港澳台联考数学真题 (含答案)

绝密★启用前

2014年中华人民共和国普通高等学校 联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试

数 学

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设集合{(3)(2)0}P x

x x =+-≥，{2}Q x x =>，则P Q =（ ）

（A ）Q （B ）∅ （C ）{2}

（D ）P

（2）抛物线2

8y x =-的准线方程为

（ ）

（A ）2x =-

（B ）1x =-

（C ）1x =

（D ）2x =

（3）若直线21y x =+与圆222(3)(2)x y r -+-=相切，则2r =（ ）

（A ）8

（B ）5

（C ）

（D （4）若实数,a b 满足0ab <，则 （ ）

（A ）

a b a b +<- （B ）a b a b +>- （C ）a b a b -<+ （D ）a b a b ->+

（5）函数4sin cos2y x x =+的值域为

（ ）

（A ）

[]5,4- （B ）

[]3,7 （C ）[]5,3-

（D ）

[]1,3-

（6）使函数

()sin(2)f x x ϕ=+为偶函数的最小正数ϕ= （ ）

（A ）π

（B ）

2

π

（C ）

4π

（D ）

8

π

（7）等比数列4,10,20x x x +++的公比为（ ）

（A ）

12

（B ）

43

（C ）32

（D ）53

（8）9(x 的展开式中3x 的系数是

（ ）

（A ）336 （B ）168

（C ）168- （D ）336-

（9）8把不同的钥匙中只有1把能打开某锁，那么从中任取2把能将该锁打开的概率为 （ ）

（A ）

14

（B ）

17

（C ）18

（D ）116

（10）平面10ax by z +++=与230x y z +-+=互相垂直，且其交线经过点(1,1,2)-，则a b +=

（A ）

23

（B ）13

（C ）13-

（D ）23

- （11）有一块草地为菱形，在菱形的对角线交点处有一根垂直于草地的旗杆，若该菱形面积为

2240m ，周长为80m ，旗杆高8m ，则旗杆顶端到菱形边的最短距离为 （ ）

（A ）6m

（B ）8m

（C ）10m

（D ）12m

（12）函数

2

1

()1

x f x x -=

+的最大值为（ ） （A

）

2

（B

）

1

4

（C

）

4

（D

）

1

2

- 二、填空题：本大题共6小题；每题5分． （13）函数tan(3)18

y x π

=+

的最小正周期是_____________．

（14

）设双曲线经过点，且其渐近线方程为230x y ±=，则该双曲线的标准方程为________． （15）已知点A 、B 在球O 的表面上，平面AOB 截该球面所得圆上的劣弧AB 长为80，=120AOB ∠，

则该球的半径为_______________．

（16）若21

1,()1,1x x f x x a x ⎧-≠⎪

=-⎨⎪=⎩

， 是R 上的连续函数，则a =______________．

（17）用1x +除多项式()P x 的余式为2，用2x +除多项式()P x 的余式为1，则用232x x ++除多项式

()P x 的余式为______________．

（18）设函数2

13

()log (443)f x x ax a =-+在(0,1)是增函数，则a 的取值范围____________．

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （19）甲、乙、丙各自独立投篮一次.已知乙投中的概率是

23，甲投中并且丙投中的概率是3

8

，乙投不中并且丙投不中的概率是

1

6

． （I ）求甲投中的概率；（II ）求甲、乙、丙3人中恰有2人投中的概率．

（20）设椭圆2

212

x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，1F l ∉，

求1F AB ∆重心的轨迹方程．

（21）设曲线22y x ax =-与2y x x =-所围成的区域被直线1x =分成面积相等的两部分，求a ．

（22）在数列{}n a 中，11a =，112

(1)2

n n a a n n +=++

+，1,2,3,n =⋅⋅⋅． （I ）求2a ，3a ，4a ； （II ）求数列{}n a 的通项公式．

2014年港澳台联考数学真题答案

一、选择题

1—12：BDBAC BDAAC CD 二、填空题

13．3

π 14．22

1188x y -= 15．

120π 16．2 17．3x + 18．[2,4] 三、解答题

19．解：（I ）设甲和丙投中的概率分别是P 甲、P 丙，则3

=8

P P ⋅甲丙，且21(1)(1)36P --=丙

， 解得3=

4P 甲，1

=2

P 丙． （II ）所求概率设为P ，则32132132111

(1)(1)(1)43243243224

P =

⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=

． 20．解：由已知条件可知，1(1,0)F -、2(1,0)F ，

①当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：1x =

，则可得A

、(1,B ，又1(1,0)F -，所以1F AB ∆重心坐标为1

(,0)3

；

②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，

因为1F l ∉，所以0k ≠，与椭圆的方程联立22

12(1)y k x y x ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩

，整理得2222

(12)4220k x k x k +-+-=，

则22412A B k x x k +=+，故2

2()212A B A B

k

y y k x x k k -+=+-=+ 所以1F AB ∆的重心坐标为222102(,)(,)1233(12)3(123)A B A B x x y y k k

k k +-++--++=

即222

21

3(12)23(2))1k x k k y k ⎧-=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩

重重，消去k 得，22

129x y +=，因为0k ≠，所以130x y ⎧≠-⎪⎨⎪≠⎩

故三角形的重心轨迹方程为2

2

112()93

x y x +=≠-．