极坐标与参数方程,不等式选讲典型例题+详细答案
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲(理科专用)(讲)(解析版)
（2）由（1）可设C的参数方程为
x
y
cos , 2sin
（
为参数，
π
π
）．
C上的点到 l 的距离为 | 2 cos 2
3
sin
11 |
4 cos
π 3
11
．
7
7
当
2π 3
时， 4 cos
π 3
11取得最小值7，故C上的点到
l
距离的最小值为
7．
【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值
直线 l 过点 A(4, 0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
=
3
时，求
0
及
l
的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
【答案】（1） 0 2
3
，l
的极坐标方程为
cos
3
2
；（2）
4
cos ,
4
,
2
．
【解析】（1）因为
【答案】（1） x2 y2 1(x 1) ； l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ；（2） 7 ． 4
【解析】（1）因为
1
1 1
t t
2 2
1，且 x2
y 2
2
1 1
t2 t2
2
4t2 1 t2
2
1，
所以C的直角坐标方程为 x2 y2 1(x 1) ． l 的直角坐标方程为 2x 3y 11 0 ．
a2 b2 c2 ab bc ca ab bc ca 1 1 1 ．所以 1 1 1 a2 b2 c2 ．
极坐标和参数方程的典型例题
极坐标和参数方程的典型例题在数学中，极坐标和参数方程是研究平面曲线的重要工具。
极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点位置的坐标系统，而参数方程则是用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
在本文中，我们将通过一些典型例题来探讨如何使用极坐标和参数方程解决问题。
例题一：极坐标下的圆首先让我们考虑一个非常简单的例子，即极坐标下的圆。
圆的极坐标方程为：$$ \\begin{cases} r = a \\\\ \\theta \\in [0, 2\\pi) \\end{cases} $$其中，r表示极径，a表示圆的半径，$\\theta$表示极角。
这个方程说明了圆上的每个点都满足极径等于半径a，并且极角可以在0到$2\\pi$之间取值。
例题二：参数方程下的抛物线接下来，我们考虑一个使用参数方程描述的曲线：抛物线。
抛物线的参数方程为：$$ \\begin{cases} x = at^2 \\\\ y = 2at \\end{cases} $$其中，a为常数，t为参数。
根据这个参数方程，我们可以看到x和y都是t的二次函数。
这个参数方程给出了抛物线上的每个点的坐标。
例题三：极坐标和参数方程的转换有时候，我们需要在极坐标和参数方程之间进行转换。
下面的例题将展示如何将一个极坐标方程转换为参数方程。
考虑极坐标方程：$$ \\begin{cases} r = 2\\cos\\theta \\\\ \\theta \\in [0, \\pi] \\end{cases} $$我们可以使用三角恒等式来将这个极坐标方程转换为参数方程。
首先，我们注意到r是$\\theta$的函数，而x和y是r的函数。
根据极坐标和直角坐标之间的关系，我们有下面的关系式：$$ \\begin{cases} x = r\\cos\\theta \\\\ y = r\\sin\\theta \\end{cases} $$将极坐标方程中的r代入上述关系式，我们得到参数方程：$$ \\begin{cases} x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta) = 2\\cos^2(\\theta) \\\\y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta) = \\sin(2\\theta) \\end{cases} $$ 通过这个转换，我们将极坐标方程转换为了参数方程。
初中数学 极坐标与参数方程、不等式选讲(含答案)
专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．【答案】（1）221(1)4y x x +=≠-；l的直角坐标方程为2110x ++=；（2．【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()22222222141211y t t x t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+， 所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-．l的直角坐标方程为2110x +=．（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππα-<<）．C 上的点到lπ4cos 11α⎛⎫-+ ⎪=当2π3α=-时，π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7，故C 上的点到l． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题． 2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（12）2．【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，4π），B，2π）， 由余弦定理，得AB（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c ++≤++．（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（2）4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π．【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos 23OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，经检验，点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．5. 【2018年理数全国卷II 】设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．一、考向分析：二、考向讲解考查内容解 题 技 巧(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．坐标系与参数方程坐标系 参数方程直角坐标系 圆的参数方程椭圆的参数方程极坐标系 直线的参 数方程 不等式选讲绝对值不等式不等式证明的基本方法绝对值不等 式的解法比较法综合法 分析法 绝对值三 角不等式柯西不 等式极坐标与参数方程注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．（5）已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝x0＋t cosα，y＝y0＋t sinα(t为参数)。
极坐标与参数方程题目答案
极坐标与参数方程题目答案问题一：将极坐标方程$r = 2\\sin\\theta$转换为参数方程。
解答：我们将极坐标方程$r = 2\\sin\\theta$转化为参数方程。
首先，我们知道原点到某个点的极径r由该点对应的角度$\\theta$决定。
我们可以从0到$2\\pi$范围内取$\\theta$的值，然后代入极坐标方程$r =2\\sin\\theta$，求得相应的极径r。
这样可以得到一系列的极径和角度，将它们配对就可以得到参数方程。
下面是具体步骤：1.选取角度值$\\theta$，可以将$\\theta$的取值范围设置为0到$2\\pi$。
2.将选取的角度值代入极坐标方程$r = 2\\sin\\theta$，求得相应的极径r。
3.将角度和极径配对，得到参数方程。
具体计算过程如下：import numpy as nptheta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100) # 生成0到2*pi范围的100个角度值r = 2 * np.sin(theta) # 计算相应的极径# 输出结果for i in range(len(theta)):print(f'({r[i] * np.cos(theta[i])}, {r[i] * np.sin(theta[i])})')上述代码使用了Python中的NumPy库，通过linspace函数生成0到$2\\pi$范围内的100个角度值。
然后，通过数组运算将这些角度值代入$r =2\\sin\\theta$得到相应的极径。
最后，我们将得到的极径和角度转换成直角坐标系下的坐标，即$(r\\cos\\theta, r\\sin\\theta)$。
通过遍历极径和角度数组，将计算得到的对应直角坐标系下的坐标输出。
问题二：将参数方程$x = \\cos t$，$y = \\sin t$转换为极坐标方程。
解答：我们将参数方程$x = \\cos t$，$y = \\sin t$转换为极坐标方程。
极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)
压轴题12极坐标与参数方程和不等式选讲压轴题题型/考向一：极坐标与参数方程题型/考向二：不等式选讲○热○点○题○型一极坐标与参数方程1.极坐标系：极径OM =ρ,即M 点与极点O 间的距离极角=θ∠XOM ，即以极轴OX 为始边，OM 为终边的角2．极坐标与直角坐标的互化例如()1-3-,，则()()33=3-1-=2=1-+3-=22θρtan ,又()1-3-, 在第三象限，所以πθ34=，⎪⎭⎫⎝⎛342∴π,3．常见曲线的极坐标方程4．常见曲线的参数方程①圆222()()x a y b r -+-=的参数方程是：cos sin ()x a r y b r θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数②椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是：cos ,()sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数③过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数5：直线的标准参数方程中t的几何意义过定点00(,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为：00cos ,()sin x x t t y y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数00(,)P x y 点所对应的参数为0t =0，记直线l 与任意曲线相交于,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，则①线段AB 的中点O 所对应的参数为t =2+21t t ，如果线段AB 的中点恰好是P ,则有0=+21t t ②12AB t t =-=，③1212121212,0t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅>⎪+=+=⎨-=⋅<⎪⎩，④1212121212,00t t t t PA PB t t t t t t ⎧+⋅<⎪-=-=⎨-=⋅>⎪⎩⑤1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅注：①将直线的参数方程代入曲线的方程得到关于t 的二次方程，则由韦达定理得出：abt t -=+21、ac t t =216、直线一般式：过定点00(,)P x y 斜率αtan =k =ab的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)①若1=+22b a ,即为标准式，此时参数t 具备几何意义②若1≠+22b a ，参数t 不具备标准式中t 的几何意义.标准式与一般式的联系与互化：直线的普通参数方程⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00(t 为参数)化为直线的标准参数方程的方法是将直线的方向向量化为直线的单位向量，即是化为参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=220220t b a b y y t b a a x x (t 为参数)7、经过极点或原点的三种直线方程：①普通方程：②极坐标方程：③参数方程：1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为41,535x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），抛物线C的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．(1)求直线l 和抛物线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 被抛物线C 截得的弦长.2．在平面直角标系xOy 中，曲M 的参数方程为2sin y α⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求曲线M 的普通方程；(2)若D 为曲线M 上一动点，求D 到l 距离的取值范围．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为y α=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(1)求直线l 的一般方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线l 与x 轴相交于点P ，求PA PB ⋅的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin y ϕ⎨=+⎩（其中ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l πcos 44θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上的一动点，求PAB 面积的最大值．5．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0M ，且倾斜角为π4，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的参数方程是为2cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ参数）．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)已知曲线C 与直线l 相交于A ，B 两点，则AB 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin cos sin x y αααα=-⎧⎨=+⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos 6ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)P 为l 上一点，过P 作曲线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若3APB π∠≥，求点P 横坐标的取值范围．1sin ,2APO ∴∠≥∴在Rt OAP △中，||2||22OP OA ∴≤=,22(323)22x x ∴+-≤,两边平方得解得353522x -+≤≤,3⎡-2240x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 于两点A ，B ，求AOB ∠的大小.直线l 的参数方程为1cos ,1sin .x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.(1)若π4ϕ=，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)过点()0,3P -向直线l 作垂线，垂足为Q ，说明点Q 的轨迹为何种曲线.9．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1sin y ϕ⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=．(1)求曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的直角坐标方程；(2)直线l ：()6πθρ=∈R 与曲线1C ，2C 分别交于M 、N 两点（异于极点O ），P 为2C 上的动点，求△PMN 面积的最大值．y =⎪⎩极点，x 轴为正半轴建立极坐标，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 2sin 4ρθρθ+=，其右焦点为F ，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.(1)求||||FA FB +的值；(2)若点P 是椭圆上任意一点，求PAB 的面积最大值.83○热○点○题○型二不等式选讲【考点1】基本不等式基本不等式的常见结论：（1）222a b ab +≥（,a b R ∈），当且仅当a b =时，等号成立；（2）2a b ab +≥（,0a b >），当且仅当a b =时，等号成立；（3）33a b c abc ++≥a b c ==时，等号成立（4）2b a a b+≥（,a b 同号，a b =时取等号。
极坐标与参数方程大题及答案
极坐标与参数方程大题及答案一、极坐标问题1.求解方程$r = 2\\cos(\\theta)$的直角坐标方程。
首先，根据极坐标到直角坐标的转换公式：$$x = r\\cos(\\theta)$$$$y = r\\sin(\\theta)$$将$r = 2\\cos(\\theta)$代入上述两式，得到：$$x = 2\\cos(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = 2\\cos^2(\\theta)$$$$y = 2\\cos(\\theta)\\sin(\\theta)$$2.将直角坐标方程x2+y2−4x=0转换为极坐标方程。
首先，我们可以将直角坐标方程中的x2和y2替换成r2，从而得到：r2+y2−4x=0然后，将直角坐标方程中的x和y替换成$r\\cos(\\theta)$和$r\\sin(\\theta)$，得到：$$r^2 + (r\\sin(\\theta))^2 - 4(r\\cos(\\theta)) = 0$$将上述方程化简，得到极坐标方程为：$$r^2 + r^2\\sin^2(\\theta) - 4r\\cos(\\theta) = 0$$3.将极坐标方程$r = \\sin(\\theta)$转换为直角坐标方程。
使用极坐标到直角坐标的转换公式，将$r = \\sin(\\theta)$代入，得到：$$x = \\sin(\\theta)\\cos(\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$化简上述两个式子，得到直角坐标方程为：$$x = \\frac{1}{2}\\sin(2\\theta)$$$$y = \\sin^2(\\theta)$$二、参数方程问题1.求解方程$\\frac{x + y}{x - y} = 2$的参数方程。
2021年高考数学经典例题 专题十一 坐标系参数方程与不等式选讲(含解析)
专题十一 坐标系参数方程与不等式选讲一、解答题1．在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）． （1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标． 【答案】（1）1242ρρ==，（2）)4π【解析】(1)将A,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果. 【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，11cos2,43πρρ=∴=，因为点B为直线6πθ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y+-=，由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应的点为())0,0,，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，5[0,2),,44ππθπθ∈∴=，当4πθ=时ρ= 当54πθ=时0ρ=-，舍；即所求交点坐标为当),4π2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩，(t 为参数且t ≠1)，C 与坐标轴交于A ，B 两点. （1）求|AB |：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程. 【答案】（1）（2）3cos sin 120ρθρθ-+= 【解析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则26412y =++=，即(0,12)A . 令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.AB ∴==（2）由（1）可知12030(4)AB k -==--，则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.3．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44. 【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t =为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解. 【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin tt t=为参数）， 两式相加得曲线1C1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤， 曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=， 曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.4．已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）()1:404C x y x +=≤≤；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程. 【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：()404x y x +=≤≤；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t ty t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=. （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其中0a >，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=.5．已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 12ρθρθ-=. （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若点P 为直线l 上的动点，点Q 是曲线C 上的动点，求PQ 的最小值.【答案】（1）C 的普通方程是2214x y +=，l 的直角坐标方程是23120x y --=；（2【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=可将曲线C 的参数方程化为普通方程，利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出直线l 的直角坐标方程；（2）设点()2cos ,sin Q θθ，利用点到直线的距离公式、辅助角公式以及余弦函数的有界性可求得PQ 的最小值. 【详解】（1）由2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩得，2222cos sin 12x y θθ⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭，即2214x y +=，故曲线C 的普通方程是2214x y +=.由2cos 3sin 12ρθρθ-=及公式cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩，得2312x y -=，故直线l 的直角坐标方程是23120x y --=；（2）直线l 的普通方程为23120x y --=，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），设()2cos ,sin Q θθ，点Q 到直线23120x y --=距离为d =125cos θϕ-+==（其中3tan 4ϕ=），当()cos 1θϕ+=时，min 13d =min 13PQ =. 6．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的方程为2cos sin 10ρθρθ-+=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知点()0,1P ，曲线2C 和曲线1C 交于A ，B 两点，求||||PA PB ⋅的值.【答案】（1）1C 的普通方程为：224y x -=，2C 的直角坐标方程为：210x y -+=；（2）5. 【解析】（1）由极坐标与直角的互化公式，求得曲线2C 的直角坐标方程，再由曲线1C 的参数方程，消去参数，即可得到曲线1C 的普通方程；（2）由点()0,1P 在直线l 上，得出曲线2C的一个参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线1C ，利用根与系数的关系，结合参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）曲线1C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数得224y x -=， 故曲线1C 的普通方程为：224y x -=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线2C 的直角坐标方程为：210x y -+=；（2）由（1）得曲线2C的参数方程为15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代人1C的方程得2214⎛⎫⎫-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得23150t +-=，设A ，B 两点所对应的参数分别为12t t ，，所以0∆>，125t t =-，∴由参数t 的几何意义知12||||5PA PB t t ⋅==.7．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin cos m ρθθ=+.（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 交于P ，Q 两点，求证：11OQOP k k +为定值.【答案】（1）1C 的普通方程为212x y =，2C 的直角坐标方程为40x my +-=；（2）证明见解析. 【解析】（1）消去参数t 后，得到曲线1C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式sin x ρθ=，sin y ρθ=，求曲线2C 的直角坐标方程；（2）首先判断2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率，再将曲线2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=， 转化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示11OQOP k k +.【详解】（1）解：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，消去参数t ，得212x y =，即1C 的普通方程为212x y =. 由4sin cos m ρθθ=+，得sin cos 4m ρθρθ+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得40x my +-=， ∴2C 的直角坐标方程为40x my +-=.（2）证明：由2,2,x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)，得()20y t x x=≠，故2t 的几何意义是抛物线212x y =上的点(除原点外)与原点连线的斜率.由（1）知，当0m =时，2C ：4x =，则1C 与2C 只有一个交点，不合题意，故0m ≠.把2,2,x t y t =⎧⎨=⎩代入40x my +-=， 得2240mt t +-=，设P ，Q 两点所对应的参数分别为1t ，2t ， 则1212t t m +=-，122t t m⋅=-，∴1212121111112222282OP OQ t t m k k t t t t m -++=+===⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 8．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l3cos 14πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;（2）已知点M 的直角坐标为()0,1，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求MA MB +的值.【答案】（1）222x y +=，4π；（2【解析】（1）根据参数方程与普通方程的转化可得曲线C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的转化可得直线l 的直角坐标方程，即可得直线的倾斜角；（2）将直线l 的直角坐标方程化为标准参数方程，联立椭圆方程，结合参数方程的几何意义即可求解. 【详解】（1）曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，则有cos sin αα==，则2222cos sin 122x y αα+=+=，即曲线C 的普通方程为222x y +=.直线l3cos 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭33cos cos sin sin 144ππρθρθ⎫+=⎪⎭， 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩1y x ⎫=⎪⎪⎭，即1y x -=，即10x y -+=， 所以斜率1k =，则tan 1θ=， 由[)0,θπ∈，可得4πθ=，所以直线l 的倾斜角为4π.（2）由（1）知，点()0,1M 在直线:10l x y -+=上，则直线l的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，得221222⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得：210t +-=，设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12121t t t t +==-. 所以1212MA MB t t t t +=+=-===【点睛】方法点睛：本题考查了参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程几何意义求线段关系，利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是： （1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程； （2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ；（3）利用弦长公式12AB t t =-=.9．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的参数方程为sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），直线2C 的极坐标方程为π6θ=-．（1）将1C 的参数方程化为普通方程，2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求与直线2C 平行且与曲线1C 相切的直线l 的直角坐标方程．【答案】（1）212y x =-()30,0y x +=≥；（2）2524y x =+.【解析】（1）将sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩转化为2sin ,12sin ,x y αα=⎧⎨=-⎩消去α求解； （2）设切线方程为33y xb ，联立212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，由0∆=求解. 【详解】（1）因为曲线1C 的参数方程为sin ,cos 2,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），所以2sin ,12sin ,x y αα=⎧⎨=-⎩消去α得212y x =-.因为直线2C 的极坐标方程为π6θ=-，所以πsin tan tan 6cos ρθθρθ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，即3yx =-()30,0y x +=≥. （2）设切线方程为33yx b，由212y x b y x ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，得22103x x b -+-=，所以()28103b ⎛∆=--⨯-= ⎝⎭，解得2524b =，所以切线方程是2524y x =+， 10．在花语中，四叶草象征幸运.已知在极坐标系下，方程2sin 2ρθ=对应的曲线如图所示，我们把这条曲线形象地称为“四叶草”.（1）当“四叶草”中的π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求以极点为圆心的单位圆与“四叶草”交点的极坐标；（2）已知A 为“四叶草”上的点，求点A 到直线π:sin 34l ρθ⎫⎛+= ⎪⎝⎭距离的最小值以及此时点A 的极坐标.【答案】（1）π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭和5π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭；（2）最小值为1，π2,4A ⎫⎛⎪⎝⎭.【解析】（1）直接利用单位圆1ρ=与方程2sin 2ρθ=联立即可求解；（2）将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，观察发现点π2,4A ⎫⎛ ⎪⎝⎭到直线l 的距离即为最小值 【详解】（1）以极点为圆心的单位圆的极坐标方程为：1ρ=，所以联立12sin 2ρρθ=⎧⎨=⎩，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得π12θ=或5π12θ=，所以所求交点的极坐标为π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭和5π1,12⎫⎛ ⎪⎝⎭.（2）直线π:sin 34l ρθ⎫⎛+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为x y +=“四叶草”2sin 2ρθ=极径的最大值为2，且可于点π2,4A ⎫⎛ ⎪⎝⎭处取得，连接OA且与直线x y +=π3,4M ⎫⎛ ⎪⎝⎭， 所以点A 与点M 的距离的最小值为1.11．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），点P 的坐标为()0m ,． （1）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（2）若直线l：12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，若2PA PB ⋅≥，求26m m-的取值范围．【答案】（1）6cos ρθ=；（2）[][)9,22,3--⋃． 【解析】（1）先消去参数得到C 的直角坐标方程，再利用cos ,sin x y ρθρθ==代入即得 C 的极坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到关于t 的二次方程，再根据判别式大于零和122PA PB t t ⋅=≥，即解得 26m m -的取值范围. 【详解】解：（1）因为C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（ α为参数），所以C 的直角坐标方程为()2239x y -+=，即 226x y x +=，故C 的极坐标方程为6cos ρθ=；（2）将直线l：12x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（ t 为参数）代入226x y x +=，可得：()22360t m t m m +-+-=，则 ()()223460m m m ∆=--->，即263m m -<，因为21262PA PB t t m m ⋅==-≥，所以 2962m m -≤-≤-或2263m m ≤-<，故26m m -的取值范围为[][)9,22,3--⋃．12．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos sin k kx ty t⎧=⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin 120ρθρθ--=． （1）当2k =时，求出1C 的普通方程，并说明该曲线的图形形状．（2）当1k =时，P 是曲线1C 上一点，Q 是曲线2C 上一点，求PQ 的最小值． 【答案】（1）22,02x y x +=≤≤，是以(2,0)A ，(0,1)B 为端点的线段；（2【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当1k =时，曲线得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可求解. 【详解】（1）当2k =时，消t 得22,0,0x y x y +=≥≥， 是以(2,0)A ，(0,1)B 为端点的线段．（2）当1k =时，曲线1C 的普通方程为椭圆：2214x y +=；由cos ,sin x y ρθρθ==得曲线2C 的普通方程为直线：23120x y --=；由221423120x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩得272128250y y ++=，2518412807210080120=-∆-⨯<=，可知直线与椭圆相离，则PQ 的最小值为P 到直线的距离最小值，则d ===，当sin()1t ϕ-=时，．13．（Ⅰ）求21234x +x --<的解集M ；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设a ，b ，c M ∈，证明：(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不能都大于1．【答案】（Ⅰ）{|02}x x <<；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）讨论12x <、1322x ≤≤、32x >分别求得解集，取并即为所求解集M .（Ⅱ）根据基本不等式有0(2)1a a <-≤，0(2)1b b <-≤，0(2)1c c <-≤，结合反证法即可证明结论. 【详解】（Ⅰ）由题设，13222x +x --<， ∴当12x <时，1322222x x x -+-=-<，得102x <<；当1322x ≤≤时，131222x x -+-=<恒成立； 当32x >时，1322222x x x -+-=-<，得322x <<； ∴综上，得{|02}M x x =<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a ，b ，(0,2)c ∈， ∴220(2)()12a a a a -+<-≤=，220(2)()12b b b b -+<-≤=，220(2)()12c c c c -+<-≤=，其中等号成立的条件为,,1a b c =.∴0(2)(2)(2)1a b b c c a <-⋅⋅-⋅⋅-⋅≤，假设(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -都大于1，即(2)(2)(2)1a b b c c a -⋅⋅-⋅⋅-⋅>显然与结论矛盾. ∴(2)a b -，(2)b c -，(2)c a -不能都大于1，得证. 14．已知()|2||1|f x x x =+-- （Ⅰ）解不等式()f x x ≤； （Ⅱ）设()f x 的最大值为t ，如果正实数m ，n 满足2m n t +=，求21m n+的最小值. 【答案】（Ⅰ）[3,1][3,)--⋃+∞；（Ⅱ）83. 【解析】（Ⅰ）利用零点分解法解不等式即可.（Ⅱ）去绝对值，写出分段函数()f x 的解析式，根据函数的单调性求出函数的最大值3t =，从而可得23m n +=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）()|2||1|f x x x =+--①当2x -≤时，()2(1)3f x x x x =--+-=-≤，3x ∴≥-，2x ≤-，32x ∴-≤≤- ②当21x -<<时，()2(1)21f x x x x x =++-=+≤，21x ∴-<≤-； ③当1≥x 时，()2(1)3f x x x x =+--=≤，Q 3x ≥ 综上知不等式()f x x ≤的解集为[3,1][3,)--⋃+∞.（Ⅱ）由已知，3,2()21,213,1x f x x x x -≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，在(2,1)-是增函数，所以max ()3f x =，23∴+=m n ，0m >，0n >则21121(2)3m n m n m n ⎫⎛+=⋅++ ⎪⎝⎭141844333n m m n ⎛⎫⎛=++≥⨯+= ⎪⎝⎭⎝. 当且仅当4n mm n =，即224=m n ，即322m n ==，34n =时，21m n +取得最小值83.15．已知函数()|33||2|f x x x =+++. （1）求不等式()10f x >的解集；（2）若方程()34f x a =-有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭；（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）分2x <-，21x -≤≤-，1x >-三种情况求解即可得答案.（2）结合(1)的结论首先确定函数()f x 的最小值，再解()min 34a f x -≥即可得答案. 【详解】（1）依题意，|33||2|10x x +++>.当2x <-时，33210x x ---->，解得154x <-； 当21x -≤≤-时，33210x x --++>，解得112x <-，无解；当1x >-时，33210x x +++>，则54x >，故54x >；故不等式()10f x >的解集为155,,44⎫⎫⎛⎛-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭. （2）依题意，()|33||2|f x x x =+++45,221,2145,1x x x x x x --<-⎧⎪=---≤≤-⎨⎪+>-⎩，由一次函数的性质知，()f x 在(],1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增， 所以()min ()11f x f =-=，即()f x 的值域为[1,)+∞， 因为方程()34f x a =-有实数解， 所以341a -≥，解得12a ≤，故实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 16．已知函数()|1||24|f x x x =++-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若存在x ∈R ，使不等式2()3|2|2f x x t t --≥-成立，求t 的取值范围. 【答案】（1）[]1,3-；（2）[]1,3-. 【解析】（1）分1,12,2x x x ≤--<<≥三种情况去掉绝对值后解不等式()6f x ≤即可；（2）令()()321|2|h x f x x x x =--=+--，求出其最大值，然后使其最大值大于等于22t t -，解关于t 的不等式即可得答案 【详解】（1）|1||24|6x x ++-≤，1(1)(24)6x x x ≤-⎧∴⎨-+--≤⎩或12(1)(24)6x x x -<<⎧⎨+--≤⎩或2(1)(24)6x x x ≥⎧⎨++-≤⎩ 解得11x x ≤-⎧⎨≥-⎩或121x x -<<⎧⎨≥-⎩或23x x ≥⎧⎨≤⎩ 1x ∴=-或12x -<<或23x ≤≤ 13x ∴-≤≤∴原不等式的解集为[]1,3-（2）令()()321|2|h x f x x x x =--=+--则3,1()21,123,2x h x x x x -≤-⎧⎪=--<<⎨⎪≥⎩max ()3h x ∴=，存在x ∈R ，使得2()3|2|2f x x t t --≥-成立，232t t ∴≥-，13t ∴-≤≤故满足条件的t 的取值范围为[]1,3-17．已知()()220f x x m x m m =--+>的最小值为52-． （1）求m 的值；（2）已知0,0a b >>，且22a b m +=，求证：331b a a b+≥．【答案】（1）1m =；（2）证明见解析； 【解析】（1）去绝对值变成分段函数，根据分段函数的单调性可求出()f x 的最小值，与已知最小值相等列式可求出；（2）利用分析法结合基本不等式即可证明．【详解】解：（1）3,2()223,223,2x m x m m f x x m x m x m m x m x m x ⎧⎪-+-⎪⎪=--+=---<<⎨⎪⎪-⎪⎩，()0m > ()f x ∴在区间(-∞，]2m上单调递减，在区间[2m，)+∞上单调递增， 5()()3222min m m f x f m ∴==-=-，1m ∴=；（2）由（1）0a >，0b >，且221a b +=，要证331b a a b+， 只要证44b a ab +， 即证22222()2a b a b ab +-，即证22210a b ab +-， 即证(21)(1)0ab ab -+，即证21ab ， 即证222ab a b +，显然2212a b ab =+，当且仅当a b ==时取等号．∴331b a a b+．18．数()1f x x x =-+.（1）求不等式()5f x ≥的解集;（2）已知函数()f x 的最小值为t ，正实数,,a b c 满足22,a b c t ++=证明:112.a c b c+≥++ 【答案】（1）(][,3)2,-∞-⋃+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）解含绝对值的不等式，先要去掉绝对值号，将函数写为分段函数，然后再在各个区间求解，取并集.（2）求出函数的最小值，即1,t =得出()()22a b c a c b c ++=+++=，结合所要证明的不等式，联想到基本不等式进行求解. 【详解】(1)解:由题可得()12,011,0121,1x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+=<<⎨⎪-≥⎩，所以()5,f x ≥即0125x x ≤⎧⎨-≥⎩或1115x <<⎧⎨≥⎩或1215x x ≥⎧⎨-≥⎩解得2x -≤或3,x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为(][,3)2,-∞-⋃+∞.()2证明:()111f x x x x x =-+≥--=，则1,t =则()()22a b c a c b c ++=+++=，故()()1111112222b c a c a c b c a c b c a c b c a c b c ++⎛⎫⎛⎫+=++++=++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭当且仅当1a c b c +=+=时取等号. 【点睛】（1）解双绝对值不等式的办法通常利用分段函数，在不同区间上求解，最后取并集. （2）利用a b a b a b -≤±≤+求出最小值，即1,t =特别要结合所证明的不等式的特点来进行变形，以应用基本不等式解决问题，抓住特点是核心.19．已知函数()216f x x a x =+-+-（1）当0a =时，解不等式()12f x >（2）记集合(){}20M x f x b =-=，若存在a R ∈使M ，求实数b 的取值范围.【答案】（1）5{|2x x <-或19}2x >；（2）5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】（1）根据绝对值的定义分类讨论解不等式；（2）由绝对值三角不等式()f x 的最小值，得()f x 值域，2b 属于这个值域，从而得()2min25b a ≥+，解之可得结论．【详解】解:（1）当0a =时有1612x x -->+; 当1x <时，1612,x x -+->则52x <-，故52x <-；当16x ≤≤时，1612x x -+->. 则512>.无解﹔当6x >时，1612,x x -+->则192x >. 故192x >． 故不等式()12f x >的解集为5{|2x x <-或19}2x > （2）()()222||16165x f x x a x a x a +-≥=+-+---=+ 当且仅当()()2160x a x +--≤时取等号.则可知()2min 5f x a =+.即()f x 的值域为)25,a ⎡++∞⎣，因为存在a R ∈使M.故()2min 255b a ≥+=.则故实数b 的取值范围为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 20．已知函数()3533f x x x =-++． （1）求不等式()40f x <的解集；（2）若不等式2()2log f x m m >+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）19,73⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）()0,4． 【解析】（1）利用零点分段法，解不等式组即可得到结果.（2）由绝对值三角不等式可得35338x x -++≥，从而得到22log 8m m +<，然后解不等式可得m 的范围． 【详解】（1）()353340f x x x =-++<，∴536240x x ⎧≥⎪⎨⎪-<⎩ 或513840x ⎧-<<⎪⎨⎪<⎩ 或16240x x ≤-⎧⎨-+<⎩ ，解得：1973x -<<， 不等式()40f x <的解集为19,73⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）因为()()()353335338f x x x x x =-++≥--+=，当513x -≤≤时可取到等号，所以22log 8m m +<，令()22log g m m m =+，则()g m 为()0,∞+上的增函数，且()48g =， 所以04m <<，故m 的取值范围为()0,4．21．已知函数f (x )=|x -2|+|x +1|.（1）解不等式f (x )>x +2；（2）记f (x )的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a +b +c =m ，222.3a b c ++【答案】（1）()(),13,-∞⋃+∞；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用“零点分段法”，分为2x，12x -<<，1x -三种情形，解不等式即可；（2）根据绝对值三角不等式求出m 的值，可得()333333()3a b c a b c a b c ++++++=，由柯西不等式可得结果. 【详解】 （1）当2x时，()21212f x x x x x =-++=->+，解得3x >，所以3x >；当12x -<<时，()2132,f x x x x =-++=>+解得1,x <所以11;x -<< 当1x -时，()21122,f x x x x x =---=->+解得1,3x <-所以 1.x - 综上，1x <或3,x >故不等式的解集是()(),13,-∞⋃+∞. （2）因为()21213,x x x x -++--+=当且仅当()()210x x -+时等号成立，所以 3.m =()222222333111222222333333()33a b c a b c a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦++==()2313131222222222233a ab bc c a b c ⎛⎫⋅+⋅+⋅ ⎪++⎝⎭=当且仅当333222111222,a b c abc==即a b c ==时等号成立，32223a b c ++.22．已知函数()|2||1|f x x a x =--+.（1）当2a =时，求不等式()1f x <的解集；（2）若0a >，不等式()20f x +>恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()0,4；（2）()0,2. 【解析】（1）当2a =时，求得函数()f x 的解析式，分类讨论，即可求解；（2）当0a >，化简函数()f x 的解析式，利用一次函数的性质，求得min 12a f =--，结合题意列出不等式，即可求解. 【详解】（1）当2a =时，函数()3,122113,113,1x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪-+≤-⎩， 当1≥x 时，由()1f x <，可得31x -<，解得14x ≤<； 当11x -<<时，由()1f x <，可得131x -<，解得01x <<； 当1x <-时，由()1f x <，可得31x -<，此时解集为空集， 综上所述：不等式()1f x <的解集为()0,4.（2）若0a >，函数()1,213,121,1a x a x a f x a x x a x x ⎧--≥⎪⎪⎪=---<<⎨⎪+-≤-⎪⎪⎩由一次函数性质可知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭为减函数，在+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，为增函数， 所以min 122a a f f ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭， 因为不等式()20f x +>恒成立，即min 2f >-，即122a -->-，解得2a < 又因为0a >，所以()0,2a ∈，即实数a 的取值范围()0,2. 23．已知函数()2|||2|f x x x =+-． （1）求不等式()4f x <的解集；（2）记()f x 的最小值为M ，a ，b ，c 为正实数且3a b c M ++=，求证：2226b c aa b c++≥．【答案】（1）2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）根据函数的单调性求出()f x 的最小值2M=，则6a b c ++=，由基本不等式可得22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥，相加后化简即可. 【详解】（1）依题意得32,2()2,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩，2324x x x ≥⎧⇒∈∅⎨-<⎩,020224x x x ≤<⎧⇒≤<⎨+<⎩,0202343x x x <⎧⇒-<<⎨-<⎩, 综上可得()4f x <的解集是2|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）由32,2()2,0223,0x x f x x x x x -≥⎧⎪=+≤<⎨⎪-<⎩可知 ()f x 在(),0-∞上递减，在()0,∞+上递增，()f x 的最小值为(0)2f =，即2M =.所以6a b c ++=，由22b a b a +≥，22c b c b+≥，22a c a c +≥，相加可得()2222b c a a b c a b c a b c +++++≥++，即222612b c a a b c +++≥，2226b c a a b c++≥当且仅当2a b c ===时取等号．24．已知0a >，0b >，332a b +=，证明：(1)()()554a b a b ++≥；(2)2a b +≤.【答案】(1) 见解析(2) 见解析 【解析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a 3+b 3＝2转化为()()323a b a b +-=+ab ，再由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +，即可得到14（a +b ）3≤2，问题得以证明． 【详解】证明：（1）由柯西不等式得：553324a b a b a b ++≥+（）（）（）＝， 当且仅当ab 5＝ba 5，即a ＝b＝1时取等号； （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2，∴()()323a b a b +-=+ab ，由均值不等式可得：()()323a b a b +-=+ab ≤2()2a b +∴（a +b ）3﹣2()334a b +≤，∴14（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 25．已知,,a b c 为正数,且2a b c ++=,证明: (1)43ab bc ac ++≤； (2)2228a b cb c a---⋅⋅≥. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）将a +b +c ＝2平方，然后将基本不等式2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥三式相加，进行证明；（2）由2a b c b b b -+=≥22b a c c b a c c c a a a-+-+=≥=≥，三式相乘进行证明. 【详解】(1)将a +b +c ＝2平方得:2222224a b c ab ab ac +++++=， 由基本不等式知:2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥， 三式相加得:222a b c ab bc ac ++≥++，则2224222333a b c ab bc ac ab bc ac =+++++≥++ 所以43ab bc ac ++≤，当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立(2)由2a b c b b -+=≥22b a c c b a c c a a -+-+=≥=≥则2228a b c b c a b c a---⋅⋅≥=， 即2228a b c b c a ---⋅⋅≥当且仅当23a b c ===时等号成立 26．设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求+a b 的最小值．【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】（1）()13,,212,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞成立，因此a b +的最小值为5．27．设,,x y z R ∈，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a -≤或1a ≥-. 【答案】(1) 43；(2)见详解.【解析】(1) 22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z -++++++≥-++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥等号成立当且仅当111x y z -=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩时等号成立所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43. (2)因为2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a -+-+-++≥.根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a -=-=-，即22321323a x a y a z a +⎧=-⎪⎪+⎪=-⎨⎪+⎪=-⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a -+-+-++=-+-+-=+成立.所以2(2)1a +≥成立，所以有3a -≤或1a ≥-.28．已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明：（1）222111a b c a b c++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥（2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥，b c +≥，a c +≥a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯=又1abc = ()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 29．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围. 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【解析】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞. 30．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞. 【解析】（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞． 31．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.【答案】（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭． （2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥；若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2． 32．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程. 【答案】(1) 22(1)4x y ++=. (2) 423y x =-+. 【解析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=．（2）由（1）知2C 是圆心为()1,0A -，半径为2的圆．由题设知，1C 是过点()0,2B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为2，2=，故43k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．当2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43k =时，2l 与2C 没有公共点．综上，所求1C 的方程为423y x =-+．33．在极坐标系中，已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭，直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求A ，B 两点间的距离； （2）求点B 到直线l 的距离.【答案】（1 （2）2. 【解析】（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3，4π），B 2π），由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为34π．又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin()242ππ⨯-=.34．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧AB ，BC ，CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧AB ，曲线2M 是弧BC ，曲线3M 是弧CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP P 的极坐标.【答案】(1) 2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=-∈,(2) )6π,)3π,2)3π,5)6π. 【解析】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈，23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=-=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=-=-∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3π=θ或23πθ=，此时P 的极坐标为)3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ-=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π. 35．在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P .（1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程；（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤ 【解析】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，所以直线l 的直角坐标方程为4)3y x =--，即40x -=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=； （2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP yk x =-，由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.。
极坐标与参数方程例题
极坐标与参数方程例题例题1：求曲线r=2sinθ的极坐标方程对应的参数方程。
解答：我们可以将极坐标方程r=2sinθ转化为参数方程。
首先，我们需要找到x和y与r和θ之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将r=2sinθ代入上述公式中，可以得到x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
因此，曲线r=2sinθ对应的参数方程为x=2sinθ*cosθ，y=2sinθ*sinθ。
例题2：求曲线x=2cosθ，y=3sinθ的参数方程对应的极坐标方程。
解答：要将参数方程x=2cosθ，y=3sinθ转化为极坐标方程，我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
通过平方求和公式，我们有cos²θ+sin²θ=1将x=2cosθ，y=3sinθ代入上述公式中，我们可以得到(2cosθ)²+(3sinθ)²=1化简得到4cos²θ+9sin²θ=1因此，曲线x=2cosθ，y=3sinθ对应的极坐标方程为4cos²θ+9sin²θ=1例题3：已知曲线的参数方程为x=t+1，y=2t-2，求其对应的极坐标方程。
解答：我们需要找到r和θ与x和y之间的关系。
根据定义，我们有x=r*cosθ，y=r*sinθ。
将参数方程x=t+1，y=2t-2代入上述公式中，我们可以得到t+1=r*cosθ，2t-2=r*sinθ。
进一步化简可得r²=t²+2t+1+4t²-8t+4化简得5t²-6t+5=r²。
因此，参数方程x=t+1，y=2t-2对应的极坐标方程为5t²-6t+5=r²。
通过以上例题，我们可以看出极坐标与参数方程之间的转换可以通过代入关系来进行。
在已知形式的方程中，我们可以根据已知的方程形式求解出另一种形式的方程。
这种转换在解决特定问题或者在研究特定曲线时非常有用。
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极坐标与参数方程,不等式选讲典型例题+详细答案极坐标与参数方程，不等式选讲常见典型问题总结例题+详细答案一、解答题1. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）=2√2．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．2. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =a?cos?ty =1+a?sin?t （t 为参数，a ＞0）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C 3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．3. 已知直线l ：{x =5+√32ty =√3+12t（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为（5，√3），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |?|MB |的值．4. 在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为(x +6)2+y 2=25．(Ⅰ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程；(Ⅱ)直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα?(t 为参数),l 与C 交与A ,B 两点,|AB|=√10,求l的斜率．5. 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的圆心为极坐标：C （√2，π4），半径r =√3．（1）求圆C 的极坐标方程；（2）若过点P （0，1）且倾斜角α=π6的直线l 交圆C 于A ，B 两点，求|PA |2+|PB |2的值．6. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1?√22ty =4?√22t（t 为参数），再以原点为极点，以x 正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位，在该极坐标系中圆C 的方程为ρ=4sinθ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点M 的坐标为（1，4），求|MA |+|MB |的值．7. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 1和曲线C 2的极坐标方程；（2）已知射线l 1：θ=α（0＜α＜π2），将射线l 1顺时针旋转π6得到射线l 2；θ=α-π6，且射线l 1与曲线C 1交于O ，P 两点，射线l 2与曲线C 2交于O ，Q 两点，求|OP |?|OQ |的最大值．8. 已知函数f （x ）=|x -12|+|x +12|，M 为不等式f （x ）＜2的解集．（1）求M ；（2）证明：当a ，b ∈M 时，|a +b |＜|1+ab |．9. 已知函数f （x ）=|2x +3|+|2x -1|．（Ⅰ）求不等式f （x ）＜8的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤|3m +1|有解，求实数m 的取值范围．10. 已知函数f （x ）=|x +1|+|x -1|．（1）若?x 0∈R ，使得不等式f （x 0）≤m 成立，求实数m 的最小值M ；（2）在（1）的条件下，若正数a ，b 满足3a +b =M ，求1 2a +1a+b 的最小值．11. 设函数f （x ）=|x +2|-|x -1|．（1）求不等式f （x ）＞1解集；（2）若关于x 的不等式f （x ）+4≥|1-2m |有解，求实数m 的取值范围．12. 设函数f （x ）=|x -1|+|x -a |（a ∈R ）（1）当a =4时，求不等式f （x ）≥5的解集；（2）若f （x ）≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），移项后两边平方可得x 23+y 2=cos 2α+sin 2α=1，所以C 1的普通方程为x 23+y 2=1；曲线C 2的极坐标方程为ρsin （θ+π4）=2√2，即ρ（√22sinθ+√22cosθ）=2√2，由x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得x +y -4=0，即C 2的直角坐标方程为直线x +y -4=0；（2）由题意可得当直线x +y -4=0的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为|PQ |的最小值,设与直线x +y -4=0平行的直线方程为x +y +t =0，联立{x +y +t =0x 2+3y 2=3可得4x 2+6tx +3t 2-3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t 2-16（3t 2-3）=0，解得t =±2，显然t =-2时，|PQ |取得最小值，即有|PQ |=√1+1=√2，此时4x 2-12x +9=0，解得x =32，即为P （32，12）．另解：设P （√3cosα，sinα），由P 到直线的距离为d =√3cosα+sinα?4|√2|2sin(α+π3)?4|√2，当sin （α+π3）=1时，|PQ |的最小值为√2，此时可取α=π6，即有P （32，12）．2.【答案】解：（Ⅰ）由{x =acost y =1+asint ，得{x =acosty ?1=asint ，两式平方相加得，x 2+（y -1）2=a 2．∴C 1为以（0，1）为圆心，以a 为半径的圆．化为一般式：x 2+y 2-2y +1-a 2=0．①由x 2+y 2=ρ2，y =ρsinθ，得ρ2-2ρsinθ+1-a 2=0；（Ⅱ）C 2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x 2+y 2=4x ，② 即（x -2）2+y 2=4．由C 3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y =2x ，∵曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，∴y =2x 为圆C 1与C 2的公共弦所在直线方程，①-②得：4x -2y +1-a 2=0，即为C 3 ，∴1-a 2=0，∴a =1（a ＞0）．3.【答案】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，令,∴x 2+y 2=2x ，故C 的直角坐标方程为（x -1）2+y 2=1；（2）直线l ：{x =5+√32ty =√3+1（t 为参数），显然M 在直线l 上，把l 的参数方程代入（x -1）2+y 2=1可得t 2+5√3t +18=0,Δ=(5√3)24×18=3>0, ∴t 1+t 2=?5√3,t 1t 2=18, 故|MA |?|MB |=|t 1t 2|=18.4.【答案】解：（Ⅰ）∵圆C 的方程为（x +6）2+y 2=25，∴x 2+y 2+12x +11=0，∵ρ2=x 2+y 2，x =ρcosα，y =ρsinα，∴C 的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l 的参数方程是{x =tcosαy =tsinα（t 为参数），∴t =xcosα，代入y =t sinα，得：直线l 的一般方程y =x ·tanα，∵l 与C 交与A ，B 两点，|AB |=√10，圆C 的圆心C （-6，0），半径r =5，圆心到直线的距离d =√r 2?(|AB|2)2，∴圆心C （-6，0）到直线距离d =√1+tan 2α=√25?104，解得tan 2α=53，∴tanα=±√53=±√153．∴l 的斜率k =±√153．5.【答案】解：（1）∵圆C 的圆心为极坐标：C （√2，π4），∴x =√2sin π4=1，y =√2cos π4=1，∴点C 直角坐标C （1，1），∵半径r =√3，∴圆C 的直角坐标方程为（x -1）2+（y -1）2=3,由{x =ρcosθy =ρsinθ，得圆C 的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-2ρsinθ-1=0;（2）∵过点P （0，1）且倾斜角α=π6的直线l 交圆C 于A ，B 两点，∴直线l 的参数方程为{x =√3 2ty =1+12t, 把直线l 的参数方程代入圆C ：（x -1）2+（y -1）2=3，得（√32t ?1）2+（12t ）2=3，整理，得t 2?√3t ?2=0，t 1+t 2=√3，t 1t 2=-2，∴|PA |2+|PB |2=|t 1|2+|t 2|2=（t 1+t 2）2-2t 1?t 2=7.6.【答案】解：（1）圆C 的方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2-4y =0．即x 2+（y -2）2=4．（2）将直线l 的参数方程代入圆的方程，整理，得t 2-3√2t +1=0，△=18-4=14＞0，设A 、B 对应的参数为t 1，t 2，则t 1+t 2=3√2，t 1t 2=1，∴t 1，t 2均为正数，又直线l 过M （1，4），由t 的几何意义得：|MA |+|MB |=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2．7.【答案】解：（1）曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosαy =2sinα（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4，展开可得：x 2+y 2-4x =0，利用互化公式可得：ρ2-4ρcosθ=0，∴C 1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C 2的参数方程为{x =2cosβy =2+2sinβ（β为参数），消去参数可得：曲线C 2的普通方程为x 2+（y -2）2=4，展开利用互化公式可得C 2极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）设点P 极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q 极坐标为(ρ2，4sin(α?π6))，即ρ2=4sin(α?π6)．则|OP|?|OQ|=ρ1ρ2=4cosα?4sin(α?π6)=16cosα?(√32sinα?12cosα)=8sin(2α?π6)?4．∵α∈(0，π2)，∴2α?π6∈(?π6，5π6)，当2α?π6=π2，即α=π3时，|OP |?|OQ |取最大值4．8.【答案】解：（Ⅰ）当x ＜?12时，不等式f （x ）＜2可化为：12-x -x -12＜2，解得：x ＞-1，∴-1＜x ＜?12，2≤x ≤12时，不等式f （x ）＜2可化为：12-x +x +12=1＜2，此时不等式恒成立，∴?12≤x ≤12，当x ＞12时，不等式f （x ）＜2可化为：-12+x +x +12＜2，解得：x ＜1，∴12＜x ＜1，综上可得：M =（-1，1）；证明：（Ⅱ）当a ，b ∈M 时，（a 2-1）（b 2-1）＞0，即a 2b 2+1＞a 2+b 2，即a 2b 2+1+2ab ＞a 2+b 2+2ab ，即（ab +1）2＞（a +b ）2，即|a +b |＜|1+ab |．9.【答案】解：（Ⅰ）不等式f （x ）＜8，即|2x +3|+|2x -1|＜8，可化为①{x ＜?322x ?3?2x +1＜8或②{?32≤x ≤122x +3?2x +1＜8或③{x ＞122x +3+2x ?1＜8，解①得-52＜x ＜-32，解②得-32≤x ≤12，解③得12＜x ＜32，综合得：-52＜x ＜3即原不等式的解集为{x |-52＜x ＜32}．（Ⅱ）因为∵f （x ）=|2x +3|+|2x -1|≥|（2x +3）-（2x -1）|=4，当且仅当-32≤x ≤12时，等号成立，即f （x ）min =4，又不等式f （x ）≤|3m +1|有解，则|3m +1|≥4，解得：m ≤-53或m ≥1．10.【答案】解：（1）由题意，不等式|x +1|+|x -1|≤m 有解，即m ≥（|x +1|+|x -1|）min =M ．∵|x +1|+|x -1|≥|（x +1）-（x -1）|=2，当且仅当（x +1）（x -1）≤0?-1≤x ≤1时取等号，∴M =2．（2）由（1）得3a +b =2，∴12a +1a+b=12(3a +b)(12a +1a +b ) =12[2a +(a +b)](12a +1a +b=12(1+2aa+b+a+b 2a+1)≥12(2+2√1)=2, 当且仅当2aa+b =a+b 2aa =b =12时取等号，故(12a +1a+b )min =2．11.【答案】解：（1）函数f （x ）=|x +2|-|x -1|表示数轴上的x 对应点到-2对应点的距离减去它到1对应点的距离，而0对应点到-2对应点的距离减去它到1对应点的距离正好等于1，故不等式f （x ）＞1解集为{x |x ＞0}．（2）若关于x 的不等式f （x ）+4≥|1-2m |有解，即|x +2|-|x -1|+4≥|1-2m |有解，故|x +2|-|x -1|+4 的最大值大于或等于|1-2m |．利用绝对值的意义可得|x +2|-|x -1|+4 的最大值为3+4=7，∴|1-2m |≤7，故-7≤2m -1≤7，求得-3≤m ≤4， m 的范围为[-3，4]．12.【答案】解：（Ⅰ）当a =4时，不等式f （x ）≥5，即|x -1|+|x -4|≥5，等价于，{x <1?2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或{x >42x ?5≥5．解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f （x ）≥5的解集为{x |x ≤0，或x ≥5 }．（Ⅱ）因为f （x ）=|x -1|+|x -a |≥|（x -1）-（x -a ）|=|a -1|．（当x =1时等号成立）所以：f （x ）min =|a -1|．由题意得：|a -1|≥4，解得a ≤-3或a ≥5．。