一元二次方程压轴题[含答案解析]
中考数学——一元二次方程的综合压轴题专题复习含详细答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．李明准备进行如下操作实验，把一根长40 cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【答案】 (1) 李明应该把铁丝剪成12 cm和28 cm的两段；(2) 李明的说法正确，理由见解析.【解析】试题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．试题解析：设其中一段的长度为cm，两个正方形面积之和为cm2，则，（其中），当时，，解这个方程，得，，∴应将之剪成12cm和28cm 的两段；（2）两正方形面积之和为48时，，，∵，∴该方程无实数解，也就是不可能使得两正方形面积之和为48cm2，李明的说法正确．考点：1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=12×PB×QE，有P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB．∴S△PQB＝12•PB•QE．设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．根据题意，12•（6﹣t）•t＝4．t2﹣6t+8＝0．t2＝2，t2＝4．当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．3．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为2，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m 2=0，解得m=±， ∴原方程为x 2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5， 即m 的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b 2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b 2-4ac ＜0时，方程没有实数根.4．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；5．已知关于x 的一元二次方程()2211204x m x m +++-=． ()1若此方程有两个实数根，求m 的最小整数值；()2若此方程的两个实数根为1x ，2x ，且满足22212121184x x x x m ++=-，求m 的值． 【答案】（1）m 的最小整数值为4-；（2）3m =【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0∆≥,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：()22114124m m ⎛⎫∆=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭22218m m m =++-+29m =+方程有两个实数根0∴∆≥，即290m +≥92m ∴≥- ∴ m 的最小整数值为4-（2）由根与系数的关系得：()121x x m +=-+，212124x x m =- 由22212121184x x x x m ++=-得：()22211121844m m m ⎛⎫⎡⎤-+--=- ⎪⎣⎦⎝⎭13m∴=，25m=-92m≥-3m∴=【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.6．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），每星期的销售量为y箱．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10<0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.7．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.8．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t)2+(400﹣30t)2=2002，整理得到：t2﹣30t+210=0，解得t=15±15，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15﹣15)h就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215h．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键．9．∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m吨（或水费是按y=1.7x来计算的），五月份用水量超过m吨（或水费是按来计算的）则有151=1.7×80+（80－m）×即m2－80m+1500=0解得m1=30，m2=50．又∵四月份用水量为35吨，m1=30＜35，∴m1=30舍去．∴m=50【解析】10．解方程：(x＋1)(x－1)＝2x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴xx2.1。
中考数学与一元二次方程有关的压轴题及答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥⎪⎣⎦⎝⎭ ， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.3．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y=-10x+780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．6．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a＞0，b＞0时：∵）2=a﹣b≥0∴a+b a=b时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当x＞0时，x+1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若y=27101x xx+++，（x＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25．【解析】【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b ab a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号）来计算； （2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥1x x⋅=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x -＞0．∵﹣x 1x -≥1x x ⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x +的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++()411x x +⋅+5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9 则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x =，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥36x x⋅=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25．【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．8．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)13 12k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14，则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得116 3t=，216t=（不合题意，舍去）；综上所述，当7t2=或163时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．。
一元二次压轴题(含答案详解)
2016 年09 月04 日wujun 的初中数学组卷（一）一．解答题（共10 小题）1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ ABC面积．2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0有两个正整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：解一元二次不等式x2﹣4>02解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）2∴x2﹣4>0 可化为（x+2）（x﹣2）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 2，解不等式组② ，得x<﹣2，∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2 或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4>0 的解集为x>2或x<﹣2．（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为；（2）分式不等式的解集为；（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点 A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．2（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？2（3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点2时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180 米，上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．（1）求k 的取值范围；（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y 的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．2016年09 月04日wujun 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共10 小题）1．（2016?濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c 是Rt△ ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x 的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x 的“勾系一元二次方程” 必有实数根；（3）若x=﹣1 是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形ACDE的周长是6 ，求△ ABC面积．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理的证明．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得 c 的值，根据完全平方公式求得ab 的值，从而可求得面积．【解答】（1）解：当a=3，b=4，c=5 时勾系一元二次方程为3x2+5 x+4=0；（2）证明：根据题意，得△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab2 2 2∵ a +b =c2 2 2 2 ∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0 即△≥0∴勾系一元二次方程必有实数根；（3）解：当x=﹣1 时，有a﹣c+b=0，即a+b= c∵2a+2b+ c=6 ，即2（a+b）+ c=6∴ 3 c=6∴c=2∴ a +b =c =4，a+b=2222∵（a+b）2=a2+b2+2ab∴ab=2∴S△ABC= ab=1 ．△【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．22 2．（2015?黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正整数根（m是正整数）．△ ABC的三边a、b、c 满足，m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．求：（1）m的值；（2）△ ABC的面积．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的定义；一元二次方程的解；解一元二次方程- 因式分解法；等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】应用题；压轴题；分类讨论；方程思想．【分析】（1）本题可先求出方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18=0 的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．（2）由（1）得出的m的值，然后将m2+a2m﹣8a=0，m2+b2m﹣8b=0．进行化简，得出a，b 的值．然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b 的值，进而得出三角形的面积．22【解答】解：（1）∵关于x 的方程（m﹣1）x ﹣3（3m﹣1）x+18=0 有两个正整数根（m 是整数）．2 ∵a=m﹣1，b=﹣9m+3，c=18，2 2 2 2 ∴b2﹣4ac=（9m﹣3）2﹣72（m2﹣1）=9（m﹣3）2≥0，设x1，x2 是此方程的两个根，∴x1?x2= = ，∴ 也是正整数，即m2﹣1=1或2或3或6或9或18，又m 为正整数，∴m=2；（2）把m=2代入两等式，化简得a2﹣4a+2=0，b2﹣4b+2=0当a=b 时，2当a≠b 时，a、b 是方程x2﹣4x+2=0 的两根，而△> 0，由韦达定理得a+b=4> 0，ab=2> 0，则a> 0、b>0．①a≠ b，时，由于a2+b2=（a+b）2﹣2ab=16﹣4=12=c2故△ ABC为直角三角形，且∠ C=90° ，S△ABC= ．②a=b=2﹣，c=2 时，因 < ，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③a=b=2+ ，c=2 时，因 > ，故能构成三角形．S△ ABC= ×（ 2 ）× =综上，△ ABC的面积为 1 或．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a， b 的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．3．（2014?江西模拟）等腰△ ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t ，△ PCQ的面积为S．（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，S△ PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥ AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．【考点】一元二次方程的应用；全等三角形的应用．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】由题可以看出P 沿AB向右运动，Q沿BC向上运动，且速度都为1cm/s，S= QC×PB，所以求出QC、PB与t 的关系式就可得出S与t 的关系，另外应注意P 点的运动轨迹，它不仅在 B 点左侧运动，达到一定时间后会运动到右侧，所以一些问题可能会有两种可能出现的情况，这时我们应分条回答．【解答】解：（1）当t < 10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t∴当t >10 秒时，P 在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10∴（4 分）（2）∵ S△ABC= （5 分）∴当t < 10 秒时，S△PCQ=整理得t 2﹣10t+100=0 无解（ 6 分）当t>10 秒时，S△PCQ=整理得t 2﹣10t﹣100=0 解得t=5±5 （舍去负值）（7分）∴当点P 运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8 分）（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．证明：过Q作QM⊥ AC，交直线AC于点M易证△ APE≌△ QCM，∴AE=PE=CM=QM= t ，∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．又∵ EM=AC=10 ∴ DE=5∴当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．同理，当点P 在点B右侧时，DE=5 综上所述，当点P、Q 运动时，线段DE的长度不会改变．【点评】做此类题应首先找出未知量与已知量的对应关系，利用已知量来表示未知量，许多问题就会迎刃而解．4．（2013?成都模拟）已知关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根；（2）当矩形的对角线长为时，求m的值．【考点】根的判别式；根与系数的关系；勾股定理；矩形的性质．【专题】计算题；压轴题．22 【分析】（1）设矩形两邻边的长为a，b，根据△的意义得到△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，而a、 b 都是正数，利用一元二次方程根与系数的关系有a+b=m+1> 0，2ab= m2+1> 0，可解得m>﹣1，综合可得到m的取值范围；（2）根据矩形的性质和勾股定理得到a2+b2=（）2，变形有（a+b）2﹣2ab=5，把a+b=m+1，ab= m2+1 代入得（m+1）2﹣2（m2+1）=5，整理得到m2+4m﹣12=0，解方程得到m1=2，m2=﹣6，然后即可得到符合条件的m的值．【解答】解：（1）设矩形两邻边的长为a，b，∵关于x 的一元二次方程的两根是一个矩形两邻边的长，∴△≥0，即（m+1）2﹣4（m2+1）≥0，解得m≥，∴m≥时，方程有两个正实数根；2）∵矩形的对角线长为，2即m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，∵m≥，∴m=2，所以当矩形的对角线长为时，m的值为2．22【点评】本题考查了一元二次方程ax +bx+c=0（a≠ 0）的根的判别式△ =b ﹣4ac：当△> 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△> 0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系、勾股定理以及矩形的性质．5．（2012?湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：2例题：解一元二次不等式x2﹣4>02解：∵ x2﹣4=（x+2）（x﹣2）2∴x2﹣4>0 可化为（x+2）（x﹣2）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 2，解不等式组② ，得x<﹣2，∴（x+2）（x﹣2）> 0的解集为x>2或x<﹣2，即一元二次不等式x2﹣4> 0的解集为x>2或x<﹣2．2（1）一元二次不等式x2﹣16>0 的解集为x>4 或x<﹣4；a+b=m+1> 0，2ab= m2+1> 0，解得m>﹣1，a +b =（）2a+b）﹣2ab=5，22m+1）2﹣2（m2+1）=5，（2）分式不等式的解集为x>3 或x< 1；2（3）解一元二次不等式2x2﹣3x<0．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；（2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可；（3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可；2【解答】解：（1）∵ x ﹣16=（x+4）（x﹣4）2∴x2﹣16> 0 可化为（x+4 ）（x﹣4）> 0由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得解不等式组① ，得x> 4，解不等式组② ，得x<﹣4，∴（x+4）（x﹣4）> 0的解集为x>4或x<﹣4，2即一元二次不等式x2﹣16>0的解集为x>4或x<﹣4．（2）∵∴或解得：x>3 或x< 12（3）∵ 2x2﹣3x=x（2x ﹣3）2∴2x2﹣3x<0 可化为x（2x﹣3）<0 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得或解不等式组① ，得0< x< ，解不等式组② ，无解，2∴不等式2x2﹣3x<0 的解集为0< x< ．【点评】本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决此类问题的方法．6．（2012?重庆模拟）已知：如图，在△ ABC中，∠ B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A 开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，△ PBQ的面积等于6cm2？2）如果P，Q分别从A，B 同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？3）在（1）中，△ PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）设经过x 秒钟，△ PBQ的面积等于 6 平方厘米，根据点P 从A点开始沿AB边向点 B 以1cm/s 的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s 的速度移动，表示出BP 和BQ的长可列方程求解．（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．【解答】解：（1）设经过x 秒以后△ PBQ面积为6×（5﹣x ）× 2x=6整理得：x2﹣5x+6=0 解得：x=2 或x=3 答： 2 或 3 秒后△ PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ=5时，在Rt△ PBQ中，∵ BP2+BQ2=PQ2，2 2 2∴（5﹣t ）+（2t ）=5 ，25t 2﹣10t=0 ，t （5t ﹣10）=0，t 1=0，t 2=2 ，∴当t=0 或 2 时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x 秒以后△ PBQ面积为8，×（5﹣x ）× 2x=82整理得：x2﹣5x+8=0 △=25﹣32=﹣7<02∴△ PQB的面积不能等于8cm2．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△ PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．7．（2009?淄博）如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点2 时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm （x≠ 0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x 为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x 为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定；梯形．【专题】几何动点问题；压轴题．【分析】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形2的必须条件是点P、N 重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+M≠C BC 即2x+3x≠ 20cm；或者点Q、M重合且点P、N 不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC 即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x 的值．（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．（3）如果以P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠ 20cm，2BQ+M≠C BC即x+3x ≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【解答】解：（1）当点P 与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．① 当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1= ﹣1，x2=﹣﹣1（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=（4 ﹣1）< 20，此时点Q与点M不重合．所以x= ﹣ 1 符合题意．② 当点Q与点M重合时，由x+3x=20 ，得x=5 ．2此时DN=x=25>20 ，不符合题意．故点Q 与点M不能重合．所以所求x 的值为﹣1．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，① 当点P 在点N 的左侧时，2由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2 时四边形PQMN是平行四边形．② 当点P 在点N 的右侧时，2由20﹣（x+3x）=（2x+x ）﹣20，解得x1=﹣10 （舍去），x2=4．当x=4 时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x> x，所以点 E 一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点N的右侧，且PE=NF，2即2x﹣x=x 2﹣3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4 时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【点评】本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．8．（2009?南宁）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120 米，下底长180 米，上下底相距80 米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．（1）用含x 的式子表示横向甬道的面积；（2）根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是 5.7 ，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用为239 万元？【考点】一元二次方程的应用；等腰梯形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）根据题意得出横向甬道的面积为（120+180）?x 整理即可；（2）花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12，000﹣S）×0.02 ，即可求出．【解答】解：（1）中间横道的面积= （120+180）?x=150x，22（2）甬道总面积为150x+160x ﹣2x2=310x﹣2x2，绿化总面积为12000﹣S 花坛总费用y=甬道总费用+绿化总费用：239=5.7x+ （12000﹣S）× 0.02 ，239=5.7x ﹣0.02S+240 ，2239=5.7x ﹣0.02 （310x﹣2x2）+240，2239=0.04x 2﹣0.5x+240 ，20.04x 2﹣0.5x+1=0 ，24x2﹣50x+100=0，x1=2.5 ，∵甬道的宽不能超过 6 米，即x≤6，∴x2=10，不合题意舍去，解得：x=2.5 ，当x=2.5 时，所建花坛的总费用为239 万元．2【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出239=5.7x ﹣0.02（310x﹣2x2）+240，是解决问题的关键．2 9．（2016?荆州）已知在关于x的分式方程① 和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3 ﹣k）n=0② 中，k、m、n 均为实数，方程① 的根为非负数．（1）求k 的取值范围；（2）当方程② 有两个整数根x1、x2，k 为整数，且k=m+2，n=1 时，求方程② 的整数根；（3）当方程② 有两个实数根x 1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k 为负整数时，试判断|m| ≤2 是否成立？请说明理由．【考点】根与系数的关系；根的判别式；分式方程的解．【分析】（1）先解出分式方程① 的解，根据分式的意义和方程① 的根为非负数得出k 的取值；（2）先把k=m+2，n=1 代入方程② 化简，由方程② 有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，再根据方程有两个整数根得△> 0，得出m>0或m<﹣，符合题意，分别把m=1和﹣1代入方程后解出即可．（3）根据（1）中k 的取值和k 为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算得出m的等式，并由根的判别式组成两式可做出判断．【解答】解：（1）∵关于x 的分式方程的根为非负数，∴x≥0 且x≠ 1，又∵ x= ≥0，且≠ 1，∴解得k≥﹣1且k≠1，2又∵一元二次方程（2﹣k ）x 2+3mx+（3﹣k）n=0 中2﹣k≠0，∴k≠2，综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；2（2）∵一元二次方程（2﹣k）x +3mx+（3﹣k ）n=0 有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，22∴把k=m+2，n=1 代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，2∴△> 0，即△ =（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，2∴△ =9m﹣4m（m﹣1）=m（5m+4）> 0，则m> 0 或m<﹣；∵x1、x2 是整数，k 、m都是整数，∵x1+x2=3，x1?x2= =1﹣，∴ 1﹣为整数，∴ m=1或﹣1，由（1）知k≠1，则m+2≠ 1，m≠﹣122∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，2x ﹣3x=0，x（x﹣3）=0，x1=0，x2=3 ；（3）|m| ≤2 成立，理由是：由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，∵k 是负整数，∴k=﹣1，2（2﹣k ）x2+3mx+（3﹣k）n=0 且方程有两个实数根x1、x2，∴x1+x2=﹣= =﹣m，x1x2= = n，1 2 1 2 x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），2 2 2x1 ﹣x1k+x2 ﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k ，2 2 2x1 +x2 ═ x1x2+k ，22（x1+x2）﹣2x1x2﹣x1x2=k ，22（x1+x2）﹣3x 1x2=k ，22（﹣m）2﹣3× n=（﹣1）2，m﹣4n=1，n= ① ，22△=（3m）2﹣4（2﹣k）（3﹣k）n=9m2﹣48n≥0② ，2把① 代入② 得：9m2﹣48×≥0，2m≤4，则|m| ≤2，∴|m| ≤2 成立．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：① 解分式方程时分母不能为0；② 一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．10．（2014?杭州模拟）阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得．∵x 为实数，∴△= =﹣y+4≥0，∴ y ≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．【考点】一元二次方程的应用．【专题】压轴题．【分析】根据材料内容，可将原函数转换为（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y ﹣2=0，继而根据△≥0，可得出y 的最小值．2【解答】解：将原函数转化成x 的一元二次方程，得（y﹣3）x2+（2y﹣1）x+y﹣2=0，∵x 为实数，∴△ =（2y﹣1）2﹣4（y﹣3）（y﹣2）=16y﹣23≥0，∴y ≥，因此y 的最小值为．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，这样的信息题，一定要熟读材料，套用材料的解题模式进行解答．。
一元二次方程压轴题(含答案)
一元二次方程1.（北京模拟)已知关于x 得一元二次方程x 2+px ＋q +1＝０有一个实数根为2. (１)用含p 得代数式表示ｑ;(2）求证:抛物线y 1＝x 2+ｐx +q 与x 轴有两个交点;（3)设抛物线y 1=x ２＋ｐx +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为E ,抛物线ｙ2＝ｘ2+px ＋q ＋1得顶点为N ,与y 轴得交点为F ,若四边形FEM Ｎ得面积等于２,求p 得值.2．设关于x 得方程x ２－5x －ｍ２＋1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数ｍ得取值范围,使｜α|＋|β｜≤6成立.３．（湖南怀化)已知x 1,x 2就是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a ＝０得两个实数根.（1）就是否存在实数a ,使-x １＋x １x ２=4＋ｘ2成立？若存在,求出a 得值；若不存在,请您说明理由;(2)求使(x 1+１)(x 2＋1)为负整数得实数ａ得整数值.4.(江苏模拟)已知关于ｘ得方程ｘ2-(a +ｂ+１）x ＋a ＝0（ｂ≥0)有两个实数根x 1、x ２,且ｘ1≤ｘ2.(1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1，２),B (＼F （1,２),1),C (1,1),点P (x 1，x 2)在△ＡBC 得三条边上运动,问就是否存在这样得点Ｐ,使a ＋b ＝54若存在，求出点P 得坐标;若不存在,请说明理由．５.(福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!，且x １x 2≠0，ｘ1≠x 2. (1)求ｂ得取值范围；(２）否存在实数b ,使得1x １＋错误!=１？若存在,求出b 得值;若不存在，请说明理由.6．(成都某校自主招生)已知a ，b ,c 为实数,且满足a +b +c =0,abc ＝8,求ｃ得取值范围. ７.(四川某校自主招生)已知实数ｘ、y 满足错误! ，求x y 得取值范围.8.（福建某校自主招生）已知方程(a ｘ＋1）2＝ａ2（1－x 2)(a >1)得两个实数根ｘ1、x 2满足x 1＜x 2，求证: -1＜x 1＜0＜x 2＜1.(答案)１.(北京模拟)已知关于ｘ得一元二次方程ｘ2＋px ＋q ＋１=0有一个实数根为２． (1)用含p 得代数式表示ｑ;(2)求证:抛物线y 1＝x ２＋p ｘ+q 与x 轴有两个交点;(3)设抛物线y 1=ｘ2+px +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为Ｅ,抛物线y 2＝x 2+px +q +1得顶点为N ,与ｙ轴得交点为Ｆ，若四边形ＦＥM Ｎ得面积等于２,求ｐ得值.解:（1)∵关于x 得一元二次方程x 2＋px ＋q +1＝0有一个实数根为2 ∴２２＋2p +q ＋１＝0，整理得:q =-２p -5(2)∵△=p 2－４q ＝p ２－4（-2p －5)＝p ２＋8p +20=(p +4）2+4 无论p 取任何实数，都有（ｐ+4）2≥0∴无论ｐ取任何实数,都有(p ＋4)2＋４>0,∴△＞0∴抛物线y 1＝ｘ２+px +q 与x 轴有两个交点(3)∵抛物线ｙ1=x 2＋px ＋ｑ与抛物线ｙ２＝x 2+px ＋q ＋1得对称轴相同,都为直线x=－ｐ２,且开口大小相同,抛物线y2＝x2＋ｐx＋q＋1可由抛物线ｙ１=x2+px+q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MＮ,EF=MN＝１∴四边形ＦEMN就是平行四边形由题意得S四边形FＥＭＮ=EF·｜-错误!|=２，即|－错误!|=2∴p=±42.(安徽某校自主招生)设关于x得方程ｘ２-5x－m２+1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数m得取值范围，使｜α|＋|β|≤6成立.解:∵△＝5２－４(-m２＋1)=4ｍ2＋21∴不论m取何值,方程x2-5x-m2+1＝0都有两个不相等得实根∵x２－5ｘ-m2＋1=０,∴α+β＝5,αβ=１－ｍ2∵｜α｜+｜β|≤6,∴α２+β2＋2|αβ｜≤36,即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ｜≤36∴2５－2(１－ｍ2)+2｜1-ｍ２|≤3６当１－ｍ2≥0,即-1≤ｍ≤1时,25≤３6成立∴－1≤m≤1①当１-ｍ2＜0,即m＜－1或m>1时,得25-4（1-m2）≤36解得-错误!≤m≤错误!∴-152≤ｍ＜－1或1<m≤错误!②综合①、②得:－＼F(１５,2）≤m≤错误!３.(湖南怀化)已知x１,x２就是一元二次方程(ａ-6)ｘ2＋2ax+a=０得两个实数根．（１）就是否存在实数a,使-x1＋x1ｘ２＝4+x2成立?若存在,求出a得值;若不存在,请您说明理由;（2）求使(x1+１)（x2+１）为负整数得实数a得整数值.解：（1)∵ｘ１,x2就是一元二次方程（a－6)x2+2aｘ+a＝０得两个实数根∴错误!即错误!假设存在实数a使－ｘ１+ｘ1x2＝4＋x２成立,则４+（x1＋ｘ２）－x1x２=0∴4＋错误!－错误!=0,得a=２４∵ａ=24满足a≥0且a≠6∴存在实数ａ=24,使－x1+x1ｘ2=4＋ｘ2成立(2)∵(x１＋1)（ｘ2+１)=(x1＋x2)+x１x2＋１=＼F(－2a,ａ-６)+aa－６+1=-错误!∴要使(x１＋１)(x２＋1）为负整数,则只需a为7,８,9，124.（江苏模拟)已知关于x得方程x2-(a＋b+1)ｘ+a=0(b≥0）有两个实数根x1、x２，且ｘ1≤x2.(1)求证：x1≤1≤ｘ2(2）若点A（1,2),B(1２，1）,C(1,1)，点P（x1,ｘ2)在△ABC得三条边上运动，问就是否存在这样得点P，使a＋b＝错误!？若存在,求出点P得坐标;若不存在，请说明理由.解:(1）由根与系数得关系得：x1＋x2=a＋b+1，x1x２＝a∴a＝x１x2,b=x1＋x2-x１x2－1∵b≥0,∴ｘ1＋x2－x1x２-１≥０∴1－x1－x2+x1x2≤0∴(1－ｘ１)(1－x2)≤0又∵x １≤x 2,∴1-ｘ1≥0,１－x ２≤０ 即x 1≤1,x 2≥１ ∴x 1≤1≤x ２(2)∵x 1+ｘ2＝a ＋ｂ+１，ａ＋ｂ＝＼F(5,4),∴x 1＋x 2=错误! ①当点Ｐ(x 1,x 2)在ＢＣ边上运动时 则12≤x １≤1,x 2＝1 ∴x 1＝9４-x 2＝错误!-１=错误!>1故在ＢC 边上不存在满足条件得点P ②当点P (ｘ1,x ２)在AC 边上运动时 则x 1=1,１≤x 2≤2取x ２=＼F(5,４）,则x 1＋x 2＝94,即a ＋b ＝54故在AC 边上存在满足条件得点P (1,错误!)③当点Ｐ（x 1，x 2)在AB 边上运动时 则错误!≤x 1≤1,1≤x 2≤2,易知x 2＝2x １ ∵x １＋x ２＝＼Ｆ(9,4),∴x 1=34,x 2＝32又∵＼F （1,2)＜错误!＜1,1<错误!＜2故在AB 边上存在满足条件得点（错误!,错误!)综上所述,当点P (x １,ｘ2)在△ABC 得三条边上运动时,在B Ｃ边上没有满足条件得点，而在AC 、AB 边上存在满足条件得点,它们分别就是（１,５4)与(错误!,错误!)5.（福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!,且x 1x 2≠0,x 1≠ｘ2. （１)求b 得取值范围;（2）否存在实数b ，使得错误!+错误!=1?若存在,求出b 得值;若不存在,请说明理由. 解:（１)由已知得4x =(2x +ｂ)2，整理得4x ２＋(4b －4)ｘ+b 2＝0 ∵x 1≠ｘ2,∴△>０,即(４ｂ-4)2-16b 2>0,解得b ＜错误! 又∵x 1x ２≠0，∴错误!≠0,∴b ≠0 综上所述,b <错误!且b ≠０（２)∵ｘ1＋x 2=1－b ,x １ｘ2=错误!,∴错误!+错误!＝错误!=错误!＝１得 ∴b 2+4b -4=０,解得b =-2±2２∵-2+2，2=2(2-１）＞１2，∴b =-2+２2不合题意，舍去∴b =-2－２错误!6.(成都某校自主招生)已知a ,b ,ｃ为实数,且满足a +b +c =０,ab ｃ＝８,求c 得取值范围. 解:∵a +b ＋c ＝0,abc =8,∴a ,ｂ,ｃ都不为零,且a +b ＝-c ，ａb =错误! ∴a ,b 就是方程ｘ2＋cx ＋＼F(8,c )=0得两个实数根 ∴△=c 2-４×8c≥0当c <０时,c 2-４×＼F(8,c )≥0恒成立 当ｃ＞0时,得ｃ3≥32,∴c ≥ 故ｃ得取值范围就是c ＜0或c ≥７.(四川某校自主招生)已知实数x、y满足错误!,求x y得取值范围.解：∵(x-ｙ)2≥０,∴ｘ２＋y2≥2xｙ∴2(ｘ2＋y2)≥(x＋y）２∴2（4a2-2a＋２）≥(3a－1)2即a2-２ａ-3≤０,解得-1≤ａ≤3∵ｘy＝错误![（x＋ｙ)2－（x２+y2）]=错误![（3a-1）２-(4a2－2ａ+２)]=错误!(5a２－4a-１）＝错误!（a－错误!)2－错误!∴当a＝＼F(2,5）时,x y有最小值－＼F(9,１0);当ａ=３时有最大值16∴－＼F(9,10)≤ｘy≤1６8.(福建某校自主招生)已知方程(aｘ+1)2＝a2(1-ｘ2)(ａ＞1)得两个实数根x1、x2满足x1＜x2,求证:-1＜x１<0＜ｘ2<1.证明:将原方程整理，得2ａ2x2+2ax＋1-a2=０令y＝2a2ｘ2＋2ax+1－a2,由于a＞1，所以这就是一条开口向上得抛物线当x=0时,y=1－a2<0,∴原方程有一个正根与一个负根又∵ｘ１<x２,∴x1<0<x２又当x＝1时,ｙ=２ａ2+2ａ＋１-a2＝(a＋１）２＞0当ｘ=-1时,ｙ＝2ａ2－2a＋1-ａ2=(a-１）２＞０∴-1<x１<0<x2<1。
一元二次方程(压轴题综合测试卷)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上册压轴题专项(人教版)
一元二次方程（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（22-23八年级下·浙江·开学考试）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根b，则a+b+c的值为（）A．0B．1C．3D．不确定【思路点拨】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把x=b代入3个方程得出ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0，3个方程相加即可得出(a+b+c)(b2+a+1)=0，即可求出答案．【解题过程】把x=b代入ax2+bx+c=0, bx2+cx+a=0, cx2+ax+b=0得：ab2+b·b+c=0, b·b2+cb+a=0, cb2+ab+b=0，相加得：(a+b+c)b2+(b+c+a)b+(a+b+c)=0，(a+b+c)(b2+a+1)=0，∵b2+b+1=b+34>0，∴a+b+c=0，故选：A．2．（23-24九年级上·福建泉州·期末）若x=2是关于x的一元二次方程x2―52ax―a2=0(a>0)的一个根，下面对a的值估计正确的是（）A．0<a<12B．12<a<1C．1<a<32D．32<a<2【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、解一元二次方程、实数大小估算等知识，利用公式法解关于a 的方程a 2+5a ―4=0是解题关键．将x =2代入方程x 2―52ax ―a 2=0(a >0)并整理，获得关于a 的方程a 2+5a ―4=0，然后估计a 的大小即可．【解题过程】解：将x =2代入方程x 2―52ax ―a 2=0(a >0)，可得22―52×a ×2―a 2=0，整理可得a 2+5a ―4=0，解得a ==∴a 1=a 2=∵a >0，∴a =<<6<<7，∴1<―5+<2，∴12<<1，即12<a <1．故选：B ．3．（23-24九年级下·浙江·自主招生）若方程x 2―3x ―1=0的根也是方程x 4+ax 2+bx +c =0的根，则a +b ―2c 的值为（ ）A ．―13B ．―9C ．―5D ．前三个答案都不对【思路点拨】本题主要考查了一元二次方程的解．设m 是方程x 2―3x ―1=0的一个根．根据方程解的意义知，m 既满足方程x 2―3x ―1=0，也满足方程x 4+ax 2+bx +c =0，将m 代入这两个方程，并整理，得(9+a )m 2+(6+b )m +c +1=0．从而可知：方程x 2―3x ―1=0的两根也是方程(9+a )x 2+(6+b )x +c +1=0的根，这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．【解题过程】解：设m 是方程x 2―3x ―1=0的一个根，则m 2―3m ―1=0，∴m 2=3m +1．由题意得：m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，∴m4+am2+bm+c=0，把m2=3m+1，代入得(3m+1)2+am2+bm+c=0，整理得：(9+a)m2+(6+b)m+c+1=0．∴方程x2―3x―1=0的两根也是方程(9+a)x2+(6+b)x+c+1=0的根，∴可设(9+a)x2+(6+b)x+c+1=k(x2―3x―1)，∴k=9+a,―3k=6+b,―k=c+1，∴b=―3a―33,c=―a―10，∴a+b―2c=a+(―3a―33)―2(―a―10)=―13．故选：A．4．（22-23九年级上·重庆璧山·期中）使得关于x的不等式组6x―a≥―10―1+12x<―18x+32有且只有4个整数解，且关于x的一元二次方程(a―5)x2+4x+1=0有实数根的所有整数a的值之和为（）A．35B．30C．26D．21【思路点拨】先求出不等式组的解集，根据有且只有4个整数解可确定a的取值范围，再通过根的判别式确定a的取值范围，最后结合两个取值范围找出满足条件的整数相加即可．【解题过程】解：整理不等式组得：6x―a≥―10①―8+4x<―x+12②由①得：x≥a―106，由②得：x<4∵不等式组有且只有4个整数解，∴不等式组的4个整数解是：3，2，1，0，∴―1<a―106≤0，解得：4<a≤10，∵(a―5)x2+4x+1=0有实数根，∴Δ=b2―4ac=16―4×(a―5)×1=36―4a≥0,解得：a≤9，∵方程(a―5)x2+4x+1=0是一元二次方程，∴a≠5∴4<a≤9，且a≠5，满足条件的整数有：6、7、8、9；∴6+7+8+9=30，故选：B．5．（2024九年级·全国·竞赛）已知关于x的一元二次方程x2―kx+2k―1=0的两个实数根分别为x1、x2，且x21+x22=7，那么(x1―x2)2的值为（）A．13或―11B．13C．―11D．11【思路点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数的关系结合x21+x22=7求出k=―1,k=5，再根据根的判别式得出k=―1，从而得出x1+x2=―1,x1x2 =―3，再把(x1―x2)2变形为(x1―x2)2=x21+x22―2x1x2，然后再代入计算即可．【解题过程】解：∵一元二次方程x2―kx+2k―1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=―(―k)=k,x1x2=2k―1，又x21+x22=(x1+x2)2―2x1x2=7，∴k2―2(2k―1)=7，解得，k1=―1，k2=5，又Δ=(―k)2―4×1×(2k―1)=(k―4)2―16，当k1=―1时，△=(―1―4)2―16=9>0，当k2=5时，△=(5―4)2―16=―15<0，∴k=―1，∴x1x2=―3，∴(x1―x2)2=x21+x22―2x1x2=7―2×(―3)=7+6=13．故选：B6．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程x2―(2m+1)x+m(m+1)=0（m 是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（ ）A．17或19B．15或17C．13或15D．17【思路点拨】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．【解题过程】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴Δ=[―(2m+1)]2―4m(m+1)≥0，=4m2+4m+1―4m2―4m=1>0；∴不管m去何值，方程x2―(2m+1)x+m(m+1)=0都有两个不相等的实数根，∵一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，∴6是腰长，x=6是方程x2―(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根，∴62―6(2m+1)+m(m+1)=0，整理，得：m2―11m+30=0，解得：m=5或m=6，当m=5时，x2―11x+30=0，解得x1=5,x2=6，此时等腰三角形的三边长：6,6,5，周长=6+6+5=17；当m=6时，x2―13x+42=0，解得x1=6,x2=7，此时等腰三角形的三边长：6,6,7，周长=6+6+7=19．故选：A．7．（2024·浙江·模拟预测）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程x2―x―2=0是倍根方程；②若p，q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；③若(x―2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mn+n2=0．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3【思路点拨】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；②当p，q满足pq=2，则px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断．【解题过程】解：①解方程x2―x―2=0(x―2)(x+1)=0，∴x―2=0或x+1=0，解得，x1=2，x2=―1，得，x1≠2x2，∴方程x2―x―2=0不是倍根方程；故①不正确；②∵pq=2，则：px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，∴x1=―1p，x2=―q，∴x2=―q=―2p=2x1，因此是倍根方程，故②正确；③若(x―2)(mx+n)=0是倍根方程，x1=2，因此x2=1或x2=4，当x2=1时，m+n=0，当x2=4时，4m+n=0，∴4m2+5mn+n2=(m+n)(4m+n)=0，故③正确；故选：C．8．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则方程必有一根为x=1；②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；③若ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，则方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1 x1，1x2；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则b2―4ac=(2ax0+b)2其中正确的（）A．①②B．①④C．①③④D．①②③④【思路点拨】本题考查一元二次方程根的判断，根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除．【解题过程】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，故①正确；②若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，∴ac2+bc+c=0∴当c≠0时，有ac+b+1=0成立；，故②不正确；③∵方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根为x1，x2且满足x1≠x2≠0，∴Δ=b2―4ac≥0，令x1=x2=∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)有两个实数根，令两根分别为x′1，x′2∴x′1===1x2，x′2===1x1，∴方程cx2+bx+a=0(c≠0)，必有实根1x1，1x2，故③正确；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：x0=∴2ax0+b=±∴b2―4ac=(2ax0+b)2，故④正确．故正确的有①③④，故选：C．9．（22-23九年级下·重庆渝中·阶段练习）根据绝对值的定义可知|x|=x(x≥0)―x(x<0)，下列结论正确的个数有（）①化简|a|+|b|+|c|一共有8种不同的结果；②|x +3|+|2―x |的最大值是5；③若a n =|3n ―19|，S n =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n （n 为正整数），则当S n =1327时，n =35；④若关于x 的方程|13x 2―23x ―83|=x +b 有2个不同的解，其中b 为常数，则―4<b <2或b >3312A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【思路点拨】由|a |、|b |、|c |的结果分别有2种，则|a|+|b|+|c|的结果共有2×2×2=8种，可判断①；根据x 的取值，化简运算|x +3|+|2―x |即可判断②；根据【解题过程】解：∵ |a |、|b |、|c |的结果分别有2种，∴ |a|+|b|+|c|的结果共有2×2×2=8种，故①正确；当x >2时，|x +3|+|2―x |=x +3+x ―2=2x +1，当0≤x ≤2时，|x +3|+|2―x |=x +3+2―x =5，当―3≤x <0时，|x +3|+|2―x |=3―x +2―x =5―2x ，当x <―3时，|x +3|+|2―x |=―x ―3+2―x =―2x ―1，故②错误；∵n 是正整数，∴a n =|3n ―19|=19―3n,1≤n ≤63n ―19,n ≥7 ，S 6=16+13+10+7+4+1=51，S n =51+(2+3n―19)(n―6)2，n ≥7，当n =35时，S n =51+(2+3×35―19)×(35―6)2=51+1276=1327，故③正确；|13x 2―23x ―83|=2―23x ―83,x ≤―2或x ≥413x 2+23x +83,―2<x <4 ，当x ≤―2或x ≥4时，13x 2―23x ―83=x +b ，∴13x 2―53x ―83―b =0，∵方程有2个不同的解，Δ=b 2―4ac =――4×13×―83―b >0，解得：b >―5712，当―2<x <4时，―13x 2+23x +83=x +b ，∴―13x 2―13x +83―b =0，∵方程有2个不同的解，Δ=b 2―4ac =――4××―b >0，解得：b <3312，故④错误；综上，正确的有①③，故选：C ．10．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S ．下列说法错误的是（ ）A ．若a =16，S =196，则有一种围法B ．若a =20，S =198，则有一种围法C ．若a =24，S =198，则有两种围法D ．若a =24，S =200，则有一种围法【思路点拨】分两种情况讨论：，图2围法，设矩形菜园垂直于墙的边为x 米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x 的范围，从而可得答案．【解题过程】解：设矩形菜园的宽为x 米，则长为(40―2x )米，∴S =x (40―2x )=―2x 2+40x,当a =16时，采用图1围法，则此时12≤x <20,当S=196时，―2x2+40x=196,解得：x1=10+2=10―此时都不符合题意，采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=x,则AD+BC=40―2x+16,则BC=28―x,所以长为(28―x)米，结合28―x>16可得0<x<12,∴x(28―x)=196,解得：x1=x2=14,经检验不符合题意，综上：若a=16，S=196，，则没有围法，故A符合题意；设矩形菜园的宽为x米，则长为―2x)米，∴S=x(40―2x)=―2x2+40x,当a=20时，采用图1围法，则此时10≤x<20,当S=198时，―2x2+40x=198,解得：x1=11,x2=9,经检验x=11符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=x,则AD+BC=40―2x+20,则BC=30―x,所以长为(30―x)米，结合30―x>20可得0<x<10,∴x(30―x)=198,解得：x1=15+x2=15―经检验x=15―综上：若a=20，S=198，则有两种围法，故B不符合题意；设矩形菜园的宽为x米，则长为(40―2x)米，∴S=x(40―2x)=―2x2+40x,当a=20时，采用图1围法，则此时10≤x<20,当S=198时，―2x2+40x=198,解得：x1=11,x2=9,经检验都符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=x,则AD+BC=40―2x+24,则BC=32―x,所以长为(32―x)米，结合32―x>24可得0<x<8,∴x(32―x)=198,解得：x1=16+x2=16―经检验都不符合题意，若a=24，S=198，则有两种围法，C不符合题意，设矩形菜园的宽为x米，则长为(40―2x)米，∴S=x(40―2x)=―2x2+40x,当a=20时，采用图1围法，则此时10≤x<20,当S=200时，―2x2+40x=200,解得：x1=x2=10,经检验符合题意；采用图2围法，如图，此时矩形菜园的宽为x米，即AB=CD=x,则AD+BC=40―2x+24,则BC=32―x,所以长为(32―x)米，结合32―x>24可得0<x<8,∴x(32―x)=200,解得：x1=16+2=16―经检验都不符合题意，综上所述，若a=24，S=200，则有一种围法，D不符合题意；故选A．评卷人得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程m(x―ℎ)2―k=0（m,ℎ,k均为常数，且m≠0）的解是x1=2，x2=5，则关于x的一元二次方程m(x―ℎ+3)2=k的解是．【思路点拨】的解为y1=2,y2=5，解方程即可本题考查同解方程，涉及换元法，令x+3=y，由题意得到(y―ℎ)2=km得到答案，读懂题意，由同解方程求解是解决问题的关键．【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程m(x―ℎ)2―k=0（m,ℎ,k均为常数，且m≠0）的解是x1=2,x2=5，即(x―ℎ)2=k的解为x1=2,x2=5；m令x+3=y，∴关于x的一元二次方程m(x―ℎ+3)2=k化为m(y―ℎ)2=k，∵(x―ℎ)2=k的解为x1=2,x2=5，m∴(y―ℎ)2=km的解为y1=2,y2=5，即x+3=2或x+3=5，∴x1=―1,x2=2，∴关于x的一元二次方程m(x―ℎ+3)2=k的解是x1=―1,x2=2，故答案为：x1=―1,x2=2．12．（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）在京珠高速公路上行驶着一辆时速为108千米的汽车，突然发现前面有情况，紧急刹车后又滑行30米才停车．刹车后汽车滑行10米时用了秒．【思路点拨】本题考查一元一次方程及一元二次方程的应用，是匀减速运动的问题，速度应为平均速度，基本等量关系：平均速度×时间=路程，列方程并解方程即可解决，注意速度单位的转化和题目的问题相符．【解题过程】解：时速为108千米=30米/秒，设紧急刹车后又滑行30米需要时间为x秒，则30+02⋅x=30，解得：x=2．平均每秒减速=(30―0)÷2=15（米/秒）；设刹车后汽车滑行10米时用了t秒，依题意列方程：30+(30―15t)2⋅t=，解方程得x1=x2=>2（不合题意，舍去），即x=故答案为：x=13．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如果关于x的一元二次方程x2+4x+m+2=0有实数根，且关于y的分式方程my+1y―3=5+23―y有正整数解，那么符合条件的所有整数m的和为．【思路点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解分式方程，利用一元二次方程根的判别式，得到关于m的一元一次不等式，解之得到m的取值范围，解分式方程得到分式方程的解，再由分式方程有正整数解得到m的值，结合m取值范围确定符合条件的所有整数m，将其相加即可求解，由一元二次方程和分式方程得到符合条件的所有整数m是解题的关键．【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+m+2=0有实数根，∴Δ=16―4(m+2)≥0，解得m≤2，解分式方程my+1y―3=5+23―y得，y=185―m(m≠5)，∵关于y的分式方程my+1y―3=5+23―y有正整数解，∴5―m=1，2，3，6，9，18，解得m=4，3，2，―1，―4，―13，∵y―3≠0，∴185―m≠3，∴m≠―1，又∵m≤2，∴符合条件的整数m有2，―4，―13，∴为2+(―4)+(―13)=―15，故答案为：―15．14．（23-24九年级上·湖南湘西·阶段练习）已知关于x的一元二次方程(2n―mn)x2+2(m―n)x―2m+mn=0有两个相等的实数根，那么1m +1n的值为．【思路点拨】本题考查了一元二次方程判别式，根据题意得b2―4ac=[2(m―n)]2―4(2n―mn)(―2m+mn)=0，整理可得(m+n)2=mn(2n―mn+2m)，两边同时除m2n2得12×(m+n)2m2n2+12=1m+1n，由1m+1n=m+nmn，通过换元法即可求解．【解题过程】解：由题意得：b2―4ac=[2(m―n)]2―4(2n―mn)(―2m+mn)=0化简得：(m―n)2=mn(2―m)(n―2)∴(m+n)2―4mn=mn(2n―4―mn+2m)(m+n)2―4mn=2mn2―4mn―m2n2+2m2n(m+n)2=2mn2―m2n2+2m2n(m+n)2=mn(2n―mn+2m)两边同时除m2n2得：(m+n)2m2n2=2m―1+2n两边同时除2得：12×(m+n)2m2n2+12=1m+1n∵1 m +1n=m+nmn令t=m+nmn，∴1 2×(m+n)2m2n2+12=1m+1n可转化为12×t2+12=t，化简得：t2―2t+1=0，即(t―1)2=0，解得：t=1，∴1 m +1n=m+nmn=1，故答案为：1．15．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）若关于x的一元二次方程(x―2)(x―3)=m有实数根x1，x2，且x1≠x2，有下列结论：①m≥―14；②若x1=1，则x2=4；③关于x的方程(x―3)(x―4)=m的根为x1―1，x2―1；④关于x的方程(x―x1)(x―x2)+m=0的根为2，3．其中正确结论的有．【思路点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，根的判别式的应用，根与系数的关系，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键，把方程化为一般形式结合判别式可判定①，把方程的解代入原方程可判定②，结合整体思想可判定③，利用根与系数的关系把(x―x1)(x―x2)+m=0变形，再解方程可判定④，从而可得答案．【解题过程】解：①(x―2)(x―3)=m化为一般形式为x2―5x+6―m=0，∵原方程有实数根x1、x2，且x1≠x2，∴Δ=b2―4ac=(―5)2―4(6―m)>0解得：m>―14，故①错误，∵关于x的一元二次方程(x―2)(x―3)=m有实数根x1、x2，当x1=1，则m=2，∴方程为x2―5x+4=0，解得：x1=1，x2=4，故②正确；∵关于x的一元二次方程(x―2)(x―3)=m有实数根x1，x2，且x1≠x2，而(x―3)(x―4)=m可化为：[(x―1)―2][(x―1)―3]=m，∴x―1=x1，x―1=x2，∴x=x1+1或x=x2+1，故③错误；∵(x―2)(x―3)=m化为一般形式为x2―5x+6―m=0，∵原方程有实数根x1、x2，且x1≠x2，∴x1+x2=5，x1x2=6―m，∵(x―x1)(x―x2)+m=x2―(x1+x2)x1+m+x1x2=x2―5x+m+6―m=x2―5x+6，∴x2―5x+6=0，解得：x=2或x=3，故④正确，故答案为：②④评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，满分55分）16．（6分）（22-23八年级上·上海青浦·期末）解方程：（1=2；（2）2xx2―2x―3―1x―3=1；（3）2x2―=0【思路点拨】（1）移项后两边平方得出x+2=4++8―x，求出x―5=x2―10x+25=4(8―x)，求出x，再进行检验即可；（2）观察可得最简公分母是(x―3)(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（3）令t=2x2―1―=0，代入原方程，得t2―3t+2=0，所以t1=2，t2=1，然后分两种情况分别解方程即可．【解题过程】（1=2=2+两边平方得，x+2=4++8―x，合并同类项得，2x―10=∴x―5=两边平方得，x2―10x+25=4(8―x)，整理得，x2―6x―7=0，∴(x+1)(x―7)=0，解得：x1=―1，x2=7，经检验，x1=―1，不是原方程的解，∴原方程的解为：x=7．（2）2xx2―2x―3―1x―3=1解：方程两边同时乘以(x―3)(x得，2x―(x+1)=x2―2x―3整理得，x2―3x―2=0，解得，x==∴x1=x2=经检验，x1=x2=(x―3)(x+1)≠0，∴原方程的根为：x1=x2=（3）2x2―=0解：2x2―1―+2=0令t=t2―3t+2=0，∴(t―2)(t―1)=0，解得：t1=2，t2=1，当t1=2=2，即：2x2―1=4，∴x2=52，解得：x1=―x2=当t2=1=1，即：2x2―1=1，∴x2=1，解得：x3=―1，x4=1，经检验x1，x2，x3，x4都为原方程的解∴原方程的解为：x1=―x2=x3=―1，x4=1．17．（6分）（22-23九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于x的方程(2m―1)x2―(2m+1)x+1=0．（1）求证：不论m为何值，方程必有实数根；（2）当m为整数时，方程是否有有理根？若有求出m的值，若没有请说明理由．【思路点拨】（1）①当2m―1=0时，方程为一元一次方程，即可求解；②当2m―1≠0时，方程为二元一次方程，由一元二次方程根的判别式：Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程有无的实数根；据此进行求解即可．（2）①当2m―1=0时，即：m=12，即可求解；②当2m―1≠0时，当m为整数时，假设方程有有理根，则需满足：Δ=(2m―1)2+4是完全平方数，设(2m―1)2+4=n2(n为整数)，则有(2m―1+n)(2m―1―n) =―4，即可求解．∴2m―1+n=12m―1―n=―4或2m―1+n=―12m―1―n=4或2m―1+n=22m―1―n=―2或2m―1+n=―22m―1―n=2，【解题过程】（1）解：由题意得①当2m―1=0时，即：m=12，方程为一元一次方程：―2x+1=0，此时方程必有实数根；②当2m―1≠0时，即：m≠12，此时方程为一元二次方程，a=2m―1，b=―(2m+1)，c=1，∴Δ=[―(2m+1)]2―4(2m―1)=4m 2―4m +5=(2m ―1)2+4，∵(2m ―1)2≥0，∴(2m ―1)2+4>0，∴Δ>0，故不论m 为何值，方程必有实数根；综上所述：不论m 为何值，方程必有实数根．（2）解：当m 为整数时，方程没有有理根，理由如下：①当2m ―1=0时，即：m =12，方程为一元一次方程，方程有有理根，∵ m 为整数，∴此情况不存在；②当2m ―1≠0时，当m 为整数时，假设方程有有理根，则需满足：Δ=(2m ―1)2+4是完全平方数，设(2m ―1)2+4=n 2(n 为整数)，则有(2m ―1+n )(2m ―1―n )=―4∴ 2m ―1+n =12m ―1―n =―4 或2m ―1+n =―12m ―1―n =4 或2m ―1+n =22m ―1―n =―2 或2m ―1+n =―22m ―1―n =2 ，解得：m =―14或m =12，此时与m 为整数矛盾，∴当m 为整数时，方程没有有理根；综上所述：当m 为整数时，方程没有有理根．18．（6分）（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）阅读材料：200多年前，数学王子高斯用他独特的方法快速计算出1+2+3+⋯+100的值．我们从这个算法中受到启发，用下面方法计算数列1，2，3，…，n ，…的前n 项和：由1+2+⋯+n ―1+n n +n ―1+⋯+2+1(n +1)+(n +1)+⋯+(n +1)+(n +1)．可知1+2+3+⋯+n=(n+1)×n2应用以上材料解决下面问题：（1）有一个三角点阵（如图），从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n 行有n个点，⋯．若该三角点阵前n行的点数和为325，求n的值．（2）在第一问的三角点阵图形中，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．（3）如果把上图中的三角点阵中各行的点数依次换为3，6，9，…，3n，…，前n行的点数和能是900吗？如果能，求出n；如果不能，说明理由．【思路点拨】（1）直接由所给公式列一元二次方程求解即可；（2）由所给公式列方程整理后求解，根据n为正整数判断即可；（3）根据题意列方程，提公因数3后利用所给公式和一元二次方程的解法求解即可．【解题过程】=325，（1）解：根据题意，得1+2+3+…+n=(n+1)×n2即n2+n―650=0，解得n1=25，n2=―26（负值舍去），∴n的值为25；（2）解：不能，理由为：=900得n2+n―1800=0，由1+2+3+…+n=(n+1)×n2∵Δ=1+4×1800=7201>0，∴n=∵n∴不存在n值，使前n行的点数和是900．即在第一问的三角点阵图形中，前n行的点数不能是900；（3）解：能，n =24，理由为：由3+6+9+…+3n =900得3(1+2+3+…+n)=900，则1+2+3+…+n =(n+1)×n2=300，∴n 2+n ―600=0，解得n 1=24，n 2=―25（负值舍去），∴当n =24时，前n 行的点数和是900．19．（6分）（22-23八年级下·重庆北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．（1）分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；（2）实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a 万元，且每天多挖124a ．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a 万元，且每天多挖18a 米．若最终每天实际总成本比计划多24+112a 万元，求a 的值．【思路点拨】（1）设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x 万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x +2)万元，根据题意列方程即可求解；（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．【解题过程】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x 万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x +2)万元，∴6x +6(x +2)=108，解得，x =8，∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元，∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a 万元，则甲每合格完成1米实际成本为10+16a万元，且每天多挖124a ，则甲每天实际完成量为6×1+124a =6+14a 米，乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a 万元，则乙每合格完成1米实际成本为8+13a 万元，且每天多挖18a 米，则乙每天实际完成量为6+18a 米，终每天实际总成本比计划多24+112a 万元，则最中每天的实际总成本为108+24+112a =132+112a万元，∴10+16a×6+14a+8+13a×6+18a=132+112a，整理得，a2+12a―288=0，解得，a1=12，a2=―24（不符合题意，舍去），∴a的值为12．20．（6分）（22-23九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．（1）若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？（2）为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【思路点拨】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价x元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【解题过程】（1）设总共生产了a袋手工汤圆，依题意得，0.3a450+0.5a300=21解得a=9000，经检验a=9000是原方程的解，答：总共生产了9000袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价x元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，225×2×(25―13)+8(25―13―x)225+752x=40500整理得：x2―6x+45=0Δ=62―4×45<0，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为(15―13)9000―2×225―8225+752x =12600―600x∴依题意得，225×2×(25―13)+8(25―13―x )225+752x +12600―600x =40500解得x 1=1,x 2=3∵要促销∴x =3即促销时每袋应降价3元．21．（8分）（23-24九年级上·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题：已知实数m ，n 满足m 2―m ―1=0，n 2―n ―1=0，且m ≠n ，则m ，n 是方程x 2―x ―1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知m +n =1，mn =―1．根据上述材料，解决以下问题：（1）直接应用：已知实数a ，b 满足：a 2―5a +1=0，b 2―5b +1=0且a ≠b ，则a +b =______，ab =______；（2）间接应用：已知实数m ，n 满足：2m 2―7m +10，n 2―7n +2=0，且mn ≠1，求2mn+2mn+3n+1的值．（3）拓展应用：已知实数p ，q 满足：p 2―2p =3―t ，12q 2―q =12(3―t )且p ≠q ，求q 2+1(2p +4―t )的取值范围．【思路点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用（1）根据根与系数的关系即可求解；（2）先验证m ≠0，再在2m 2―7m +1=0两边同时除以m 2，得1m ,n 是一元二次方程x 2―7x +2=0的两个不等实数根，求出1m +n =7,1m ⋅n =2，变形代入即可；（3）先根据题意得到p,q 是一元二次方程x 2―2x =3―t 的两个不等实数根，求出p +q =2,pq =t ―3代入q 2+1(2p +4―t )化简，又因为p,q 是方程x 2―2x =3―t 的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求解．【解题过程】解：（1）由题意得：a ，b 是方程x 2―5x +1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知a +b =5，ab =1；解：（2）∵把m =0代入2m 2―7m +1得1≠0不合题意，∴m ≠0∴2m 2―7m +1=0两边同时除以m 2―71m +2=0,又∵n 2―7n +2=0，且mn ≠1，∴可将1m ,n 看作一元二次方程x 2―7x +2=0的两个不等实数根，∴利用根与系数的关系可得出1m +n =7,1m ⋅n =2，∴mn +1=7m,n =2m ，∴2mn+2mn+3n+1=2(mn+1)(mn+1)+3n =2⋅7m7m+3⋅2m =1413．解：（3）将方程12q 2―q =12(3―t)两边同时乘以2得q 2―2q =3―t ，又∵p 2―2p =3―t ，且p ≠q ，∴可将p,q 看作一元二次方程x 2―2x =3―t 的两个不等实数根，∴利用根与系数的关系可得出p +q =2,pq =t ―3,q 2=2q +3―t,∴q 2+1(2p +4―t)=(2q +3―t +1)(2p +4―t)=(2q +4―t)(2p +4―t)=4pq +8q ―2qt +8p +16―4t ―2pt ―4t +t 2=4pq +8(p +q)―2t(p +q)+16―8t +t 2=4(t ―3)+8×2―2t ⋅2+16―8t +t 2=4t ―12+16―4t +16―8t +t 2=t 2―8t +20=(t ―4)2+4∵p,q 是方程x 2―2x =3―t 的两个不等实数根，∴Δ=(―2)2―4(t ―3)=4―4t +12=16―4t >0,∴t <4．∵(t―4)2+4>4,∴q2+1(2p+4―t)>4.22．（8分）（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t(s)．（1）当t=2s时，四边形BCQP面积是______cm（2）当t为何值时，点P和点Q距离是4cm？（3）当t为何值时，以点P，Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．【思路点拨】（1）当t=2时，可以得出CQ=2cm，AP=4cm，就有PB=6―4=2(cm)，由矩形的面积就可以得出四边形BCQP的面积；（2）如图1，作QE⊥AB于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2，作PE⊥CD于E，在Rt△PEQ中，由勾股定理建立方程求出其解即可；（3）分情况讨论，如图3，当PQ DQ时，如图4，当PD=PQ时，如图5，当PD=QD时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．【解题过程】（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=2cm，AP=4cm，∴PB=6―4=2(cm)．∴S=2×2=4(cm2)．∴四边形BCQP面积是4cm2，故答案为：4；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t cm．∵AP=2t cm，∴PE=6―2t―t=(6―3t)cm．在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6―3t)2+4=16，解得：t=t=．如图2，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BP=6―2t．∵CQ=t，∴PE=t―(6―2t)=3t―6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得(3t―6)2+4=16，解得：t=t=，综上所述：t=（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t(cm)．∵AP=2t，∴PE=6―2t―t=6―3t．DQ=6―t．∵PQ=DQ，∴PQ=6―t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得(6―3t)2+4=(6―t)2，解得：t=如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，DQ，∠PED=90°．∴DE=QE=12∵∠A=∠D=90°，∴四边形APED是矩形，∴PE=AD=2cm．DE=AP=2t cm，∵DQ=(6―t)cm，cm．∴DE=6―t2∴2t=6―t，2解得：t=6；5如图5，当PD=QD时，∵AP=2t cm，CQ=t cm，∴DQ=6―t(cm)，∴PD=6―t(cm)．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=(6―t)2，解得t1=t2=．或综上所述：t=或6523．（9分）（23-24八年级上·四川成都·期末）已知平面直角坐标系中，直线AB图象上有两点A和点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．（1）求直线AB的表达式；（2）若在y轴上有一异于原点的点P，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标；（3）若将线段AB沿直线y=mx+n(m≠0)进行对折得到线段A1B1，且点A1始终在直线OA上，当线段A1B1与x轴有交点时，求n的取值的最大值．【思路点拨】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设P(0,t)，表示出PA2，PB2，AB2，根据△PAB为等腰三角形，则PA=PB或PA=AB或PB=AB，分别建立方程求解即可得出答案；（3）由于点A关于直线y=mx+n的对称点点A1始终在直线OA上，因此直线y=mx+n必与直线OA垂直，当点B1落到x轴上时，n的取值的最大，根据BB1∥OA，求出点B1的坐标，求出BB1和AA1的中点坐标代入y=mx+n(m≠0)，即可求得n的最大值．【解题过程】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，∵A，B，∴2k+b=5k+b=，解得：k=―b=，∴直线AB的解析式为y=―（2）解：设P(0,t)，则PA2=(0―2)2+(t―2=t2―+16，PB2=(0―5)2+(t―2=t2―+28，AB2=(2―5)2+2=12，∵△PAB为等腰三角形，∴PA=PB或PA=AB或PB=AB，当PA=PB时，PA2=PB2，∴t2―+16=t2―+28，解得：t=―∴P(0,―；当PA=AB时，PA2=AB2，∴t2―+16=12，∴t=t=∴P+或P当PB=AB时，PB2=AB2，∴t2―+28=12，∵Δ=(―2―4×16=―52<0，∴此方程无解；综上所述，△PAB为等腰三角形时，点P的坐标为(0,―或+或―；（3）解：当点B1落到x轴上时，n的取值的最大，如图，设直线OA的解析式为y=ax，∵点A的坐标为A，∴2a=a=∴直线OA的解析式为y=，∵BB1∥OA，∴直线BB1可设为y=+e，∵点B的坐标为，∴e=解得：e=―∴直线BB1解析式为y=―当y=0―=0，解得：x=4．∴点B1的坐标为(4,0)，∴BB1过点A1作A1E⊥x轴于点E，设点A1p,p，则A1E=，OE=p，∴B1E=4―p，根据对称性可知，A1B12=AB2=12，根据勾股定理得：A1E2+B1E2=A1B12，p2+(4―p)2=12，解得：p1=p2=1，∴A1，∴AA1y=mx+n+n=+n=，解得：m=―n=，∴当线段A1B1与x轴有交点时，n的取值的最大值为。
中考数学一元二次方程-经典压轴题及答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（） 【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（）解得124x x 23==-， 2．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可.【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404m m m +->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】 本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．4．某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可卖180箱．为了促销，该水果店决定降价销售．市场调查反映:若售价每降价1元，每星期可多卖10箱．设该苹果每箱售价x 元（40≤x ≤60），每星期的销售量为y 箱．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?【答案】(1)y =-10x +780；(2) 57；(3)当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x 元,则多销售的数量为60-x, （2）解一元二次方程即可求解,（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1）∵售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设该苹果每箱售价x 元（40≤x≤60），则y=180+10（60-x ）=-10x+780,(40≤x≤60),(2)依题意得：（x-40）(-10x+780)=3570,解得：x=57,∴当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w ，W=（x-40）(-10x+780)=-10（x-59）2+3610,∵-10 0,二次函数向下,函数有最大值,当x=59时, 利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数，∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+x2×20）=2240，化简，得 x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.此时，售价为：60﹣6=54（元），54100%=90% 60.答：该店应按原售价的九折出售.7．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t ，AC′=400﹣30t ，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t 15由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(1515h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为15151515h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．8．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．9．阅读材料：各类方程的解法求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a 的形式。
第二章 一元二次函数、方程和不等式【压轴题专项训练】(解析版)
第二章一元二次函数、方程和不等式【压轴题专项训练】一、单选题1．已知,a b ∈R 且0ab ≠，若对任意的0x 均有()()()20x a x b x a b ---- ，则（）A ．0a <B ．0a >C ．0b <D ．0b >【答案】D 【分析】分析可知a ，b 不可能同时为负，至少有一个为正，然后分①0a >，0b >，②0a >，0b <，③0a <，0b >讨论得答案．【详解】0ab ≠，b ab b ∴≠+，若使对任意的0x 均有()()(2)0x a x b x a b ---- ，则(2)0ab a b + ，a ∴，b 不可能同时为负，至少有一个为正，①若0a >，0b >，显然成立；②若0a >，0b <，则20a b + ，此时要使()()(2)0x a x b x a b ---- 在(-∞，0]上恒成立，则必有2b a b =+，则0a =，矛盾；③若0a <，0b >，则20a b + ，此时要使()()(2)0x a x b x a b ---- 在(-∞，0]上恒成立，则必有2a a b =+，则0a b +=，符合题意；综上，0b >．故选：D ．2．若,,a b c ∈R ，且a b <，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b c +≤-B ．()2a b c -≤C ．2c a b<-D ．ac bc<【答案】B 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为a b <，对A ：当0c >a c b c +≤-不一定成立，比如2434+≤-不成立，故A 不成立；对B ：因为2c ≥0，故可得22ac bc ≤，故B 一定成立；对C ：因为0a b -<，2c ≥0，20c a b≥-故C 不成立；对D ：因为0c <，ac bc >，故D 不成立.故选：B.3．下列说法正确的是（）A ．22a b ac bc >⇒>B ．22a b a b >⇒>C ．33a b a b >⇒>D ．22a b a b>⇒>【答案】C 【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【详解】选项A ，当0c =时，由a b >，不能推出22ac bc >，故错误；选项B ，当1a =-，2b =-时，显然有a b >，但22a b <，故错误；选项C ，当a b >时，必有33a b >，故正确；选项D ，当2a =-，1b =-时，显然有22a b >，但却有a b <，故错误.故选：C.4．若不等式3x m x y ++（）对所有正数x ，y 均成立，则实数m 的最小值是（）A ．32B ．43C ．3D ．4【答案】B 【分析】由题意可知m ≥x ，y均成立，即maxm ⎫≥⎪⎪⎝⎭，然后结合均值不的最大值即可.【详解】解：∵3x m x y +≤+（）对所有正数x ，y 均成立，∴m ≥x ，y 均成立，∴maxm ≥⎝⎭4393444x x x y =+++ ⎪⎝⎭，当且仅当94x y =时等号成立，∴43m ≥故m 的最小值为43故答案为：B5．已知不等式8201x m x ++>-对一切()1,x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．8m <-B ．10m <-C ．8m >-D ．10m >-【答案】D 【分析】由参变量分离法可得821m x x -<+-，利用基本不等式求出当()1,x ∈+∞时，821x x +-的最小值，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】由参变量分离法可得821m x x -<+-，当()1,x ∈+∞时，min 821m x x ⎛⎫-<+ ⎪-⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，10x ->，()88221221011x x x x +=-++≥=--，当且仅当3x =时，等号成立，故10m -<，解得10m >-.故选：D.6．若00a b >>，，则下面结论正确的有（）A ．()2222()a b a b +≤+B ．若142a b +=，则92a b +≥C ．若22ab b +=，则4a b +≥D ．若1a b +=，则ab 有最大值12【答案】B 【分析】对于选项ABD 利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C 取特值即可判断即可.【详解】对于选项A ：若00a b >>，，由基本不等式得222a b ab +≥，即()()2222a b a b +≥+，当且仅当a b =时取等号；所以选项A 不正确；对于选项B ：若00a b >>，，11412a b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，()11414522b a a b a a a b b b +=+⎛⎫⎛⎫⨯+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19522⎛≥+= ⎝，当且仅当142a b+=且4b aa b =，即3,32a b ==时取等号，所以选项B 正确；对于选项C ：由00a b >>，，()22ab b b a b +=+=，即2a b b+=，如2b =时，2142a b +==<，所以选项C 不正确；对于选项D ：2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等则ab 有最大值14，所以选项D 不正确；故选：B7．若关于x 的不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|2a a ≤-B ．{}|2a a ≥-C ．{}|6a a ≥-D ．{}|6a a ≤-【答案】A 【分析】把不等式化为242a x x ≤--，求出242x x --在区间[1，4]内的最大值，即可得出a 的取值范围．【详解】不等式2420x x a ---≥在{}|14x x ≤≤内有解等价于14x ≤≤时，2max (42)a x x ≤--.当14x ≤≤时，()2max422x x --=-，所以2a ≤-.故选：A.8．已知不等式220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<，若对于任意{}|10x x x ∈-≤≤，不等式224x bx c t -+++≤恒成立，则t 的取值范围是（）A ．{}|2t t ≤B ．{}|2t t ≤-C ．{}|4t t ≤-D ．{}|4t t ≤【答案】B 【分析】先根据220x bx c -++>的解集是{}|13x x -<<可得b ，c 的值，然后不等式224x bx c t -+++≤恒成立，分离参数转化最值问题即可求解.【详解】由题意得1-和3是关于x 的方程220x bx c -++=的两个实数根，则201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，则222246x bx c x x -++=-++，由224x bx c t -+++≤得2242t x x ≤--，当10x -≤≤时，()2min2422xx --=-，故2t ≤-.故选：B.9．记不等式220x x +->､210(0)x ax a -+≤>解集分别为A 、B ，A B 中有且只有两个正整数解，则a 的取值范围为（）A ．1017,34⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．517,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．517,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】求出集合A ，由分析知B ≠∅，求出集合B ，进而得出A B 中有且只有两个正整数解的等价条件，列不等式组即可求解.【详解】由220x x +->可得：1x >或2x <-，所以{|2A x x =<-或}1x >，因为A B 中有且只有两个正整数解，所以A B ⋂≠∅，对于方程210(0)x ax a -+=>，判别式24a ∆=-，所以方程的两根分别为：1x =，2x =所以|22a a B x x ⎧+⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若A B 中有且只有两个正整数解，则12342a a ⎧≤⎪⎪⎨+⎪≤⎪⎩即268a a a ⎧-≤⎪⎨-≤<-⎪⎩，可得2103174a a a ⎧⎪≥⎪⎪≥⎨⎪⎪<⎪⎩，所以101734a ≤<，当112a x =>时，解得02a <<，此时240a ∆=-<，B =∅不符合题意，综上所述：a 的取值范围为1017,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选：B.10．设11b a -<<<，则下列不等式恒成立的是（）A ．11b a>B ．11b a<C ．22b a <D ．2b a<【答案】D当0b =时，显然A,B 不恒成立，取特值可说明C 不正确，由不等式性质可推出D 正确.【详解】当0b =时，显然，A,B 不成立，当0.9 1.1b a ==，时，C 不成立，因为11b a -<<<，所以21b a <<，故D 正确；故选：D 二、多选题11．若0a b >>，则下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．11b b a a +>+C ．11a b b a+>+D ．11a b a b+>+【答案】AC 【分析】选项A 先判断10a b >⋅，再判断11a b<，最后判断选项A 正确；选项B 先判断()()11a b b a +>+，再判断11b b a a+>+，最后判断选项B 错误；选项C 先判断11b a >，再判断11a b b a +>+，最后判断选项C 正确；选项D 直接举反例当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b +=+，判断选项D 错误.【详解】解：选项A ：因为0a b >>，所以10a b >⋅，不等式a b >两侧同时乘以1a b ⋅，所以11a b<，故A 正确；选项B ：因为0a b >>，所以0ab >，所以a ab b ab +>+，即()()11a b b a +>+，又()101a a >+，所以不等式()()11a b b a +>+两侧同时乘以()11a a +，则11b ba a+>+，故B 错误；选项C ：因为0a b >>，所以11b a >，根据不等式的同向可加性知11a b b a+>+，故C 正确；选项D ：当2a =，12b =时，此时0a b >>，11a b a b +=+，故D 错误.故选：AC12．如果a b >，给出下列不等式，其中一定成立的不等式是A ．11a b<B ．33a b >C ．1a b>D ．2222ac bc ≥【分析】根据不等式的性质即可求解。
一元二次方程压轴题(含答案)
一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q 与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与F，若四边形FEMN y轴的交点为的面积等于2，求p的值．2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y 2＝4a2－2a ＋2，求x y的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a2(1－x2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q 与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1）∵关于x 的一元二次方程x2＋px ＋q ＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p ＋q ＋1＝0，整理得：q ＝－2p －5 （2）∵△＝p2－4q ＝p2－4(－2p －5)＝p2＋8p ＋20＝(p＋4)2＋4无论p 取任何实数，都有(p ＋4)2≥0∴无论p 取任何实数，都有(p＋N EFM x yy y4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p 2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21 ∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36 ∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤ 1 ①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m≤1523．（湖南怀化）已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a，使－x1＋x1x2＝4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数a的整数值．解：（1）∵x1，x2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a －6≠04a2－4a (a －6)≥0即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ≠6a ≥0 假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0∴4＋－2aa －6－aa －6＝0，得a ＝24∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6 ∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立（2）∵(x1＋1)(x2＋1)＝(x1＋x2)＋x1x2＋1＝－2aa－6＋aa－6＋1＝－aa－6∴要使(x1＋1)(x2＋1)为负整数，则只需a为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x的方程x2－(a＋b＋1)x＋a＝0（b≥0）有两个实数根x1、x2，且x1≤x2．（1）求证：x1≤1≤x2（2）若点A（1，2），B（12，1），C（1，1），点P（x1，x2）在△ABC的三条边上运动，问是否存在这样的点P，使a＋b＝54？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x1＋x2＝a＋b＋1，x1x2＝a∴a＝x1x2，b＝x1＋x2－x1x2－1∵b≥0，∴x1＋x2－x1x2－1≥0∴1－x1－x2＋x1x2≤0∴(1－x1)(1－x2)≤0又∵x1≤x2，∴1－x1≥0，1－x2≤0 即x1≤1，x2≥1∴x 1≤1≤x 2（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝54，∴x 1＋x 2＝94①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时则12≤x 1≤1，x 2＝1∴x 1＝94－x 2＝9 4－1＝54＞1故在BC 边上不存在满足条件的Ox y 112C A B点P②当点P（x1，x2）在AC边上运动时则x1＝1，1≤x2≤2取x2＝54，则x1＋x2＝94，即a＋b＝5 4故在AC边上存在满足条件的点P（1，5 4）③当点P（x1，x2）在AB边上运动时则12≤x1≤1，1≤x2≤2，易知x2＝2x1∵x1＋x2＝94，∴x1＝34，x2＝32又∵12＜34＜1，1＜32＜2故在AB边上存在满足条件的点（34，32）综上所述，当点P（x1，x2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，54）和（34，32）5．（福建模拟）已知方程组⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围；（2）否存在实数b，使得1x1＋1 x2＝1？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x＝(2x＋b)2，整理得4x2＋(4b－4)x＋b2＝0∵x1≠x2，∴△＞0，即(4b－4)2－16b2＞0，解得b＜1 2又∵x1x2≠0，∴b24≠0，∴b≠0综上所述，b＜12且b≠0（2）∵x1＋x2＝1－b，x1x2＝b2 4，∴1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2＝4(1－b)b2＝1得∴b2＋4b－4＝0，解得b＝－2±22∵－2＋22＝2(2－1)＞12，∴b＝－2＋22不合题意，舍去∴b＝－2－226．（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足a＋b＋c＝0，abc＝8，求c的取值范围．解：∵a＋b＋c＝0，abc＝8，∴a，b，c都不为零，且a＋b＝－c，ab＝8 c∴a，b是方程x2＋cx＋8c＝0的两个实数根∴△＝c2－4×8c≥0当c ＜0时，c2－4×8c≥0恒成立当c ＞0时，得c3≥32，∴c ≥342故c 的取值范围是c ＜0或c ≥3427．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y 2＝4a2－2a ＋2，求x y的取值范围．解：∵(x－y )2≥0，∴x2＋y2≥2x y∴2(x2＋y2)≥(x＋y)2∴2(4a2－2a＋2)≥(3a－1)2即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3∵x y＝12[(x＋y)2－(x2＋y2)]＝12[(3a－1)2－(4a2－2a＋2)]＝12(5a2－4a－1)＝52(a－25)2－910∴当a＝25时，x y有最小值－910；当a＝3时有最大值16∴－910≤x y≤168．（福建某校自主招生）已知方程(ax＋1)2＝a2(1－x2)（a＞1）的两个实数根x1、x2满足x1＜x2，求证：－1＜x1＜0＜x2＜1．证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax ＋1－a2＝0令y＝2a2x2＋2ax ＋1－a2，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线当x ＝0时，y＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根 又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2 又当x ＝1时，y＝2a2＋2a ＋1－a2＝(a ＋1)2＞0当x ＝－1时，y＝2a2－2a ＋1－a2＝(aO x y1-1x x)2＞0－1∴－1＜x1＜0＜x2＜1。
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一元二次方程1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．2．设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．3．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．4．（江苏模拟）已知关于x 的方程x2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．（福建模拟）已知方程组⎩⎨⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得 1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．7．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y2＝4a2－2a ＋2，求x y 的取值范围．8．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a2(1－x2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．（答案）1．（北京模拟）已知关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2．（1）用含p的代数式表示q；（2）求证：抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点；（3）设抛物线y1＝x2＋px＋q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2＋px＋q＋1＝0有一个实数根为2∴22＋2p＋q＋1＝0，整理得：q＝－2p－5（2）∵△＝p2－4q＝p2－4(－2p－5)＝p2＋8p＋20＝(p＋4)2＋4无论p取任何实数，都有(p＋4)2≥0∴无论p取任何实数，都有(p＋4)2＋4＞0，∴△＞0∴抛物线y1＝x2＋px＋q与x轴有两个交点（3）∵抛物线y1＝x2＋px＋q与抛物线y2＝x2＋px＋q＋1的对称轴相同，都为直线x＝－p2，且开口大小相同，抛物线y2＝x2＋px＋q＋1可由抛物线y1＝x2＋px＋q沿y轴方向向上平移一个单位得到∴EF∥MN，EF＝MN＝1∴四边形FEMN是平行四边形由题意得S四边形FEMN＝EF·|－p2|＝2，即|－p2|＝2∴p＝±42．（安徽某校自主招生）设关于x的方程x2－5x－m2＋1＝0的两个实数根分别为α、β，试确定实数m的取值范围，使|α|＋|β|≤6成立．解：∵△＝52－4(－m2＋1)＝4m2＋21∴不论m取何值，方程x2－5x－m2＋1＝0都有两个不相等的实根∵x2－5x－m2＋1＝0，∴α＋β＝5，αβ＝1－m2∵|α|＋|β|≤6，∴α2＋β2＋2|αβ|≤36，即(α＋β)2－2αβ＋2|αβ|≤36∴25－2(1－m2)＋2|1－m2|≤36当1－m2≥0，即－1≤m≤1时，25≤36成立∴－1≤m≤1 ①当1－m2＜0，即m＜－1或m＞1时，得25－4(1－m2)≤36解得－152≤m≤152∴－152≤m＜－1或1＜m≤152②综合①、②得：－152≤m≤1523．（湖南怀化）已知x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．（1）是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．解：（1）∵x 1，x 2是一元二次方程(a －6)x2＋2ax ＋a ＝0的两个实数根∴⎩⎨⎧a －6≠04a 2－4a (a －6)≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠6a ≥0假设存在实数a 使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立，则4＋(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0∴4＋－2aa －6－aa －6＝0，得a ＝24∵a ＝24满足a ≥0且a ≠6∴存在实数a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立 （2）∵(x 1＋1)(x 2＋1)＝(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋1＝－2aa －6＋aa －6＋1＝－aa －6∴要使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数，则只需a 为7，8，9，124．（江苏模拟）已知关于x 的方程x2－(a ＋b ＋1)x ＋a ＝0（b ≥0）有两个实数根x 1、x 2，且x 1≤x 2．（1）求证：x 1≤1≤x 2（2）若点A （1，2），B （12，1），C （1，1），点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动，问是否存在这样的点P ，使a ＋b ＝54？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由根与系数的关系得：x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，x 1x 2＝a ∴a ＝x 1x 2，b ＝x 1＋x 2－x 1x 2－1 ∵b ≥0，∴x 1＋x 2－x 1x 2－1≥0 ∴1－x 1－x 2＋x 1x 2≤0 ∴(1－x 1)(1－x 2)≤0又∵x 1≤x 2，∴1－x 1≥0，1－x 2≤0 即x 1≤1，x 2≥1 ∴x 1≤1≤x 2（2）∵x 1＋x 2＝a ＋b ＋1，a ＋b ＝5 4 ，∴x 1＋x 2＝ 94①当点P （x 1，x 2）在BC 边上运动时 则12≤x 1≤1，x 2＝1 ∴x 1＝9 4 －x 2＝ 9 4 －1＝54＞1故在BC 边上不存在满足条件的点P ②当点P （x 1，x 2）在AC 边上运动时 则x 1＝1，1≤x 2≤2O xy112CAB取x 2＝5 4 ，则x 1＋x 2＝ 9 4 ，即a ＋b ＝ 54故在AC 边上存在满足条件的点P （1，54）③当点P （x 1，x 2）在AB 边上运动时 则12≤x 1≤1，1≤x 2≤2，易知x 2＝2x 1∵x 1＋x 2＝9 4 ，∴x 1＝ 3 4 ，x 2＝ 32又∵1 2 ＜3 4 ＜1，1＜ 32＜2故在AB 边上存在满足条件的点（3 4 ， 32）综上所述，当点P （x 1，x 2）在△ABC 的三条边上运动时，在BC 边上没有满足条件的点，而在AC 、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，5 4 ）和（ 3 4 ， 32）5．（福建模拟）已知方程组⎩⎨⎧y2＝4x y ＝2x ＋b有两个实数解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1y ＝y 1和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2y ＝y 2，且x 1x 2≠0，x 1≠x 2．（1）求b 的取值范围； （2）否存在实数b ，使得1x 1＋1x 2＝1？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由．解：（1）由已知得4x ＝(2x ＋b )2，整理得4x2＋(4b －4)x ＋b2＝0 ∵x 1≠x 2，∴△＞0，即(4b －4)2－16b2＞0，解得b ＜12又∵x 1x 2≠0，∴b24≠0，∴b ≠0综上所述，b ＜12且b ≠0（2）∵x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b24，∴1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝4(1－b )b2＝1得 ∴b2＋4b －4＝0，解得b ＝－2±22 ∵－2＋2 2＝2(2－1)＞12，∴b ＝－2＋2 2不合题意，舍去∴b ＝－2－22 6．（成都某校自主招生）已知a ，b ，c 为实数，且满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，求c 的取值范围．解：∵a ＋b ＋c ＝0，abc ＝8，∴a ，b ，c 都不为零，且a ＋b ＝－c ，ab ＝ 8c∴a ，b 是方程x2＋cx ＋ 8c＝0的两个实数根∴△＝c2－4× 8c≥0当c ＜0时，c2－4× 8c≥0恒成立当c ＞0时，得c3≥32，∴c ≥342故c 的取值范围是c ＜0或c ≥3427．（四川某校自主招生）已知实数x 、y 满足⎩⎨⎧x ＋y ＝3a －1x2＋y2＝4a2－2a ＋2，求x y 的取值范围． 解：∵(x －y )2≥0，∴x2＋y2≥2x y∴2(x2＋y2)≥(x ＋y )2∴2(4a2－2a ＋2)≥(3a －1)2即a2－2a －3≤0，解得－1≤a ≤3∵x y ＝12[(x ＋y )2－(x2＋y2)]＝12[(3a －1)2－(4a2－2a ＋2)] ＝12(5a2－4a －1) ＝52(a －25)2－910∴当a ＝25时，x y 有最小值－910；当a ＝3时有最大值16∴－910≤x y ≤168．（福建某校自主招生）已知方程(ax ＋1)2＝a2(1－x2)（a ＞1）的两个实数根x 1、x 2满足x 1＜x 2，求证：－1＜x 1＜0＜x 2＜1．证明：将原方程整理，得2a2x2＋2ax ＋1－a2＝0令y ＝2a2x2＋2ax ＋1－a2，由于a ＞1，所以这是一条开口向上的抛物线当x ＝0时，y ＝1－a2＜0，∴原方程有一个正根和一个负根又∵x 1＜x 2，∴x 1＜0＜x 2又当x ＝1时，y ＝2a2＋2a ＋1－a2＝(a ＋1)2＞0当x ＝－1时，y ＝2a2－2a ＋1－a2＝(a －1)2＞∴－1＜x1＜0＜x2＜1。