝4﹣，∴△ABE的最小值是×（4﹣）×4＝8﹣2，最大值是：×（4+）×4＝8+2，故答案为：8﹣2和8+2．4. 正方形ABCD，AB＝4，E是CD中点，BF＝3CF，点M，N为线段BD上的动点，MN＝，求四边形EMNF周长的最小值++．【解答】解：作点E关于BD的对称点G，则点G在AD上，连接GM，过G作BD的平行线，截取GH＝MN＝，连接HN，则四边形GHNM是平行四边形，∴HN＝GM＝EM，过H作PQ⊥BC，交AD于P，交BC于Q，则∠HPG＝∠HQF＝90°，PQ＝AB＝4，∵∠PGH＝∠ADB＝45°，∴HP＝PG＝＝1，HQ＝4﹣1＝3，由轴对称的性质，可得DG＝ED＝2，∴AP＝4﹣2﹣1＝1，∴BQ＝1，又∵BF＝3CF，BC＝4，∴CF＝1，∴QF＝4﹣1﹣1＝2，∵当点H、N、F在同一直线上时，HN+NF＝HF（最短），此时ME+NF最短，∴Rt△HQF中，FH＝＝＝，即ME+NF最短为，又∵Rt△CEF中，EF＝＝＝，∴ME+NF+MN+EF＝++，∴四边形EMNF周长的最小值为++．故答案为：++．5. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC中BC，AB边的中点，BC＝6，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为3．【解答】解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF＝CF，∵等边△ABC中，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF＝BF，即BF+EF＝CF+EF＝CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE＝AD，∵BC＝6，∴BD＝3，∴AD＝3，即BF+EF＝3．故答案为：3．6. 如图，在边长为1正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，3AE＝EB，有一只蚂蚁从E点出发，经过F、G、H，最后回到E点，则蚂蚁所走的最小路程是．【解答】解：延长DC到D'，使CD＝CD'，G对应位置为G'，则FG＝FG'，同样作D'A'⊥CD'，D'A'＝DA，H对应的位置为H'，则G'H'＝GH，再作A'B'⊥D'A'，E的对应位置为E'，则H'E'＝HE．容易看出，当E、F、G'、H'、E'在一条直线上时路程最小，最小路程为EE'＝＝＝27. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，点E，F是线段AC的三等分点，点P是线段BC上的动点，点Q是线段AC上的动点，若AC＝3，则四边形EPQF周长的最小值是8．【解答】解：过E点作E点关于BC的对称点E′，过F点作F点关于AC的对称点F′，∵在△ABC中，AC⊥BC，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6，∵点E，F是线段AC的三等分点，∴EF＝2，∵E′F′＝AB＝6，∴四边形EPQF周长的最小值是6+2＝8．故答案为：8．8. 如图，长为1的线段AB在x轴上移动C（0，1）、D（0，2），则AC+BD的最小值是．【解答】解：如图所示，以AB，BD为边构造平行四边形ABDE，作点C关于x轴的对称点F，连接AF，则DE⊥y轴，OF＝OC＝1，∵四边形ABDE是平行四边形，∴BD＝AE，DE＝AB＝1，∵AB垂直平分线CF，∴AC＝AF，∴AC+BD＝AE+AF，如图，当点E，A，F在同一直线上时，AE+AF＝EF（最短），此时，∵Rt△DEF中，DE＝1，DF＝2+1＝3，∴EF＝＝＝，∴AC+BD的最小值是．故答案为：．9. 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为．【解答】解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．故答案为：．10. 如图，矩形ABCO的边OC在x轴上，边OA在y轴上，且点C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，点M，N分别是线段OA、AB上的动点（不与端点重合），则当四边形EFNM的周长最小时，点N的坐标为（4，6）．【解答】解：如图所示：作点F关于AB的对称点F′，作点E关于y轴的对称点E′，连接E′F′交AB与点N．∵C的坐标为（8，0），点A的坐标为（0，6），点E、F分别足OC、BC的中点，∴OE＝OE′＝4，FB＝CF＝3，∴E′C＝12，CF′＝9．∵AB∥CE′，∴△F′NB∽△F′E′C．∴＝＝，即＝，解得BN＝4，∴AN＝4．∴N（4，6）．故答案为：（4，6）．11. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为2．【解答】解：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N'，连接PN'，MN'，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．12. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC＝16，B到MN的距离BD＝10，CD＝8，点P在直线MN上运动，则|P A﹣PB|的最大值等于10．【解答】解：延长AB交MN于点P′，∵P′A﹣P′B＝AB，AB＞|P A﹣PB|，∴当点P运动到P′点时，|P A﹣PB|最大，∵BD＝10，CD＝8，AC＝16，过点B作BE⊥AC，则BE＝CD＝8，AE＝AC﹣BD＝16﹣10＝6，∴AB＝＝＝10，∴|P A﹣PB|的最大值等于10，故答案为：10．11. 如图△ABC是边长为2的等边三角形，D是AB边的中点，P是BC边上的动点，Q是AC边上的动点，当P、Q的位置在何处时，才能使△DPQ的周长最小？并求出这个最值．【解答】解：作D关于BC、AC的对称点D′、D″，连接D′D″，DQ，DP．∵DQ＝D″Q，DP＝D′P，∴△DPQ的周长为PQ+DQ+DP＝PQ+D″Q+D′P＝D′D″，根据两点之间线段最短，D′D″的长即为三角形周长的最小值．∵∠A＝∠B＝60°，∠BED＝∠AFD＝90°，∴∠α＝∠β＝90°﹣60°＝30°，∠D′DD″＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∵D为AB的中点，∴DF＝AD•cos30°＝1×＝，AF＝，易得△ADF≌△QD''F，∴QF＝AF＝，∴AQ＝1，BP＝1，Q、P为AC、BC的中点．∴DD″＝×2＝，同理，DD′＝×2＝，∴△DD′D″为等腰三角形，∴∠D′＝∠D″＝＝30°，∴D″D′＝2DD′•cos30°＝2××＝3．12. 如图，C 为线段BD 上一动点，分别过点B 、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问AC+CE的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明理由．（3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出出代数式+的最小值为25．【解答】解：（1）由线段的和差，得BC＝（8﹣x）．由勾股定理，得AC+CE ＝+＝+＝+；（2）当A、C、E在同一直线上，AC+CE最小；当A、C、E在同一直线上时，延长AB，作EF⊥AB于点F，∵AB＝5，DE＝1，∴AF＝6，∵∠ABD＝90°，∴∠FBD＝90°，∵∠BDE＝∠BFE＝90°，∴四边形BFED是矩形，∴BD＝EF＝8，∴AE＝＝＝10；（3）如下图所示：作BD＝24，过点B作AB⊥BD，过点D作ED ⊥BD，使AB＝3，ED＝4，连接AE交BD于点C，当BC＝x，∵x+y＝24，∴y＝24﹣x，AE的长即为代数式的最小值，过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB＝DF＝3，AF＝BD＝24，所以AE＝＝＝25，即代数式+的最小值为25，故答案为：25．- 21 -。
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案
中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。
轴对称ppt课件
对于轴对称的函数图像，其面积在沿 对称轴翻转后保持不变。
轴对称的拓扑性质
连通性
轴对称的图形在拓扑上具有连通 性，即可以通过连续变换从一个
部分到达另一个部分。
闭包
轴对称的图形在拓扑上的闭包也 是轴对称的。
分离性
轴对称的图形在拓扑上具有分离 性，即可以将图形分成互不相交
的两个部分。
轴对称的代数几何性质
轴对称ppt课件
目录
• 轴对称概述 • 轴对称的几何性质 • 轴对称的代数性质 • 轴对称的物理性质 • 轴对称的数学性质 • 轴对称的应用实例
01
轴对称概述
定义与性质
定义
轴对称是指一个平面图形沿着一条直 线折叠后，直线两旁的部分能够互相 重合，那么这个图形叫做轴对称图形 ，这条直线叫做对称轴。
性质
轴对称图形具有对称轴，并且沿着对 称轴折叠后两旁的部分能够完全重合 。
轴对称的应用
01
02
03
美学
轴对称在建筑、雕塑、绘 画等领域有着广泛的应用 ，能够给人以美的感受。
工程
在工程设计中，轴对称图 形可以简化计算和设计过 程，提高效率。
数学
在数学中，轴对称是研究 几何图形的重要性质之一 ，对于图形的分类和性质 研究具有重要意义。
天坛
天坛的圜丘坛和祈年殿也采用了轴对称设计 ，体现了古代建筑的美学和哲学思想。
自然界中的轴对称现象
要点一
蝴蝶
蝴蝶的翅膀具有明显的轴对称特征，这种对称性不仅美观 ，还有助于飞行。
要点二
雪花
雪花的形状也具有轴对称性，这种对称性在自然界中广泛 存在。
工程中的轴对称应用
桥梁
桥梁的梁体设计往往采用轴对称结构，以提高桥梁的稳定性和承载能力。
中考数学轴对称知识点总结
中考数学轴对称知识点总结一、轴对称的基本概念1.定义：平面上有一条直线l，如果平面上的任意一点A关于这条直线l对称的点A'仍在平面上，那么，点A和点A'就是轴对称的。
2.轴对称轴：直线l二、轴对称的性质1.对称性：图形关于对称轴对称2.对称图形的性质：对称图形的性质有对称图形的性质有点的对称性，直线的对称性和图形的对称性（1）对称图形的重要性质之一是：对称图形的对应点关于对称轴的距离相等，即在同一个垂直于对称轴的直线上。
（2）对称图形的关于对称轴对称的图形有相等的面积（3）对称图形的关于对称轴对称的图形有相等的周长（4）对称图形的对称轴上的点是对称图形的特殊点，其特点就是对称点是对称图形的重要性质之一。
（5）对称图形的两点关于对称轴的坐标值成等差数列（6）对称图形的两点关于对称轴的距离等于这两个点的距离与对称轴的距离的差的绝对值。
三、轴对称的作图1.作法一：通过纸折法：将一角落对着另一个角落折叠，如图1所示，然后用笔在折线上贴上点，最后将纸展开，在对称轴处连结这些点，就得到了折线对称的形状。
2.作法二：通过线段在对称轴的投影：将要对称的形状隔绝一个水平的或垂直的对称轴，如图2所示，然后将这个形状通过容器等物体描绘再一对对称轴的一边，然后再将这个形状在对称轴的投影到对称轴另一边，最后形状保持不变。
最终得到了线段的对称形状。
四、轴对称的应用1.轴对称在几何中的应用：轴对称在几何中被广泛应用，比如用轴对称的性质证明图形的对称性、图形的面积和周长、构造图形等。
2.轴对称在日常生活中的应用：轴对称在日常生活中有许多应用，如我们在家里摆设摆件、铺地砖、装饰墙壁等都需要用到轴对称的知识。
五、轴对称的相关知识1.轴对称的判断：如果图形关于一条直线对称，那么这条直线就是对称轴，如图中所示的三角形ABC绕着O轴对称成了三角形A'B'C'。
2.轴对称的问题：轴对称的问题通常是指图形相对于轴线的位置，或者轴线的位置相对于图形的位置。
中考数学轴对称知识点归纳
中考数学轴对称知识点归纳
轴对称是中考数学中的一个重要知识点，它涉及到图形的对称性，是
几何学的一个基本概念。
以下是对中考数学轴对称知识点的归纳：
首先，我们需要了解轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直
线叫做对称轴。
接下来，我们探讨轴对称的性质：
1. 对称轴是一条直线，且对称轴上的点到图形上任意一点的距离相等。
2. 轴对称图形的对称点关于对称轴是等距离的。
3. 轴对称图形的对称点连线与对称轴垂直。
在中考数学中，轴对称的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断图形是否为轴对称图形。
2. 确定图形的对称轴。
3. 利用轴对称性质解决几何问题，如求图形的面积、周长等。
4. 利用轴对称进行图形的变换，如图形的平移、旋转等。
在解题过程中，我们需要注意以下几点：
- 观察图形的特点，判断是否存在对称轴。
- 利用对称轴将图形划分为对称的部分，简化问题。
- 在需要求图形面积或周长时，可以利用对称性将问题转化为求对称
部分的面积或周长，再进行计算。
最后，通过练习典型的轴对称问题，可以加深对轴对称概念的理解和
应用。
例如，解决一些常见的轴对称问题，如计算对称图形的面积，
或者通过对称性简化复杂的几何图形问题。
结束语：轴对称是中考数学中一个基础而重要的概念，掌握其定义、性质和应用对于解决几何问题至关重要。
通过不断的练习和思考，可以提高解决轴对称问题的能力。
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专题五轴对称模型21 将军饮马之“两点一线”模型模型故事唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题.如图,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营.请问怎样走才能使总的路程最短?模型展现基础模型怎么用?1.找模型遇到两个定点和一条定直线,求定直线上一点,与两点的连线和最小,考虑“两点一线”求最值模型2.用模型异侧两点则直接连接,同侧两点,则需要通过轴对称性质转化为异侧,利用“两点之间线段最短”求最值结论分析结论1:连接AB交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB的长证明:当点A,B,P共线时,P A+PB=AB，当点A,B,P不共线时,P A+PB>AB，∴P A+PB≥AB，∴当点A,B,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB的长.结论2:作点B关于直线∴的对称点B',连接AB',交直线l于点P,此时P A+PB值最小,最小值为AB'的长证明:由轴对称性质可知,PB=PB'，∴P A+PB=P A+PB'≥AB'，∴当点A,B' ,P共线时,P A+PB的值最小,最小值是线段AB'的长.(也可以作点A关于直线l的对称点A',同理也可求出P A+PB的最小值)满分技法1.两点之间,线段最短.如图,点A和点B之间的3条线中,线段AB的距离最短,是线路∴.2.对称的性质.如图,若点A,A’关于直线l对称,P是直线l上一点，则P A= P A'.模型拓展模型拓展巧学巧记“两点一线”型问题简记为:线段和最小时,异侧直接连,同侧找对称;线段差最大时,同侧直接连,异侧找对称.典例小试例1 （2020贺州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC=6√3，BD=6，点P是AC上一动点（点拨：一动点P），点E是AB的中点，则PD+PE（点拨：两定点D，E，一定线AC，求线段和最小值）的最小值为_________.考什么？轴对称的性质，两点之间线段最短（三角形三边关系），菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判断与性质思路点拨线段和最值问题，先根据已知条件判断定点、动点的个数及定点与定线的位置关系，确定模型，再按照模型结论确定最值点。
例2 （2021青海省卷）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM ＝2（点拨：两定点D，E，一定线AC），N是AC上的一动点（点拨：一动点N），则DN +MN（点拨：求线段和最小值）的最小值是．实战演练1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD =4，点P是矩形ABCD内部一点，且点P 到AB的距离为1，则P A+PB的最小值为_____________.2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1，3)，B(2，5)，点P是x轴上一点，的最大值为_______，此时点P的坐标为___________.则PB PA3.如图，一次函数1y x b =+的图像与反比例函数21(0)k y x x-=<的图像交于(2,1),A B -两点，若点P 为y 轴上一点，则PA PB +的最小值为_______________。
4.如图，在ΔABC 中，AB =AC ，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，交AB 于点E ，连接EC ，AB=10，ΔBEC 的周长是18，若点P 在直线EF 上，连接P A ，PB .（1）PA PB +的最小值为___________；（2）PA PB -的最大值为___________。
5.如图，∴O 的直径MN =1，点A 是∴O 上一点，且∴AMN =30°，点B 是劣弧AN 的中点，点P 在直径MN 上运动，则BP +AP 的最小值为___________.模型22 将军饮马之“一点两线”模型模型展现基础模型怎么用？1.找模型遇到一定点两定线求线段和最小值问题，考虑“一点两线”模型2.用模型构造一定点关于两定线的对称点，连接对称点，利用两点之间线段最短解决问题结论分析结论：作点P关于OA,OB的对称点P，P’’，连接P'P"，分别交OA，OB于点M，N，此时∴PMN的周长最小，最小值为P'P"的长.证明：由轴对称知PM=P'M，PN=P"N,∴PM+MN+PN=P'M+MN+P"N≥P'P",当点P'M，N，P''共线时，∴PMN的周长最小，最小值为线段P'P"的长.典例小试例1 如图，在∴ABC中，∴ABC=50°,点P为∴ABC内一定点（点拨：一定点P），点M、N分别在AB、BC上（点拨：两定线AB、BC），当∴PMN周长最小时（点拨：“一点两线”模型），∴MPN的度数是（）A.120°B.90°C.80°D.60°考什么？三角形内角和，轴对称的性质思路点拨将周长转化在一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题例2．(2020永州)∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且∴AOB=60°,在∠AOB内有一点P（4,3）（点拨：一个定点P），M，N分别一个定点P是OA,OB 边上（点拨：两定线OA,OB）的动点，连接PM，PN，MN，则∴PMN周长的最小值是（点拨：“一点两线”模型）____________考什么？勾股定理，轴对称的性质，平面直角坐标系中的距离实战演练1.如图，在∴CAB中，∠CAB=60°，AP∠BC于点P，点M，N分别是AC，AB边上的动点，连接AP，PN，MN，PM，若AP=√3，则∴PMN周长的最小值是________.2.如图,在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=AD=3,点E,F分别是线段BC, DC上的动点,连接AE，AF，EF.当∴AEF的周长最小时,求∴AEF的面积.3.如图,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3,0)，点C的坐标为(0,2)，过点A 的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E.∴APD为等腰直角三角形.点G 的坐标为(2,0),点M,N分别是直线AP和y轴上的点,求∴GMN周长的最小值,并求出此时点N的坐标.模型23 将军饮马之“两点两线”模型模型展现基础模型怎么用？1.找模型遇到两定点两动点求线段和(其中一条定线为两动点的连线)最值问题,考虑“两点两线”模型2.用模型通过对称的性质,两点之间线段最短确定最值点位置结论分析结论分析结论：作点P,Q关于OA,OB的对称点P',Q'，连接P'Q'，交OA,OB于点M，N,此时四边形PQNM周长最小，最小值为P’O’+PO.证明：由对称性质可知PM=P’M’,ON=O’N’, ,∴PM+MN+NQ=P’M+MN+NO’≥P’Q’，∴当P’，M，N，O’共线时，P’M+MN+NO’的值最小，∴P,Q为定点，PQ的长度为定值.∴当四边形PQNM周长最小时, 最小值为P’O’+PO的值.典型小试例如图，在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,AE=4,AF=2（点拨：两定点分别为E、F），点G,H分别是边BC,CD上的动点（点拨：定线段为BC,CD）,则四边形EFGH 周长的最小值为__________考什么？矩形的性质，轴对称的性质1. 如图,已知A(1,6),B(4,2),点M是y轴正半轴上一点,点N是x轴正半轴上一点,连接AB,BN,MN,MA.则四边形ABNM周长的最小值为，2.如图,在∴ABC中,∴ACB=50°,∴ACD= 20°, CM=6, CN=2.点P,Q分别是CA,CB上的动点,则MQ+PQ+NP的最小值是,3.如图,抛物线y=2x-2x-3与x轴相交于A、B两点,顶点为C,与y轴相交于点D.设过A的直线与抛物线交于点E,与y轴相交于点F,点E的横坐标为2,直线l为抛物线的对称轴,点G为直线l上一点,点H是x轴上一点,求四边形DGHF周长的最小值.模型24 将军饮马之“三动点”模型基础模型怎么用?1.找模型遇到三动点求线段和最值问题,考虑“三动点”模型2. 用模型先确定一动点,再根据对称及两点之间的线段最短确定最小值所在的直线,最后结合垂线段最短,求最值结论分析结论:当CD最小,即CD∴AB时∴DEF的周长最小，最小值为D'D”的长证明:如解图，作点D关于AC、BC的对称点D',D",连接D'D”,交AC,BC于点E,F,此时∴DEF的周长最小，由轴对称知DE=D'E ,DF=D"F,∴DE+EF+DF=D'E+EF+D"F≥D'D",∴当D',E,F,D”四点共线时, ∴DEF的周长最小，最小值为线段D'D"的长.∴∴D'CD”大小不变为2∴ACB ,CD' =CD"=CD,∴当线段CD的值最小，即当CD∴AB时,线段D'D"的值最小此时∴DEF的周长最小，典例小试例如图,在Rt∴ABC中（点拨：锐角三角函数值）,∴A=90°,∴B=30° ,AC=1,M,N,P 分别是边AB AC.BC上的动点（点拨：三动点M,N,P），连接PM,PN和MN,则PM+PN+MN的最小值（点拨：线段和最小值）是考什么?直角三角形的性质,轴对称的性质,锐角三角函数,垂线段最短实战实演1.如图,在平行四边形ABCD中,AB= BC=4,∴ABC= 120° ,M,N,P分别是AB,BC ,AC.上的动点,则PM+PN的最小值为( )A.2B.C.D.2.如图,已知AD//BC,∴B=90°,∴C=60° ,BC=2AD=4,点M为边BC的中点,点E,F 在边AB,CD.上运动,点P在线段MC.上运动,连接EF ,EP,PF,则∴EFP周长的最小值为3.如图,在Rt∴ABC中,∴B=90° ,AB=6,BC=8,D,E,F分别是三边AB ,BC,CA上的点,则DE+EF+FD的最小值为模型25 将军饮马之“两定点一定长”模型模型展现基础模型怎么用?1．找模型遇到两定点(定长）两动点求动点在何位置时线段和最值问题,考虑使用模型2.用模型通过平移、对称的性质,三角形的三边关系及其垂线段最短确定最值点位置结论分析结论1:将A沿着与PQ平行的方向平移一个桥长至A'，连接A'B交河岸n于点Q.作PQ∴n交m于点P,此时AP+PQ+QB最小证明:由平移知AP=A'Q，∴AP+PQ+QB=A'Q +QB+PQ，∴PQ为定长d，只需要A'Q+QB最小.∴A' ,B两点之间线段A'B最短，∴ AP +QB +PQ 的最小值为A 'B +d .结论2:将A 沿着与直线l 平行的方向平移一个定长PQ 至A'.作A'关于直线l 的对称点A",连接A"B 交直线l 于点Q ,此时AP +PQ +QB 最小证明:由平移知AP =A'Q ,由轴对称知A'Q =A"Q ,即AP = A"Q ，AP +PQ +QB =A"Q +QB +PQ ，∴PQ 为定长d ，∴只需要A"Q +QB 最小.∴A" ,B 两点之间线段A"B 最短，∴AP + PQ +QB 的最小值为A"B +d .万唯中考几何模型拔尖指导求两条线段和最小,要建立转化和数形结合思想,将所求线段进行平移、旋转、对称等方法将线段转化到同一直线或折线上,再根据化折为直、两点之间线段最短,垂线段最短等进行求解.典例小试例1如图,正方形ABCD 的边长为2,点E 是BC 上一点且不与点B ,C 重合,连接AE 交BD 于点F .P 是边CD 上一点，且DP =2CP ,Q 为对角线BD （两个定点）上一点,且QF =31BD （QF 是定长）,则 AF +PQ 的最小值为 .考什么?轴对称的性质,正方形的性质，平行四边形的性质,平移的性质.思路点拨求线段和的最值,则需将线段转化在一条线上,再利用两点之间线段最短解决.例2如图,在等边∴ABC 中,AB =6,点D 在边AC 上,AD = 1,点P ,Q 在线段AB 上(两个定点PQ),且PQ=1,(定长PQ)则四边形PCDQ周长的最小值为.考什么? 轴对称的性质,等边三角形的性质实战实演1.如图,菱形ABCD的边长为23,点E,F在对角线BD上运动,且EF=2,连接AE,AF ,则∴AEF周长的最小值是.2.如图,在扇形0AB中∴AOB= 90o,0A= 6,点C为OB的中点,过点C作CD∴OB交AB于点D,点E,F均为线段OA上的动点,且点F在点E的下方,EF,连接ED,FC,则四边形CDEF周长的最小值为.弟2题图3.有一条两河岸平行的人工河,A,B是位于河两岸的两个景点(如图),要在河上造一座桥,使桥垂直于河岸,并且使A，B景点之间的路程最短.确定桥的位置的方法是:作从A到河岸的垂线,分别交河岸PQ ,MN于F,G.在AG上取AE=FG ,连接EB,EB 交MN于D.在D处作到对岸的垂线DC，垂足为C,那么DC就是造桥的位置.请说出桥造在CD位置时路程最短的理由,也就是(AC+CD+DB)最短的理由.。