曲线的凸性与函数作图
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《函数曲线的凹凸性》课件
《函数曲线的凹凸性》 ppt课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
函数的凹凸性与作图
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
机动
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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
x 1 1 5 y x 4 4
( x 3) 2 y 4( x 1)
x
y
0 9 4
2 1 4
3) 判别曲线形态
x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
机动
(拐点)
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x y y y
0 0
1 2
(0 , 1)
1
0
1 2 e
(1, )
(极大)
(拐点)
4) 求渐近线
y
A
1 2
lim y 0
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
(或 x )
f ( x) b lim x[ k ]0 x x x f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
y
C M
y f ( x)
y kxb
L
PN
有渐近线
但抛物线
x y 0 a b
无渐近线 .
o
y
x
x
o
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1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
函数的单调性与曲线的凹凸性PPT课件
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
函数的单调性与曲线的凹凸性
第1页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判别法
y
y f (x) B
f ( x) 0
A
y
A y f (x) f ( x) 0
B
Oa
bx
Oa
bx
定理6.8 设函数y = f (x)在[a, b]上连续, 在
f ( x) cos x 2 , f ( x) sin x 0,
f ( x)的图形是凸的.
又f
(0)
0,
f
(
)
0,
因此f
(x)
0, 即
2
sin x 2 x.
第23页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
二、曲线的拐点及其求法
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的
几何上
y y x3
方法：须确定单调区间 、区间端点值（或单侧极限） ，从而判定根的个数以及根所在的区间。
解
令f (x) ex| x
f
'(x)
e x e x
1， 1,
2| x2 x2
e x
e
x
x2， x2,
x2 x2
x 0是导数为零的点，x 2是导数不存在的点，
第14页，共42页。
6.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
注 (1)驻点和导数不存在的点不一定是单调区间的分
界点。
y
y x3
如, y x3 , y x0 0,
但在(,)上 单调增加.
O
x
(2):区间内有限个点（或无穷多个离散点）导数为零, 不影响区间的单调性.
4-6 函数的凸凹性与函数作图
二阶导数为零仅是拐点的必要条件，但不是充分条件.
补例 判断曲线
的凹凸性.
y
′ = 4x3, 解 y
o
故曲线 说明: 说明
在
上是向上凹的.
x
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, , 则曲线的凹凸性不变 . 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f ′′(x) 在 x0 两侧异号 则点 (x0 , f (x0 )) 是曲线 异号, 异号 的一个拐点.
1
无 定 义
(1,3) 3 − 0 +
(3, + ∞) +
+
0
(极小 极小) 极小
4) 求渐近线
Q lim y = ∞, ∴x =1 为铅直渐近线
x→ 1
1 f (x) 1 又因 lim = , 即 a= x→∞ 4 4 x
(x − 3)2 y= 4(x −1)
1 (x − 3)2 1 b = lim ( f (x) − x) = lim[ − x] x→∞ 4 x→∞ 4(x −1 ) 4 − 5x + 9 5 = lim =− x→∞ 4(x −1 ) 4
y
x
o
x
但抛物线
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线
(或x → −∞)
有水平渐近线 y = b. 有垂直渐近线 x = c. 的渐近线 .
2 1
若
(或x →c − 0)
则曲线
例 求曲线
1 解 Q lim ( + 2) = 2 x→∞ x −1
∴ y = 2 为水平渐近线; 1 Q lim( + 2) = ∞, ∴ x = 1为垂直渐近线. x→ x −1 1
函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线、函数作图
x y x ln x y ln y 。 从而 ( x y )ln 2
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
10
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
二、曲线的拐点
1． 定义：连续曲线上曲线向上凸与向下凸的分界点 称为曲线的拐点。
2£ Õ ã Ä Ð ¨· ® ¹ µ µ Ŷ¨
与极值点判断类似 ， f ( x ) 0 的点和 f ( x ) 不存在 的点，是拐点横坐标 的可疑点。
2(1 x 2 ) 2x （2） y 2 ， y 2 ， 2 ( x 1) x 1
（3）令 y 0 ，得 x 1 ， x 1 。
x y
曲线 y
Hale Waihona Puke (, 1)-1 0拐点 (-1，ln2)
(-1， 1) +
1 0
拐点 (1，ln2)
(1, )
例如： f ( x ) x 4 ， f ( x ) 12 x 2 ，有 f (0) 0 ，但 （0，0）不是拐点。
12
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
例 2．求曲线 y ln( x 1) 的凸向和拐点。
2
解： （1）函数的定义域为 (,) ；
则称函数 f 为区间 I 上的凸函数； 若总有 f ( p1 x1 p2 x2 ) p1 f ( x1 ) p1 f ( x2 ) ，则称函数 f 为区间 I 上的凹函数。
3
2.8.3-5 函数的凹凸与曲线的凸向、拐点和渐近线及函数作图
y
y f ( x)
y
A
o a x1
D B
C
x
x2 b x
2
x2 x x x1 令 p1 , p2 ， 则 p1 0 ， p2 0 且 p1 p2 1 ， x2 x1 x2 x1
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x→x0 x→x0 x→x0
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
高等数学3.4 曲线的凹凸性与拐点 函数图形的描绘
本题也可以下表给出解答：
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
x f (x) f (x)
( , 2)
2 0
拐点(2, 3)
(2, + ) +
其中 ， 分别表示曲线凸和凹.
例 4 讨论曲线 y = ln(1 + x2) 的凹凸区间与拐点. 解 定义域为( , ). 因为
y 2x , 1 x2
y
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
O1
x
-1
曲线 y x3 是凹的．
所以，点(0,0) 为曲线 y x3 的拐点．
例 3 讨论曲线 f (x) = x3 - 6x2 + 9x + 1 的凹凸 区间与拐点．
解 定义域为( , ).
因为
f (x) = 3x2 - 12x + 9，
f (x) = 6x - 12 = 6(x - 2 )， 令 f (x) = 0，可得 x = 2.
当 x ( , 2) 时，f (x) < 0， 此区间是凸区间． 当 x (2, + ) 时，f (x) > 0， 此区间是凹区间．
当 x = 2 时， f (x) = 0，因 f (x) 在 x = 2 的两 侧变号，而 f (2) = 3， 所以 (2, 3)是该曲线的拐点.
(2) 用上述各点按照从小到大依次将(a,b) 分成小 区间,再在每个小区间上考察 f (x) 的符号；
(3) 若 f (x) 在某点 xi 两侧近旁异号，则(xi , f (xi )) 是曲线y = f (x)的拐点，否则不是．
例 2 曲线 y x3的定义域为(,)，画其草图．
则称直线
x = x0近线.
例如， 对于曲线 y = ln x 来说， 因为
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
2 (2,3)
3 (3,)
y
-
不存在
+
0
-
y f (x)
拐点
(2, 20 )
9
拐点
(3, 4)
结论：(,2],[3,)是曲线的凸区间,[2,3]是
曲线的凹区间； 拐点为 (2, 20), (3,4).
9
例 求曲线 y x 4 的凹凸区间和拐点
（学生练习）
例 求曲线 y earctanx的凹凸区间和拐点
y 1 x
P
x
O
点P 沿着曲线无限地远离原点时,
点P与一条定直线C 的距离趋于零, 则称直线C为曲线L的渐近线.当C 垂直于x 轴时,
称C为曲线 L的垂直渐近线；当C 垂直于y 轴时,
称C为曲线 L的水平渐近线.
y ex
ytanx
说明:
(1)直线 y y 0 是曲线 y f (x) 的水平渐近线
x0
2.曲线凹凸的判别
y=f(x)
X
观察图形中切线的斜率变化情况.
f (x) 0Y
在图1中,
Y
f (x) 0
当 x1 x2 时,
O 1 2
X
tan1tan2, 图1
2 1
X
O
图2
即 f ( x ) 是单调增加的;
在图2中,当 x1 x2 时,tan1tan2,
即 f ( x ) 是单调减少的.
三、函数的分析作图法
例 作 y 1 x 3 x 的图象 3
解(1)定义域 x(,), 并 且 图 象 关 于 原 点 对 称 .
(2) y x2 1, 得驻点 x11,x21.
y 2x, 令 y 0 得 x 0.
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
函数的性质曲线的凹凸性与分析作图法
9
1
y 10(x2)13 10
9
9
1 0[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0 ; x 2 2 时 y 不存在
(3)列表
1
y 10(x2)13 10
9
9
10[1
(x
2)3 ]
1
9( x 2)3
x1 3 时 y 0; x 2 2 时 y 不存在
x
(, 2) 2 (2,3) 3 (3, )
f (x)
0
0
f(x) f (x)
0
极大值
拐点
32 27
( 1 , 16 ) 3 27
y
极小值
0
B(0,1)
C (3,5) 28
A(1,0)
1
1 o 1
1
x
3
3
yx3x2x1
四、小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是 导数应用的综合考察.
y
凸的
单增
yf(x)
极
凹的
拐 点
大 值
0
拐点
(3, 26) 9
极小值
3
lx i m f(x)lx i [m 4(x x 21)2]2, 得水平渐近 y线 2;
lx i0m f(x)lx i0[m 4(x x 21)2] ,得 垂 直 渐 近 线 x 0 .
补充点: (13 ,0 ),(13 ,0 );
A(1,2), 作图
B(1,6), C(2,1). y
1、 曲线 y e x 的水平渐近线为_______________.
2、 曲线 y 1 的水平渐近线为______________， x1
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x2 x
x2 x
x2 x1
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x)
x x1
x2 x1
x2 x
分别令x x1(即 0 )和x x2 ( 1 )，得到
f (x1)
f (x2 ) f (x1) x2 x1
证 下面只证明 f 为凸函数的情形。 必要性已由费马定理给出，现在证明充分性。 由定理5.1'，任取（a,b）内的一点 x( x0 )， 它与x0一起有 f (x) f (x0 ) f '(x0 )( x x0 )
因为f '(x0 ) 0，故对任意的x(a,b),总有 f (x) f (x0 )
第四节
第三章
函数的凸性与函数作图
一、曲线的凸性 二、渐近线 三、函数作图
5.1 曲线的凸性
A
向上凸的
B
向下凸的
如何定义函数的这种特性呢？ 先看向上凸的。
设函数f (x)在区间I上有定义，
在曲线y f (x)上任取两点A, B. y
设为A(x1, f (x1))，B(x2, f (x2 )) A
例 讨论函数 f (x) arctanx 的凸(凹)性区间.
解
由于
f
( x)
(1
2x x2 )2
因而当 x 0 时，f (x) 0; 而当x 0时，f (x) 0;
从而在 (,0]上f为凸函数，在[0,)上f (x)是凹函数。
例 若函数f(x)为定义在开区间（a,b）内的可导的凸 （凹）函数，则 x0 (a,b) 为 f 的极小（大）值点的充 要条件是为的稳定点，即 f '(x0 )上f (x)是增函数。
充分性：设f (x)在区间I上是增函数，对I中任意x1, x2 (x1 x2 ),
以及任意的 （0，1）, x (1 )x1 x2 有Lagrange中值定理,存在(x1, x)和(x, x2 )，
f (x) f (x1) f () f () f (x2 ) f (x)
即x0为f(x)在(a,b)内的极小值点（而且为最小值点）。
例 (詹森（Jensen）不等式)若f(x)为[a,b]上凸函数，
n
则对任意 xi [a,b], i 0(i 1,2, , n), i 1,
有
i1
f n i xi n i f (xi ).
x1
x1
2
x2)2
f (x2)
f (x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2)(x2
x1
2
x2)
f
(2
2!
)(
x2
x1
2
x2)2
两式相加
f (x1)
f
(
x2
)
2
f
(x1
2
x2)
1 2!
(
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
从而f为I上的凸函数，
定理5.2 设函数
在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 在 I 内图形是凸的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 在 I 内图形是凹的 .
利用一阶泰勒公式可得
f (x1)
f
(x1 x2)
2
f
(
x1
2
x2
)(
x1
x1 x2 2
)
f
(1)
2!
(
则弦 AB在曲线的下方。 x (x1 x x2 )
o x1 x
f (x)
f (x1)
f
(
x2 ) x2
f( x1
x1
)
(
x
x1
)
即：f (x)
x2 x x2 x1
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )
记： x2 x ， 记： x2 x ，
f (x) f (x1) ( f (x2 ) f (x1))
f (x2 ) f (x) (1 )( f (x2 ) f (x1))
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x1
x x1
x2 x1
分别用λ和(1- λ)乘上列两式并相加，便得
f (x1) (1 ) f (x2 ) f (x3) f (x1 (1 )x2 )
从而f(x)为I上的凸函数。 注 论断3的几何意义是：
曲线y=f(x)总是在它的任 一切线的上方
对于凹函数，同样有类 似的结论。
定理5.1 设函数f在区间I上可导，则f在区间I上为凸
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例1. 判断曲线
的凸性.
y
解: y 4x3,
故曲线
在
上是下凸的. o x
例2. 判断曲线
解: y 3x2 ,
的凸性.
故曲线
在
在
上是上凸的. 上是下凸的.
一般地说，函数可能在它的定义域里的某些区间是 凹的，在另一些区间是凸的，这样的区间称为函数 的凹凸区间,讨论函数的凹凸区间，关键是找出凹 凸区间的分界点,由上述定理知，二阶导数在其两 侧异号的点——二阶导数为零的点、不连续的点和 一阶、二阶导数不存在的点都是可能凹凸区间的分 段点,
f
故 f 为上的凸函数。
注 同理可证，
f(x)为区间I上的凸函数的充要条件是： 对于I上任意三点 x1 x2 x3
f (x2 ) f (x1) f (x3 ) f (x1) f (x3 ) f (x2 )
x2 x1
x3 x1
x3 x2
定理5.1' 设f(x)为区间I上的可导函数，则下述论断 互相等价：
B
x2 x
定义 设函数f (x)在区间I上有定义，y A
若对于I上的任意两点 x1, x2, 和任意的实数 (0,1),总有 o x1 x
(1 ) f (x1) f (x2 ) f ((1 )x1 x2 )
则称函数f (x)为区间I上的上凸函数。
称曲线y f (x)在区间I上是向上凸的。
由3，并利用 x1 x3 (1 )(x1 x2 )和 x2 x3 (x2 x1)
f (x1) f (x3 ) f ' (x3 )( x1 x3 ) f (x3 ) (1 ) f ' (x3 )( x1 x2 )
f (x2 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x3 ) f (x3 ) f ' (x3 )( x2 x1)
1 f (x)为I上的凸函数；
2 f (x)为I上的增函数 ；
3 对于I上的任意两点 x1, x2有 f (x2 ) f (x1) f '(x1)( x2 x1)
证明：(1 2) 要证f'(x)为I上的递增函数, 只需任取 I上两点 x1, x2 (x1 x2 ) 及充分小的正数h，证明
(1) 若恒有 图形是凸的;
(2) 若恒有
y图形是凹的 .
y
则称 则称
o
x1 x1 x2 x2 x
2
o
x1 x1 x2 x2 x
2
引理 f 为I上的凸函数的充要条件是：
对于I上的任意三点 x1 x2 x3 ，总有
f (x2 ) f (x1) f (x3 ) f (x2 )
必要性 即证 x2 x1
x x1 x2 x1
f (x2 ) f (x) (1 )( f (x2 ) f (x1))
f (x) f (x1) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
x x1
x x1
x2 x1
f (x2 ) f (x) (1 ) f (x2 ) f (x1) f (x2 ) f (x1)
h
x2 x1
h
(2 3)设x1 x2，在[x1, x2 ]上 应用拉格朗日中值定理
和f (x)的递增条件，有
f (x2 ) f (x1) f '()(x2 x1) f '(x1)(x2 x1)
得到结论, 且当x1 x2时，也得到相同的结论 。
(3 1) 设x1, x2是I的任意两点，x3 x1 (1 )x2 ,0 1
若 (1 ) f (x1) f (x2 ) f ((1 )x1 x2 )
则称函数f (x)为区间I上的下凸函数。y
称曲线y f (x)在区间I上是向下凸的。
通常称下凸函数为凸函 数， 上凸函数为凹函数。
o x1
B
x2 x
x x2 x
函数凸性的等价定义
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
x2 x1
x2 x1
B
x2 x
f (x)
x2 x x2 x1
f (x1)
x x1 x2 x1
f (x2 )
y
A
记： x (1
xx)2x1 xx11，x2则xx22 (0x,x11)