(研01)第一章 习题讲解
第一章习题答案
第一章
思考题和习题
1 什么是物质波和它的统计解释？
2 如何理解合格波函数的基本条件？
3 如何理解态叠加原理？
4 测不准原理的根源是什么？
5 铝的逸出功是4.2eV，用2000Å的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？
6 波函数e-x(0≤x≤)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。
7 一个量子数为n，宽度为l的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？
8 函数xllxllx2sin22sin23)(是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？
9 在算符，错误！未定义书签。, exp, 错误！未定义书签。中，那些是线性算符？
10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。的本征函数? 并求出相应的本征值。
(a) eimx (b) sinx (c) x2+ y2 (d) (a-x)e-x
11 有算符,ˆ,ˆXXdxdD 求DXXDˆˆˆˆ。
参考答案
1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，2代表粒子的几率密度，在时刻t，空间q点附近体积元d内粒子的几率应为d2；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12d。表示波函数具有归一性。
第一章-绪论-习题答案 y
第一章 绪论
1、 处于激发态的氢原子，如果已知它在跃迁到基态时，原子发射出λ＝972.5Å的光子，求激发态量子数n=?
解：由玻尔假设推导的巴耳末公式：
)11(22nncR 对于基态n＝1。17100973731.1mR
)11(103100973731.1287nc
所以 4n
2、利用玻尔-索末菲量子化条件，求
(1)一维谐振子的能量；
(2)电子在均匀磁场中做圆周运动，其轨道半径的可能取值。
解：[方法一] 设一维谐振子能量222212xpE
故 1)2()2(22222ExEp
此方程是以x,p为为纵横轴的椭圆方程：
Ea2 22Eb
而量子化条件nhpdq 左边刚好对应椭圆的面积
nhEabpdq2 所以：
nnhE21 （n＝1，2，3…）
[方法二] 由经典力学可知，一维谐振子（线谐振子）受到的力为
KxF （1）
于是有
Kxma （2）
上式可以改写成
0dd22Kxtxm （3）
若令
mK2 （4）
则（3）式可写为 0dd222xtx （5）
上式的解为
tAx sin （6）
第一章部分习题解答
第一章部分习题解答
1．设z
1，z
2，z
3三点适合条件：0
321=++zzz
,1
321===zzz
。证明z
1，z
2，
z
3
是内接于单位圆1=z
的一个正三角形的顶点。
证 由于1
321===zzz
，知
321zzz
Δ
的三个顶点均在单位圆上。
因为 333
31zzz
==
()[]
()[]
212322112121zzzzzzzzzzzz
+++=+−+−=
21212zzzz
++=
所以， 1
2121−=+zzzz
，
又 )())((
1221221121212
21zzzzzzzzzzzzzz
+−+=−−=−
()
32
2121=+−=zzzz
故 3
21=−zz
，
同理3
3231=−=−zzzz
，知
321zzz
Δ
是内接于单位圆1=z
的一个正三角形。
2．证明：z平面上的直线方程可以写成Czaza
=+
（a
是非零复常数，C是实常数）
证 设直角坐标系的平面方程为CByAx
=+将
)(
i21
Im),(
21
Rezzzyzzzx
−==+==代入，得
CzBAzBA
=−+−)i(
21
)i(
21
令)i(
21
BAa
+=
，则)i(
21
BAa
−=，上式即为Czaza
=+
。
3．求下列方程（t是实参数）给出的曲线。
（1）tz
i)1(+=
； （2）tbtaz
sinicos+=
；
（3）ttzi
+=
； （4）22i
ttz
+=
，
解（1）⎩⎨⎧
∞<<−∞
==
⇔+=+=t
tytx
tyxz
,)i1(i
。即直线xy
=
。 （2）π
20,
sincos
sinicosi≤<
⎩⎨⎧
==
⇔+=+=t
tbytax
tbtayxz
，即为椭圆1
22
22
=+
by
ax
；
（3）⎪
⎩⎪
⎨⎧
==
⇔+=+=
tytx
ttyxz1i
i
，即为双曲线1=xy
；
（4）⎪
⎩⎪
⎨⎧
==
⇔+=+=
22
221i
i
tytx
ttyxz
，即为双曲线1=xy
中位于第一象限中的一支。
4．
函数zw1
=
将z
平面上的下列曲线变成w
平面上的什么曲线()
ivuwiyxz
+=+=,
？
（1）xy
=
； （2）()
01级研固体物理考试题
8 h2
ma2 8 1 7
2001级研究生材料物理课程考试题
一.名词解释（20）
1、 倒格子空间
2、 配位数
3、 声子
4、 Frenkel缺陷和Schottky缺陷
5、 能带
二.简述题（20）
1、引入玻恩-卡门边界条件的理由是什么？
2、晶体热容理论中爱因斯坦模型建立的条件？
3、共价键为什么有饱和性和方向性？
4、固体的宏观弹性的微观本质是什么？
三.计算题（30）
1、两原子互相作用势为
u (r) = - /r 2 + /r 8
当两原子构成一稳定分子时，其核间距为0.3 nm,解离能为4eV，求、。
(其中1eV=1.602x10 -19J, 1nm=10 -9m.)
2、原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一维简单晶格，频率为 的格波为
un=Acos（ t- qna）
求该波的总能量及每个原子的时间平均总能量。
3、已知一维晶格电子的能带可写成
E（k）= ——{ — -cosk + — cos2k } 式中a为晶格常数，m为电子质量，试求其能带宽度。
四.论述题（30）
1、试论晶格振动非简谐效应的存在对晶体热传导、热膨胀的影响。
2、电子能带理论对认识金属、绝缘体和半导体等材料本质的意义。
(完整版)第一章练习题及答案
第一章
一、单项选择题(每小题1分)
1．一维势箱解的量子化由来( d )
a. 人为假定 b. 求解微分方程的结果c. 由势能函数决定的 d.
由微分方程的边界条件决定的。
2．指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)( b )
a. sinx b. e-x c. 1/(x-1)
d. f(x) = ex ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1)
3.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是( c. )
a.薛定谔 b. 狄拉克 c. 海森堡 c.波恩
4．立方势箱中22810mahE时有多少种状态( c )
a. 11 b. 3 c. 7 d. 2
5.立方势箱在22812mahE的能量范围内，能级数和状态数为( c )
a.5，20 b. 6，6 c. 5，11 d. 6，17
6．立方势箱中2287mahE时有多少种状态( c )
a. 11 b. 3 c. 4 d. 2
7．立方势箱中2289mahE时有多少种状态( c )
a. 11 b. 3 c. 4 d. 2
8.已知xe2是算符xPˆ的本征函数，相应的本征值为( d )
a. ih2 b. ih4 c. 4ih d. ih
9．已知2e2x是算符xi的本征函数，相应的本征值为( d )
a. -2 b. -4i c. -4ih d. -ih/π
10.下列条件不是品优函数必备条件的是( c )
a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积
11．一维谐振子的势能表达式为221kxV，则该体系的定态Schrodinger方程中的哈密顿算符为( d )
a. 221kx b. 222212kxm
第一章习题解答
习题一
1. 一个工厂为一结点；若两个工厂之间有业务联系，则此两点之间用边相联；这样就得到一个无向图。若每点的度数为3，则总度数为27，与图的总度数总是偶数的性质矛盾。若仅有四个点的度数为偶数，则其余五个点度数均为奇数，从而总度数为奇数，仍与图的总度数总是偶数的性质矛盾。
2. 若存在孤立点，则m不超过Kn-1的边数, 故
m <= (n-1)(n-2)/2, 与题设矛盾。
3.
4. 用向量(a1,a2,a3)表示三个量杯中水的量, 其中ai为第i杯中水的量, i = 1,2,3.
以满足a1+a2+a3 = 8 (a1,a2,a3为非负整数)的所有向量作为各结点, 如果(a1,a2,a3)中某杯的水倒满另一杯得到 ( a’1, a’2, a’3 ) , 则由结点到结点画一条有向边。这样可得一个有向图。
本题即为在此图中找一条由( 8, 0, 0 )到( 4, 4, 0 )的一条有向路，以下即是这样的一条：
5. 可以。
7. 同构。同构的双射如下：
v V1 V2 V3 V4 V5 V6
f (v) b a c e d f
niiniininininiiiniiniiiiaannaaannnanavv1111121212/)1()1(2)1(])1[(。， 所以 因为 ，＋ 的负度数，则为结点的正度数，为结点记－－－－－2 2 22 2 iiCaaV1 V3
V2 V5
V4 V6
V1 V2
V4 V3
V6 V5 ( 8, 0, 0 ) ( 5, 3, 0 ) ( 5, 0, 3 ) ( 2, 3, 3 ) ( 2, 5, 1 )
(7, 0, 1 ) ( 7, 1, 0 ) ( 4, 4, 0 ) ( 4, 1, 3 ) 8. 记e1= (v1,v2), e2= ( v1,v4), e3= (v3,v1), e4= (v2,v5), e5= (v6,v3), e6= (v6,v4), e7= (v5,v3), e8=
考研高数第一章试题及答案
考研高数第一章试题及答案
# 考研高数第一章试题及答案
## 一、选择题（每题4分，共20分）
1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则L的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
3. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在x=2处的切线斜率是（ ）
A. -4
B. -3
C. 0
D. 5
4. 已知\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3
dx \)的值为（ ）
A. \( \frac{1}{4} \)
B. \( \frac{1}{3} \)
C. \( \frac{1}{2} \) D. \( \frac{3}{4} \)
5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是（ ）
A. \( (0, +\infty) \)
B. \( (-\infty, 0) \)
C. \( (-\infty, +\infty) \)
D. \( [0, +\infty) \)
## 二、填空题（每题4分，共20分）
6. 若\( f(x) = 2x - 3 \)，则\( f'(2) = _______ \)。
7. 函数\( g(x) = \sqrt{x} \)的导数是\( g'(x) = _______ \)。
8. 极限\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)的值是 _______。
9. 函数\( h(x) = e^x \)的原函数是 _______。
10. 定积分\( \int_1^2 2x dx \)的值是 _______。
线性代数第一章课后习题
1 习题一
（A）
1. 求解下列二元线性方程组：
(1)121232152xxxx； (2)121235241xxxx.
2. 计算下列三阶行列式：
(1)231120012； (2)531021232.
3．写出下列各排列的逆序数：
(1)52431；(2)24513； (3)361452；(4)321)1(nn.
4．(1) 若要使六级排列1643ji为偶排列，则?i，?j
(2) 若要使六级排列ji1542为奇排列，则?i，?j
5．如果排列12njjj是奇排列，则排列11nnjjj的奇偶性如何？
6．(1) 确定四阶行列式的展开式中，含元素42a，13a，34a及21a的项的符号；
(2) 试写出四阶行列式的展开式中含因子13a32a的项；
(3) 试写出五阶行列式的展开式中含因子21a43a52a且带负号的项．
7．按定义计算n阶行列式001002001000000nn．
8．根据行列式定义，分别写出行列式xxxxx111123111212的展开式中含4x的项和含3x的项．
9．利用行列式的性质计算下列行列式：
(1) 2141312112325062； (2)
3214214314324321；(3)
1112222bbaababa；(4)
xxxx1111111111111111．
10．若行列式0540030087654321x，求x．
2 11. 计算行列式0003400021135120412100635.
12．写出下列行列式中各元素的余子式与代数余子式并求出其值：
(1)2135； (2)321240212.
13．利用行列式按行（列）展开的方法计算下列行列式：
第一章习题及答案
第一章习题
1．设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量EV(k)分别为：
Ec=0220122021202236)(,)(3mkmkkEmkkmkV
0m。试求：为电子惯性质量，nmaak314.0,1
（1）禁带宽度;
（2）导带底电子有效质量;
（3）价带顶电子有效质量;
（4）价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化
解：（1）
eVmkEkEEEkmdkEdkmkdkdEEckkmmmdkEdkkmkkmkVCgVVVc64.012)0()43(0,0600643038232430)(2320212102220202020222101202因此：取极大值处，所以又因为得价带：取极小值处，所以：在又因为：得：由导带：
043222*83)2(1mdkEdmkkCnC
sNkkkpkpmdkEdmkkkkVnV/1095.7043)()()4(6)3(25104300222*11所以：准动量的定义：
2. 晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107 V/m的电场时，试分别计算电子自能带底运动到能带顶所需的时间。
解：根据：tkqEf 得qEkt
satsat137192821911027.810106.1)0(1027.810106.1)0(
cos2θ可为)(3)(232221221bbbbb、)(3)(232221221bbbbb、)(3)(232221231bbbbb、)(3)(232221231bbbbb、)(3)(232221232bbbbb、)(3)(232221232bbbbb六个值
4. n型Ge导带极值在[111]轴上及相应的对称方向上，回旋共振的实验结果如何？
第一章习题解答 2
第一章习题
1.证明：
(1) (A-B)-C=A-(B∪C); （2）(A∪B)-C=(A-C)∪(B-C).
证明：(1) 左=(A∩Bc)∩Cc=A∩(Bc∩Cc)= A∩(B∪C)c=右；
（2）左=(A∪B)∩Cc=(A∩Cc)∪(B∩Cc)=右.
2.证明：
(1)();(2)().IIIIABABABAB
(1)ccIIABAB证明：左（）右；
(2)()ccIIABAB左右.
111111.{},,1.{}1.nnnnnnnABABAAnBBAn3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，
证明：用数学归纳法。当n=2时，B1=A1,B2=A2-A1, 显然
121212BBBBBBnk且，假设当时命题成立，1211,,,kkkBBBBA两两互不相交，而且，111111111kkkkkkkknkBAABABAB下证，当时命题成立，因为而，所以 11211+1111111111111,,,;kkkkkkkkkkkkkkkBBBBBBBBBBAAAAAAA，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。21214.0,,(0,),1,2,,nnnAAnnAn设求出集列的上限集和下限集。2lim{:}(0,),(0,)1(0,)lim.,lim.lim(0,).nnnnnnnnnnnAxnxAxnxxAnxAxnxAxAA解：由定义无限多的使得事实上，，当时，，故当0时，对，均有故于是lim{:},,lim.nnnnnnAxNnNxAxnxAxA由定义，当时，均有如果0，对，均有故2111010,lim.lim.nnnnnxnxAxnxAA如果，当时，，故于是15.lim.nnnNnNAA证明：