一元二次方程压轴题含答案
一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．2．设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2 ，求x y 的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a 2(1－x 2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2． （1）用含p 的代数式表示q ；（2）求证：抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点；（3）设抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 的顶点为M ，与y 轴的交点为E ，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值． 解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5（2）∵△＝p 2－4q ＝p 2－4(－2p －5)＝p 2＋8p ＋20＝(p ＋4)2＋4 无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2≥0∴无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2＋4＞0，∴△＞0 ∴抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与x 轴有两个交点（3）∵抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 与抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1的对称轴相同，都为直线x ＝－p2，且开口大小相同，抛物线y 2＝x 2＋px ＋q ＋1可由抛物线y 1＝x 2＋px ＋q 沿y 轴方向向上平移一个单位得到 ∴EF ∥MN ，EF ＝MN ＝1∴四边形FEMN 是平行四边形由题意得S 四边形FEMN ＝EF ·|－p 2|＝2，即|－p2|＝2∴p ＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x 的方程x 2－5x －m 2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m 的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m 2＋1)＝4m 2＋21∴不论m 取何值，方程x 2－5x －m 2＋1＝0都有两个不相等的实根 ∵x 2－5x －m 2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m 2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m 2)＋2|1－m 2|≤36当1－m 2≥0，即－1≤m ≤1时，25≤36成立 ∴－1≤m ≤1 ①当1－m 2＜0，即m ＜－1或m ＞1时，得25－4(1－m 2)≤36 解得－152≤m ≤152∴－152≤m ＜－1或1＜m ≤152② 综合①、②得：－152≤m ≤1523．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x 2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根∴⎩⎪⎨⎪⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0∴4＋－2a a －6－a a －6＝0，得a ＝24∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立（2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝－2a a －6＋a a －6＋1＝－aa －6∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x 的方程x 2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝54，∴x 1＋x 2＝94①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则12≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝94－x 2＝94－1＝54＞1故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2取x 2＝54，则x 1＋x 2＝94，即a ＋b ＝54故在AC 边上存在满足条件的点P （1，54）③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时 则12≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1∵x 1＋x 2＝94，∴x 1＝34，x 2＝32又∵12＜34＜1，1＜32＜2故在AB 边上存在满足条件的点（34，32）综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，32）Oxy112CAB5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝2x ＋b 有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0 ∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b 2＞0，解得b ＜12又∵x 1x 2≠0，∴b 24≠0，∴b ≠0综上所述，b ＜12且b ≠0（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝4(1－b )b 2＝1得∴b 2＋4b －4＝0，解得b ＝－2±2 2∵－2＋22＝2(2－1)＞12，∴b ＝－2＋22不合题意，舍去∴b ＝－2－2 2 6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝8c∴a ，b 是方程x 2＋cx ＋8c ＝0的两个实数根∴△＝c 2－4×8c≥0当c ＜0时，c 2－4×8c ≥0恒成立当c ＞0时，得c 3≥32，∴c ≥342 故c 的取值范围是c ＜0或c ≥3427．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3a －1x 2＋y 2＝4a 2－2a ＋2 ，求x y 的取值范围． 解：∵(x －y )2≥0，∴x 2＋y 2≥2x y∴2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2∴2(4a 2－2a ＋2)≥(3a －1)2即a 2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3 ∵x y ＝12[(x ＋y )2－(x 2＋y 2)]＝12[(3a －1)2－(4a 2－2a ＋2)]＝12(5a 2－4a －1) ＝52(a －25)2－910∴当a ＝25时，x y 有最小值－910；当a ＝3时有最大值16∴－910≤x y ≤16 8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a 2(1－x 2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．证明：将原方程整理，得2a 2x 2＋2ax ＋1－a 2＝0令y ＝2a 2x 2＋2ax ＋1－a 2，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线 当x ＝0时，y ＝1－a 2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根 又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2又当x ＝1时，y ＝2a 2＋2a ＋1－a 2＝(a ＋1)2＞0 当x ＝－1时，y ＝2a 2－2a ＋1－a 2＝(a －1)2＞0 ∴－1＜x 1＜0＜x 2＜1。
一元二次压轴题(含答案详解)
2016 年09 月04 日wujun 的初中数学组卷（一）一．解答题（共10 小题）1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ ABC面积．2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4>02解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）2∴x2﹣4>0 可化为（x+2）（x﹣2）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 2，解不等式组② ，得x<﹣2，∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2 或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4>0 的解集为x>2或x<﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为；（2）分式不等式的解集为；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点 A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．2（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？2（3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点2时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180 米，上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．（1）求k 的取值范围；（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．2016年09 月04日wujun 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10 小题）1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ ABC面积．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5 时勾系一元二次方程为3x2+5 x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab2 2 2∵ a +b =c2 2 2 2 ∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1 时，有a﹣c+b=0，即a+b= c∵2a+2b+ c=6 ，即2（a+b）+ c=6∴ 3 c=6∴c=2∴ a +b =c =4，a+b=2222∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC= ab=1 ．△【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．22 2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程- 因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b 的值，进而得出三角形的面积．22【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x ﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正整数根（m 是整数）．2 ∵a=m﹣1，b=﹣9m+3，c=18，2 2 2 2 ∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2 是此方程的两个根，∴x1?x2= = ，∴ 也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b 时，2当a≠b 时，a、b 是方程x2﹣4x+2=0 的两根，而△> 0，由韦达定理得a+b=4> 0，ab=2> 0，则a> 0、b>0．①a≠ b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ ABC为直角三角形，且∠ C=90° ，S△ABC= ．②a=b=2﹣，c=2 时，因 < ，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+ ，c=2 时，因 > ，故能构成三角形．S△ ABC= ×（ 2 ）× =综上，△ ABC的面积为 1 或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a， b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S△ PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】由题可以看出P 沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S= QC×PB，所以求出QC、PB与t 的关系式就可得出S与t 的关系，另外应注意P 点的运动轨迹，它不仅在 B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t < 10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t >10 秒时，P 在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4 分）（2）∵ S△ABC= （5 分）∴当t < 10 秒时，S△PCQ=整理得t 2﹣10t+100=0 无解（ 6 分）当t>10 秒时，S△PCQ=整理得t 2﹣10t﹣100=0 解得t=5±5 （舍去负值）（7分）∴当点P 运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8 分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥ AC，交直线AC于点M易证△ APE≌△ QCM，∴AE=PE=CM=QM= t ，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵ EM=AC=10 ∴ DE=5∴当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P 在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．22 【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，而a、 b 都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1> 0，2ab= m2+1> 0，可解得m>﹣1，综合可得到m的取值范围；（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=（）2，变形有（a+b）2﹣2ab=5，把a+b=m+1，ab= m2+1 代入得（m+1）2﹣2（m2+1）=5，整理得到m2+4m﹣12=0，解方程得到m1=2，m2=﹣6，然后即可得到符合条件的m的值．【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，∵关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，∴m≥时，方程有两个正实数根；2）∵矩形的对角线长为，2即m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥，∴m=2，所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．22【点评】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠ 0）的根的判别式△ =b ﹣4ac：当△> 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△> 0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：2例题：解一元二次不等式x2﹣4>02解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）2∴x2﹣4>0 可化为（x+2）（x﹣2）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 2，解不等式组② ，得x<﹣2，∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4> 0的解集为x>2或x<﹣2．2（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为x>4 或x<﹣4；a+b=m+1> 0，2ab= m2+1> 0，解得m>﹣1，a +b =（）2a+b）﹣2ab=5，22m+1）2﹣2（m2+1）=5，（2）分式不等式的解集为x>3 或x< 1；2（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；2【解答】解：（1）∵ x ﹣16=（x+4）（x﹣4）2∴x2﹣16> 0 可化为（x+4 ）（x﹣4）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 4，解不等式组② ，得x<﹣4，∴（x+4）（x﹣4）> 0的解集为x>4或x<﹣4，2即一元二次不等式x2﹣16>0的解集为x>4或x<﹣4．（2）∵∴或解得：x>3 或x< 12（3）∵ 2x2﹣3x=x（2x ﹣3）2∴2x2﹣3x<0 可化为x（2x﹣3）<0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或解不等式组① ，得0< x< ，解不等式组② ，无解，2∴不等式2x2﹣3x<0 的解集为0< x< ．【点评】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）设经过x 秒钟，△ PBQ的面积等于 6 平方厘米，根据点P 从A点开始沿AB边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ的长可列方程求解．（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．【解答】解：（1）设经过x 秒以后△ PBQ面积为6×（5﹣x ）× 2x=6整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x=2 或x=3 答： 2 或 3 秒后△ PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ=5时，在Rt△ PBQ中，∵ BP2+BQ2=PQ2，2 2 2∴（5﹣t ）+（2t ）=5 ，25t 2﹣10t=0 ，t （5t ﹣10）=0，t 1=0，t 2=2 ，∴当t=0 或 2 时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x 秒以后△ PBQ面积为8，×（5﹣x ）× 2x=82整理得：x2﹣5x+8=0 △=25﹣32=﹣7<02∴△ PQB的面积不能等于8cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△ PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点2 时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm （x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；梯形．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形2的必须条件是点P、N 重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+M≠C BC 即2x+3x≠ 20cm；或者点Q、M重合且点P、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC 即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．（3）如果以P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠ 20cm，2BQ+M≠C BC即x+3x ≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【解答】解：（1）当点P 与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．① 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=（4 ﹣1）< 20，此时点Q与点M不重合．所以x= ﹣ 1 符合题意．② 当点Q与点M重合时，由x+3x=20 ，得x=5 ．2此时DN=x=25>20 ，不符合题意．故点Q 与点M不能重合．所以所求x 的值为﹣1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，① 当点P 在点N 的左侧时，2由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2 时四边形PQMN是平行四边形．② 当点P 在点N 的右侧时，2由20﹣（x+3x）=（2x+x ）﹣20，解得x1=﹣10 （舍去），x2=4．当x=4 时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x> x，所以点 E 一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点N的右侧，且PE=NF，2即2x﹣x=x 2﹣3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【点评】本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？【考点】一元二次方程的应用；等腰梯形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）根据题意得出横向甬道的面积为（120+180）?x 整理即可；（2）花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12，000﹣S）×0.02 ，即可求出．【解答】解：（1）中间横道的面积= （120+180）?x=150x，22（2）甬道总面积为150x+160x ﹣2x2=310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S 花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12000﹣S）× 0.02 ，239=5.7x ﹣0.02S+240 ，2239=5.7x ﹣0.02 （310x﹣2x2）+240，2239=0.04x 2﹣0.5x+240 ，20.04x 2﹣0.5x+1=0 ，24x2﹣50x+100=0，x1=2.5 ，∵甬道的宽不能超过 6 米，即x≤6，∴x2=10，不合题意舍去，解得：x=2.5 ，当x=2.5 时，所建花坛的总费用为239 万元．2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出239=5.7x ﹣0.02（310x﹣2x2）+240，是解决问题的关键．2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3 ﹣k）n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．（1）求k 的取值范围；（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．【分析】（1）先解出分式方程① 的解，根据分式的意义和方程① 的根为非负数得出k 的取值；（2）先把k=m+2，n=1 代入方程② 化简，由方程② 有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△> 0，得出m>0或m<﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k 的取值和k 为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．【解答】解：（1）∵关于x 的分式方程的根为非负数，∴x≥0 且x≠ 1，又∵ x= ≥0，且≠ 1，∴解得k≥﹣1且k≠1，2又∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k）n=0 中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；2（2）∵一元二次方程（2﹣k）x +3mx+（3﹣k ）n=0 有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，22∴把k=m+2，n=1 代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，2∴△> 0，即△ =（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，2∴△ =9m﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）> 0，则m> 0 或m<﹣；∵x1、x2 是整数，k 、m都是整数，∵x1+x2=3，x1?x2= =1﹣，∴ 1﹣为整数，∴ m=1或﹣1，由（1）知k≠1，则m+2≠ 1，m≠﹣122∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，2x ﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x1=0，x2=3 ；（3）|m| ≤2 成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k 是负整数，∴k=﹣1，2（2﹣k ）x2+3mx+（3﹣k）n=0 且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣= =﹣m，x1x2= = n，1 2 1 2 x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），2 2 2x1 ﹣x1k+x2 ﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k ，2 2 2x1 +x2 ═ x1x2+k ，22（x1+x2）﹣2x1x2﹣x1x2=k ，22（x1+x2）﹣3x 1x2=k ，22（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，m﹣4n=1，n= ① ，22△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0② ，2把① 代入② 得：9m2﹣48×≥0，2m≤4，则|m| ≤2，∴|m| ≤2 成立．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：① 解分式方程时分母不能为0；② 一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴ y ≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据材料内容，可将原函数转换为（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y ﹣2=0，继而根据△≥0，可得出y 的最小值．2【解答】解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，∵x 为实数，∴△ =（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，∴y ≥，因此y 的最小值为．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．。
一元二次方程压轴题(含答案)
一元二次方程1.（北京模拟)已知关于x 得一元二次方程x 2+px ＋q +1＝０有一个实数根为2. (１)用含p 得代数式表示ｑ;(2）求证:抛物线y 1＝x 2+ｐx +q 与x 轴有两个交点;（3)设抛物线y 1=x ２＋ｐx +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为E ,抛物线ｙ2＝ｘ2+px ＋q ＋1得顶点为N ,与y 轴得交点为F ,若四边形FEM Ｎ得面积等于２,求p 得值.2．设关于x 得方程x ２－5x －ｍ２＋1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数ｍ得取值范围,使｜α|＋|β｜≤6成立.３．（湖南怀化)已知x 1,x 2就是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a ＝０得两个实数根.（1）就是否存在实数a ,使-x １＋x １x ２=4＋ｘ2成立？若存在,求出a 得值；若不存在,请您说明理由;(2)求使(x 1+１)(x 2＋1)为负整数得实数ａ得整数值.4.(江苏模拟)已知关于ｘ得方程ｘ2-(a +ｂ+１）x ＋a ＝0（ｂ≥0)有两个实数根x 1、x ２,且ｘ1≤ｘ2.(1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1，２),B (＼F （1,２),1),C (1,1),点P (x 1，x 2)在△ＡBC 得三条边上运动,问就是否存在这样得点Ｐ,使a ＋b ＝54若存在，求出点P 得坐标;若不存在,请说明理由．５.(福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!，且x １x 2≠0，ｘ1≠x 2. (1)求ｂ得取值范围；(２）否存在实数b ,使得1x １＋错误!=１？若存在,求出b 得值;若不存在，请说明理由.6．(成都某校自主招生)已知a ，b ,c 为实数,且满足a +b +c =0,abc ＝8,求ｃ得取值范围. ７.(四川某校自主招生)已知实数ｘ、y 满足错误! ，求x y 得取值范围.8.（福建某校自主招生）已知方程(a ｘ＋1）2＝ａ2（1－x 2)(a >1)得两个实数根ｘ1、x 2满足x 1＜x 2，求证: -1＜x 1＜0＜x 2＜1.(答案)１.(北京模拟)已知关于ｘ得一元二次方程ｘ2＋px ＋q ＋１=0有一个实数根为２． (1)用含p 得代数式表示ｑ;(2)求证:抛物线y 1＝x ２＋p ｘ+q 与x 轴有两个交点;(3)设抛物线y 1=ｘ2+px +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为Ｅ,抛物线y 2＝x 2+px +q +1得顶点为N ,与ｙ轴得交点为Ｆ，若四边形ＦＥM Ｎ得面积等于２,求ｐ得值.解:（1)∵关于x 得一元二次方程x 2＋px ＋q +1＝0有一个实数根为2 ∴２２＋2p +q ＋１＝0，整理得:q =-２p -5(2)∵△=p 2－４q ＝p ２－4（-2p －5)＝p ２＋8p +20=(p +4）2+4 无论p 取任何实数，都有（ｐ+4）2≥0∴无论ｐ取任何实数,都有(p ＋4)2＋４>0,∴△＞0∴抛物线y 1＝ｘ２+px +q 与x 轴有两个交点(3)∵抛物线ｙ1=x 2＋px ＋ｑ与抛物线ｙ２＝x 2+px ＋q ＋1得对称轴相同,都为直线x=－ｐ２,且开口大小相同,抛物线y2＝x2＋ｐx＋q＋1可由抛物线ｙ１=x2+px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MＮ,EF=MN＝１∴四边形ＦEMN就是平行四边形由题意得S四边形FＥＭＮ=EF·｜-错误!|=２，即|－错误!|=2∴p=±42.(安徽某校自主招生)设关于x得方程ｘ２-5x－m２+1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数m得取值范围，使｜α|＋|β|≤6成立.解:∵△＝5２－４(-m２＋1)=4ｍ2＋21∴不论m取何值,方程x2-5x-m2+1＝0都有两个不相等得实根∵x２－5ｘ-m2＋1=０,∴α+β＝5,αβ=１－ｍ2∵｜α｜+｜β|≤6,∴α２+β2＋2|αβ｜≤36,即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ｜≤36∴2５－2(１－ｍ2)+2｜1-ｍ２|≤3６当１－ｍ2≥0,即-1≤ｍ≤1时,25≤３6成立∴－1≤m≤1①当１-ｍ2＜0,即m＜－1或m>1时,得25-4（1-m2）≤36解得-错误!≤m≤错误!∴-152≤ｍ＜－1或1<m≤错误!②综合①、②得:－＼F(１５,2）≤m≤错误!３.(湖南怀化)已知x１,x２就是一元二次方程(ａ-6)ｘ2＋2ax+a=０得两个实数根．（１）就是否存在实数a,使-x1＋x1ｘ２＝4+x2成立?若存在,求出a得值;若不存在,请您说明理由;（2）求使(x1+１)（x2+１）为负整数得实数a得整数值.解：（1)∵ｘ１,x2就是一元二次方程（a－6)x2+2aｘ+a＝０得两个实数根∴错误!即错误!假设存在实数a使－ｘ１+ｘ1x2＝4＋x２成立,则４+（x1＋ｘ２）－x1x２=0∴4＋错误!－错误!=0,得a=２４∵ａ=24满足a≥0且a≠6∴存在实数ａ=24,使－x1+x1ｘ2=4＋ｘ2成立(2)∵(x１＋1)（ｘ2+１)=(x1＋x2)+x１x2＋１=＼F(－2a,ａ-６)+aa－６+1=-错误!∴要使(x１＋１)(x２＋1）为负整数,则只需a为7,８,9，124.（江苏模拟)已知关于x得方程x2-(a＋b+1)ｘ+a=0(b≥0）有两个实数根x1、x２，且ｘ1≤x2.(1)求证：x1≤1≤ｘ2(2）若点A（1,2),B(1２，1）,C(1,1)，点P（x1,ｘ2)在△ABC得三条边上运动，问就是否存在这样得点P，使a＋b＝错误!？若存在,求出点P得坐标;若不存在，请说明理由.解:(1）由根与系数得关系得：x1＋x2=a＋b+1，x1x２＝a∴a＝x１x2,b=x1＋x2-x１x2－1∵b≥0,∴ｘ1＋x2－x1x２-１≥０∴1－x1－x2+x1x2≤0∴(1－ｘ１)(1－x2)≤0又∵x １≤x 2,∴1-ｘ1≥0,１－x ２≤０ 即x 1≤1,x 2≥１ ∴x 1≤1≤x ２(2)∵x 1+ｘ2＝a ＋ｂ+１，ａ＋ｂ＝＼F(5,4),∴x 1＋x 2=错误! ①当点Ｐ(x 1,x 2)在ＢＣ边上运动时 则12≤x １≤1,x 2＝1 ∴x 1＝9４-x 2＝错误!-１=错误!>1故在ＢC 边上不存在满足条件得点P ②当点P (ｘ1,x ２)在AC 边上运动时 则x 1=1,１≤x 2≤2取x ２=＼F(5,４）,则x 1＋x 2＝94,即a ＋b ＝54故在AC 边上存在满足条件得点P (1,错误!)③当点Ｐ（x 1，x 2)在AB 边上运动时 则错误!≤x 1≤1,1≤x 2≤2,易知x 2＝2x １ ∵x １＋x ２＝＼Ｆ(9,4),∴x 1=34,x 2＝32又∵＼F （1,2)＜错误!＜1,1<错误!＜2故在AB 边上存在满足条件得点（错误!,错误!)综上所述,当点P (x １,ｘ2)在△ABC 得三条边上运动时,在B Ｃ边上没有满足条件得点，而在AC 、AB 边上存在满足条件得点,它们分别就是（１,５4)与(错误!,错误!)5.（福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!,且x 1x 2≠0,x 1≠ｘ2. （１)求b 得取值范围;（2）否存在实数b ，使得错误!+错误!=1?若存在,求出b 得值;若不存在,请说明理由. 解:（１)由已知得4x =(2x +ｂ)2，整理得4x ２＋(4b －4)ｘ+b 2＝0 ∵x 1≠ｘ2,∴△>０,即(４ｂ-4)2-16b 2>0,解得b ＜错误! 又∵x 1x ２≠0，∴错误!≠0,∴b ≠0 综上所述,b <错误!且b ≠０（２)∵ｘ1＋x 2=1－b ,x １ｘ2=错误!,∴错误!+错误!＝错误!=错误!＝１得 ∴b 2+4b -4=０,解得b =-2±2２∵-2+2，2=2(2-１）＞１2，∴b =-2+２2不合题意，舍去∴b =-2－２错误!6.(成都某校自主招生)已知a ,b ,ｃ为实数,且满足a +b +c =０,ab ｃ＝８,求c 得取值范围. 解:∵a +b ＋c ＝0,abc =8,∴a ,ｂ,ｃ都不为零,且a +b ＝-c ，ａb =错误! ∴a ,b 就是方程ｘ2＋cx ＋＼F(8,c )=0得两个实数根 ∴△=c 2-４×8c≥0当c <０时,c 2-４×＼F(8,c )≥0恒成立 当ｃ＞0时,得ｃ3≥32,∴c ≥ 故ｃ得取值范围就是c ＜0或c ≥７.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足错误!,求x y得取值范围.解：∵(x-ｙ)2≥０,∴ｘ２＋y2≥2xｙ∴2(ｘ2＋y2)≥(x＋y）２∴2（4a2-2a＋２）≥(3a－1)2即a2-２ａ-3≤０,解得-1≤ａ≤3∵ｘy＝错误![（x＋ｙ)2－（x２+y2）]=错误![（3a-1）２-(4a2－2ａ+２)]=错误!(5a２－4a-１）＝错误!（a－错误!)2－错误!∴当a＝＼F(2,5）时,x y有最小值－＼F(9,１0);当ａ=３时有最大值16∴－＼F(9,10)≤ｘy≤1６8.(福建某校自主招生)已知方程(aｘ+1)2＝a2(1-ｘ2)(ａ＞1)得两个实数根x1、x2满足x1＜x2,求证:-1＜x１<0＜ｘ2<1.证明:将原方程整理，得2ａ2x2+2ax＋1-a2=０令y＝2a2ｘ2＋2ax+1－a2,由于a＞1，所以这就是一条开口向上得抛物线当x=0时,y=1－a2<0,∴原方程有一个正根与一个负根又∵ｘ１<x２,∴x1<0<x２又当x＝1时,ｙ=２ａ2+2ａ＋１-a2＝(a＋１）２＞0当ｘ=-1时,ｙ＝2ａ2－2a＋1-ａ2=(a-１）２＞０∴-1<x１<0<x2<1。
备战中考数学一元二次方程-经典压轴题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣12．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32． 当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形； 当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12， 此时周长为32+32+12=72． 答：当m=2时，△ABC 的周长为72． （2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=21m+,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t，()220x m x m-++=根据题意得2+t=21m+,2t=m，解得t=0，所以m=0，即m的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学一元二次方程组-经典压轴题含答案
中考数学一元二次方程组-经典压轴题含答案一、一元二次方程1．阅读下列材料计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×（+）（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2【解析】【分析】（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．【详解】（1）令+＝t，则：原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝（2）令a2﹣5a＝t，则：原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：（t+1）（t+3）＝3t2+4t+3＝3t（t+4）＝0∴t1＝0，t2＝﹣4当x2+4x＝0时，x（x+4）＝0解得：x1＝0，x2＝﹣4当x2+4x＝﹣4时，x2+4x+4＝0（x+2）2＝0解得：x3＝x4＝﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．3．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321xx =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．4． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的）， 五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0 解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去． ∴m=50 【解析】5．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.6．关于x 的方程(k －1)x 2+2kx+2=0（1）求证：无论k 为何值，方程总有实数根． （2）设x 1，x 2是方程(k －1)x 2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x 1+x 2，S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S 的值能为2，此时k 的值为2． 【解析】试题分析：（1） 本题二次项系数为(k －1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程， △=（2k ）²-4×2（k-1）=4k²-8k ＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0 方程有两不等根综合①②得不论k 为何值，方程总有实根 （2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x 1+x 2=====2k-2=2， 解得k=2，∴当k=2时，S 的值为2 ∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．7．如图，在Rt ABC V 中，90B =o ∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】解：∵90B ∠=o ，10AC =，6BC =， ∴8AB =．∴BQ x =，82PB x =-；假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则()1168821622x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<V ，∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.8．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0， 解得：k ＜14， 即实数k 的取值范围是k ＜14； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2， ∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0， ∴1-2k+k 2-1=0， ∴k 2-2k=0 ∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根， ∴k=2不合题意，舍去， ∴k=0． 【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．9．已知关于x 的一元二次方程有两个实数x 2+2x+a ﹣2=0，有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数a 的取值范围； （2）若x 12x 22+4x 1+4x 2=1，求a 的值． 【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1． 【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a 的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a 的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根11．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=8 3 .【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x 2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0. 解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3， 将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0， 解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0. 把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-. ∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0． （1）求证：无论k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC 的一边长a ＝3，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求k 值多少？ 【答案】（1）详见解析；（2）k ＝32或2． 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k ﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x 1＝2k ﹣1，x 2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3，然后分别解关于k 的方程即可． 【详解】（1）∵△＝（2k +1）2﹣4×4（k ﹣12）＝4k 2﹣12k +9＝（2k ﹣3）2≥0， ∴该方程总有实数根； （2）()2k 12k 3x=2±＋﹣∴x 1＝2k ﹣1，x 2＝2，∵a 、b 、c 为等腰三角形的三边， ∴2k ﹣1＝2或2k ﹣1＝3， ∴k ＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.13．已知：关于x 的一元二次方程221(1)204x m x m +++-=.（1）若此方程有两个实数根，求没m 的最小整数值； （2）若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22211221184x x x m x +=--，求m 的值. 【答案】（1）-4；（2）m=3 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m 的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到12(1)x x m +=-+，212124x x m =-，然后解关于m 的一元二次方程，即可确定m 的值． 【详解】解：（1）∵221(1)204x m x m +++-=有两个实数根，∴221(1)41(2)04m m ∆=+-⨯⨯-≥， ∴290m +≥， ∴92m ≥-； ∴m 的最小整数值为：4m =-；（2）由根与系数的关系得：12(1)x x m +=-+，212124x x m =-， 由22212121184x x x x m ++=-得： ()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭∴22150m m +-=， 解得：3m =或5m =-； ∵92m ≥-， ∴3m =. 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则12bx x a +=-，12c x x a=．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.14．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？ (2)出发几秒后，线段PQ 的长为42cm ?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm ；(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设P 、Q 经过t 秒，使△PBQ 的面积为8cm 2，则PB=6-t ，BQ=2t ，根据三角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x 秒后线段PQ 的长为2cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断． 【详解】(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2， 则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ， ∵∠B ＝90°，∴12(6－t)× 2t ＝8， 解得t 1＝2，t 2＝4，∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2； (2)设x 秒后，PQ ＝2 cm ， 由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32， 解得x 1＝25，x 2＝2， 故经过25秒或2秒后，线段PQ 的长为2 cm ； (3)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，S △PBQ ＝12×(6－y)× 2y ＝10，即y 2－6y ＋10＝0，∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解。
中考数学压轴题之一元二次方程组(中考题型整理,突破提升)附答案解析
（2）若方程两实根 x1 ， x2 满足 x1 x2 x1x2 1 0 ，求 k 的值.
【答案】(1) k＜ 1 ;(2) k=0. 4
【解析】 【分析】 （1）根据一元二次方程的根的判别式得出△ ＞0，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出 x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，代入 x1+x2+x1x2-1=0，即可 求出 k 值． 【详解】 解：（1）∵ 关于 x 的一元二次方程 x2+（2k-1）x+k2=0 有两个不等实根 x1，x2，
月份
用水量 （吨）
水费 （元）
四月
35
59.5
五月
80
151
【答案】
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】 （1）设平均一人传染了 x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有 36 人患了流 感，列方程求解即可； （2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即 可． 【详解】 （1）设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，根据题意得： x+1+（x+1）x＝36， 解得：x＝5 或 x＝﹣7（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了 5 个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有 180 人被传染．
2a
2 2
2
∴ x1＝－1＋ 6 ，x2＝－1－ 6
2
2
（2）(y＋2)2－(3y－1)2＝0
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.7．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t 15由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(1515h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．8．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．9．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.4．观察下列一组方程：20x x -=①；2320x x -+=②；2560x x -+=③；27120x x -+=④；⋯它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．()1若2560x kx ++=也是“连根一元二次方程”，写出k 的值，并解这个一元二次方程； ()2请写出第n 个方程和它的根．【答案】（1）x 1＝7，x 2＝8.（2）x 1＝n －1，x 2＝n .【解析】【分析】（1）根据十字相乘的方法和“连根一元二次方程”的定义,找到56是7与8的乘积,确定k 值即可解题,（2）找到规律,十字相乘的方法即可求解.【详解】解：(1)由题意可得k ＝－15，则原方程为x 2－15x ＋56＝0，则(x －7)·(x －8)＝0，解得x 1＝7，x 2＝8.(2)第n 个方程为x 2－(2n －1)x ＋n(n －1)＝0，(x －n)(x －n ＋1)＝0，解得x 1＝n －1，x 2＝n.【点睛】本题考查了用因式分解法求解一元二次方程,与十字相乘联系密切,连根一元二次方程是特殊的十字相乘,中等难度,会用十字相乘解题是解题关键.5．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．6．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.7．解方程：（x 2+x ）2+（x 2+x ）＝6．【答案】x 1＝﹣2，x 2＝1【解析】【分析】设x 2+x ＝y ，将原方程变形整理为y 2+y ﹣6＝0，求得y 的值，然后再解一元二次方程即可．【详解】解：设x 2+x ＝y ，则原方程变形为y 2+y ﹣6＝0，解得y 1＝﹣3，y 2＝2．①当y ＝2时，x 2+x ＝2，即x 2+x ﹣2＝0，解得x 1＝﹣2，x 2＝1；②当y ＝﹣3时，x 2+x ＝﹣3，即x 2+x+3＝0，∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为x 1＝﹣2，x 2＝1．【点睛】本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.8．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：∵）2=a ﹣b ≥0∴a +ba =b 时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x 的最大值为 ； （2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值； （3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥36x x⋅=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2，x 2＝2【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式x =求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝42±＝， ∴x1＝2，x 2＝210．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩解之得：108a b =⎧⎨=⎩答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意答：x的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.。
中考数学与一元二次方程组有关的压轴题附详细答案
中考数学与一元二次方程组有关的压轴题附详细答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值． 【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P ﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得1（舍去）或x=1，∴点P（1，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．解方程：233230 2121x xx x⎛⎫⎛⎫--=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1【解析】【分析】设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y，再求x．【详解】解：设321xyx=-，则原方程变形为y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3,∴3121xx=--或3321xx=-．解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．解下列方程： (1)2x 2－4x －1＝0(配方法)； (2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32.∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0. ∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0. ∴x 1＝－1，x 2＝5.6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值．【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m = 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题. 【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯-⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥-∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m ∴=，25m =-92m ≥-3m ∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．9．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1． 【解析】 【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如： 解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.10．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米 【解析】 【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程； （2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.12．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。
中考数学压轴题专题一元二次方程的经典综合题附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解下列方程：（1）x 2﹣3x=1．（2）12（y+2）2﹣6=0． 【答案】(1)12313313,22x x +-== ;(2)12223,223y y =-+=-- 【解析】试题分析：（1）利用公式法求解即可；（2）利用直接开方法解即可；试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x 2﹣3x ﹣1=0，∵b 2﹣4ac=13＞0 ∴． ∴12313313,22x x +-==． （2）（y+2）2=12， ∴或，∴12223,223y y =-+=--2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0.【解析】【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数.【详解】若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．4．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．5．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m+3）x+m 2=0有两根α，β．（1）求m 的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m 的值为多少？【答案】（1）14m ≥；（2）m 的值为3． 【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可. 【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2， ∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0 解得：m 1=﹣1，m 1=3，由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去，∴m 的值为3．【点睛】 本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.6．关于x 的一元二次方程()22210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x . （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值.【答案】(1) k ＜14;(2) k=0. 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k值．【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k-1）x+k2=0有两个不等实根x1，x2，∴△=（2k-1）2-4×1×k2=-4k+1＞0，解得：k＜14，即实数k的取值范围是k＜14；（2）由根与系数的关系得：x1+x2=-（2k-1）=1-2k，x1•x2=k2，∵x1+x2+x1x2-1=0，∴1-2k+k2-1=0，∴k2-2k=0∴k=0或2，∵由（1）知当k=2方程没有实数根，∴k=2不合题意，舍去，∴k=0．【点睛】本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．7．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．试题解析：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1.8．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）k＜4且k≠2.（2）m=0或m=8 3 .【解析】分析：（1）由题意，根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）得到符合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，然后把所得x的值分别代入方程x2+mx-1=0即可求得对应的m的值.详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k ＞0且k-2≠0.解得：k ＜4且k≠2.(2)由(1)可知，符合条件的：k=3，将k=3代入原方程得：方程x 2-4x+3=0，解此方程得：x 1=1，x 2=3.把x=1时，代入方程x 2+mx-1=0，有1+m-1=0，解得m=0.把x=3时，代入方程x 2+mx-1=0，有9+3m-1=0，解得m=83-.∴m=0或m=83-.点睛：（1）知道“在一元二次方程20?(0)ax bx c a ++=≠中，当△=240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当△=240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；△=240b ac -<时，方程没有实数根”是正确解答第1小题的关键；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.。
中考数学一元二次方程-经典压轴题及详细答案
1．已知x1、x2是关于x的﹣元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）是负整数，求实数a的整数值．
【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a的值为7、8、9或12．
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2=﹣ ，x1x2= ，由（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=﹣ 是是负整数，即可得 是正整数．根据a是整数，即可求得a的值2．
∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．
∴m＜3；
（2）∵m＜3且m为正整数，
∴m＝1或2．
当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；
当m＝2时，原方程为x2﹣2x＝0．
∴x(x﹣2)＝0．
∴x1＝0，x2＝2．符合题意．
综上所述，m＝2．
【点睛】
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．
解得x1＝﹣2，x2＝1；
②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣3，即x2+x+3＝0，
∵△＝12﹣4×1×3＝1﹣12＝﹣11＜0，
∴此方程无解；
∴原方程的解为x1＝﹣2，x2＝1．
【点睛】
本题考查了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答本题的关键.
9．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．