圆的标准方程PPT 公开课
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圆的标准方程 公开课PPT课件
直线,一点和倾斜角也确定一条直线,通过 基本量的研究：直线可以用一个一次方程 表示。
那么，需要探究下面的问题： （1）圆可以用一个什么样的方程来表示？ （2）怎样建立圆的方程？
复习引入 探究新知 应用举例 课堂小结 课后作业
复习引入
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
a 2, b 3, r 5.
方程思想
有没有其 他方法？
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
练习：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B(2，-2),
且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，
求圆C的标准方程.
yl
A
Co
x
B
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
置 圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
的 圆心在x轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
圆
的 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
方 圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆 心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)根据条件直接确定a，b，r ； (2)待定系数法确定a，b，r. 核心思想：数形结合、方程思想、基本量思想 结构思想、转化思想 等
重要结论
圆心在原点:
特 殊
圆心在x轴上:
位 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0) (x a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
那么，需要探究下面的问题： （1）圆可以用一个什么样的方程来表示？ （2）怎样建立圆的方程？
复习引入 探究新知 应用举例 课堂小结 课后作业
复习引入
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
a 2, b 3, r 5.
方程思想
有没有其 他方法？
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
练习：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B(2，-2),
且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，
求圆C的标准方程.
yl
A
Co
x
B
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
置 圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
的 圆心在x轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
圆
的 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
方 圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆 心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)根据条件直接确定a，b，r ； (2)待定系数法确定a，b，r. 核心思想：数形结合、方程思想、基本量思想 结构思想、转化思想 等
重要结论
圆心在原点:
特 殊
圆心在x轴上:
位 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0) (x a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程(公开课)PPT课件
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x 8)2 ( y 3)2 25
2.说出下列圆的圆心和半径:
(1)(x+1)2+(y-1)2=1；
圆心A(-1,1),r=1
(2) x2+(y+4)2=7；
圆心A（0，-4），r= 7
(3)(x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0圆）心;A(-1,-2), m r= 8
(x 2)2 ( y 3)2 25 24
16
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：
17
2019/10/25
18
y M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
r
O
A(a,b) x
(x-a)2+(y-
b)2=r2
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？
怎样求圆的标准方程？
7
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x 3)2 (y 4)2 25
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
1
创设情境 引入新课
一石激起千层浪
2
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内 到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3
4
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点----圆心------确定圆的位置 定长----半径------确定圆的大小
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
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(x2)2(y3)225
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系
()
A在圆外 C在圆内
B在圆上 D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
O
x
基础演练
1.圆 (x－2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,
半径r =__.
2圆(x+1)2＋(y - 3 ) 2＝a2,(a 0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
创设情境 引入新课
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中 福建土楼 小憩片刻
创设情境 引入新课
创设情境 引入新课
师生互动探究
1、圆具有怎么样的性质？ 圆上的点到圆心的距离相等
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
圆在坐标系下有什么样的方程？
解
析
y
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
小结：
一、圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
：则圆的标准方程为,特别地，若圆心为O(x0,20) y2 r2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
几
何
的基本x思O想
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
作业布置
P120 练习1、 P124 习题A组2
你对本节课哪个知识点 还有些疑惑？？？
将标准方程展开，是一个什么形式？ 它有什么特点？
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系
()
A在圆外 C在圆内
B在圆上 D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
O
x
基础演练
1.圆 (x－2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,
半径r =__.
2圆(x+1)2＋(y - 3 ) 2＝a2,(a 0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
创设情境 引入新课
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中 福建土楼 小憩片刻
创设情境 引入新课
创设情境 引入新课
师生互动探究
1、圆具有怎么样的性质？ 圆上的点到圆心的距离相等
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
圆在坐标系下有什么样的方程？
解
析
y
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
小结：
一、圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
：则圆的标准方程为,特别地，若圆心为O(x0,20) y2 r2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
几
何
的基本x思O想
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
作业布置
P120 练习1、 P124 习题A组2
你对本节课哪个知识点 还有些疑惑？？？
将标准方程展开，是一个什么形式？ 它有什么特点？