证明角相等的方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。
2.三边成比例的两个三角形相似。
3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。
4.两角分别相等的两个三
角形相似。
5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。
）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。
（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。
）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。
（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。
）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。
（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
证明两个角相等的方法
证明两个角相等的方法嘿，大家好！今天咱来聊聊怎么证明两个角相等哈。
这事儿啊，让我想起了上次帮我小侄子做数学作业的经历，那可真是有意思极了。
那天我去小侄子家玩，他正为一道数学题愁眉苦脸的呢。
我凑过去一看，哟，就是一道证明两个角相等的题。
小家伙一脸无奈地看着我，说：“叔叔，这咋做呀？” 我一看，嘿，这题我会呀！我就跟他说：“别着急，咱一起来想想。
”我拿起笔，开始给他讲。
我说：“你看啊，证明两个角相等呢，有一种方法就像你找两个一模一样的苹果一样。
比如说，有两个三角形，要是这两个三角形的对应边都相等，那它们对应的角不就也相等啦？就好比一个大三角和一个小三角，要是大三角的三条边分别和小三角的三条边一样长，那它们的角肯定也一样，你说对不？” 小侄子似懂非懂地点点头。
然后我又说：“还有啊，如果两个角是对顶角，那它们肯定相等。
这就好比你和我面对面站着，你头上顶个角，我头上也顶个角，咱俩面对面，那这两个角不就是一样大嘛，哈哈。
” 小侄子被我逗笑了。
我接着讲：“再有一种情况，要是两个角是同角或等角的余角，那它们也相等。
比如说，一个角是 60 度，它的余角就是 30 度，另一个角要是和它加起来也等于 90 度，那这两个余角不就相等了嘛。
就像你有一块蛋糕，切成了两块，一块大一点，一块小一点，但是大的那块剩下的和小的那块剩下的一样多，那这剩下的不就是相等的嘛。
” 小侄子这下好像有点明白了，眼睛亮晶晶的。
我看着他那认真的样子，心里还挺高兴。
我又给他举了个例子：“你看啊，要是两个角是同角或等角的补角，也会相等哦。
就好比你晚上睡觉，盖一床厚被子觉得暖和，盖两床薄被子也觉得暖和，那这两床薄被子加起来和那床厚被子的保暖效果一样，这就说明这两床薄被子代表的角度和那床厚被子代表的角度在某种程度上是相等的，懂了不？” 小侄子笑着说：“叔叔，我好像懂啦！”最后，我跟他说：“其实证明两个角相等的方法还有很多呢，你以后学得多了就知道啦。
做数学题啊，就像玩游戏一样，你得找到规律，找到方法，就能把题做出来啦。
求证三角形全等的方法
求证三角形全等的方法
三角形全等，是指三角形的三条边和三个内角都相等。
它有三种类型，正三角形、等腰三角形与直角三角形。
正三角形由它的三条内角都是60度而诞生，而直角三角形就是最重要的一种，它的一个内角为90度，有特殊的名字叫做直角三角形。
等腰三角形只有两条边相等，它的两个内锐角都是45度。
要求证明三角形相等的方法是：
1.显然证法：最容易证明三角形相等的方法就是直接用直线来比较它们的边长，如果边长相等，就证明它们是相等的三角形。
2.The ASA原理：另外一种证明三角形相等的方法就是使用ASA原理，它比
较三角形的两边和夹角。
如果两边长度和夹角都相等，那么这就证明两个三角形相等。
3.The SSA原则：如果ASA原理不适用，可以使用SSA原则。
它比较三角形
的三边和两大小角。
如果三边和两大小角的值都相等，就证明这是相同的三角形。
以上三种方法可用于证明三角形相等，它们是几何学中最常用的方法，用来证明三角形有许多相同的特征，比如边长、内角等。
对于熟悉几何证明的人来说，这些方法都是非常简单的。
相似三角形的证明方法总结
相似三角形的证明方法总结相似三角形是指具有相同形状但可能不等长的三角形。
在几何学中，经常需要证明两个三角形是否相似。
下面将总结几种常用的相似三角形的证明方法。
一、AA相似判定法AA相似判定法是基于两个三角形的两个角分别相等的原理，即如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知∠A = ∠D和∠B = ∠E，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
步骤如下：1. 连接AC和DF。
2. 根据已知条件，得到∆ABC和∆DEF中相等的角。
3. 根据等角的定义，∠A = ∠D和∠B = ∠E可以得出∠C = ∠F。
4. 由于三角形内角和为180度，∠A + ∠B + ∠C = 180度和∠D +∠E + ∠F = 180度，代入∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F，可以得到∠A + ∠B + ∠C = ∠D + ∠E + ∠F。
由此可知，两个三角形的内角和相等。
5. 根据三角形的内角和相等性质，可以得到∆ABC ∼∆DEF。
二、AAA相似判定法AAA相似判定法是基于两个三角形的对应角分别相等的原理，即如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
步骤如下：1. 连接AC和DF。
2. 根据已知条件，得到∆ABC和∆DEF中对应相等的角。
3. 根据等角的定义，∠A = ∠D，∠B = ∠E和∠C = ∠F可以得出两个三角形的对应角相等。
4. 根据AAA相似判定法，可以得到∆ABC ∼∆DEF。
三、SAS相似判定法SAS相似判定法是基于两个三角形的其中一对边的比例相等且夹角相等的原理，即如果两个三角形的两边的比例相等且夹角相等，则这两个三角形相似。
证明方法如下：假设有两个三角形∆ABC和∆DEF，已知AB/DE = AC/DF和∠BAC = ∠EDF，我们要证明∆ABC ∼∆DEF。
《证明线段相等-角相等-线段垂直》的方法总结
《段相等，角相等，线段垂直》的专题复习一.证明线段相等的方法：1.中点：2.等式的性质3.全等三角形4借助中介线段二.证明角相等的方法1.对顶角相等2.等式的性质3.角平分线4垂直的定义5.两直线平行（同位角，内错角）6.全等三角形7.同角的余角相等8等角的余角相等9.同角的补角相等10等角的补角相等11.三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和三．证明垂直的方法1.证明两直线夹角=90°2.证明邻补角相等3.证明邻补角的平分线互相垂直4证明三角形两内角之和=90°5.垂直于平行线中的一条直线，必定垂直于另一条6.证明此角所在的三角形与已知的直角三角形全等经典题型：.利用角平分线的定义例题1.如图，已知AB=AC，AD//BC，求证2、基本图形“双垂直”本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
例题2.如图，，与的面积相等．求证：OP平分．例题3、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．3.利用等腰三角形三线合一例题4.正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AE=DC+CE，求证：AF平分∠DAE。
4.利用定理定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
例5.如图，已知ΔABC的两个外角∠MAC、∠NCA的平分线相交于点P，求证点P在∠B的平分线上。
5..和平行线结合使用，容易得到相等的线段。
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点，PD∥AB，则有∠1=∠2=∠3，所以AD=DP。
例6.如图，ΔABC中，∠B的平分线与∠C外角的平分线交于D，过D作BC的平行线交AB、AC于E、F，求证EF=BE-CF。
6.利用角平分线的对称性。
例7.如图，已知在ΔABC中，AB>AC，AD是ΔABC的角平分线，P是AD上一点，求证AB-AC>PB-PC。
7.角平分线与垂直平分线综合例题8、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．角平分线专题复习（解答部分）一、平分线的应用。
如何证明角的相等
证明角的相等
1.对顶角相等。
2.角（或同角）的补角相等或余角相等。
3.两直线平行，同位角相等、内错角相等。
4.凡直角都相等。
5.角平分线分得的两个角相等。
6.同一个三角形中，等边对等角。
7.等腰三角形中，底边上的高（或中线）平分顶角。
8.平行四边形的对角相等。
9.菱形的每一条对角线平分一组对角。
10.等腰梯形同一底上的两个角相等。
11.关系定理：同圆或等圆中，若有两条弧（或弦、或弦心距）相等，则它们所对的圆心角相等。
12.圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。
13.同弧或等弧所对的圆周角相等。
14.弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
15.同圆或等圆中，如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
16.全等三角形的对应角相等。
17.相似三角形的对应角相等。
18.利用等量代换。
19.利用代数或三角计算出角的度数相等
20.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
证明角相等的方法
证明角相等的方法
证明两个角相等的方法有：
1、相交线、平行线：
（1）对顶角相等；
（2）等角的余角（或补角）相等；
（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；
（4）凡直角都相等；
（5）角的平分线分得的两个角相等.
2、三角形
（1）等腰三角形的两个底角相等；
（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；
（5）相似三角形的对应角相等.
3、四边形
（1）平行四边形的对角相等；
（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；
（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.
4、圆
（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；
（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等. ，圆心角相等.
（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角.
（5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.
（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；
5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.
6、利用三角函数计算出角的度数相等
故答案为：
略。
线段、角、垂直相等的证明方法总结
线段相等的证明方法（一）相关定理或常见结论1、常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
2、三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
⑤直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半。
⑥有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形。
⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
3、四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③菱形中四边相等。
④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
4、正多边形中：①正多边形的各边相等。
且边长an = 2Rsin (180°/ n)②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距rn ) 相等。
且rn = Rcos (180°/ n)5、圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦相等。
②任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。
③自圆外一点所作圆的两切线长相等。
④两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分。
6、全等形中：①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。
②平移、旋转、轴对称变换中的对应线段相等；7、线段运算：①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。
②对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等。
角相等的证明方法1、相交线、平行线：（1）对顶角相等；（2）等角的余角（或补角）相等；（3）两直线平行，同位角相等、内错角相等；（4）凡直角都相等；（5）角的平分线分得的两个角相等.2、三角形（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形底边上的高（或中线）平分顶角（三线合一）；（3）三角形外角和定理：三角形外角等于和它不相邻的内角之和（4）全等三角形的对应角相等；（5）相似三角形的对应角相等.3、四边形（1）平行四边形的对角相等；（2）菱形的每一条对角线平分一组对角；（3）等腰梯形在同一底上的两个角相等.4、圆（1）在同圆或等圆中，若有两条弧相等或有两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等；（2）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.，圆心角相等.（3）圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. （4）圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补;并且每一个外角都等于它的内对角. （5）三角形的内心的性质：三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.（6）正多边形的性质：正多边形的外角等于它的中心角.（7）从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角；5、利用等量代换、等式性质证明两角相等.6、利用三角函数计算出角的度数相等垂直的证明方法。
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添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。
这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。
如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。
这种思路可称为条件集中法。
为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。
以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。
添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：⑴由所求决定：问什么，先要作什么。
⑵由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。
⑶由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。
（二）添辅助线的规律：（1）三角形中：①等腰Δ：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角Δ，或便于运用等腰Δ三线合一的性质。
如图1）②直角Δ斜边上有中点：连中线（构造两个等腰Δ，或便于运用直角Δ斜边上的中线的特殊性质。
如图2）③斜Δ有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积Δ。
如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。
如图4）；或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似Δ，或便于运用Δ中位线定理。
如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图7、8）。
或延长中线的1/3（构造两个全等Δ或补全为一个平行四边形。
如图9）。
④有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角Δ。
如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰Δ或一菱形。
如图11）。
⑤有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构造两个全等Δ。
如图12、13）⑥有角平分线遇垂线：常延长垂线（构造等腰Δ。
如图14）。
（二）梯形：①延长两腰交于一点（构造两相似Δ。
如图15），②由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和一平行四边形。
如图16）。
③由小底的两端作大底的垂线（构造两直角Δ和一矩形。
如图17）。
④有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中有两对角线及上下两底和的Δ和一平行四边形。
如图18）。
⑤连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等Δ及一与梯形等高等积的Δ。
如图19）。
⑥过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等Δ及与梯形等积的平行四边形。
如图20）。
⑦过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的Δ和两个平行四边形。
如图21）。
（三）圆：①有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造直角Δ，便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。
如图22）。
②有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三个相似的直角Δ，便于运用直角Δ的性质及射影定理。
如图23）。
③有圆内接四边形：连对角线（构造较多相等的圆周角。
如图24）；或延长四边形的某一边（构造与内对角相等的外角。
如图25）。
④圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；或作过切点的弦及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。
如图26）。
⑤圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心的连线（构造两全等的直角三角形）；或作过交点和加以的割线（便于运用切线割线定理）；或连结两切点（构造一等腰Δ、三对全等的直角Δ、被切线交点与圆心的连线垂直平分的弦，便于运用等腰Δ、直角Δ、全等Δ以及射影定理。
如图27）。
⑥有相交弦或相交于圆外的割线\切线：连结不同弦的端点或不同割线在圆上的交点（构造相似Δ，便于运用比例线段及Δ外角定理。
如图28、29、30）。
⑦两圆相交：作连心线、公共弦，甚至两圆心到公共弦两端点的连线（构造两等腰Δ、补全一筝形，便于运用连心线垂直平分公共弦的定理。
如图31）。
⑧两圆外切：作连心线及内、外公切线、连切点、连半径（构造一集中有两条弦及外公切线长的直角Δ、一集中有两圆半径、半径之和及外公切线长的直角梯形。
如图32）。
⑨两圆内切：作连心线及外公切线（便于运用连心线与公切线的垂直关系。
如图33）。
⑩两圆外离：作连心线及个公切线或内公切线，并过小圆圆心作公切线的平行线（构造一集中连心线长、公切线长、两圆半径差或和的直角Δ。
如图34、35）。
证明线段相等的方法（一）常用轨迹中：①两平行线间的距离处处相等。
②线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。
③角平分线上任一点到角两边的距离相等。
④若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等(图1）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等角对等边。
（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）②任意三角形的外心到三顶点的距离相等。
③任意三角形的内心到三边的距离相等。
④等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。
⑤直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。
⑥有一角为60°的等腰三角形是等边三角形。
⑦过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边(图2）。
⑧同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。
同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等(图3）。
（三）四边形中：①平行四边形对边相等，对角线相互平分。
②矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。
③菱形中四边相等。
④等腰梯形两腰相等、两对角线相等。
⑤过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰(图4）。
（四）正多边形中：①正多边形的各边相等。
且边长a n = 2Rsin (180°/ n)②正多边形的中心到各顶点的距离(外接圆半径R )相等、各边的距离(边心距r n ) 相等。
且r n = Rcos (180°/ n)（五）圆中：①同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。
②同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。
③任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。
④自圆外一点所作圆的两切线长相等。
⑤两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。
⑥两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分（图5）。
⑦两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。
⑧两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。
（六）全等形中：①全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径……）都相等。
（七）线段运算：①对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。
②对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。
③两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二线段相等。
证明角相等的方法（一）相交直线及平行线：①二直线相交，对顶角相等。
②二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内错角相等，外错角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。
④角的平分线分得的两个角相等。
⑤自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等(图1、2）。
（二）三角形中：①同一三角形中，等边对等角。
（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等）②等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。
③有一角为60°的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等）④直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。
（三）四边形中：①平行四边形对角相等。
②菱形的对角线平分一组对角。
②矩形的四角相等，且均为直角。
③等腰梯形同一底上的两角相等。
（四）正多边形中：①正多边形的各内角相等、外角相等，且内角= (n-2)180°/ n，外角=360°/ n②正多边形的中心角相等，且中心角αn=360°/ n 。
（五）圆中：①同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。
②同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。
③同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。
④自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。
⑤两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分(图4）。
⑥圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。
（六）全等形中：①全等形中，一切对应角都相等。
（七）相似形中：①相似形中，一切对应角都相等。
（八）角的运算：①对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。
②对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。
③两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1，则此二角相等。
④两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二角相等。
证明线段不等关系的方法（一）常用轨迹中：①（线段公理）所有连结两点的线中，线段最短。
②自直线外的一点，向直线作一条垂线和多条斜线，则斜线长的所对的射影也长；射影长的所对的斜线也长，且其中垂直线段最短(图1）。
③两平行线间公垂线最短。
（二）三角形中：①同一三角形中，大角对大边，小角对小边，直角或钝角所对的边最大。
②任意三角形中，任二边之和大于第三边，任二边之差小于第三边。
③直角三角形中，斜边最长。
（三）圆中：①同圆或等圆中的各条弦、以直径最长。
②同圆或等圆中，大弦或大圆心角所对所对的弦心距小，小弦或小圆心角所对所对的弦心距大；小弦心距或大圆心角所对的弦大，大弦心距或小圆心角所对的弦小（图2）。
③同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对的弦大；小弧或小圆周角所对的弦小（图2）。
若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。
④同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对所对的弦心距小，小弧或小圆周角所对所对的弦心距大（图2）。
若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。
（四）线段运算：①对应相等线段加不等的线段：加长线段的其和也大；加短线段的其和也小。
②对应相等线段减不等的线段：减长线段的其差反小；减短线段的其差反大。
③较大的线段减较小的线段，其差也大；较小的线段减较大的线段，其差反小。
④两线段的长的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。