高中数学3.2.2 直线的两点式方程 (2)
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3.2.2 直线的两点式方程(2)
1．对于这一节内容，有两种不同的处理方法：一种 是仅让学生理解、记忆公式，直接应用而不讲公式 的探寻过程，这样的教学不利于对学生数学思维的 培养；另一种是本课所体现的方式，通过强调对公 式的探索过程，提高学生利用代数方法处理几何问 题的能力； 2．学生在练习中的“错误体验”将会有助于加深记 忆，所以可将应用公式的前提条件等学生容易忽略 的环节，设置在补充的例题练习中，以便达到强化 训练的目的．
3.掌握中点坐标公式；
4.通过与斜截式方程、斜截式方程的对比，掌握类比思
想.
各类方程的适用范围 直线方程名称 直线方程形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 适用范围 不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直两个坐标轴 不垂直两个坐标 轴且不经过原点
y y0 k ( x x0 )
y kx b
综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,
设直线方程为y-2=k(x-3), 2 令y=0，得x=3,令x=0,得y=2-3k, k 2 2 由已知3=2-3k，解得k=-1或k= , k 3 ∴直线l的方程为 2 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 3 即x+y-5=0或2x-3y=0.
相等；
（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 思维启迪 的条件求出即可.
解 （1）方法一
设直线l在x,y轴上的截距均为a,
若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= 2 x，即2x-3y=0. 3
x y 若a≠0，则设l的方程为 1, a a 3 2 ∵l过点（3，2），∴ 1, a a ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,
高一数学人教版A版必修二课件：3.2.2 直线的两点式方程
由题意知，a＋b＋ a2＋b2＝12.
又因为直线l过点P4( ,2), 所以34a＋2b＝1， 3
即5a2－32a＋48＝0,
解得ab11＝ ＝43， ，
a2＝152，
b2＝92，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
解析答案
类型三 直线方程的综合应用 例3 已知三角形的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),求BC边所在直线 的方程,以及该边上中线所在直线的方程.
∵点P(3,m)在直线AB上,
则m＋1＝－3＋2,
得m＝－2.
解析答案
(2)△ABC的三个顶点为A(－3,0),B(2,1),C(－2,3),求：
①所在直线的方程 y－0 x－－3
解 由直线方程的两点式得 3－0＝－2－－3， 所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0.
②BC边的垂直平分线的方程. 解 因为B(2,1),C(－2,3), 所以 kBC＝－3－ 2－12＝－12， 线段BC的中点坐标是 2－2 2，1＋2 3，即(0,2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0),
第三章 § 3.2 直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围； 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线方程的两点式
思考1 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,求通过这两点的直 线方程. 答案 y－y1＝xy22－－xy11(x－x1)， 即yy2－－yy11＝xx2－－xx11.
又因为直线l过点P4( ,2), 所以34a＋2b＝1， 3
即5a2－32a＋48＝0,
解得ab11＝ ＝43， ，
a2＝152，
b2＝92，
所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
解析答案
类型三 直线方程的综合应用 例3 已知三角形的三个顶点A(－5,0),B(3,－3),C(0,2),求BC边所在直线 的方程,以及该边上中线所在直线的方程.
∵点P(3,m)在直线AB上,
则m＋1＝－3＋2,
得m＝－2.
解析答案
(2)△ABC的三个顶点为A(－3,0),B(2,1),C(－2,3),求：
①所在直线的方程 y－0 x－－3
解 由直线方程的两点式得 3－0＝－2－－3， 所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0.
②BC边的垂直平分线的方程. 解 因为B(2,1),C(－2,3), 所以 kBC＝－3－ 2－12＝－12， 线段BC的中点坐标是 2－2 2，1＋2 3，即(0,2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0),
第三章 § 3.2 直线的方程
3.2.2 直线的两点式方程
学习目标
1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围； 2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围； 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线方程的两点式
思考1 已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),其中x1≠x2,y1≠y2,求通过这两点的直 线方程. 答案 y－y1＝xy22－－xy11(x－x1)， 即yy2－－yy11＝xx2－－xx11.
3.2.2直线的两点式方程
D.经过定点的直线都 可以用y kx b表示.
练习
根据下列条件，求直线的方程：
(1)过点(0,5),且在两坐标轴上的截距之和为2；
(2)过点(5,0),且在两坐标轴上的截距之差为2；
小结：
1)直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
2)两点式直线方程的适应范围 3)中点坐标：
kPP = kP P
1
1 2
即： x 1 2 1
得:y=x+2
y 3
43
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过这 两点的直线方程． 解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 ， P2的点． ∵ kPP = kP P
1 1 2
∴
y y1 x x1
即
x a
y b
1.
所以直线l 的方程为：
x
a
y b
1.
截距式直线方程: a
x
y b
1.
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 线在x轴上的截距
直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 注意： ②截距可是正数,负数和零
∥l 2的 条 件 是 什 么 ?
(2) l1 l 2的 条 件 是 什 么 ?
l1 : y k1 x b1 , l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l 2 k1 k 2 , 且b1 b2 l1 l 2 k1 k 2 1
例1.已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 程． 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 由已知得：
人教版数学必修二3.《直线的两点式方程》授课课件
解：y1 x2 即：2x-y-3=0
31 02
（2）A（0,5），B（5,0）
解：y5 x0 即：x+y-5=0
05 50
四、直线的截距式方程
例3:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程． 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
由已知得：
3 4
kb 2k b
解方程组得： k1 b2
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
由斜率公式得到 k 斜4 率 3 21
再由直线的点斜式 y方 3程 43(x1) 21
化简可x得 y20
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的两点式方程
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3),P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得：
图略
举例
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 32 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
xx1x2,yy1y2
2
2
M
即M
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
3 2
,
1 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0
y0 1 0
2
x5 35 2
31 02
（2）A（0,5），B（5,0）
解：y5 x0 即：x+y-5=0
05 50
四、直线的截距式方程
例3:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的 交点为B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程． 解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
由已知得：
3 4
kb 2k b
解方程组得： k1 b2
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2
还有其他做法吗？
由斜率公式得到 k 斜4 率 3 21
再由直线的点斜式 y方 3程 43(x1) 21
化简可x得 y20
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的两点式方程
设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点, 与P1(1,3),P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相 等可得：
图略
举例
例4:已知角形的三个顶点是A(－5，0)， B(3，－3)，C(0，2)，求BC边所在的直线 方程，以及该边上中线的直线方程.
解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：
y2 x0 32 30
整理得：5x+3y-6=0 这就是BC边所在直线的方程.
BC边上的中线是顶点A与BC边中点M所连 线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：
xx1x2,yy1y2
2
2
M
即M
3 2
,
1 2
过A(-5,0),M
3 2
,
1 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0
y0 1 0
2
x5 35 2
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程课件新人教A版必修2
ab
又过点 A,所以 4 + 2 =1
ab
因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以|a|=|b|
由①②联立方程组,解得
a b
6, 6,
或
a b
2, 2.
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 x + y =1,
66
2 2
化简得直线 l 的方程为 x+y=6 或 x-y=2.
1.直线的两点式方程
(1)定义:如图所示,直线 l 经过点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),则方程
y y1 = x x1 叫做直线 l 的两点式方程,简称两点式. y2 y1 x2 x1
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择 直线方程的截距式,若设直线在 x 轴,y 轴上的截距分别为 a,b,则直线与坐标
上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由直线方程的截距式得直线 l 的方程为 x + y =1,即 x+4y-8=0. 82
由①②可得 5a2-32a+48=0,
解得
a b
4, 3
或
a b
12 5 9. 2
,
所以所求直线的方程为 x + y =1 或 5x + 2 y =1,即 3x+4y-12=0 或 15x+8y-36=0.
则 (2)说xy 明xy:11与22坐xy22标,. 轴垂直的直线没有两点式方程.
解:由题意可设 A(a,0),B(0,b),
由中点坐标公式可得
a 0
2 2
【优秀课件】人教版高中数学必修二第三章3.2.2 直线的两点式方程
知识回顾
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
直线 方程 名称 点 斜 式 斜 截 式
直线的方程
已知 条件 直线方程 使用范围
点P 0 ( x0 , y0 ) 和斜率k
y y0 k ( x x0 )
直线斜率存在
斜率k和直 线在y轴上率存在
巩固练习
1.已知直线l的方程是 x 3 y 2 0,
l
●
y
B(0，b)
A(a， 0)
O
●
x
二、直线的截距式方程
x y 我们把方程: 1(a 0, b 0) a b 叫做直线的“截距式方程”.简称“截距式” .
说明： （1）a , b 表示截距； （2）适用范围：
不能表示过原点以及与坐标轴平 行或重合的直线.
知识理解
下列四个命题中的真命题是(
方程为x y 3 0; x y 1 0
(2)当a b 0时, 直线过原点，所以直线方程为y 2 x 所以，满足条件的直线方程有三条.
课堂小结
形式
点斜式 斜截式 两点式
条件
过点( x0,y0), 斜率为k 在y轴上的截距为b, 斜率为k 过P1（x1, y1), P2（x2, y2)
B
)
A.经过定点P ( x0 , y0 )的直线, 都可用方程y y0 k ( x x0 )来表示； B.经过任意两个不同点P 1 ( x1 , y1 )，P 2 ( x2 , y2 )的直线都可以用方程 ( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 )来表示； x y C.不经过原点的直线都可以用方程 1来表示； a b D.经过定点的直线都可以用方程y kx b来表示.
第三章
人教版必修二3.2.2直线的两点式方程课件
制导致了哪些直线不能用两点式表示？
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
不能表示与坐标轴(x,y轴)垂直的直线.
（2）当 x1 x2 时，直线方程为：x x1 当 y1 y2 时，直线方程为： y y1
练习
1.求过两点的直线的两点式方程
（1）P1(2,1), P2 (0,3)
(2)C(5,1), D(3,4) (3)A(0,5), B(5,0)
第三章 直线与方程
3.2.2 直线的两点式方 程
一、复习回顾 1). 直线的点斜式方程：
y- y0 =k(x- x0 )
k为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的一定点 2). 直线的斜截式方程：
y=kx+b
k为斜率，b为截距
三、新课探究
已知两点 P1(x1, y1)，P2 (x2 , y2 )，求通过这两点的直
(2)由两点式方程得，过 A，B 两点的直线方程为4y－－－－11＝－x－3－22，即 x＋y －1＝0.又点 P(3，m)在直线 AB 上，所以 3＋m－1＝0，得 m＝－2.
【答案】 (1)x＝2 (2)－2
4．求过定点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线 l 的方程．
【解】 设直线的两截距都是 a，则有 ①当 a＝0 时，直线为 y＝kx，将 P(2,3)代入得 k＝32，∴l：3x－2y＝0； ②当 a≠0 时，直线设为ax＋ay＝1，即 x＋y＝a， 把 P(2,3)代入得 a＝5，∴l：x＋y＝5. ∴直线 l 的方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
(a 0, b 0)
y B（0，b）
x O A( a ,0)
? 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢?
注意： ①局限性：(更大)
不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线
人教版高中数学必修2第三章第2节《直线的两点式方程》ppt参考课件2
y2 x0 3 2 3 0
整理得：5x+3y-6=0
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴
M
30, 2
3 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点
式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为 零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的 方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？
2
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3.
(0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时，y=1.
(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
整理得：5x+3y-6=0
中点坐标公式：
若P1 ，P2坐标分别为( x1 ，y1 ), (x2 ，y2) 且中点M的坐标为(x,y).
x x1 x2
则
2
y y1 y2 2
∵B(3,-3),C(0,2)
∴
M
30, 2
3 2
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
y2 y1 x2 x1
不是!当x1 ＝x2或y1= y2时，直线P1 P2没有两点
式方程.( 因为x1 ＝x2或y1= y2时，两点式的分母为 零，没有意义)
那么两点式不能用来表示哪些直线的 方程呢？
注意： 两点式不能表示平行于坐标轴
或与坐标轴重合的直线．
若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2） 中有x1 ＝x2 ,或y1= y2,此时过这两点 的直线方程是什么？
2
思考题：
已知直线l 2x+y+3=0,求关于点A(1,2)对称的 直线l 1的方程。
解：当x=0时，y=3.
(0,-3)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(2,7). 当x=-2时，y=1.
(-2,1)在直线l上，关于(1,2)的对称点为(4,3).
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截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经 过原点
不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开 心扉。
——培根
4
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
【即时训练】
直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
1
_2_a_b__.
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
a 1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )
A.1
B.- 1
C.- 3
D.2
3
3
2
3
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 4
k b， 2k b，
待定系数 法
解方程组得：kb
1， 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 y 4 x.
5
5
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1, 即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或4 x
5
截距为零 不容忽视
y-0 - 1 -0
=
x 3
+5 +5
,
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P（1 x1，y1),P2(x2 ,y2 )为端点的线段的中点坐标为
（ x1 + x2 ,y1 + y2 ).
2
2
【变式练习】
过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 几条?
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2,
所以 y y1 y2 y1 ,
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y
y1
x x1
.
y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
x y 1 0.
【变式练习】
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距 为零，显然相等. 所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得 a 2=a-2,即a+1=1,
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
提示：不是!
当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程.
(因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有
意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标 轴重合的直线的方程．
【变式练习】
求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式
方程. (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0)
y 1 x 2 3 1 0 2
y 2x3
y 5 x 0 y x 5
05 50
y0 x0 y 5 x
5 0 4 0
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标
y
代入两点式得：
l B(0,b)
A(a,x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
a b
+ +
7 1
= 2，
=解-2得，
a 5, b 3,
从而可知直线l的斜率为
-3 - 1 7+5
=
-1. 3
2.根据下列条件求直线的方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
由截距式得：x y 1 23
整理得：3x 2y 6 0
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
提示： 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2 当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
【即时训练】
求经过下列两点的直线方程:
(1)P1(2，1),P2(0，- 3).(2)A(0，5),B(5，0).
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 aa
把(1,2)代入得： 1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等 的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 3.掌握中点坐标公式.(重点) 4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
由截距式得：x y 1
整理得：
6x
5 5y
6 30
0
3.根据下列条件求直线的方程 （1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
P1P2
即：y 3 4 3， x 1 21
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
适用范围
不垂直x轴 不垂直x轴 不垂直坐标轴
不垂直坐标轴且不经 过原点
不是真正的朋友，再重的礼品也敲不开 心扉。
——培根
4
直线的截距式方程 直线方程由直线在x轴和y轴的截距确定,所以叫做 直线方程的截距式方程.
在x轴上 的截距
x y 1. ab
在y轴上 的截距
截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
【即时训练】
直线ax+by=1(ab≠0)与两坐标轴围成的面积是
1
_2_a_b__.
例2 已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3), C(0,2)，求BC边所在直线的方程，以及该边上中线所 在直线的方程.
a 1
所以a=0，即直线方程为x+y+2=0. 所以直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
1.若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P，Q，且线段
PQ的中点坐标为(1，-1)，则直线l的斜率为( )
A.1
B.- 1
C.- 3
D.2
3
3
2
3
解：选B.依题意，设点P(a,1),Q(7,b),则有
3.2.2 直线的两点式方程
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点,求直线的方程． 一般做法：
解：设直线方程为：y=kx+b（k≠0）
由已知得：
3 4
k b， 2k b，
待定系数 法
解方程组得：kb
1， 2，
方程思想
所以，直线方程为: y=x+2.
还有其他做法吗？
解：由斜率公式得到斜率k 4 3 . 21
y
O
x
解：当截距均为0时，设方程为y=kx,把P(-5，4)
代入上式得 k 即4 ,直线方程为 y 4 x.
5
5
当截距均不为0时，设直线方程为 x y 1,
aa
把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1, 即 x y 1 0. 综上：直线方程为 y 或4 x
5
截距为零 不容忽视
y-0 - 1 -0
=
x 3
+5 +5
,
22
整理得x + 13y + 5 = 0.
这就是BC边上的中线所在直线的方程.
中点坐标公式
以P（1 x1，y1),P2(x2 ,y2 )为端点的线段的中点坐标为
（ x1 + x2 ,y1 + y2 ).
2
2
【变式练习】
过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有 几条?
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的点．
因为kPP1= kP1P2,
所以 y y1 y2 y1 ,
x x1 x2 x1
可得直线的两点式方程：
y
y1
x x1
.
y2 y1 x2 x1
记忆特点：1.左边全为y，右边全为x.
2.两边的分母全为常数. 3.两边分子，分母中的减数分别相同.
x y 1 0.
【变式练习】
设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距 为零，显然相等. 所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， 得 a 2=a-2,即a+1=1,
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式写出直线方
程 y y1 x x1 呢？
y2 y1 x2 x1
提示：不是!
当x1＝x2或y1= y2时,直线P1P2没有两点式方程.
(因为x1＝x2或y1= y2时,两点式方程的分母为零,没有
意义) 那么两点式不能用来表示哪些直线的方程呢?
提示：两点式不能用来表示平行于坐标轴或与坐标 轴重合的直线的方程．
【变式练习】
求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式
方程. (1)P(2，1)，Q(0，-3) (2)A(0，5)，B(5，0) (3)C(-4，-5)，D(0，0)
y 1 x 2 3 1 0 2
y 2x3
y 5 x 0 y x 5
05 50
y0 x0 y 5 x
5 0 4 0
解：（1）2x-y -3 = 0.（2）x+y = 5.
例1 已知直线l与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交 点为B(0,b)，其中a≠0,b≠0,求直线l的方程.
解：将A(a，0），B（0，b)的坐标
y
代入两点式得：
l B(0,b)
A(a,x-a b-0 0-a
即 x + y = 1. ab
a b
+ +
7 1
= 2，
=解-2得，
a 5, b 3,
从而可知直线l的斜率为
-3 - 1 7+5
=
-1. 3
2.根据下列条件求直线的方程
（1）在x轴上的截距为2，在y轴上的截距是3；
由截距式得：x y 1 23
整理得：3x 2y 6 0
（2）在x轴上的截距为-5，在y轴上的截距是6；
若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1＝x2,或y1= y2, 此时过这两点的直线方程是什么?
提示： 当x1＝x2时方程为：x＝x1或x＝x2 当y1= y2时方程为：y=y1或y=y2
【即时训练】
求经过下列两点的直线方程:
(1)P1(2，1),P2(0，- 3).(2)A(0，5),B(5，0).
解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为： y-2 = x-0， -3 - 2 3 -0 整理得，5x +3y - 6 = 0.
这就是BC边所在直线的方程.
设BC的中点为M,则M的坐标为（3 +0，-3 + 2），即（3，- 1）.
22
22
过A(-5,0),M（3 ，2
1）的直线方程为 2
解: ⑴ 两条
设 直线的方程为:
x y 1 aa
把(1,2)代入得： 1 2 1
aa
a=3
所以直线方程为：x+y-3=0
那还有一条呢？ y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
例3 求经过点P(-5，4)，且在两坐标轴上的截距相等 的直线方程.
分析：截距均为0时， 设方程为y=kx, 截距均不为0时， 设为截距式求解.
得: y=x+2.
1.掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围. (重点)
2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围. 3.掌握中点坐标公式.(重点) 4.通过四种形式方程的对比，掌握类比思想.(难点)
已知两点P1(x1 ,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2，y1≠y2）, 求通过这两点的直线方程．
由截距式得：x y 1
整理得：
6x
5 5y
6 30
0
3.根据下列条件求直线的方程 （1）过点（0,5），且在两坐标轴上的截距之和为2； （2）过点（5，0），且在两坐标轴上的截距之差为2；
5x-3y+15=0 3x+5y-15=0或7x+5y-35=0
直线方程名称 直线方程形式
点斜式 斜截式 两点式
再由直线的点斜式方程得y 3 4 3 ( x 1)， 21
化简可得x y 2 0.
还有其他的方法吗？
解：设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,与P1(1,3)， P2(2,4)在同一直线上,根据斜率相等可得：
k = k PP1
P1P2
即：y 3 4 3， x 1 21