程序设计方法学习题汇总

《程序设计方法学》习题汇总

一、简答题：

1）何谓Proper程序？试举一例。

答：一个框图程序，若满足：i)一个入口，一个出口；ii)每个结点总有一条从入口到出口的路径通过它。则称其为Proper

2）何谓prime程序？试举一例。

答：Prime程序又称初等程序、基本程序。是Proper程序且其中不包括由二个以上结点组成的Proper程序。即最小的Proper程序。例：

3）给出Hoare关于程序部分正确和完全正确的定义。

答：给定Spec(φ, ψ)，若对输入x满足φ(x)，则程序S计算终止，且ψ(x , z)满足。称S关于(φ, ψ)是完全正确的。记为{φ}S{ψ}。

给定Spec(φ, ψ)，若对输入x满足φ(x)，当程序S计算终止时，满足ψ(x , z)。称S关于(φ, ψ)是部分正确的。记为[φ]S[ψ]。

4）Hoare关于程序部分正确和完全正确的定义有什么区别？为什么在证明程序S是完全正确时可以分别证明部分正确和终止？

答：Hoare关于程序部分正确和完全正确的定义的区别在于程序的部分正确不保证程序的终止，而程序的完全正确保证程序即是部分正确的，同时又是终止的。

因为一个程序S是完全正确的等价于该程序是部分正确的同时又是终止的，因此在证明程序S是完全正确时可以分别证明部分正确和终止。

5）何谓抽象数据类型（ADT），它解决了程序设计中的什么问题？

答：根据数据抽象的原则，符合“一个值集和作用在值集上的操作集”的数据类型，称为ADT。ADT解决了程序设计中如何描述大型程序的形式规范问题。其优点是：支持模块化、封装性、简化对正确性的验证、支持复用，提高软件质量。

6）面向对象的程序设计的本质是什么？与模块化程序设计的最大区别是什么？

答：面向对象程序设计的本质是以对象为软件的构件，以类来叙述对象的行为，以消息来引发对象的行为。与模块化程序设计相比，面向对象的程序设计将要构造的软件系统表示为对象集，每个对象是一组数据及其作用在其上的一组基本操作封装而成的实体，对象间通过消息传递实现联系。而模块化是把大程序划分成若干模块,每个模块完成一个子功能,模块间相互协调,共同完成特定功能,其实质是把复杂问题分解成许多容易解决的小问题。

7）令φ,ψ是程序S的前置谓词和后置谓词，φ,ψ与S是一个什么关系？

答：Spec可以表示为二元组（φ,ψ），称φ是初始（前置）断言，ψ是结果（后置）断言。

称{φ}S{Ψ}为S关于Spec(φ,Ψ)的程序断言。其含义是：若S执行前φ为T，那么S的执行一定终止，且终止时Ψ为T。

8）叙述最弱前置谓词WP的定义。试举一例。

答：设S是一个程序（语句），ψ是一个后置谓词，定义最弱前置谓词WP（S，ψ）为：满足S从其中任一状态开始执行，必定在有限的时间内终止。且满足ψ的所有状态的集合。例：

S1: i:=i+1;

ψ1:i≤10

WP(S1, ψ1)≡(i≤9)

9）可以用顺序语句“；”和重复语句“WHILE-DO”来描述判定语句“IF_THEN_ELSE”的功能吗？为什么？

答：可以，例如可以将判定语句“if C then A; else B;”用重复语句表示为：

While C do

{

A;

}

While !C do

{

B;

}

10）计算非负整数x和y的最大公约数：

gcd1(x,y) ≡if x=0 then y

else if y

else gcd1(x,y-x)

是否正确？为什么？

答：不正确。因为当y

11）并行程序与顺序程序的区别是什么？

答：并行程序具有同时性和并发性的特点，即两个或多个事件可以在同一时刻或同一时间间隔内同时发生。而顺序程序没有上述特点，只能在一个事件执行完毕之后才能执行下一个事件。

12）何谓并行系统中的不确定性、平行性、并发性、分布性，它们间的关系如何？

答：不确定性指两个静态功能等价的并行程序，动态计算的结果可能不同。

平行性指两个或多个事件在同一时刻发生。

并发性指两个或多个事件在同一时间间隔内发生。

分布性指系统中各计算机异步独立工作。

二、证明题：

1）试证任何一个Proper程序功能等价基础系

{ ; , IF_THEN_ELSE , WHILE } 语句复合而成的复合程序。

证：考虑任一Proper程序P，设P有n个结点（函数、谓词）。

i)对程序中的谓词、函数结点进行编号（1…n）

ii)引入一个计数器L

iii)在编号的基础上为各输入/输出线进行编号（规则：对结点i，输出线为该结点后继结点的编号；出口线为0）

iv)对每个结点i构造新结点g i的方法是：

v)将P改造成测试L的程序F（图示）：

程序F：L=1, while L>0 do

If L=1

Then g1;

Else if L=2

Then g2;

…

Else if L=n

Then g n;

Else I;

∴F∈{;,IF-THEN-ELSE,WHILE} F与P等价。

2）试证WP(S，ψ1∧ψ2)? WP(S，ψ1)∧WP(S，ψ2)

其中S是程序，ψ1，ψ2是其后置谓词。

证：∵(ψ1∧ψ2) ?ψ1

∴由单调率，WP(S，ψ1∧ψ2)? WP(S，ψ1)

同理：WP(S，ψ1∧ψ2)? WP(S，ψ2)

∵A?B，A?C，有A?（B∧C）

∴结论成立。

3）若P、Q是任意语句S的任意两个后置谓词，试证：

WP (S , P ∧Q) ? WP (S , P)

WP (S , P) ? WP (S , P ∨Q)

证：i) ∵(P∧Q) ? P

∴由单调率，WP(S，P∧Q)? WP(S，P)

ii) ∵P ? P∨Q

∴由单调率，WP(S，P)? WP(S，P∨Q)

4）a．下述框图程序计算x1除以x2，试用Floyd归纳断言法证明其关于规范（φ,ψ）是部分正确的。其

?(给出用Floyd归纳断言法的证明)

证：a．（1）置切割点Ba，切割路径为：

α（A→Ba）：R：T r：（0，x1）

β（Ba→Ba）：R：y2>=x2 r：（y1+1,y2-x2）

γ（Ba→C）：R：y2

（2）在A、B、C各点上建立归纳断言

A：φ(x)≡x1>=0∧x2>=0

C：ψ(x,z)≡x1=z1*x2+z2∧0<=z2

B：IA(x,y1,y2) ≡x1=y1*x2+y2∧y2>=0

（3）证明各路径上的验证条件为true

α：A→Baφ(x) ∧T?IA（x,0,x1）

∵φ(x) ∧T≡x1>=0∧x2>=0

IA(x,0,x1) ≡x>=0

∴此验证条件成立

β：Ba→Ba IA(x,y1,y2) ∧Rβ(x,y) ?IA(x,rβ(x,y)) ≡IA(x,y1+1,y2-x2)

∵IA(x,y1,y2) ∧Rβ(x,y) ≡x1=y1*x2+y2∧y2>=0∧y2>=x2

≡x1=y1*x2+y2∧y2>=x2

IA(x,rβ(x,y)) ≡x1=(y1+1)*x2+(y2-x2)∧(y2-x2)>=0

≡x1=y1*x2+y2∧y2>=x2

∴此验证条件成立

γ：Ba→C IA(x,y1,y2) ∧Rγ(x,y) ?ψ(x,z)

Rγ(x,y) ≡y2

∵IA(x,y1,y2) ∧Rγ(x,y) ≡x1=y1*x2+y2∧y2>=0∧y2

≡x1=y1*x2+y2∧0<=y2

ψ(x,z) ≡x1=z1*x2+z2∧0<=z2

∴此验证条件成立

∵三条路径上的验证条件均成立，∴程序关于规范（φ,ψ）是部分正确的。

证：b．将φ(x)改为：:x1>＝0∧x2>0能使上述框图关于规范（φ,ψ）是完全正确的。

证明如下：

(1) 置切割点Bb，切割路径为：

α（A→Bb）：A Rα：T rα：（0，x1）

β（Bb→Bb）：B Rβ：y2-x2>=x2 rβ：（y1+1,y2-x2）

γ（Bb→C）：B Rγ：y2-x2

A: φ(x) ≡x1>=0∧x2>0

B: q(x,y) ≡y2>=x2∧y1>=0

u(x,y) ≡y2-x2

(2) 证明q是良断言

q(x,y) ≡y2>=x2∧y1>=0

α：φ(x) ∧Rα(x) ?q(x,0,x1)

x1>=0∧x2>0?0<=x1，成立

β：?x?y[q(x,y) ∧Rβ(x,y)] ?q(x,y1+1,y2-x2)

y2>=x2∧y1>=0∧y2-x2>=x2?y2-x2>=x2∧y1+1>=0，成立

(3) 证明u(x,y) ≡y2-x2是良函数

取W=N 及<为小于关系

q(x,y) ?u(x,y)∈W

y2>=x2∧y1>=0?y2-x2>=0

∵x2,y2均为正整数，∴y2-x2∈N

(4) 验证条件：∵循环为Bb→Bb

?x?y[q(x,y) ∧Rβ(x,y) ?u i(x,rβ(x,y))

由y2>=x2∧y1>=0∧y2-x2>=x2?(y2-x2)-x2

∴y2-x2>(y2-x2)-x2成立

∴程序关于（N，＜）是终止的，再加上部分正确

∴该程序完全正确

5）下述框图程序计算x！，试用Floyd归纳断言法证明关于规范（φ,ψ）是部分正确的。

其中φ(x):x>=0,ψ(x,z):z=x!.

(y1,y2):=(0,1)

(y1,y2):=(y1+1,(y1+1)*y2)Y1=X Z:=Y2 F

T

6）试给出计算s＝∑xi 1<=i<=n 的框图程序，并用Floyd归纳断言法证明关于规范（φ,ψ）是完全正确的。其中φ：true ψ：s＝∑xi 1<=i<=n

7）试用公理化的方法证明下述程序的完全正确性：

{x1>0∧x2>0}

(y1,y2):=(x1,0);

while x2

(z1,z2):=(y1,y2);

{0

8）试用公理化的方法证明下述程序的部分正确性：

{x1>0∧x2>0}

(y1,y2,y3):=(x1,0,x2);

while y3

while y3≠x2 do

begin

(y2,y3):=2*y2,y3/2);

if y3

end;

(z1,z2):=(y1,y2);

{0

三、计算题：

1）试将下述程序改造为递归结构程序。

a p q

b c

d e

f t

r

2）试设计计算数组b[0 .. n-1]的平方平均值(1/n∑(0<=i

答：φ：n>=0

ψ：z=1/n∑i:0<=i

S：i,z:=0,0

DO i

OD

Z:=z/n

P：0<=i

t：n-i

3）试设计计算整数数组b[0..n-1](n>0)的最小值的规范（φ,ψ），循环不变式P，有界函数t及其带循环程序S。

答：φ：n>0

ψ：（?i:0<=i

S：min,i:=∞,0

DO i

b[i]

FI

i:=i+1

OD

P：0<=i

t：n-i

4）Fibonacci序列定义为：n=0，f n=0; n=1，f n=1; n>1，f n=f n-1+f n-2

试设计计算Fibonacci序列的规范（φ,ψ），循环不变式P，有界函数t及其带循环程序S。

答：φ：n>1

ψ：1

S：f[0],f[1],i:=0,1,2

DO i<=n→f[i],i:=f[i-1]+f[i-2],i+1

OD

P：1

t：n-i

5）设程序S:IF x>y THEN x:=x-y ELSE y:=y-x，后置谓词ψ：x>0 ∧y>0。试求其最弱前置谓词WP(S，ψ)。

答：WP(s, ψ) ≡(x>y∨x<=y)∧(x>y?WP(“x:=x-y”,x>0∧y>0)) ∧(x<=y?WP(“y:=y-x”,x>0∧y>0)) ≡true∧(x>y?x-y>0∧y>0) ∧(x<=y?x>0∧y-x>0)

≡true∧(x>y?x>y∧y>0) ∧(x<=y?x>0∧y>x)

≡x>0∧y>0≡true

6）设前置谓词φ:T 和后置谓词ψ:z<=x∧z<=y∧(z=x∨z=y).设计计算函数z=min(x,y)的程序，并证明程序的正确性。

答：程序：

S：IF x

x>y→z:=y

FI

证明：

i) WP(z:=x, ψ)=WP(z:=x, z<=x∧z<=y∧(z=x∨z=y))

=(x<=x∧x<=y∧x=x∨x=y)=x

ii) WP(z:=y, ψ)=WP(z:=y, z<=x∧z<=y∧(z=x∨z=y))

=(y<=x∧y<=y∧y=x∨y=y)=y

由i)、ii)可知：WP(s, ψ)＝T，即{φ}S{ψ}成立

∴程序S正确

7）试设计符合规范（φ,ψ）的程序S:

φ：n>0 ∧n ∈N (N是整数集)

ψ：0<= k = f (i) )

要求：1）给出循环不变式P、有界函数t及程序S。

2）证明S关于（φ,ψ，P，t）是完全正确的。

答：1）φ：n>0 ∧n ∈N

ψ：0<＝k=f[i])

S：m,k:=-∞, 0

DO k

f[k]>m→m=f[k]

FI

k:=k+1

OD

P：0<=k=f[i])

t：n-i

8）设程序S：IF a>b THEN a:=a-b ELSE b:＝b-a

后置谓词ψ：a>0∧b>0 试求其最弱前置谓词WP（S，ψ）。

（答案同第5题）

9）试设计在数组b[0 .. n-1](n>0)中寻找x的位置I，且若x不在b中，则置I的值为n的程序规范（φ,ψ),循环不变式P,有界函数t及其带循环程序S。

答：φ：T

ψ：(0<＝i

S：i:=0

DO (i≠n∧x≠b[i])→i:=i+1

OD

P：0<=i

t：n-i

10）有一简单的人员档案库，要求根据人的性别及婚姻与否进行分类。

已知：Name=string; Male=Set of Name; //男性的姓名的集合

Female=Set of Name;// 女性的姓名的集合

Married=Set of Name;// 已婚者姓名的集合

试用VDM规范建立如下运算：

1．查询所有已婚男性姓名的运算。 2.增加新婚者姓名的运算。

答：1．Married_Male=Set of Name

Inquire(male:Male, married:Married) r:Married_Male

Pre male≠[ ] ∧married≠[ ]

Post r=Male ∩Married

2．Add_Married (s1: Male, s2: Female) v:Married

Pre true

Post v=Add_Name(Add_Married(s1,s2): Name) r: Married

Add_Name(s: Name) r: Married

Pre true

Post r=s

11）人才交流中心需要收集并管理两类人的信息：“unemployed”表示已经在交流中心登记但还未被雇用的人的集合；“employed”表示在交流中心登记且被雇用的人的集合。显然，同一个人不能同时处于这二个集合中。假定任何人只要在交流中心登记后就不会从集合中，并且对每个人的祥细情况不考察（只需姓名、地址、联系电话）要求：

a）用VDM定义该系统。b）建立运算：1。为某人登记。2。改变某人所处的集合。

答：a) Person=Compose Person of

Name: string

Addr: string

Tel: set of N

e:Boolean

End

unemployed=Set of Person

employed=Set of Person

Inv_person=(elem unemployed≠elem employed)

Inv_person≡?mk_person(n,a,t,e)∈Person.n≠’’∧Person.a≠’’∧Person.t≠’’∧Person.e≠null?n ≠’’∧a≠’’∧t≠’’∧e≠null

b) 1. Load (i: Person) r1:unemployed; r2:employed

Pre true

Post let mk_Person(n,a,t,e)=r1 in e=F

let mk_Person(n,a,t,e)=r2 in e=T

12）试用Hoare的CSP构造一个计算非负整数x、y的最大公约数gcd(x,y)的程序(进程)。其接受输入x、y，输出z=gcd(x,y)。

答：[GCD::*[x,y:int; x>=0; y>=0; X?(x,y)->y1,y2:int; y1:=x; y2:=y;

[y1≠y2-> *[y1>y2->y1:= y1 – y2 y2>y1->y2:=y2-y1]]; X!y1] || X::USER]

13）试用Hoare的CSP构造一个计算n!的程序。

答：[s::*[n:int; X?n->s:int; i:=1; s:=1; *[i<=n-> [s:=s*i; i:=i+1;X!s] || X::USER]]

14）试用Hoare的CSP构造队列进程Buffer。（先进先出）

答：Buffer=queue(0..99) char; head, tail: int; head:=-1; tail:=-1

Push=*[c:char;X?c->[tail=99->!failed tail<99->tail:=tail+1]; X!queue(tail)]

Pop=*[head=tail->!failed head ≠tail->X?queue(head); head:=head+1]

[push::push ||pop::pop]

15）试用Hoare的CSP构造堆栈进程Stack。（后进先出）

答：STACK=stack(0..99): char; top:int; top:=0

PUSH=*[c:char; X?c->[top>=99->!failed top<99->X!stack(top); top:=top+1]

POP=*[top=0->!failed top≠0->top:=top-1; X?stack(top)]

[push::push ||pop::pop]