离散数学期末考试试题(有几套带答案1)

离散数学试题(A卷及答案）一、证明题（10分）1)(P∧(Q∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P ∨Q)∨(P∨Q))∧R T∧R(置换)R2)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D, (C∨D)→⌝E, ⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S证明：(1) (C∨D)→⌝E(2) ⌝E→(A∧⌝B)(3) (C∨D)→(A∧⌝B)(4) (A∧⌝B)→(R∨S)(5) (C∨D)→(R∨S)(6) C∨D(7) R∨S2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) 证明（1）∃xP(x)(2)P(a)(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)∃x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合，证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) （15分）证明∵x∈A-（B∪C）⇔x∈A∧x∉（B∪C）⇔x∈A∧（x∉B∧x∉C）⇔（x∈A∧x∉B）∧（x∈A∧x∉C）⇔x∈（A-B）∧x∈（A-C）⇔ x∈（A-B）∩（A-C）∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）六、已知R、S是N上的关系，其定义如下：R={<x,y>| x,y∈N∧y=x2}，S={<x,y>| x,y∈N∧y=x+1}。

求R-1、R*S、S*R、R{1,2}、S[{1,2}]（10分）解：R-1={<y,x>| x,y∈N∧y=x2}，R*S={<x,y>| x,y∈N∧y=x2+1}，S*R={<x,y>| x,y∈N∧y=（x+1）2}，七、若f:A→B和g:B→C是双射，则（gf）-1=f-1g-1（10分）。

证明：因为f、g是双射，所以gf：A→C是双射，所以gf有逆函数（gf）-1：C→A。

同理可推f-1g-1：C→A是双射。

因为<x,y>∈f-1g-1⇔存在z（<x,z>∈g-1∧<z,y>∈f-1）⇔存在z（<y,z>∈f∧<z,x>∈g）⇔<y,x>∈gf⇔<x,y>∈（gf）-1,所以（gf）-1=f-1g-1。

R{1,2}={<1,1>,<2,4>}，S[{1,2}]={1,4}。

离散数学试题(B卷及答案）一、证明题（10分）1)((P∨Q)∧⌝(⌝P∧(⌝Q∨⌝R)))∨(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R)⇔T证明左端⇔((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ⇔ ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R))(分配律) ⇔ ((P∨Q)∧(P∨R))∨⌝((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律) ⇔T (代入)2)∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))证明∀x(P(x)→Q(x))∧∀xP(x)⇔∀x((P(x)→Q(x)∧P(x))⇔∀x((⌝P(x)∨Q(x)∧P(x))⇔∀x(P(x)∧Q(x))⇔∀xP(x)∧∀xQ(x)⇔∀x(P(x)∧Q(x))二、求命题公式(⌝P→Q)→(P∨⌝Q) 的主析取范式和主合取范式（10分）解：(⌝P→Q)→(P∨⌝Q)⇔⌝(⌝P→Q)∨(P∨⌝Q)⇔⌝(P∨Q)∨(P∨⌝Q)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(P∨⌝Q) ⇔(⌝P∨P∨⌝Q)∧(⌝Q∨P ∨⌝Q)⇔(P∨⌝Q)⇔M1⇔m0∨m2∨m3三、推理证明题（10分）1)(P→(Q→S))∧(⌝R∨P)∧Q⇒R→S证明：（1）R 附加前提(2)⌝R∨P P(3)P T(1)(2),I(4)P→(Q→S) P(5)Q→S T(3)(4),I(6)Q P(7)S T(5)(6),I(8)R→S CP2) ∀x(P(x)∨Q(x))，∀x⌝P(x)⇒∃x Q(x)证明：(1)∀x⌝P(x) P(2)⌝P(c) T(1),US(3)∀x(P(x)∨Q(x)) P(4)P(c)∨Q(c) T(3),US(5)Q(c) T(2)(4),I(6)∃x Q(x) T(5),EG五、已知A、B、C是三个集合，证明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) （10分）证明：∵x∈ A∩（B∪C）⇔ x∈ A∧x∈（B∪C）⇔ x∈ A∧（x∈B∨x∈C）⇔（ x∈ A∧x∈B）∨（x∈ A∧x∈C）⇔ x∈（A∩B）∨x∈ A∩C⇔ x∈（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）六、π={A1，A2，…，A n}是集合A的一个划分，定义R={<a，b>|a、b∈A i，I=1，2，…，n}，则R是A上的等价关系（15分）。

证明：∀a∈A必有i使得a∈A i，由定义知aRa，故R自反。

∀a,b∈A，若aRb ，则a,b∈A i，即b,a∈A i，所以bRa，故R对称。

∀a,b,c∈A，若aRb 且bRc，则a,b∈A i及b,c∈A j。

因为i≠j时A i∩A j=Φ，故i=j，即a,b,c∈A i，所以aRc，故R传递。

总之R是A上的等价关系。

七、若f:A→B是双射，则f-1:B→A是双射（15分）。

证明:对任意的x∈A，因为f是从A到B的函数，故存在y∈B，使<x,y>∈f，<y,x>∈f-1。

所以,f-1是满射。

对任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得<y1,x>∈f-1且<y2,x>∈f-1,则有<x,y1>∈f且<x,y2>∈f。

因为f是函数，则y1=y2。

所以，f-1是单射。

因此f-1是双射。

一、 选择题.(每小题2分，总计30) 1. 给定语句如下： （1）15是素数（质数） （2）10能被2整除，3是偶数。

（3）你下午有会吗？若无会，请到我这儿来！ （4）2x+3>0.（5）只有4是偶数，3才能被2整除。

(6)明年5月1日是晴天。

以上6个语句中，是简单命题的为（A ）,是复合命题的为（B ）,是真命题的为（C ）,是假命题的是（D ）,真值待定的命题是（E ）A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)（6） B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5) C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题 ③（5） D: ①(1)(2) ②无假命题 ③(1)(2)(4)(5) E: ①(4)(6) ②（6） ③ 无真值待定的命题 2. 将下列语句符号化：（1）4是偶数或是奇数。

（A ）设p ：4是偶数，q ：4是奇数（2）只有王荣努力学习，她才能取得好成绩。

（B ）设p ：王荣努力学习，q ：王荣取得好成绩 （3）每列火车都比某些汽车快。

（C ）设F(x):x 是火车，G(y):y 是汽车，H(x,y):x 比y 快。

A: ① p ∨q ② p ∧q ③ p →q B: ① p →q ② q →p ③ p ∧qC: ①∀x ∃y ((F(x) ∧G(y)) → (H(x,y))②∀x (F(x) →∃y (G(y)∧H(x,y)))③∀x (F(x) ∧∃y (G(y)∧H(x,y))) 3. 设S={1,2,3},下图给出了S 上的5个关系,则它们只具有以下性质:R 1是（A ）,R 2是(B),R 3是(C)。

A B C:①自反的，对称的，传递的 ②反自反的，对称的 ③自反的反对称的 ⑤对称的 ⑥自反的，对称的，反对称的，传递的 4. 设S={Ф，{1}，{1，2}}，则有（1）（A ）∈S （2） (B)⊆S（3） P(S)有（C ）个元数。

（4）（D ）既是S 的元素，又是S 的子集 A: ① {1,2} ② 1 B: ③{{1,2}} ④{1} C: ⑤ 3 ⑥ 6 ⑦ 7 ⑧ 8 D: ⑨ {1} ⑩Ф二、证明（本大题共2小题，第1小题10分，第2小题10分，总计20分） 1、用等值演算算法证明等值式 (p ∧q)∨(p ∧⌝q)⇔p 2、构造下面命题推理的证明如果今天是星期三，那么我有一次英语或数学测验；如果数学老师有事，那么没有数学测验；今天是星期三且数学老师有事，所以我有一次英语测验。

三、计算（本大题共4小题，第1小题5分，第2小题10分，第3小题15分， 总计30分） 1、设()(){}212,，，个体域为为，整除为<x x Q y x y x P，求公式：()()()()()x Q y x P y x →∃∀,的真值。

2、设集合{}A A ,4,3,2,1=上的关系 {}4,,3,2,1,22,11,1=R ，求出它的自反闭包，对称闭包和传递闭包。

3、设{},24,12,8,4,2,1=A 上的整除关系{}212121,,,a a A a a a a R 整除∈=，R 是否为A 上的偏序关系？若是，则：1、画出R 的哈斯图；（10分）2、求它的极小元，最大元，极大元，最大元。

（5分） 四、用推导法求公式()()p q p →→的主析取范式和主合取范式。

（本大题10分）答案： 一、 选择题1. A:③ B: ③ C:③ D:① E:②2.A:① B: ② C:②3.A:③ B: ④ C:⑥4.A:① B: ③ C:⑧ D:⑩ 二、证明题1. 证明 左边⇔（(p ∧q)∨p ）∧（(p ∧q)∨⌝q)） （分配律） ⇔ p ∧（(p ∧q)∨⌝q)） (吸收律) ⇔ p ∧（(p ∨⌝q) ∧ (q ∨⌝q)） （分配律） ⇔ p ∧（(p ∨⌝q)∧1） （排中律） ⇔ p ∧ (p ∨⌝q) （同一律） ⇔ p （吸收律）2.解：p ：今天是星期三。