§2.5 对数与对数函数(讲解部分)
对数与对数函数PPT课件
（4）了解指数函数和对数函数互为反函数。
二、高考考查题型：
以小题为主，如运算、比较大小、图象、性质等。
第1页/共14页
二、基础知识要点强化
1.对数的概念:
2.对数的运算：
（1）loga 1 _0__; loga a ___;
（2）loga MN __________;
（3）loga
M N
___________;
（4）log a
m
Mn
__________;
（5）a loga N ___; loga aN ___;
（6）loga b logb a __1 _;
（7）换底公式：logb N ______.
第2页/共14页
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
（2）若f (x)在（ ，1上为增函数，求a的取值范围。
第9页/共14页
思考：带有参数的对数问题，做题应注意什么？
（1）对于带有参数的函数，不仅仅是对数函数，定义域 为R的问题应转化为恒成立问题解决，这种恒成立问题也 是高考的重点热点问题。 （2）在第二问中，应特别强调对数的真数在给定区间上 应恒大于0。
第7页/共14页
题型2：对数函数的图象
例4（2008山东理）已知函数 f (x) loga(2x b 1)(a 0，a 1)
的图象如图示，则 a，b 满足的关系是（ A ）
y
A. 0 a1 b 1 B. 0 b a1 1 O
x
C.0 b1 a 1 D. 0 a1 b1 1
第10页/共14页
巩固练习： 已知函数 f (x) log2(x2 ax在 a区) 间（-∞, 1- ] 3
2.5对数与对数函数
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂 的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对 数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
3．若 log147＝a,14b＝5，则用 a，b 表示 log3528＝ ________ .
解析：∵14b＝5，∴log145＝b，又 log147＝a， 142
∴log3528＝lloogg11442385＝log1lo45g＋14 l7og147＝2a－＋ab. 答案：2a－＋ab
课时 分组冲关
(2)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN ； ②logaMN＝ logaM－logaN ； ③logaMn＝ nlogaM (n∈R)； ④logamMn＝mn logaM(m，n∈R，且 m≠0)．
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在 求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思 想． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题， 利用数形结合法求解．
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
g(x)＝－logbx 的图象可能是(
)
第二章
基础 自主夯实 考点 层级突破
课时 分组冲关
4．(教材改编)函数 y＝ log0.54x－3的定义域为 ________ . 解析：由4loxg－0.534>x0－3≥0 ，解得 x∈34，1. 答案：34，1
对数与对数函数
o
1
3
0<a<1时，在 x=1右侧总是 底大图低.
练习3. 比较大小
12
log23 > log32 >log0.53 ___________________________. (2) log0.34 _____ <
(1) log32,log23, log0.53的大小关系为
log0.20.7
练习4.已知下列不等式，比较正数m,n的大小 （1）若log3m < log3n 则 m
log0.71.8
解：∵函数y= log0.7x 中底数 0<0.7<1 ∴ 函数y= log0.7x在(0,+)上 是减函数 ∵ 1.6 < 1.8 ∴ log0.71.6 > log0.71.8
③.
loga4
loga3.14
解 :讨论 a 的情况 I. 当 a>1 时 y=logax 是增函数 因为 所以 4 > 3.14 loga4 > loga3.14 y=logax 是减函数
所以所求函数的定义域为{x| x>
2 7
且x ≠
2 5
}.
例2、比较下列各组数中两个数的大小：
（1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5 解：∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数
4
且 3 . 4 ＜8 . 5
∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1.8
0.5 1 1.5 2
2.7
2.5 3 3.5
-0.5 -0.2
《 对数与对数函数》课件
1 题目1
已知log35≈1.465，求log325的值。
3 题目2
已知log23≈1.585，求log63的值。
2 解答1
log325=log3((5)2)=2log35≈2×1.465≈2.93。
4 解答2
log63=log23/log26≈1.585/1.585≈1。
例题: 求解对数方程
1 题目1
求解方程log2(3x-2)=3。
3 题目2
求解方程log2x-14=log2(x-1)。
2 解答1
化为指数形式得：23=3x-2，解得x=7/3。
4 解答2
化为指数形式得：(2x-1)log42=x-1，解得x=3。
例题: 理解对数运算的应用
1 题目1
已知ab=c，则logac=?
2 解答1
根据对数的定义得：logac=b。
定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
对数函数的图像特征
随着x的增加而变化
当x>1时，y随x的增加而增加；当x=1时，y=0；当 0<x<1时，y随x的减小而增加；当x<0时，对数函数 无意义。
渐近线
对数函数的图像有两条渐近线，即x轴和y轴的反比 例函数。
对数函数的性质
1
单调性
当a>1时，对数函数单调递增；当0<a<1
3 题目2
已知log23≈1.585，log27≈2.807，求log521 的值。
4 解答2
log221=log2(3×7)=log23+log27≈1.585+2.80 7=4.392。利用换底公式得： log521=log221/log25≈4.392/2.322≈1.892。
对数与对数函数知识点及例题讲解
对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。
但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.5《对数与对数函数》(含解析)
2.5对数与对数函数考情分析1．考查对数函数的定义域与值域． 2．考查对数函数的图象与性质的应用．3．考查以对数函数为载体的复合函数的有关性质． 4．考查对数函数与指数函数互为反函数的关系． 基础知识 1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N(a ＞0且a≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质①alog a N ＝N ；②log a a N＝N(a ＞0且a≠1)． (2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d.(3)对数的运算法则如果a ＞0且a≠1，M ＞0，N ＞0，那么①log a (MN)＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n ∈R)；④log am M n＝n m log a M.3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 注意事项1.对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．2.解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．3.画对数函数4.对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)． (4)化同真数后利用图象比较． 典型例题题型一 对数式的化简与求值【例1】计算：（1）121316324(12427162(8)--+-+-；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg25+⋅+；（3）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+⋅+ 解：（1）原式12133(1)246324(113228⨯-⨯-⨯⨯=-+-⨯213332113222118811⨯=+-+-⨯=-=（2）原式22(lg 2)(1lg 5)lg 2lg 5(lg 2lg 51)lg 22lg 5=+++=+++ (11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2=++=+=（3）原式lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 2lg 3lg 3()()()()lg 3lg 9lg 4lg8lg 32lg 32lg 23lg 2=+⋅+=+⋅+ 3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅= 【变式1】已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值解：∵11223x x-+=，∴11222()9x x -+=，∴129x x -++=，∴17x x -+=，∴12()49x x -+=，∴2247x x -+=，又∵331112222()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+⋅-+=⋅-=， ∴223322247231833x x x x--+--==-+-题型二 对数值的大小比较【例2】►已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f(log 47)，b ＝f(log 123)，c ＝f(0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )．A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c解析 log 123＝－log 23＝－log 49，b ＝f(log 123)＝f(－log 49)＝f(log 49)，log 47＜log 49,0.2－0.6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－35＝5125＞532＝2＞log 49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的， ∴f(0.2－0.6)＜f(log 123)＜f(log 47)，即c ＜b ＜a ，故选B.答案 B【变式2】设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则( )．A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a解析 法一 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，而log 23＞log 2e ＞1，所以a ＜b ，c ＝5－12＝15，而5＞2＝log 24＞log 23，所以c ＜a ，综上c ＜a ＜b ，故选C.法二 a ＝log 32＝1log 23，b ＝ln 2＝1log 2e ，1＜log 2e ＜log 23＜2，∴12＜1log 23＜1log 2e ＜1；c ＝5－12＝15＜14＝12，所以c ＜a ＜b ，故选C. 答案 C题型三 对数函数性质的应用【例3】►已知函数f(x)＝log a (2－ax)，是否存在实数a ，使函数f(x)在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．. 解 ∵a ＞0，且a≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f(x)＝log a (2－ax)在[0,1]上是关于x 的减函数，∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时，u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞12－a ＞0，即1＜a ＜2.∴a 的取值范围是(1,2)．【变式3】 已知f(x)＝log 4(4x－1) (1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域． 解 (1)由4x－1>0解得x>0， 因此f(x)的定义域为(0，＋∞)． (2)设0<x 1<x 2，则0<4x 1－1<4x 2－1，因此log 4(4x 1－1)<log 4(4x 2－1)，即f(x 1)<f(x 2)，f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上递增， 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f(2)＝log 415， 因此f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域为[0，log 415]． 重难点突破【例1】设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2dt ，x≤0，若f(f(1))＝1，则a ＝________.【例2】► (2018辽宁改编)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是________．巩固提高1． 2 log 510＋log 50.25＝( )．A ．0B ．1C ．2D ．4 解析 原式＝log 5100＋log 50.25＝log 525＝2. 答案 C2．(人教A 版教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1. 答案 C3．(2018·黄冈中学月考)函数f(x)＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析 设y ＝f(x)，t ＝3x＋1. 则y ＝log 2t ，t ＝3x＋1，x ∈R.由y ＝log 2t ，t>1知函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 答案 A4．(2018汕尾模拟)下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是( )．A ．(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32D ．[1,2)解析 法一 当2－x≥1，即x≤1时，f(x)＝|ln(2－x)|＝ln(2－x)，此时函数f(x)在(－∞，1]上单调递减．当0＜2－x≤1，即1≤x＜2时，f(x)＝|ln(2－x)|＝－ln(2－x)，此时函数f(x)在[1,2)上单调递增，故选D. 法二 f(x)＝|ln(2－x)|的图象如图所示．由图象可得，函数f(x)在区间[1,2)上为增函数，故选D. 答案 D5．若log a 23>1，则a 的取值范围是________．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1。
对数与对数函数的基础知识梳理
课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)， 要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本 方法是构造相应的对数函数，若底 数不相同时，可运用换底公式化为 同底数的对数，还要注意与0比较或 与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次 函数，然后用配方法求指定区间上的最 值是求对数函数的常见题型．在给定条 件下，求字母的取值范围也是常见题型， 尤其是与对数函数结合在一起的高考试 题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟 悉各种基本函数的图象，二是把握图 象的性质，根据图象的性质去判断， 如过定点、定义域、值域、单调性、 奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；
对数及对数函数
[答案] D
(2011·佛山一模)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝log2x.则满足不等式f(x)＞0的x的取值范围是________． [答案] (－1,0)∪(1，＋∞) (2010·天津文数)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( ) A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c [解析] 因为0＜log53＜1，所以0＜(log53)2＜log53，又log53＜log54＜1 log45＞1，所以b＜a＜c. [答案] D
3．形如y＝logaf(x)(a＞0，a≠1)的函数有如下性质
化同底后利用函数的单调性； 作差或作商法； 利用中间量(0或1)； 化同真数后利用图象比较．
4．对数值的大小比较的方法．
“当底数与真数同时大于1或底数与真数同时大于0而小于1时，对数值是正数，否则对数值小于0”．这一结论对解选择题，填空题很有帮助，能大大提高解题的效率．
Annual Work Summary Report
2021
2023
lgN
lnN
零与负数
0
1
logaN＝b(a>0，a≠1)
1．对数的概念及运算性质 (1)对数的概念 如果ab＝N(a>0，a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记 ． 以10为底的对数叫做常用对数，记作 .以无理数e＝2.71828…为底的对数叫做自然对数，记作 . (2)对数的性质 ① 没有对数；②loga1＝ ；③logaa＝ ；④alogaN＝N(对数恒等式)．
命题等价于x2－2ax＋3>0的解集为{x|x<1或x>3} ∴x2－2ax＋3＝0的两根为1和3， ∴2a＝1＋3即a＝2 [点评与警示] 对数函数的值域为R时，其真数必须取遍所有的正数．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例2 (2020届河北邯郸模拟,15)已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且
f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则 n =
.
m
解析 ∵f(x)=|log3x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),∴0<m<1<n,∴-log3m=
log3n,∴mn=1.
∴ln a>-ln(2-a)⇒a(2-a)>1,无解. 综上,a的取值范围为(0,1),故选A.
答案 A
考向二 对数函数性质的应用 例3 (2019陕西西安高新区第一中学模拟,6)已知函数f(x)=5-log3x,x∈(3,27], 则f(x)的值域是 ( ) A.(2,4] B.[2,4) C.[-4,4) D.(6,9]
答案 (3,+∞)
考向三 指数式与对数式的大小比较 例6 (2019山西吕梁第一次模拟,6)已知a=log35,b=1.51.5,c=ln 2,则a,b,c的大 小关系是 ( ) A.c<a<b B.c<b<a C.a<c<b D.a<b<c
解析
1<a=log35=
1 2
log325<
1 2
log327=1.5,b=1.51.5>
解析 由对数的运算公式和换底公式可得
log29×log34+2log510+log50.25=2log23×
log2 log2
4 3
+log5(102×0.25)=4+2=6.故选D.
答案 D
考向基础
考点二 对数函数的图象与性质
1.对数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
性质 定义域:(0,+∞) 值域:R 过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0 是(0,+∞)上的增函数
当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0 是(0,+∞)上的减函数
2.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它 们的图象关于直线y=x对称.其图象关系如图所示.
3.比较底数的大小 由图象可知,a>b>1>c>d,在第一象限内,从左向右,底数越来越大.
logba
(a,b,c均大于0且不等于1,d>0)
运算 条件 法则 结论
a>0且a≠1,M>0,N>0
loga(MN)=logaM+logaN
loga =logaM-logaN
M
logaMN n=nlogaM(n∈R)
考向突破 考向 对数的运算 例1 (2018皖西高中教学联盟期末,4)计算log29×log34+2log510+log50.25= () A.0 B.2 C.4 D.6
考向突破 考向一 对数函数图象的应用
例2 (2020届山西运城模拟,7)已知函数f(x)=|ln x|满足f(a)>f(2-a),则实数a 的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(1,3)
解析
f(x)=
ln x,x 1, -ln x,0 x
画出f(x)的大致图象如图,
1 3
x
与y=log3x两函数图象交点的横坐标,易得b
=-2.画出y=
1 3
x
,y=3x,y=log3x,y=lo
g
1 3
x的图象,可看出b<a<c.
答案 A
方法2 对数函数的性质及其应用
1.比较对数值大小的类型及相应方法
2.研究复合函数y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数 u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga f(x)的单调性(最值)(其中a> 0且a≠1).
x
故实数a的取值范围是(0,1)∪(1,4].
答案 (0,1)∪(1,4]
考向二 与对数函数有关的复合函数的单调性
例5 函数f(x)=log2(x2-2x-3)的单调增区间是
.
解析 由题意可知x2-2x-3>0,∴x>3或x<-1. 令u=x2-2x-3,该函数在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 又∵y=log2u在(0,+∞)上单调递增,∴y=log2(x2-2x-3)在(-∞,-1)上单调递减, 在(3,+∞)上单调递增,故f(x)的单调增区间为(3,+∞).
9
综上可得 n =9.
m
答案 9
1,
由图知f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
根据题意可知 2a-a
0, 0
⇒0<a<2.
①当0<a<1,2-a>1时,∵f(a)>f(2-a),
∴-ln a>ln(2-a)⇒a(2-a)<1,解得a≠1⇒0<a<1;
②当a=1时,f(a)=f(2-a),不符合题意;
③当1<a<2,0<2-a<1时,∵f(a)>f(2-a),
考向突破 考向一 与对数函数有关复合函数的值域
例4
(2018江西一模,15)若函数f(x)=loga
xLeabharlann a x-4(a>0且a≠1)的值域为R,
则实数a的取值范围是
.
解析
函数f(x)=loga
x
a x
-4
(a>0且a≠1)的值域为R,则x+
a x
-4能取到所有
正数.易知x>0,∵x+ a ≥2 a ,∴只需2 a -4≤0,即2 a ≤4,解得a≤4.
考点清单
考点一 对数的概念及运算
考向基础 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果ax=N(a>0且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN, 其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数
特点 底数为a(a>0且a≠1)
底数为10 底数为e
∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,函数f(x)在[m2,1]上是减函数,在(1,n]上是
增函数,
∴-log3m2=2或log3n=2.
若-log3m2=2,则m=1 ,从而n=3,此时log3n=1,满足题意,故 n =3÷1 =9;
3
m3
若log3n=2,则n=9,从而m=1 ,此时-log3m2=4,不满足题意.
解析 因为3<x≤27,所以1<log3x≤3,2≤f(x)<4, 即f(x)的值域是[2,4).
答案 B
考点三 对数函数的综合应用
考向基础 1.与对数函数有关的复合函数的定义域、值域 (1)y=loga f(x)的定义域是满足f(x)>0的x的值组成的集合. (2)先确定f(x)>0时对应的x的取值范围及此时f(x)的取值范围,再根据对数 函数的单调性确定y=loga f(x)的值域. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性 函数y=loga f(x)的单调区间必须保证在f(x)>0时相应x的取值范围内,这时内 外层函数要注意“同增异减”.
记法 logaN lg N ln N
2.对数的性质、换底公式与运算法则
性质
loga1=0;logaa=1 a loga N =N;logaaN=N(a>0且a≠1)
换底 公式
loga N
logbN= logab (a,b均大于0且不等于1,N>0)
相关结论:logab= 1 ;logab·logbc·logcd=logad
例1
(2018广东广州执信中学月考,5)设a,c为正数,且3a=lo
g
1 3
a,
1 3
b
=9,
1 3
c
=log3c,则 ( )
A.b<a<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<b<c
解析 方程的根可以转化为两图象交点的横坐标,a为y=3x与y=log1 x两函
3
数图象交点的横坐标,c为y=
1.5,c=ln
2<1,所以c<a<b,
故选A.
答案 A
方法技巧
方法1 对数函数的图象及其应用
1.底数与1的大小关系决定了图象的升降,a>1时,图象上升;0<a<1时,图象下 降. 2.设y1=logax,y2=logbx,其中a>1,b>1(或0<a<1,0<b<1).当x>1时,“底大图低”, 即若 a>b,则y1<y2;当0<x<1时,“底大图高”,即若a>b,则y1>y2. 3.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在求解其单调 性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法.