函数的极值与最值的区别
函数的性质 函数的极值与最值
又R( x ) 0 x 350是唯一极值点且是极大值点.
350 R( x ) (350 20)(68 ) 10890 (元 ) 10
25
小结与习题
极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点都是可能极值点,也称为临界点.
2
令 y 0 , 得函数有唯一的驻点 h 2r . 2 2r 2r 0 h 时, y( h) 0, h 时, y ( h) 0, 2 2 2r h 是函数的极大值点,且为最大值点, 2
2r 因而高度 h 时,桌面边缘的照度最强. 2
20
例 (补充) 铁路线上AB段
3 2 求函数 y 2 x 3 x 12 x 25 在区间 [2, 4]
上的最大和最小值. 解 函数可能的极值点是 x1 1, x2 2. 且 f ( 1) 32, f (2) 5, 又 f ( 2) 21, f (4) 57,
由此可得,函数在区间 [2, 4] 上的最大值是
例2 求函数 y (2 x 5) x
解 由上一节，已知
5 3 2 3
2 3
的极值.
2 3 1 3
10 10 y (2 x 5 x ) x x 3 3
1 0
10( x 1) 3x
1 3
,
注意: 题中有不可导点,因而不能用第二充分条件,列表
x
y
y
(, 0)
0
(1)建立目标函数;
(2)求最值;
若目标函数只有唯一的极值点,则极大值 即为最大值,极小值即为最小值.
23
例
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数极值与最值的区别
函数极值与最值的区别摘要：1.极值与最值的概念区分2.极值的局部性质3.最值的全局性质4.极值与最值的联系5.实际应用举例正文：在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。
许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。
本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。
首先，我们来区分一下极值和最值。
极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。
最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。
简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。
接下来，我们来了解极值的局部性质。
在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。
在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。
也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。
需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。
然后，我们来了解最值的全局性质。
最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。
在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。
最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。
也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。
此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。
在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。
然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。
因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。
最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。
假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。
我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到极值点x = 1。
在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。
函数极值和最值间的区别与联系
实 际生活 中，往往 需要解决利润 最大化 ，容 积最大 ，费用最
而使 函数取得 最大值 、最小值 的点 可能在 定义 域 的 内部 ，
科 教 论 坛 ＤＯＩ：１０．１９３９２／ｊ．ｃｎｋｉ．１６７１－７３４１．２０１８０６０３９
科技风 ２０１８年 ２月
函数 极 值 和 最 值 问 的 区别 与联 系
董晓红
包 头 职 业 技 术 学 院 人 文 与 艺 术 设 计 系 内 蒙 古包 头 ０１４０３０
摘 要 ：在 实际问题 中，常 常会遇到 为了发挥 最大的经济效益 ，要 求在 一定 的条件 下，提 高生产效 率 ，降低 成本 ，节约原料 ，以 达到利润最 大化 ，费用最省 ；或施工 中受污染程度 最小等问题 。解决这类 问题 就需要 用到函数 的极值 和最值 的知识。 而这 两个概 念非常接近 ，学生在 学 习过程 中经常混淆 ，区分不开。本 文深入 分析 函数 的极值 与最值概 念 间的 区别 与联 系，以及 求解极值 与最 值 的 步 骤 ，从 而 找 出学 生 易于 理 解 的 方 法 。
（２）函数 的最值 。设 函数 Ｙ＝ ）定 义域 为 ，如 果存在 实数 Ｍ满 足 ：对于任意 ∈，，都有，（ ）≤ Ｍ （或．厂（ ）≥Ｍ ） 成 立 ，则称 Ｍ是 函数 Ｙ＝，（ ）的最大值 （或最小值 ），记作 Ｙ ： ，（ ） ＝Ｍ （或 ｙ ＝，（ ） ＝ Ｍ ）。
２极值与最值的 区别 （１）研究范 围的不 同。极值是 一个局 部 的概念 ，研 究 的是 小范围 ，即某个点 的邻域 内，是通过 比较极值 点 ‰ 附近 的函
艺术生高考数学专题讲义：考点14 导数与函数的极值、最值
考点十四导数与函数的极值、最值知识梳理1．函数的极值的定义一般地，设函数f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0 )，就说f(x0)是函数的极大值，x0叫做函数的极大值点．如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0 )，就说f(x0)是函数的极小值，x0叫做函数的极小值点．极大值与极小值统称为函数的极值．极大值点与极小值点统称为极值点．注意：可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′＝0，但x＝0不是极值点．2．判断f(x0 )是极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时，若x0满足f′(x0 )＝0，且在x0的两侧f(x)的导数值异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0 )是极值．如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．3．求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f′(x) ；(2)求方程f′(x) ＝0的根；(3)检查f′(x)在x0两侧的符号①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．4．函数的最值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(1)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．(2)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．5．函数的极值与最值的区别与联系极值是个“局部”概念，而函数最值是个“整体”概念．函数的极值表示函数在某一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．函数的极值不一定是最值，最值也不一定是极值．典例剖析题型一 利用导数求函数的极值例1 已知函数f (x )＝x 3－2x 2e x.求f (x )的极大值和极小值．解析 函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－x (x 2－5x ＋4)e x ＝－x (x －1)(x －4)e x ，当x 变化时，f (x )、f ′(x )的符号变化情况如下：∴f (x )的极大值为f (0)＝0和f (4)＝32e 4，f (x )的极小值为f (1)＝－1e.变式训练 设f (x )＝e x1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为R 上的单调函数，求a 的取值范围． 解析 对f (x )求导得f ′(x )＝e x·1＋ax 2－2ax(1＋ax 2)2.①(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝32，x 2＝12.结合①，可知所以x 1＝32是极小值点，x 2＝12是极大值点．(2)若f (x )为R 上的单调函数，则f ′(x )在R 上不变号，结合①与条件a >0，知ax 2－2ax ＋1≥0在R 上恒成立，即Δ＝4a 2－4a ＝4a (a －1)≤0，由此并结合a >0，知0<a ≤1.所以a 的取值范围为{a |0<a ≤1}．题型二 利用极值求参数例2 设f (x )＝ln(1＋x )－x －ax 2，若f (x )在x ＝1处取得极值，则a 的值为________． 答案 －14解析 由题意知，f (x )的定义域为(－1，＋∞)， 且f ′(x )＝11＋x －2ax －1＝－2ax 2－(2a ＋1)x 1＋x，由题意得：f ′(1)＝0，则－2a －2a －1＝0，得a ＝－14，又当a ＝－14时，f ′(x )＝12x 2－12x 1＋x ＝12x (x －1)1＋x ，当0<x <1时，f ′(x )<0；当x >1时，f ′(x )>0， 所以f (1)是函数f (x )的极小值，所以a ＝－14.变式训练 已知x ＝3是函数f (x )＝a ln x ＋x 2－10x 的一个极值点，则实数a ＝________． 答案 12解析 f ′(x )＝a x ＋2x －10，由f ′(3)＝a3＋6－10＝0，得a ＝12，经检验满足条件．题型三 利用导数求函数的最值例3 设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2. (1)求a ，b 的值；(2)令g (x )＝f (x )－2x ＋2，求g (x )在定义域上的最值． 答案 (1)a ＝－1，b ＝3 (2)最大值为0，无最小值 解析 (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋bx(x >0)，又f (x )过点P (1,0)，且在点P 处的切线斜率为2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得a ＝－1，b ＝3. (2)由(1)知，f (x )＝x －x 2＋3ln x ，其定义域为(0，＋∞)， ∴g (x )＝2－x －x 2＋3ln x ，x >0.则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． ∴g (x )的最大值为g (1)＝0，g (x )没有最小值． 变式训练 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值． 解析 (1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)．②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a ，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x<0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤0，1a ，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞. (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在区间[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在区间[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a .③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数．又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a ；当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a . 综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是－a ； 当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是ln 2－2a .解题要点 求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．当堂练习1．已知函数y ＝f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x ) ________.①在(－∞，0)上为减函数② 在x ＝0处取极小值 ③ 在(4，＋∞)上为减函数 ④ 在x ＝2处取极大值答案 ③解析 由f ′(x )的图象可知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，∴f (x )在x ＝0处取得极大值，同理f (x )在x ＝2处取得极小值，故①，②，④均不正确 ，由f ′(x )的图象可知f (x )在(4，＋∞)上单调递减．2．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是________.①x ＝1 ②x ＝－1 ③x ＝1或－1或0 ④x ＝0 答案 ③解析 ∵f (x )＝x 4－2x 2＋3，由f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)＝0，得x ＝0或x ＝1或x ＝－1.又当x <－1时，f ′(x )<0，当－1<x <0时，f ′(x )>0，当0<x <1时，f ′(x )<0，当x >1时，f ′(x )>0， ∴x ＝0,1，－1都是f (x )的极值点．3. 若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则a 与b 的关系是________. 答案 a ＋2b ＝0解析 y ′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.4．函数f (x )＝xe x ，x ∈[0,4]的最大值是________.答案 1e5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝x 2＋2x －a(x ＋1)2，由f (x )在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.课后作业一、 填空题1．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________．答案 －173解析 f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0，得x ＝1(x ＝－3舍去)， 又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0，2]上的最小值是f (1)＝－173.2．函数f (x )＝x 3－32x 2－6x 的极值点的个数是________．答案 2解析 f ′(x )＝3x 2－3x －6＝3(x 2－x －2)＝3(x －2)(x ＋1)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.易知x ＝－1为f (x )的极大值点，x ＝2为f (x )的极小值点．故f (x )的极值点有2个． 3．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是________． 答案 －16解析 由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2. 又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9， ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.4．f (x )＝e x －x (e 为自然对数的底数)在区间[－1,1]上的最大值是________． 答案 e －1解析 f ′(x )＝e x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝0.令f ′(x )>0，得x >0，令f ′(x )<0，得x <0，则函数f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，f (－1)＝e －1＋1，f (1)＝e －1，f (－1)－f (1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f (1)>f (－1).5．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________． 答案 3百万件解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则ab的值为________．答案 －23解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝01＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9满足题意，故a b ＝－23.7．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)①函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) ②函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) ③函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) ④函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 答案 ④解析 由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 8．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是________． 答案 －37解析 f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点． ∴f (0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f (－2)＝－37，f (2)＝－5. ∴最小值是－37.9．函数f (x )＝x 3+ x 2－x +2在[0,2]上的最小值是________． 答案4927解析 f ′(x )＝3x 3+2x －1，f ′(x )＝0，x ∈[0,2]，得x ＝13.比较f (0)＝2，f (13)＝4927，f (2)＝12.可知最小值为4927.10．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为__________ 元时利润最大，利润的最大值为__________． 答案 30 23 000解析 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)Q ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)， ∴y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，∴p ＝30或p ＝－130(舍去)，则p ，y ，y ′变化关系如下表：∴当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3＋150p 2＋11 700p －166 000在(20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值． ∴该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．11．若y ＝a ln x ＋bx 2＋x 在x ＝1和x ＝2处有极值，则a ＝________，b ＝________. 答案 －23 －16解析 y ′＝ax＋2bx ＋1.由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－23，b ＝－16.二、解答题12． （2015北京文节选）设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.求f (x )的单调区间和极值解析 函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0解得x ＝k (负值舍去)．f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：所以，f (x )f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2. 13．设函数f (x )＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋8c 在x ＝1及x ＝2时取得极值． (1)求a 、b 的值；(2)若对于任意的x ∈[0,3]，都有f (x )<c 2成立，求c 的取值范围． 解析 (1)f ′(x )＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f (x )在x ＝1及x ＝2处取得极值，则有f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧6＋6a ＋3b ＝0，24＋12a ＋3b ＝0.解得a ＝－3，b ＝4. (2)由(1)可知，f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋8c ，f ′(x )＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)． 当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(2,3)时，f ′(x )>0. 所以，当x ＝1时，f (x )取得极大值f (1)＝5＋8c ，又f (0)＝8c ，f (3)＝9＋8c . 则当x ∈[0,3]时，f (x )的最大值为f (3)＝9＋8c . 因为对于任意的x ∈[0,3]，有f (x )<c 2恒成立， 所以9＋8c <c 2，解得c <－1或c >9， 因此c 的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．。
极值与最值的区别和联系
区别：极值是局部概念,只对某个点的邻域有效,最值是全局概念,对整个定义域或一段区间都有效.
联系：最值一般是极值点、不可导点和端点函数值（可取到的话）中的最大或最小值
Y=|x|
求最值的步骤
1 确定定义域
2 求导
3 令导数等于0，解x
4 根据区间确定导数的正负
5 列表（写明各行的变化，求解特殊点对应的函数值，加上闭区间的端点）
6 判断得出最小值或最大值，写结论
7 要求的话根据特殊点和增减趋势画出图像
一些命题趋势
1 一元二次函数根的分布问题
2 分类讨论
3 数形结合
4 与其他知识点联系。
极值与最值概念
极值与最值概念前⾔极值与最值是很不容易弄清楚的两个概念。
相关概念极值是在函数的定义域内的某⼀个⾃变量的取值x0的⼩邻域[定义域的某个⼩区间]内，f(x0)和这个⼩邻域内其他的函数值相⽐较，他是龙头⽼⼤(或⽼⼩)；最值是函数在⾃⼰的定义域内的来说，是龙头⽼⼤(或⽼⼩)，故极值不会在某个区间的端点处取到，⽽最值有可能在区间的端点处取到。
说到极值和最值，都是针对函数值y⽽⾔；说到极值点或者最值点，都是针对函数的⾃变量x⽽⾔；且极值点和最值点都不是点，⽽是实数。
函数的极⼤值和极⼩值之间没有必然联系，即极⼤值不⼀定⽐极⼩值⼤；对于可导函数f(x)⽽⾔，x0成为函数f(x)的极值点的必要条件是f′(x0)=0，其充要条件是f′(x0)=0且导函数f′(x)在x0的两侧的函数值异号，简单的说，其充要条件是x0是导函数f′(x)的变号零点。
函数在极值点处不⼀定可导，⽐如函数f(x)=|x|，x=0是其极值点，但函数在x=0处不可导。
函数的最⼤值不⼀定是极⼤值，也可能是端点值；函数的最⼩值不⼀定是极⼩值，也可能是端点值；区别联系极值最值区别(1)极值只能在定义域内部[或者区间内部]取得；(2)在指定区间内部极值点可能不⽌⼀个，也可能⼀个都没有；(1)最值可以在区间的端点处取得；(2)最⼤值最⼩值最多只有⼀个；联系(1)极值点不⼀定是最值点，最值点也不⼀定是极值点;(2)极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得，必定是极值；(3)在区间[a,b]上连续的函数f(x)若有唯⼀的极⼤(⼩)值点，则这个极值点就是最⼤( ⼩)值点充要条件№1在某个区间内，对可导函数f(x)⽽⾔，f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。
分析：说明不必要性，⽐如函数y=x3在(−∞,+∞)上单调递增，但是却有f′(x)≥0，故必要性不成⽴。
№2在某个区间内，对可导函数f(x)⽽⾔，f′(x)≥0(f′(x)≤0)是函数f(x)在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。
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函数的极值与最值的区别
一、前言
二、函数的极值
函数的极值是指函数在一定区间内取得的最大值或最小值。
根据函数的定义，可以得
出一个结论：如果函数在某一点的导数等于0，那么这一点可能成为函数的极值点。
换句
话说，在一个函数图像中，函数的极值往往出现在函数图像上呈现出拐点的位置。
回到导数的定义上，导数表示函数随着自变量变化而变化的速率。
在一个函数图像上，如果某一点的导数为0，那么这一点就是函数的极值点。
如果导数为正，那么这一点就是
函数的局部最小值，如果导数为负，则是函数的局部最大值。
这种情况通常要注意函数的
定义域和值域，还要注意函数的单调性。
函数的最值是指函数在定义域内能够取到的最大值和最小值，包括局部最值和全局最值。
与函数的极值不同的是，函数的最值并不要求函数在某个点的导数等于0，而是所有
可能点的函数值的极值。
在数学中，一个函数的最值可以通过指定函数的定义域并计算所有在该定义域内的函
数值进行比较而得出。
比如说，对于 +x^2+3x+4 这个函数，其定义域是实数集合，该函
数的最小值为（-1,6）时的函数值，最大值为（- \infty，+\infty）时的函数值。
需
要注意的是，在某些情况下，函数有可能没有最大值和最小值。
函数的极值一般需要用到导数，因为导数可以告诉我们一个函数在某一点的斜率是多少，从而判断该点是否是局部最大值或最小值。
但是函数的最值并不需要用到导数，而是
通过指定定义域并计算所有的函数值进行比较。
函数的极值和最值是非常重要的数学概念，在不同的数学应用场景中都起着重要的作用。
理解这两个概念的异同点，能够对学生们更深入地理解函数及其相关概念。
五、函数
极值和最值的应用
函数的极值和最值在数学上有着广泛的应用。
其中函数极值主要用于解决函数最大值
和最小值的问题，常见的例子包括数学建模中的最优化问题、物理学中的牛顿力学问题和
经济学中的生产问题等。
而函数的最值则是应用于优化问题，例如在经济学中，最大化利
润和最小化成本都涉及到函数的最值。
在物理学中，我们可以通过对物体位置、速度、加速度等参数的数学模拟，通过求解
函数的极值点来求解物体在某一瞬间的速度和加速度。
这样不仅可以帮助我们更好地理解
物理现象还可以为我们探索新的物理规律做出一定的贡献。
在生产领域中，我们同样可以运用函数极值来解决最优生产方案的问题。
假设某家公
司要生产一种产品，通过求解总成本函数的极小值点，可以找到最优的生产量和生产时间。
这样就可以让公司在生产领域中最大化利润。
经济学中的例子，可以通过最大化利润函数和最小化成本函数来求出合理的生产数量
和价格。
在编程领域中，我们经常需要求解最大值和最小值。
例如通过快速排序算法，可以通
过比较数据中每个元素的大小来求出最小值和最大值。
在机器学习领域，优化问题是很常见的。
通过求解某个模型的最大值和最小值，我们
可以不断优化该模型的效果。
例如在深度学习领域中，我们可以通过求解误差函数的最小
值来获得最优的模型参数，从而尽可能减小误差。
六、总结
函数的极值和最值是数学中非常基础而又重要的概念。
理解这两个概念的相似之处和
不同之处，可以帮助我们更好地理解数学模型和函数的表达。
这两个概念在不同的学科领
域中都扮演着非常重要的角色，如经济学、物理学、工程学、计算机科学等。
掌握函数的
极值和最值的相关知识是数学学习的基础，而且对解决实际问题也有着重要的意义。
七、
如何求解函数的极值和最值
1. 函数的极值求解方法：
如果要求解函数的极值点，需要先求出函数的导数，然后令导数等于0，解方程得到
可能的极值点，然后比较函数在每个极值点处的函数值，即可得到函数的极值。
以 x^2 + 4x + 3 为例，先求出导数为 2x+4，令其等于0得到x=-2，再将x=-2代入函数中，得到最小值为 -1。
要求解函数的最值，需要确定函数的定义域，并计算在该定义域内的函数值，比较这
些函数值的大小，最终就可以得出函数的最大值和最小值。
以 2x^2+3x-5 为例，该函数的定义域为实数集合。
通过求解一元二次方程可以得到
函数的零点为x=-5/4和x=1/2。
根据函数图像，可以发现当x=-5/4时，函数取得最小值，最小值为-19/8，当x=1/2时，函数取得最大值，最大值为3/2。
八、注意事项
1. 函数的极值点可能存在局部最值，也有可能存在全局最值，需要注意在求解时要
考虑定义域和函数的单调性。
2. 函数的定义域有可能是一个非常大的区间，在求解函数的最值问题时，需要运用
不同的求解方法，包括求导、数据统计和图形分析等方法。
3. 函数极值和最值的求解在不同的学科中都有应用，比如在物理学、化学、社会学、计算机科学等多个领域实际中都会用到。
4. 求解函数极值和最值需要运用数学基础知识，如函数的导数、极限、微积分等概念，因此需要掌握好相关的数学知识才能更好地理解和应用。
九、结论
函数的极值和最值是数学中的重要概念，理解相关的知识十分必要。
掌握求解极值和
最值的方法有助于我们更好地应用函数，解决实际问题。
当我们对函数的极值和最值理解
得更加深入时，我们就能够更加轻松地解决各种数学问题。
也需要注意，在实际应用中，求解函数的极值和最值可能会遇到一些复杂的情况，需
要运用更加高级的数学工具和技巧进行求解。
我们需要在学习函数的过程中，逐步提高数
学的层次和难度，从而逐渐掌握解决不同类型数学问题的技巧。