高考数学专题复习二次函数
高考数学复习初等函数知识点：二次函数
高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。
，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。
1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。
二次函数-高考数学复习
PART3Fra bibliotek微专题 3
一元二次方程根的分布
目录
解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴 x ＝－ 与所给区间的位置关系；
2
（3）区间端点处函数值的符号.
一元二次方程根的分布问题，类型较多，情况较复杂，但
＋2） x ＋ c ，
因为 g （ x ）为偶函数，所以 g （－ x ）＝ g （ x ），
即 x 2－（ b ＋2） x ＋ c ＝ x 2＋（ b ＋2） x ＋ c ，可得 b ＝－2，
所以 f （ x ）＝ x 2－2 x ＋ c ，图象开口向上，对称轴为直线 x ＝1.
若选条件①，因为函数 f （ x ）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以 f
A. [－6，2]
B. [—6，1]
C. [0，2]
D. [0，1]
）
解析： 函数 f （ x ）＝－2 x 2＋4 x 的对称轴为直线 x ＝1，则 f
（ x ）在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴ f （ x ）max
＝ f （1）＝2， f （ x ）min＝ f （－1）＝－2－4＝－6，即 f （ x ）的
∴ f （ x ）＝－4 −
1 2
＋8＝－1，解得 a ＝－4，
2
1 2
＋8＝－4 x 2＋4 x ＋7.
2
法三（利用二次函数的零点式）
由已知 f （ x ）＋1＝0的两根为 x 1＝
2， x 2＝－1，
故可设 f （ x ）＋1＝ a （ x －2）（ x ＋1）（ a ≠0），
高考二次函数专题
１．二次函数一．填空题：1． 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2-px +q 与g (x ) = 2x + 1x 2 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在[12,2]上的最大值是 4 ．2．设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2+bx +c x ≤02 x >0，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x的解的个数为 3(-2,-1,2) ．3．函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b>0 ．4． 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得()0f c >，则实数p 的取值范围是 ．5．已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、，并且1201x x <<<，则ba的取值范围是 ．6．若函数f (x ) = x 2+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x 4+2x 2+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x 2-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．10． 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= ． 11． 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ．12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，， 不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．13．设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是 ． 14．函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为 ．二、解答题：15．已知函数()2213222f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．16．设a 为实数，函数f (x ) = x 2+|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值．17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点(-1，0)，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式21()2x x f x +≤≤对一切实数x 都成立． 18．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．19．设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数． (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间．20．已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，()f x '是f (x )的导数；设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'（n =1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记ln n n n a b a βα-=-（n =1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n ．1．二次函数答案新海高级中学 杨绪成 舒燕 一、填空题：1. 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2-px +q 与g (x ) = 2x + 1x2 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在[12,2]上的最大值是 4 ．2.设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2+bx +c x ≤02 x >0，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x的解的个数为 3 .3.函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .4. 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得()0f c >，则实数p 的取值范围是 (-3,1.5) .5.已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、，并且1201x x <<<，则ba的取值范 围是(,2]-∞-.6．若函数f (x ) = x 2+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x 4+2x 2+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(,1][2,)-∞-+∞.8．已知函数f (x ) =|x 2-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .9.已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式222(2)182(2)18y x y x =--=---或.10. 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= 2 . 11. 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 4 .12.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是[2,)+∞.13.设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是[0,)+∞；14.函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为221+.二、解答题：15．已知函数2213()222f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．思路点拨:此题为动轴定区间问题,需对对称轴进行讨论. 解:213()()22f x x m m =+--当0m -≤即0m ≥时,2133(0)00;222f m m m ≥⇒--≥∴≥ 当0m ->即0m <时,130322m m -->∴<-. 综上得:3m <-或32m ≥. 点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况,尤其是端点处的数值不可忽视.最后结果要取并集. 变式训练: 已知2()cos 3sin cos 1()R f x a x a x x a =-+∈,当[0,]2x π∈ 时,)(x f 的最小值为2-,求a 的值.解: ()sin(2)162a f x a x π=-++，512[,],sin(2)[1,]66662x x ππππ-∈--∈-.当0a >时，min ()12,62af x a a =-++=-∴=． 当0a <时，min ()12,322a af x a =++=-∴=-． 16．设a 为实数，函数f (x ) = x 2+|x -a |+1，x ∈R ，（1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值．思路点拨:去绝对值,将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当0=a 时, 2()1f x x x =++,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,22()1,()21,()()f a a f a a a f x f a =+-=++≠-， 此时函数)(x f 为非奇非偶函数;(2)1)(2+-+=a x x x f =222213()()1()24131()()()24x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎨-++≤⎪⎪⎩-++≤⎪⎩当12a ≥时,222min min 3(1)1,(1)4x x a a x x a a +-+=+-++=+,此时,min 3()4f x a =+;当1122a -<<时,2min ()1;f x a =+当12a ≤-时, min 3().4f x a =-点评:把握每段函数,同时综观函数整体特点,是解决本题的关键.17. 已知2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点（-1，0），是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式21()2x x f x +≤≤对一切实数x 都成立. 思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当1=x 时，1()1(1)1,1f x f a b c ≤≤∴=++=, 又(1)00f a b c -=⇒-+=可得12b ac =+=；由x x f ≥)(对一切实数X 都成立， 则2201(1)0010216a a ax b x c ax x c ac >⎧>⎧⎪+-+≥⇒-+≥⇒⇒⎨⎨∆≤≥⎩⎪⎩于是,0>c 又161)2(2=+≤c a ac ，161=∴ac ,此时41==c a . 综上可得,存在21,41===b c a ,使得不等式()212x x f x +≤≤对一切实数X 都成立.点评: 挖掘不等式21()2x x f x +≤≤中隐含的特殊值,得到1)(1≤≤x f 以及111616ac ≤≤是解题关键.变式训练：设函数21()ax f x bx c+=+是奇函数（c b a ,,都是整数）且(1)2,(2)3f f =<.（1）求c b a ,,的值；（2）当)(,0x f x <的单调性如何？用单调性定义证明你的结论. 略解(1)0,1===c b a .(2) 当0,()x f x <在(,1]-∞-上单调递增,在[1,0)-上单调递减.18. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a的取值范围.解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或372a --≤或5a ≥⇔372a --≤或a ≥1. 所以实数a 的取值范围是372a --≤或a ≥1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0,又∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解212132x a x-⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t--=⋅=+-，设2277().'()t g t t g t t t-=+=，[1,7)t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)单调递减，(7,5]t ∈时，'()g t >0,此函数g (t)单调递增，∴y 的取值范围是[73,1]-，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解1a ∈[73,1]-1a ⇔≥或372a +≤-. 点评: 将原题中的方程化成212132x a x -=-的形式, 问题转化为求函数22132x y x-=-[-1，1]上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式训练:设全集为R ，集合{|sin(2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求(RA )∩(RB )．解：由2422x x ππππ≤≤≤≤得,512,sin(2)136626x x ππππ≤-≤∴≤-≤，即 1{|1}2A y y =≤≤,∴ R A 1{|1}2y y y =<>或．又关于x 的方程 012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数1)(2++=ax x x f ，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,f a f a f >⎧+<⎧⎪<⎨⎨+>⎩⎪>⎩即，∴522a -<<-． ∴5{|2}2RB a a a =≤-≥-或∴(R A )∩(RB )15{|21}22x x x x =-≤<>≤-或或． 19.设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.解：（1）由题意知，02≠++a ax x 恒成立，004a ∴∆<⇒<<；（2）22(2)()()x x x a e f x x ax a +-'=++，令0)(≤'x f 得0)2(≤-+a x x ；由()0f x '=得0x =或a x -=2又04a <<，02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<，即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 变式训练：已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()()2()3g x f x af x =-+的最小值为()h a . （Ⅰ）求()h a ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当)(a h 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∵11[1,1],()[,3].33x x ∈-∴∈设2223)(32)(]3,31[,)31(a a t at t t t t x-+-=+-=∈=φ，则 当13a <时min 1282()()393a y h a φ===-，； 当133a ≤≤时，2min ()()3y h a a a φ===-； 当.612)3()(3min a a h y a -===>φ时，∴22821()9331()3(3)3126(3)a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（Ⅱ）∵m >n >3， ∴()126(3,)h a a =-+∞在上是减函数. ∵)(a h 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，∴22126126, .m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 可得),)(()(6n m n m n m +-=- ∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．20.已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n =1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记αβ--=n n n a a b ln（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n .思路点拨:本题考察数列的综合知识,将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及αβ>得方程两根为1515,22αβ-+--==. (2)要证,n a α>需证0n a α->.()21f x x '=+.121121)()(221++=+-+-='-=∴+n n n n n n n n n n a a a a a a a f a f a a222221212(1)()212121n n n n n n n n n a a a a a a a a a αααααααα+-+--+-+---===+++.下面用数学归纳法证明:①当1=n 时,35102n a αα--=-=>,命题成立； ②假设(1)n k k =≥时命题成立,即0k a α->,0k a α>>．则当1n k =+时,21()021k k k a a a αα+--=>+,命题成立.根据数学归纳法可知,对任意的正整数都有n a α>成立.(3)由已知和(2),1151ln 4ln 12b βα-+==-,21121()ln ln 2()n n n n n n a a b b a a ββαα+++--===-- 所以251(24)ln2n n S ++=-. 点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充:函数)0,(>+=a a xax y 且是常数有如下性质：①函数是奇函数；②函数在],0(a 上 是减函数，在),[+∞a 上是增函数.（1）如果函数xx y b2+=（x >0）的值域是),6[+∞，求b 的值；（2）判断函数22cy x x =+（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； （3）对函数22xcx y x a x y +=+=和（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例.判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.解:（1）因为2220,2226,log 9b bb x y x x b x x>=+≥⋅===所以即（2）设),0()0,(,)(22+∞⋃-∞∈+=x xcx x f 因为 2222()()(),()c c f x x x f x x x -=-+=+=- 故函数22)(x cx x f +=为偶函数. 设222212212121222221120,()()()(1).c c c x x f x f x x x x x x x x x <<-=+--=-- ),()(,12214x f x f x x c ><≤时当函数22)(xc x x f +=在),[4+∞-c 上是增函数；当0),()(,12421x f x f c x x <≤<<)(x f 则为减函数，设,421c x x -≤<则22421)(,xc x x f c x x +=≥->-因是偶函数，所以,0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以函数],()(422c xcx x f --∞+=在上是减函数， 同理可证，函数)0,[)(422c xc x x f -+=在上是增函数.（3）可以推广为研究函数),0(是正整数常数n a x a x y n n>+=的单调性.当n 是奇数时，函数],(),[22n n n na a xa x y --∞+∞+=和在上是增函数，在)0,[],0(22n n a a -和上是减函数； 当n 是偶数时，函数)0,[),[22n n n na a xax y -+∞+=和在上是增函数， 在),[],0(22n n a a --∞和上是减函数．。
高考数学专题《二次函数与一元二次方程、不等式》习题含答案解析
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。
高考数学二次函数与幂函数复习课件
R
R
值域
R
R
奇偶性
函数
函数
函数
函数
函数
(续表)
课前基础巩固
{x|x≥0}
{x|x≠0}
{y|y≥0}
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
顶点坐标
奇偶性
当 时为偶函数
对称轴方程
x=-
b=0
2. 幂函数(1)定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.(2)常见的五种幂函数的图像和性质比较
课前基础巩固
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
图像
函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
性质
定义域
0
[总结反思]幂函数的性质因幂指数大于1,大于0且小于1、等于或小于0而不同,解题中要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
课堂考点探究
例1 (1) 已知二次函数y=ax2+bx+1的图像的对称轴是直线x=1,并且图像过点P(-1,7),则a,b的值分别是( )A.2,4 B.-2,4 C.2,-4 D.-2,-4
方法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),∵f(2)=f(-1),∴f(x)图像的对称轴方程为x= =,∴m=,又函数f(x)的最大值是8,∴n=8,∴f(x)=a+8,又f(2)=-1, ∴a+8=-1,解得a=-4,∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.方法三:由题知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1,又函数f(x)的最大值为8,所以=8,解得a=-4,故f(x)=-4x2+4x+7.
2024年新高考版数学专题1_3.2 二次函数与幂函数
b 2a
,
4ac 4a
b2
图象关于直线x=- b 对称
2a
考点二 幂函数 1.定义:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象
3.几个常用幂函数的性质
y=x
y=x2
y=x3
定义域
R
R
R
值域
R
[0,+∞)
R
奇偶性 单调性 定点
奇
偶
奇
y=x
y=x2
y=x3
3
故m的取值范围为
2 3
,1
.
例4 已知f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t. (1)求证:对于任意t∈R,关于x的方程f(x)=1必有实数根;
(2)若方程f(x)=0在区间(-1,0)和
0,
1 2
内各有一个实数根,求实数t的取值范
围.
解析 (1)证明:方程f(x)=1⇒x2+(2t-1)x-2t=0,因为Δ=(2t-1)2+8t=4t2+4t+1=(2 t+1)2≥0,所以方程f(x)=1必有实数根.
例1 (2022广东深圳六校联考二,2)若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x <1},则二次函数y=2bx2+4x+a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为
()
A.-1,-7 B.0,-8
C.1,-1 D.1,-7
解析 ∵不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},∴-2,1是关于x的方程ax2 +bx+2=0的两个实数根,且a<0,
高考数学常考压轴题及答案：二次函数
高考数学常考压轴题及答案：二次函数1500字二次函数是高考数学中的重要内容之一。
在高考中，常常会涉及到二次函数的基本概念、性质以及与其他知识点的联合运用。
本文将介绍高考数学中常考的二次函数压轴题及其答案，希望能对广大考生备战高考有所帮助。
1. 求二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标。
答案：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标可以通过求导或者利用平移公式来求解。
求导法可以通过将二次函数转化为一次函数来求解，即 y' = 2ax + b，令y' = 0，解得 x = -b / (2a)，代入原函数可得 y = c - b^2 / (4a)。
利用平移公式可以将二次函数表示为 y = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 (h, k) 就是顶点坐标。
2. 已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 过点 (1, 2) 和 (2, 3)，求二次函数的解析式。
答案：由已知条件可得：2 = a + b + c (1)3 = 4a + 2b + c (2)由 (1) 式减去2倍的 (2) 式，得 -1 = -6a - 3b，即 6a + 3b = 1 (3)由 (1) 式减去 (2) 式，得 -1 = -3a - b，即 3a + b = 1 (4)解方程组 (3) 和 (4) 可得 a = 1/3，b = 2/3。
将 a 和 b 的值代入 (1) 式，可得 c =5/3。
所以二次函数的解析式为 y = (1/3)x^2 + (2/3)x + 5/3。
3. 设某个二次函数的图像过点 (1, 3) 和 (2, 7)，与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和C，求 B、C 的坐标。
答案：已知二次函数过点 (1, 3) 和 (2, 7)，可以得到两个方程：3 = a + b + c (1)7 = 4a + 2b + c (2)由 (2) 式减去4倍的 (1) 式，得 1 = -2a - b，即 2a + b = -1 (3)解方程组 (1) 和 (3) 可得 a = 1，b = -3。
高考数学知识点之二次函数
高考数学知识点之二次函数一、二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a e0。
在二次函数中，x是自变量，y是因变量。
二、二次函数的图象二次函数的图象是抛物线，其开口的方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解法、配方法或求根公式等方法。
- 因式分解法将二次函数表示为(x−x1)(x−x2)=0的形式，其中x1和x2是两个零点。
- 配方法对于一般形式的二次函数，可以使用配方法将其化简为(x−p)2+q=0的形式，其中p和q可以通过配方法的步骤求得。
- 求根公式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，可以使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求得零点。
2. 判别式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，判别式D=b2−4ac可以用来判断函数的零点情况。
•当D>0时，二次函数有两个不相等的实根；•当D=0时，二次函数有两个相等的实根；•当D<0时，二次函数无实根。
3. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，记作(ℎ,k)。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标可以通过公式 $h=-\\frac{b}{2a}$ 求得。
将横坐标代入函数，即可求得顶点的纵坐标。
4. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过顶点来确定。
对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，对称轴的方程为x=ℎ，其中 $h=-\\frac{b}{2a}$ 为顶点的横坐标。
5. 单调性二次函数的单调性表示函数在某个区间内的增减情况。
对于开口向上的二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，在对称轴两侧，抛物线是开口向上的，函数是单调递增的。
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二次函数复习(附参考答案)
1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)在给定区间[]n m ,上的值域 ()1 若a >0，
①当m a b
<-
2时. ()()[]n f m f y ,∈. ②当n a
b >-2时. ()()[]m f n f y ,∈
③当n a b
m <-
<2时.()()()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈n f m f a b f y ,max ,2在比较()()n f m f ,的大小时亦可以n m ,与对称轴的距离而比较。
()2若a <0，可得类似的结论。
但无论如何(⎪⎭⎫
⎝⎛
-a b n f 2,
2．二次函数与一元二次方2
++c bx ax 的根、与一元二次不等式的关系 二次函数 △情况 一元二次方程
一元二次不等式解集
Y=ax 2+bx+c (a>0)
△
=b 2-4ac ax 2+bx+c=0 (a>0) ax 2+bx+c>0 (a>0)
Ax 2+bx+c<0 (a>0) 图象与解
△>0
a
b x a
b x 2221∆+-=
∆--=
{}2
1
x x x x x ><或
{}21
x x x
x <<
△=0 a
b x x 221-
==
{}0
x x x ≠
Φ
△<0
方程无解 R
Φ
o
x
y a b 2- m
n x
y o a b
2-
m
n
o x
y a b 2-
m n
3、一元二次方程根的分布条件 根的分布 X 1<x 2<k
k < X 1<x 2
X 1 <k<x 2
X 1, x 2∈(k 1,k 2)
X 1、x 2有且仅有 一个在(k 1,k 2)内
图 象
充 要 条 件
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<->>∆k a b k f 20)(0 ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
>->>∆k a
b k f 20)(0 0)(<k f
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<-<>>≥∆2
12120)(0
)(0k a b k k f k f ⎪⎩⎪
⎨⎧<-<+=⎪⎩
⎪
⎨⎧
+<-<=<⋅22122
1112122
0)(220)(0)()(k
a b k k k f k k a b k k f k f k f 或
例1、（1）函数2
([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ ）
()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <
（2若函数2
(2)3([,]y x a x x a b =+++∈）的图象关于1x =对称则b = ． (3)m 取何值时，方程2
2
7(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1． (4) 方程0422
=+-ax x 的两根均大于1，则实数a 的取值范围是＿＿＿。
(5)设y x ,是关于m 的方程0622
=++-a am m 的两个实根，则2
2
)1()1(-+-y x 的最小
值是（ ） (A)449-
(B)18 (C)8 (D)4
3
(6)若函数)3(log )(2
+-=ax x x f a 在区间]2
,(a -∞上为减函数，则a 的取值范围为（ ）
(A) (0,1) (B)(),1+∞ (C))32,1( (D))32,1()1,0(⋃
(7)方程1
11042x x a -⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
有正数解，则a 的取值范围为 。
例2、已知函数2244)(2
2+-+-=a a ax x x f 在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值。
例3、若函数()()1log 6log 132
3++--==a x a x a x f y 在[]1,0∈a 上恒为正值，求实数x
的取值范围。
例4、已知二次函数b a bx ax x f ,()(2
+=为常数，且a ≠0)，满足条件:0)2(=f 且方程
x x f =)(有等根．⑴求)(x f 的解析式; ⑵问是否存在实数m ，n (m <n )，使)(x f
的定义域和值域分别是[m ，n ]和[2m ，2n ]．如果存在求出m ，n 的值;如果不存在，说明理由．
例5、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为（1，3）. （1）若方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式； （2）若)(x f 的最大值为正数，求a 的取值范围.
例6、设二次函数2
()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足
1201x x <<<．（1）求实数a 的取值范围；
（2）试比较(0)(1)(0)f f f -与1
16
的大小，并说明理由．
例7、已知函数0)1(),1(2)(2
=<<++=f a b b ax x x f ，且方程01)(=+x f 有实根. （1）求证：13-≤<-b 且0≥a ；
（2）若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负，并说明理由.
例8、设)()(2
c b a c bx ax x f >>++=，0)1(=f ，b ax x g +=)(． （Ⅰ）求证：函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象有两个交点；
（Ⅱ）设)(x f 与)(x g 的图象的交点A 、B 在x 轴上的射影为1A 、1B ，求||11B A 的取值
范围；
（Ⅲ）求证：x ≤3-时，恒有)()(x g x f >．
例9．设a 为实数，记函数x x x a x f -+++-=111)(2的最大值为g (a )。
（Ⅰ）设t ＝x x -++11，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )
（Ⅱ）求g (a )
（Ⅲ）试求满足)1
()(a
g a g =的所有实数a
例10、对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2
()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠， （1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；
（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121
y kx a =+
+对称，求b 的最小值．。