高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案解析

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考复习知识点(1)

一、选择题

1．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线

3

x π

=

对称；③在区间,63ππ??

-

???

?上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（ ） A ．sin 26y x π?

?

=- ??

?

B ．sin 26x y π??=-

??? C ．cos 26y x π??

=- ??

?

D ．cos 23y x π??

=+

??

?

【答案】A 【解析】 【分析】

利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】

逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为241

2

π

π

=,故排除B ；

又cos 2cos 03

62π

ππ??

?

-

== ??

?，所以cos 26y x π??=- ???

的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ； 若63x ππ-

≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π?

?=+ ??

?在,63ππ??-????上单调递减，

故排除D ； 令22

6

2

x π

π

π

-

≤-

≤

，得63x ππ-

≤≤，所以函数sin 26y x π?

?=- ??

?在,63ππ??-????上单调递

增．由周期公式可得22T π

π=

=,当3x π=时,sin(2)sin 1362

πππ?-==, 所以函数sin 26y x π?

?=- ??

?同时满足三个性质.

故选A ． 【点睛】

本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.

2．已知函数()2sin()0,,2f x x πω?ω?π??

??=+>∈ ??????

?的部分图象如图所示，其中()01f =，

5

||2

MN =

，则点M 的横坐标为（ ）

A ．

12

B ．25

-

C ．1-

D ．23

-

【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56

π?=，由5||23MN π

ω=?=，再根据()2f x =可得答案.

【详解】

由函数()2sin()0,,2f x x πω?ω?π??

??=+>∈ ??????

?的部分图象，

可得(0)2sin 1f ?==，56

π?∴=

， 2

2512||2243MN ππωω??

==+?= ???， ∴函数5()2sin 3

6f x x π

π??=+ ???

，

令52sin 236x π

π??

+

= ???

， 得

52,03

62

x k k π

ππ

π+

=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3

π

ω=

，属于中档题.

3．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当

π0,2x ??

∈????

时，()sin f x x =，则

5π3f ??

???

的值为( ) A ．12

-

B 3

C ．3

D ．

12

【答案】B 【解析】

分析：要求53f π?? ???

，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π??????

，上，再应用其解析式求解 详解：()f x Q 的最小正周期是π

552333f f f ππππ??????∴=-=-

? ? ???????

()f x Q 是偶函数

33f f ππ????

∴-= ? ?????

，

53

3f f π

π????= ? ?????

Q 当02x π??

∈????

，时，()sin f x x =，

则5 sin 3332f f πππ????

===

? ???

??

故选B

点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．

4．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}

0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,

22??

????

B ．35,22??

???

C ．725,

26??

????

D ．725,26?? ???

【答案】D 【解析】 【分析】

化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣

3

π

）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：

令2sin （ωx ﹣

3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=

76

π

+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω

，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =

322ππωω+，x B =46ππ

ωω

+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，

即

322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ． 【点睛】

本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．

5．设函数()3)cos(2)f x x x ??=+++(||)2

π

?<，且其图像关于直线0x =对

称，则（ ）

A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2

π

上为增函数

B ．()y f x =的最小正周期为

2π，且在(0,)4

π

上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2

π

上为减函数

D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4

π

上为减函数

【答案】C 【解析】

试题分析：())cos(2)f x x x ??=+++2sin(2)6

x π

?=++，∵函数图像关于直

线0x =对称，

∴函数()f x 为偶函数，∴3

π

?=，∴()2cos 2f x x =，∴22

T π

π=

=， ∵02

x π

<<

，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,

)2

π

上为减函数.

考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.

6．若函数()sin()f x A x ω?=+（其中0A >，||)2

π

?<图象的一个对称中心为(

3

π

，0)，

其相邻一条对称轴方程为712

x π

=

，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( )

A ．向右平移6

π

个单位长度 B ．向左平移12

π

个单位长度 C ．向左平移6

π

个单位长度 D ．向右平移

12

π

个单位长度

【答案】B 【解析】 【分析】

由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】

根据已知函数()()sin f x A x ω?=+

(其中0A >，)2π

?<

的图象过点,03π?? ???，7,112π??

-

???

， 可得1A =，

1274123

πππω?=-， 解得：2ω=． 再根据五点法作图可得23

π

?π?+=，

可得：3

π

?=

，

可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π?

?=+ ??

?

故把()sin 23f x x π??

=+ ??

?

的图象向左平移

12

π

个单位长度， 可得sin 2cos23

6y x x π

π??

=++

= ??

?

的图象， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查由函数()sin y A x ω?=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出?的值，函数()sin y A x ω?=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．

7．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ）

A ．

2

π

B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π 【答案】C 【解析】 【分析】

设AE BF a ==，1

3

B EBF EBF V S B B '-'=

??V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，

再利用余弦定理求解. 【详解】

设AE BF a ==，则()()2

3119333288B EBF

a a V a a '-+-??

=???-?≤=????

，当且仅当3a a =-，即3

2

a =

时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '=

352AF =2292

A F AA AF ''=+=，132

2EF AC =

=

，

因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，

由余弦定理得2

2

2

819452

424cos 9322222

A F EF A E A FE A F EF +-

''+-'∠=

=='????， ∴4

A FE π

'∠=．

方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，

则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ??

???

， ∴3,3,32A F ??

'=-- ???

u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ，

所以9922cos ,92322

A F AC A F AC A F AC +'?'==='??u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，

所以异面直线A F '与AC 所成的角为4

π． 故选：C 【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.

8．已知函数()()203f x x πωω?

?=

-> ??

?的最小正周期为π，若

()()122f x f x ?=-，则12x x -的最小值为（ ）

A ．

2

π B ．

3

π C ．π

D ．

4

π

【答案】A 【解析】 【分析】

由正弦型函数的最小正周期可求得ω，得到函数解析式，从而确定函数的最大值和最小

值；根据()()122f x f x ?=-可知1x x =和2x x =必须为最大值点和最小值点才能够满足等式；利用整体对应的方式可构造方程组求得()12122

x x k k π

π-=-+，12,k k Z ∈；从

而可知120k k -=时取最小值. 【详解】

由()f x 最小正周期为π可得：

2π

πω

= 2ω∴= (

)23f x x π?

?∴=

- ??

?

(

)max f x ∴，(

)min f x =()()122f x f x ?=-Q 1x x ∴=和2x x =分别为()f x 的最大值点和最小值点

设1x x =为最大值点，2x x =为最小值点

()111222

2232,2232x k k k Z x k ππππππ?

-=+??∴∈??-=-??

()12122x x k k ππ∴-=-+，

当120k k -=时，12min

2

x x π

-=

本题正确选项：A 【点睛】

本题考查正弦型函数性质的综合应用，涉及到正弦型函数最小正周期和函数值域的求解；关键是能够根据函数的最值确定1x 和2x 为最值点，从而利用整体对应的方式求得结果.

9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知

sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c

，则C =

A ．

π

12

B ．

π6

C ．

π4

D ．

π3

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，

∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，

∵

π

2＜A ＜π， ∴

A= 3π4

，

由正弦定理可得

c sin sin a

C A

=， ∵a=2，c=2，

∴sinC=sin c A a

=2212=22

? ， ∵a ＞c ， ∴C=

π6， 故选B ．

点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

10．如图，在等腰直角ABC ?中，D ，E 分别为斜边BC 的三等分点（D 靠近点B ），过E 作AD 的垂线，垂足为F ，则AF =u u u v

（ ）

A ．

3155

AB AC +u u u

v u u u v B ．

2155

AB AC +u u u

v u u u v C ．481515AB AC +u u u

v u u u v D ．841515

AB AC +u u u

v u u u v 【答案】D 【解析】 【分析】

设出等腰直角三角形ABC 的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得

cos DAE ∠，由此得到45

AF AD =u u u r u u u r

，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将

45

AF AD =u u u r u u u r 表示为以,AB AC u u u r u u u r

为基底来表示的形式.

【详解】

设6BC =

，则2AB AC BD DE EC =====，

AD AE ==

=，101044cos 2105DAE +-∠=

=?， 所以

4

5AF AF AD AE ==，所以45AF AD =u u u r u u u r . 因为()

1133AD AB BC AB AC AB =+=+

-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2133

AB AC =+u u u

r u u u r ， 所以421845331515AF AB AC AB AC ??=?+=

+ ???

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

. 故选：D 【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.

11．

已知sin α

，sin()10

αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A ．

512

π

B ．

3

π C ．

4

π D ．

6

π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22

π

π

αβ-

<-<

，利用三角函数的基本关系式，分别求得

cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.

【详解】

由题意，可得α，β均为锐角，∴－2π <α－β<2

π. 又sin(α－β)

，∴cos(α－β)

. 又sin α

cos α

∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝

5

×10

－5

×? ??

＝2.∴β＝4π. 【点睛】

本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查

了推理与运算能力，属于基础题.

12．已知函数()3cos(

2)2

f x x π

=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟

成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1

C ．

1

2

D ．2

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】

对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟

成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min

22

T

x x -=

=，故选D ． 【点睛】

本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．

13．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ?

的面积

S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ?的面积为（ ）

A

B

．

C

D

．【答案】A 【解析】 【分析】

根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得

sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据

sin 0C ≠，得1

cos 3

A =-

，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=

，代入公式=S .

【详解】

由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3

A =-

， 由余弦定理2

2

2

2

2cos 23

a b c bc A bc --=-=

=，所以3bc =， 由ABC ?

的面积公式得

S ===故选：A 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点,若

121

cos 4

F MF ∠=

,122MF MF =,则此双曲线渐近线方程为( )

A ．y =

B ．3

y x =±

C ．y x =±

D ．2y x =±

【答案】A 【解析】 【分析】

因为M 为双曲线上一点,可得122MF MF a -=,在12F MF ?使用余弦定理,结合已知条件即可求得答案. 【详解】

Q 双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的左右焦点分别为1F ,2F ,M 为双曲线上一点 ∴ 1212

22MF MF a MF MF ?-=??=??,解得:14MF a =,22MF a = 在12F MF ?中,根据余弦定理可得:

∴ 1212

122

2

122c 2os F F MF MF M MF MF F F ∠=+-??

可得:2

2

2

1

(2)(4)(2)2424

c a a a a =+-??? 化简可得:2c a =

由双曲线性质可得:22222243b c a a a a =-=-=

可得

:b =

Q 双曲线渐近线方程为:b y x a

=±

则双曲线渐近线方程为

: y = 故选:A. 【点睛】

本题考查了求双曲线渐近线方程问题,解题关键是掌握双曲线的基本知识,数形结合,考查分析能力和计算能力,属于中档题.

15．函数()()()cos 20f x x ??π=+<<在区间,66ππ??

-????单调递减，在区间,06π??- ???

上有零点，则?的取值范围是（ ） A ．,62ππ??

?

???

B ．25,36ππ??

??

??

C ．2,23ππ??

???

D ．,

32ππ??

????

【答案】C 【解析】

分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式 详解：当[,]66x ππ

∈-，2[,]33

x ππ

???+∈-++，

又∵(0,)?π∈，则[,][0,]33ππ??π-++?，即03

3π?π?π?

-≥????+≤??

，233ππ?≤≤，

由cos(2)0x ?+=得2,2

x k k Z π

?π+=+∈，242

k x ππ?

=

+-， ∴06

4

2

π

π

?

-

<

-

<，解得

52

6

π

π?<<

， 综上

22

3

π

π?<≤

. 故选C.

点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：

2

x k π

π=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k π

π+，k Z ∈.

16．已知1tan 4,tan θθ

+=则2sin ()4π

θ+=（ ）

A ．

1

5 B ．

14

C ．

12

D ．

34

【解析】【分析】

根据同角三角函数的关系化简

1

tan4

tan

θ

θ

+=成关于正余弦的关系式,再利用降幂公式与

诱导公式化简2

sin()

4

π

θ+求解即可.

【详解】

由题,

1

tan4,

tan

θ

θ

+=则

22

sin cos sin cos

444sin cos1

cos sin sin cos

θθθθ

θθ

θθθθ

+

+=?=?=,

故

1

sin2

2

θ=.

所以2

sin()

4

π

θ+=

1cos2

2

2

π

θ

??

-+

?

??

1sin23

24

θ

+

==.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了三角函数的公式运用,在有正切函数时可考虑转化为正余弦的关系进行化简,属于基础题.

17．已知函数()sin()

f x x

π?

=+某个周期的图象如图所示，A，B分别是()

f x图象的最高点与最低点，C是()

f x图象与x轴的交点，则tan∠BAC＝（）

A．

1

2

B．

4

7

C

2

5

5

D

7

65

65

【答案】B

【解析】

【分析】

过A作AD垂直于x轴于点D，AB与x轴交于E，设C（a，0），可得

3

2

CD=，

1

1,

2

AD DE

==，

3

tan

2

CD

CAD

AD

∠==，

1

tan

2

ED

EAD

AD

∠==，再利用

tan tan()

BAC CAD EAD

∠=∠-∠计算即可.

过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，AB 与x 轴交于E ， 由题可得周期为2，设(,0)C a ，则1(,1)2B a +-，3

(,1)2

A a +， 所以32

CD =

，1

1,2AD DE ==，

3

tan 2CD CAD AD ∠=

=，1tan 2

ED EAD AD ∠=

= 所以tan tan tan tan()1tan tan CAD EAD

BAC CAD EAD CAD EAD

∠-∠∠=∠-∠=

+∠?∠

31422317122-=

=+?. 故选：B

【点睛】

本题主要考查两角差的正切公式，涉及到正弦型函数图象等知识，考查学生数学运算能力，是一道中档题.

18．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =

c =( )

A ．3

B ．2

C 2

D ．1

【答案】B 【解析】

1333,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===3

cos 2

A =

, 所以2

22313

23c c =

+-2

320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0

30,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.

当求出3cos A =

后，要及时判断出00

30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.

19．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则

ABD △的面积是（ ）

A ．15

B ．315

C ．1

D ．3

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论． 【详解】 如图：

()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，

在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

BAD ADB

=∠∠，同理可得

sin sin CD AC

CAD ADC

=∠∠，

因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得

BD AB

CD AC

=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，82

44

AC BD CD AB ??∴=

==，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-???，2

115sin 144B ??=--=

???. 1

sin 152

ABD S AB BD B ∴=

??=V 故选：A ． 【点睛】

本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.

20．化简

2

1

sin35

2

sin20

?

?

-

=（）

A．1

2

B．

1

2

-C．1-D．1

【答案】B

【解析】

【分析】

利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.【详解】

依题意，原式

1cos701

1cos701sin201

22

sin202sin202sin202

-

-

==-?=-?=-

o

o o

o o o

，故选B.

【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.