二次函数y=ax2+bx+c的配方法

一般地，抛物线y=a(x-h) +k与 y=ax2的开口方向、形状 相同，顶点、位置 不 同
上加下减常数项
2
y=ax
2
左加右减自变量
y=a(x-h) +k
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是 直线x=h ； 3.顶点坐标是 (h,k) 。
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4 a b 直线 x 2a
对称轴
位置 开口方向
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
值或最小值是多少？ 2、若二次函数y=ax2+4x+a-1 的最小值是2，则a的值
是 .
化为 2、用公式法把 y a x h k 的形式，求出对称轴和顶点 坐标． 1 5 1 5 y x x a , b 1, c 解：在 2 2 中， 2 2
2
2
1 2 5 y x x 2 2
例5 当x取何值时，二次函数 或最小值，最大值或最小值是多少？
y 2 x 2 8x 1
有最大值
解法一（配方法）：
解法二（公式法）：
2 y 2 x 8x 1 有最低 因为a＝2＞0，抛物线
点，所以y有最小值， 4 2 1 8 b 8 4ac b － 2, 因为 2a 2 2 4a 4 2 y ＝－7 所以当x＝2时， 。
的两实数根
例4 已知抛物线 ①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
y x2 k 4 x k 7,
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时， 0 0 k 4 0 k 7 ，所以k＝ y＝0，所以 －7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点； ②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0， k 4 b 0 ，所以k＝－4，所 2a 2 1 即 以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
x
o
2、 —
b ＞0 2a
3 、 C＞ 0
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向
３.增减性与最值 根据图形填表： 抛物线 顶点坐标
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线 x 2a
∴开口方向：由a决定;
y ax2 bx c a(x2 b c x ) a a
b 对称轴： x 2a
b 4ac b2 顶点坐标： （ ， ) 2a 4a
2 2 2 b b b c a x x a a 2a 2a
1 2 1 x 3x 2 2

1 9 1 1 x3 2 5 2 x 3 2 2 2 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
解法二：
1 a 0 2
b 2a
，∴抛物线开口向下，
3 3 1 2 2
已知a＜0，b＞0，那么抛物线y=ax2+bx+2的顶点在 第 象限.
3、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线 y=-2x2 形状相同,且 顶点坐标为(1,-5)的函数解析式为 . 4、若抛物线y＝a(x-m )2+n的图象与函数y＝2x2的图象的 形状相同,且顶点为(-3,2),则函数的解析式为 .
b 2 4ac - b2 a (x ) 2 2a 4a b 2 4ac b2 a( x ) 2a 4a
总结：二次函数y=ax2+bx+c的性质
y=ax2 +bx+c(a≠0) 开口方向 顶点坐标
(b, 2a x= -
a>0
a<0
向上
4ac-b2 4a b 2a ) (b 2a x= -
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3 时，y随x的增大而减小。
例7 已知二次函数 2 y m 1 x 2mx 3m 2 m 1 的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐 标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ① 2 4 m 1 3m 2 2m 0 4 m 1 ②

b 2a
1 2 y x 1 2 ， 2
1 1, 1 2 2
1 5 4 12 2 4ac b 4 2 2 2 4a 2 1 4 2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
4ac - b 2 y最大＝ ; 4a
b 如果a＜0，当 x 2 a
时，函数有最大值，
（5）增减性： b x ①若a＞0，当 2 a 时，y随x的增大而增大； b x 当 2 a 时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
当
b 2a b x 2a x
时，y随x的增大而减小； 时，y随x的增大而增大。
5、已知抛物线y= ax2+bx+c与抛物线y=x2 形状相同,但开 口方向相反,且顶点坐标为 (-1,5)的函数解析式为 .
6.不画图象，说明抛物线y=-x2+4x+5可由抛物线y=-x2经 过怎样的平移得到？
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c的符号：
y
根据图像可得： 1、 a＞ 0
2
2
7
最小值
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例6已知函数 ，当x为何值 时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
y
1 2 1 x 3x 2 2
解法一：
又
y

a
1 0 2
，∴抛物线开口向下，
1 1 x2 6 x 9 9 2 2
例.求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴，并画 出草图：
①y=2x2-5x+3
请画出草图:
3 －9
②y=－ x2+4x-9
③y=(x-3)(x+2)
1 2
－6
1、已知函数y=2x2-8x+1.
（1）用配方法把它化为顶点式；
（2）写出其图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(3) 当x取何值时，二次函数有最大值或最小值，最大
2 y ax bx c 图象的画法． 3．
步骤：1．利用配方法或公式法把 化为 y a x h k 的形式。 2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
2
y ax 2 bx c
4．二次函数 （1）顶点坐标
(2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式。
y= －(x+2)2－1
你能把 y ax bx c
2
改写成 y a(x h) k 吗？
2
用配方法
你知道吗?
b 4ac b 2 y a x . 2 a 4 a
2
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标吗？ 2
(6)抛物线
y ax 2 bx c与坐标轴的交点
2 y ax bx c ①抛物线
与y轴的交点坐标
为（0，c） 2 ②抛物线 y ax bx c与x轴的交点坐标为
x1 , 0 , x2 , 0，其中 x1 , x2为方程 ax 2
bx c 0
由a,b和c的符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
y ax bx c
老师提示:
b 提取二次项系数 a x 2 x c a 配方:加上再 2 2 2 b b b a x x c 减去一次项系 a 2a 2a 数绝对值一半
y ax 2 bx c 的性质：
b 4ac b 2 , ; 2 a 4 a
（2）对称轴是直线
x
b 2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开 口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值： b x 时，函数有最小值， 如果a＞0，当 2 a 2 4ac - b y最小＝ , 4a
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2 y = 4(x-3)2 +7 y = -5(2-x)2 - 6
向上
直线x=－3 直线x=1
（－3，5） （1，－2） （ 3， 7 ）
向下
向上
直线x=3 直线x=2
向下
（2，－6）
在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0） 的图象可能是（ ）
向下
2 , 4wk.baidu.comc-b 4a b 2a
)
对称轴
增 减 性 最值
在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大。 b x= 2a 4ac-b2 y最小值= 4a
在对称轴的左侧, y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 b x= 2a 4ac-b2 y最大值= 4a
2 b b2 a x c 2 2 a 4 a 2 b 4ac b 2 a x . 2a 4a
这个结果通常 称为顶点坐标 公式.
的平方 整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
2
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0， 4 1 k 7 k 4 4ac b 0 ，整理得 即 4a 4 1
2 2
，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
k 2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6
x 2 4 x 4 4 5 配方:加上再减去一次项
系数绝对值一半的平方
2 x 2 4 5
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项 化简:去掉中括号
x 2 1.
2
y=-x2-4x-5
配 方
(1)“提”：提出二次项系数；
2 二次函数y=ax +bx+c
图象和性质
y o x
画出二次函数y=-x2-4x-5的图象，并指出它的开口方向、 顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.
配方:
y x2 4 x 5
x2 4x 5
老师提示: 提取二次项系数
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
的解析式是 .
(2)如果抛物线y= x2+（m﹣1 ）x﹣m+2的对称轴是y轴，
那么m的值是 ____． (3)抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上，则b= .
4.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（
）
5.二次函数y=-x2+bx+c图象的最高点坐标是 （－1，－3），则b= ,c= .
由②解方程得 m1 所求函数解析式为
即y 1 2 1 x x 2 2
1 , m2 2 不合题意，舍去 2
1 1 1 y 1 x 2 2 x 3 2 , 2 2 2
。
3.(1)抛物线y=－2x2+8bx+1的对称轴是直线x=2,则抛物线