【高考精品复习】第二篇 函数与基本初等函数Ⅰ第5讲 对数与对数函数
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第5讲对数与对数函数
【高考会这样考】
1.考查对数函数的定义域与值域.
2.考查对数函数的图象与性质的应用.
3.考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质.
4.考查对数函数与指数函数互为反函数的关系.
【复习指导】
复习本讲首先要注意对数函数的定义域,这是研究对数函数性质.判断与对数函数相关的复合函数图象的重要依据,同时熟练把握对数函数的有关性质,特别注意底数对函数单调性的影响.
基础梳理
1.对数的概念
(1)对数的定义
如果a x=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式特点记法
一般对数底数为a(a>0且a≠1)log a N
常用对数底数为10lg N
自然对数底数为e ln_N
2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
①a log a N=N;②log a a N=N(a>0且a≠1).
(2)对数的重要公式
①换底公式:log b N=log a N
log a b(a,b均大于零且不等于1);
②log a b=
1
log b a,推广log a b·log b c·log c d=log a d.
(3)对数的运算法则
如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么
①log a (MN )=log a M +log a N ;②log a M
N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R );④log am M n =n
m log a M . 3.对数函数的图象与性质
a >1
0<a <1
图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R 过点(1,0)
当x >1时,y >0当0<
x <1,y <0 当x >1时,y <0当0<x
<1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数
是(0,+∞)上的减函数
4.反函数
指数函数y =a x 与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.
一种思想
对数源于指数,指数式和对数式可以互化,对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明. 两个防范
解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. 三个关键点
画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ,-1.
四种方法
对数值的大小比较方法
(1)化同底后利用函数的单调性.(2)作差或作商法.(3)利用中间量(0或1). (4)化同真数后利用图象比较.
双基自测
1.(2010·四川)2 log 510+log 50.25=( ).
A .0
B .1
C .2
D .4 解析 原式=log 5100+log 50.25=log 525=2. 答案 C
2.(人教A 版教材习题改编)已知a =log 0.70.8,b =log 1.10.9,c =1.10.9,则a ,b ,c 的大小关系是( ). A .a <b <c B .a <c <b C .b <a <c
D .c <a <b
解析 将三个数都和中间量1相比较:0<a =log 0.70.8<1,b =log 1.10.9<0,c =1.10.9>1. 答案 C
3.(2012·黄冈中学月考)函数f (x )=log 2(3x +1)的值域为( ). A .(0,+∞) B .[0,+∞) C .(1,+∞)
D .[1,+∞)
解析 设y =f (x ),t =3x +1. 则y =log 2t ,t =3x +1,x ∈R .
由y =log 2t ,t >1知函数f (x )的值域为(0,+∞). 答案 A
4.(2012·汕尾模拟)下列区间中,函数f (x )=|ln(2-x )|在其上为增函数的是
( ).
A .(-∞,1] B.⎣⎢⎡
⎦⎥⎤-1,43 C.⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫0,32 D .[1,2) 解析 法一 当2-x ≥1,即x ≤1时,f (x )=|ln(2-x )|=ln(2-x ),此时函数f (x )
在(-∞,1]上单调递减.当0<2-x ≤1,即1≤x <2时,f (x )=|ln(2-x )|=-ln(2-x ),此时函数f (x )在[1,2)上单调递增,故选D. 法二 f (x )=|ln(2-x )|的图象如图所示.
由图象可得,函数f (x )在区间[1,2)上为增函数,故选D. 答案 D
5.若log a 2
3>1,则a 的取值范围是________. 答案⎝ ⎛⎭
⎪⎫
23,1
考向一 对数式的化简与求值
【例1】►求值:(1)log 89
log 2
3;(2)(lg 5)2+lg 50·lg 2;
(3)12lg 3249-4
3lg 8+lg 245.
[审题视点] 运用对数运算法则及换底公式. 解 (1)原式=log 2332log 2
3=2
3.
(2)原式=(lg 5)2+lg(10×5)lg 10
5
=(lg 5)2+(1+lg 5)(1-lg 5)=(lg 5)2+1-(lg 5)2=1. (3)法一 原式=12(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+1
2(2lg 7+lg 5) =52lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+12lg 5=12(lg 2+lg 5)=12lg 10=12. 法二 原式=lg 42
7-lg 4+lg(75)=lg 42×757×4=
lg 10=1
2.