港澳台联考数学模拟试题

数学测试

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若函数f （x

的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（）

A ．[－2,2]

B ．（－2,2）

C ．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

D ．（－∞，－2）∪（2，＋∞）

2.若ααcos ,sin 是关于x 的方程03242=++m x x 的两根，则m 的值为（）

A ．21

B ．41

-C ．41

D ．2

1

-3．设满足的约束条件26

20,0

x y y x y +

≤⎧⎪≤⎨⎪≥≥⎩，则目标函数2x y z +=的最大值（）

（A ）8（B ）16（C ）32（D ）64

4.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3则6

9S S =（）

A ．7

3B ．8

3C ．2D ．3

5.若函数()212x

x a f x a -=+ 为奇函数，则a =

A ．1

B ．-1

C ．1±

D ．0

6.若函数22log (3)y x ax a =-+在(2,)+∞上是单调增函数，则实数a 的取值范围为（

）

A ．(,4]-∞

B ．(,4)-∞

C ．(4,4]-

D ．[4,4]-

7.已知直线y x m =-+是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

8.已知函数R x x x x f ∈+=,sin )2cos 1()(2，则)(x f 是

A ．最小正周期为π的奇函数

B ．最小正周期为π的偶函数

C ．最小正周期为2π的奇函数

D ．最小正周期为2π

的偶函数

9.直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于（

）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则n S 的取值范围是

.A (0,1).B (0,)+∞.C 1[,1)2.D 1

[,)

2+∞10.焦点为（0,6），且与双曲线2

212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A ．22

12412y x -=B ．22

11224y x -=C ．2211224x y -=D ．2

2

1

2412x y -=11.记cos(80)k -︒=,那么tan100︒=（）

（A ）

（B （C ）—k （D ）k

12.已知两个等差数到{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且n n T S =137+-n n ，则55

b a =（

）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

二、填空题：本大题共6小题；每小题5分.

13.过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是．

14．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=1,111,)(2x x x x a x x f ,在1=x 处连续，则实数a 的值为．

15.已知2a b +=，则33a b +的最小值是

（）A ．

B ．6

C ．2

D ．

16.若双曲线221x y m

-=的实轴长是离心率的2倍，则m =______．17.若多项式()432p x x x ax bx c =++++，()12p =，用21x +除()p x 的余式为2，则a b c -+=__________()1p -=____________.

18.在空间直角坐标系O xyz -中，经过A (1，0，2)，B (1,1,-1)和C (2,-1,1)三个点的平面方程为__________。

三、解答题：本大题共4小题；每小题15分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19.在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b

a c B C A -=-2cos cos 2cos ，且43sin =A ，角C 为锐角．（1）求角C 的大小；（2）若7=c ，且△ABC 的面积为

233，求22b a +的值．20.已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求a 1。（2）求{n a }的通项公式；

已知数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足2

)1(4+=n n a S ．（1）求}{n a 的通项公式；

（2）设1

1+=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和为n T ．

21.已知函数()1x

f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）.（1）当1a =时，求过点()()

1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立，求实数a 的取值范围.

22.如图，过抛物线y px p 220=>()上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （x y 22,）

（I ）求该抛物线上纵坐标为p 2

的点到其焦点F 的距离（II ）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求

y y y 120+的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.y

P

O x

A

B