第1章第1 随机事件 综合讲练

Ⅰ、全面学习基本内容（见教材、课件） Ⅱ、概括内容提要（见教材、课件） Ⅲ、归纳常见题型（必做题）

● 提示

① 明确试验的条件、目的；

② 明确试验的所有可能的结果--事件,并区分出基本事件； ③ 表示法不唯一，应根据问题的需要，给出其等价表示.

【习题1-1 EX1】（P6），【总习题一 EX1】（P28）.

● 提示

① 注意试验目的；

② 根据事件的实际含义，给出其等价表示；

③ 利用事件的关系与运算的定义及性质，表示出相应的事件；

④ 事件——集合——文氏图； 一一对应 ⑤ 事件的关系与运算——集合的关系与运算——文氏图. 一一对应 ⑥ 事件的运算规律——集合的运算规律——文氏图. 一一对应

【补例1.1.1】； 【例1】（P5）；

【§1.1课堂练习1】，【§1.1课堂练习2】； 【习题1-1 EX2】（P6）～【习题

1-1 EX8】（P6）； 【总习题一EX2】（P28）、【总习题一EX3】（P28）.

● 提示

① 明确试验的条件、目的；

② 明确试验的所有可能的结果--事件,并区分出基本事件； ③ 表示法不唯一，应根据问题的需要，给出其等价表示.

● 辨析

A 、随机事件又分为：

（1）基本事件：在每次试验中至少发生一个，也仅发生一个的事件（每一个可能出现的不可分解的简单结果）；

（2）复合事件：由若干个基本事件组合而成的事件（可分解为由若干个基本事件组成），复合事件发生当且仅当其中一个基本事件发生； 作为随机事件的极端情形（特例），又有 （3）必然事件：每次试验中都发生的事件，通常用大写希腊字母Ω表示（也可记为大写英语字母,,U S I ）；

（4）不可能事件：每次试验中都必定不发生的事件，通常用大写希腊字母Φ表示（也可记为大写英语字母V ）.

B 、事件的集合表示

（1）基本事件可对应表示为：一个抽象点（称为样本点）ω（也可用其它小写字母或数字表示）的集合，记作}{ω；

（2）复合事件可表示为：其包含的所有基本事件对应的样本点ω构成的集合，记作

{A ω=ω满足的条件} （描述法）

或

{

A =一一列举出ω} （列举法）

?事件A 发生当且仅当A 中某一样本点（A ω∈）发生；

（3）必然事件可表示为：该试验E 中全体基本事件对应的样本点构成的集合（又称为样本空间或基本事件空间），记作Ω（全集）（也可记为大写英语字母

,,U S I ），即

Ωω满足的条件}（描述法）

=

{ω

或

Ω一一列举出ω}（列举法）

=

{

（4）不可能事件可表示为：不含任何样本点（对应基本事件）的集合，记作Φ（空集）

【习题1-1—EX2】（P6）

【提示】该试验是什么？—为分析问题的前提

【解】

该试验的条件：抛一枚硬币一次；

该试验的目的：观察正面、反面出现的情况；

该试验的结果：有关事件（分为：①基本事件 -- 不能分解；②复合事件-- 可分解）；

约定:该试验“将一枚均匀的硬币抛两次(条件)，观察正面、反面出现的情况(目的)”的基本事件（共4个）：

“第一次出现正面，第二次出现正面” -- 对应样本点HH ( 或11 )；

“第一次出现正面，第二次出现反面” -- 对应样本点HT ( 或10 )；

“第一次出现反面，第二次出现正面” -- 对应样本点TH ( 或01 )；

“第一次出现反面，第二次出现反面” -- 对应样本点TT ( 或00 )；故, 该试验的样本空间可用集合分别表示为

S={ HH ,HT ，TH ，TT } ( H--正面 ,T--反面 )

或

S={ 11 , 10 ，01 ，00 } ( 1--正面, 0--反面 )

A B C可用集合分别表示为

事件,,

A={ 第一次出现正面 } ={ HH ,HT } 或A={ 11 , 10 } B={ 两次出现同一面 }={ HH ，TT } 或B={ 11 , 00 } C={ 至少有一次出现正面 }

={ HH ,HT ，TH } 或C={ 11 , 10 ，01 }

表示法不唯一

【总习题一EX1】（P28）

【提示】该试验是什么？—为分析问题的前提

【解】

该试验的条件：一批产品有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品； 该试验的目的：观察抽取三件产品中，合格品与废品出现的情况；

该试验的结果：有关事件（分为：① 基本事件 -- 不能分解；② 复合事件 -- 可分解）；

约定:该试验“一批产品有合格品也有废品，从中有放回地抽取三件产品(条件)，观察抽取三件产品中，合格品与废品出现的情况(目的)”的基本事件（共8个）：

“第一次抽到i 件废品（1i -件合格品），第二次抽到j 件废品（1j -件合格品，第三次抽到k 件废品（1k -件合格品），,,0,1i j k =” -- 对应样本点

(,,)i j k ；

故, 该试验的样本空间可用集合分别表示为

S

{(,,),,0,1}i j k i j k ==

{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),=

(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

事件i A ={ 第i 次抽到废品 }（1,2,3i =）可用集合分别表示为

1A {(,,)

1;,0,1}i j k i j k ===

{(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)}=

2A {(,,)

1;,0,1}i j k j i k ===

{(0,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,1,1)}=

3A {(,,)

1;,0,1}i j k k i j ===

{(0,0,1),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,1)}=

（1）{ 第一次和第二次抽取至少抽到一件废品 } =含义

{ 第一次和第二次至少抽到一件废品 ，且第三次抽到任一件产品（合格品或废品）}

=含义

“事件1A ，2A 中至少有一个发生且3A 发生或不发生”

=含义

“事件1A ，2A 中至少有一个发生且3A ，3A 中至少有一个发生”

=事件的关系与运算

1233()()A A A A U I U

=事件的关系与运算12()A A S U I

=

事件的关系与运算12A A U

=含义

“事件1A ，2A 中至少有一个发生”

12A A =

U

{(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}= {(0,1,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,1,1)}U

=集合表示

{(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

（2）{ 只有第一次抽到废品 }

=含义

{ 第一次抽到废品且第二次、第三次均抽到合格品 }

=含义

“事件1A 发生，同时事件2A ，3A 均不发生” =含义

“事件1A ，2A ，3A 同时发生” =

事件的关系与运算

123

A A A =集合表示

{(1,0,0)} （3）{ 三次都抽到废品 }

=含义

{ 第一次、第二次、第三次均抽到废品 }

=含义

“事件1A ， 2A ，3A 均不发生” =含义

“事件1A ，2A ，3A 同时发生” =

事件的关系与运算

123

A A A =集合表示

{(1,1,1)}

（4）{ 至少有一次抽到废品 } =含义

{ 第一次抽到废品，或第二次抽到废品，或第三次抽到废品}

=含义

“事件1A ， 2A ，3A 中至少有一个发生” =

事件的关系与运算

123A A A U U

=含义

{ 三次均抽到合格品不发生 } =含义

{ 事件1

23A A A 不发生 } =

事件的关系与运算

123A A A

=集合表示

{(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

（5）{ 只有两次抽到废品 } =含义

{ 第一、二次均抽到废品同时第三次抽到合格品，或第一、三次均抽到废品同时第二次抽到合格品，或第二、三次均抽到废品同时第一次抽到合格品}

=含义

“事件123A A A ，123A A A ，123A A A 中至少有一个发生”

=

事件的关系与运算

123123123A A A A A A A A A U U

=集合表示

{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}

● 本题解法

试以事件的集合表示下列情况（用集合表示下述事件！）： ● 教材答案

试以事件的集合表示下列情况（仅用事件的关系与运算！）：

（1）{ 第一次和第二次抽取至少抽到一件废品 }

=

事件的关系与运算

12A A U

=集合表示

{(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

（2）{ 只有第一次抽到废品 }

=

事件的关系与运算

123

A A A =集合表示

{(1,0,0)} （3）{ 三次都抽到废品 }

=

事件的关系与运算

123

A A A =集合表示

{(1,1,1)} （4）{ 至少有一次抽到废品 }

=事件的关系与运算

123A A A U U =

事件的关系与运算

123A A A

=集合表示

{(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

（5）{ 只有两次抽到废品 }

=

事件的关系与运算

123123123A A A A A A A A A U U

=集合表示

{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}

● 提示

① 注意试验目的；

② 根据事件的实际含义，给出其等价表示；

③ 利用事件的关系与运算的定义及性质，表示出相应的事件；

④ 事件——集合——文氏图； 一一对应 ⑤ 事件的关系与运算——集合的关系与运算——文氏图. 一一对应 ⑥ 事件的运算规律——集合的运算规律——文氏图. 一一对应

● 辨析

事件——集合——文氏图

事件 (可类比集合) 本教材中，Ω写成S

记号 概率论中定义 集合论中含义

Ω

必然事件或样本空间 全集（全体元素构成的集合） Φ 不可能事件

空集（不含任何元素的集合）

ω∈Ω

样本点（对应基本事件） ω为全集Ω中的元素 }{ω

基本事件

元素ω构成的集合（单点集）

A ?Ω A 为某一随机事件

（通常为复合事件） A 为全集Ω的某一子集

A ω∈

事件

A 中所含某一基

本事件对应样本点ω

ω为集合A 中某一元素

{}A ω?

}{ω为事件A 中所含

某一基本事件

}{ω为集合A 中所含某一子集（单

点集）

辨析

事件间的关系与运算

1、事件的关系与运算的定义(可类比集合的情形)

可推广到有限多个或可数个事件的情形

（1）“有限多个事件12,,,n A A A L 中，至少有一个发生”这一事件，称为有限多个事件12,,,n A A A L 的并（和），记为

121

n

n i i A A A A ==

U UL

U U

或

121

n

n i i A A A A =+++=∑L

“可数个事件12,,,n A A A L L 中，至少有一个发生”这一事件，称为可数个事件12,,,n A A A L L 的并（和），记为

121

n i i A A A A ∞

==

U UL

U UL U

或

121

n i i A A A A ∞

=++++=

∑L L

（2）“有限多个事件12,,,n A A A L 同时发生”这一事件，称为有限多个事件12,,,n A A A L 的交（积）

，记为 121n

n i i A A A A ==I I L

I

I

或

121

n

n i i A A A A ==∏L

“可数个事件

12,,,n A A A L L

同时发生”这一事件，称为可数个事件

12,,,n A A A L L

的交（积），记为

121

n i i A A A A ∞

==

I I L

I

I

L I

或

121

n i i A A A A ∞

==∏

L L

（3）完备事件组

设12,,,n A A A L L 是有限或可数个事件，如果其满足： ① ,,1,2,j i

i j i j A A =≠=Φ

L （两两互不相容（不同时发生）

） ② 12i i i

A A A A S ==U UL U UL U （至少有一个发生） 则称12,,,n A A A L L 构成一个完备事件组（或样本空间的一个划分） 2、事件的关系与运算的图示（Venn 图，文氏图，可类比集合的情形）

事件的关系与运算——集合的关系与运算——文氏图

3、 事件的关系与运算的性质(可类比集合的情形，并结合Vienn 图识记理解) 事件的运算符号中，

--“Y ”与“+”通用；

--“I ”与“?” 通用（“?”可省略不写）. ⅰ、基本性质 （1）A A ?

（自反性）

① 事件含义 ? ② 集合含义

（2）A B B A ???（对称性）

（3）若A B ?，且B C A C ???（传递性）

（4）A B =?A B ?且B A ?

（5）A A A +

=（吸收律）

（6）A A +=

Φ（吸收律）

（7）A S S +=（吸收律） （8）A A B ?

+，B A B ?+

（9）若A B ??A B B +=

（10）A A A =

（吸收律）

（11）A =ΦΦ（吸收律） （12）A A =Ω（吸收律） （13）AB A ?

，AB B ?

（14）若A B ??A B A =

（15）A A =

（16）A A S +

=

（17）A A =Φ （18）A B AB

-=

（19）A B A A B -=-

（20）A B A -?

（21）S A A -=

（22）(

)A B AB -=ΦI ，且()A A B A B =-U ，()B A B B A =-U

（23）A B -、B A -

与A B 两两互不相容，且

()()A B A B B A AB +=--U U

ⅱ、 事件的运算性质（运算律） （1）交换律 A B B A =U U ，A B B A =I I

或

A B B A +=+，A B B A =

（2）结合律 ()(

)A B C A B C A B C ==U U U U U U

()()A B C A B C A B C ==I I I I I I

或

()()A B C A B C A B C ++=++=++ ()()A BC AB C ABC ==

（3）分配律 ① ()()()A B C A B A C =I U I U I （第一分配律）

或

()A B C AB AC +=+

② ()()()A B C A B A C =U I U I U （第二分配律）

或

()()A BC A B A C +=++

（4）对偶律（De Morgan 律）

① A B A B =U I ( 或A B A B +=

)

② A B

A B =

I

U (或AB

A B =

+)

可推广到有限多个或可数个事件的情形 ① 1212n n A A A A A A =U UL U UL I I

L I I

L

简记为

i i i

i

A A =U

I

或

1212n n A A A A A A +++

+=

L

L

L L

简记为

i i i

i

A A =∑∏

② 1212n n A A A A A A =

I I

L I

I

L U UL U UL

简记为

Y I

i

i i

i A A =

或

1212n n A A A A A A =

+++

+L L

L

L

简记为

i i i

i

A A =∑∏

【补例1.1.1】互不相容事件与对立事件的区别何在？ 【解】

A 与

B A =为对立事件 ?

反之不然

A 与

B 为互不相容事件

注意

A 与

B A =为对立事件?A 与B A =构成一个完备事件组

【例1】（P5）

【提示】该试验是什么？— 为分析问题的前提

【解】利用P4、P5事件的关系与运算（定义、性质）及运算律，得

（1）“甲未中靶” =含义

“事件A 不发生”=事件的关系与运算A

=含义

“事件A 不发生同时B 发生且C 不发生，或事件A 不发生同时B 发生且

C 发生，或事件A 不发生同时B 不发生且C 发生，或事件A 不发生同时B 、C

均不发生” =含义

“事件,,,ABC ABC A

B C A B C

中至少有一个发生”

=

事件的关系与运算

ABC

ABC A B C A B C

+

++

● 注意 两个答案！

A ABC

ABC A B C A B C =+

++

（2）“甲中靶而乙未中靶”=“事件A 发生且事件B 不发生” =

事件的关系与运算

A B

=含义

“事件A 发生同时B 不发生且C 发生，或事件A 发生同时B 、 C 均不发生” =含义

“事件,A B C A B C 中至少有一个发生” =

A B C A B C +

● 注意 两个答案！

A B A B C A B C

=+

（3）“三人中只有丙未中靶” =逻辑推断

“甲、乙均中靶，同时丙未中靶”

=含义

“事件A 、B 同时发生且事件C 不发生” =

事件的关系与运算

AB C -

=含义

“事件A 、B 、C 同时发生” =

事件的关系与运算

ABC

注意 两个答案！

ABC AB C =-

（4）“三人中恰好有一人中靶” =逻辑推断

“三人中，恰好甲中靶，或恰好乙中靶，或恰好丙中靶”

=逻辑推断“三人中，甲中靶同时乙、丙未中靶，或乙中靶同时甲、丙未中靶，或丙中靶同时甲、乙未中靶” =含义

“事件A 发生同时事件B 、C 不发生，或事件B 发生同时事件A 、C 不

发生，或事件C 发生同时事件A 、B 不发生”

=含义

“事件A 、 B 、C 同时发生，或事件A 、B 、C 同时发生，或事

件A 、B 、C 同时发生” （三个事件至少有一个发生）

=

事件的关系与运算

AB C A BC A B C +

+

AB C A BC

A

B C =

U U

● 图示

（5）“三人中至少有一人中靶” =逻辑推断

“甲中靶，或乙中靶，或丙中靶”

=含义

“事件A 、B 、C 中至少有一个发生” =

事件的关系与运算

A B C ++

A B C =

U U

● 注意 两个答案！ ① A B C

U U =事件的运算规律(对偶律)

结合图示

A B C

I I