正多面体
正八面体
正八面体的对偶多面体是立方体。 当正八面体在立方体之内： 正八面体体积:立方体体积 =[(1/3)×高×底面积]×2:边 =(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n =1: 6
基本信息
正八面体正八面体是五种正多面体的第三种，是三维的正轴体，有6个顶点、12条边和8个面。它由八个等边 三角形构成，也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成，每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成。正八面 体的对偶多面体是立方体。
性质
对称性
对偶性
正八面体作为3维的正轴体正多面体，自身拥有较高的对称性，它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以 想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”，使它其的不同面拥有不同的“几何意义”，使正八面体拥有不同 的对称性。正八面体的对称群是Oh（正八面体群），是三维的超正八面体群。在此对称性下，正八面体的所有面 都带有相同对“颜色”，对称性最高，群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性：Td（群阶24），截半 正四面体的对称群；D3d（群阶12），三角反棱柱的对称群；D4h（群阶16），四角双棱锥（正四棱柱的对偶）的 对称群；D2h（群阶8），三维长菱体（三维长方体的对偶）的对称群。
正八面体的一种展开图 正八面体内嵌在立方体中时，6个顶点分别位于立方体的面心： 正八面体体积 :立方体体积 =1 : 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
坐标系
以棱长为的正八面体的几何中心作为原点，将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系（正八面 体的3条对角线两两正交，这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因），则我们能将正八面体的顶点坐标记为
正八面体
一种正多面体，也是一种正轴体
01 性质
03 坐标系 05 历史
目录
02 基本信息 04 正交投影
什么是多面体有哪些常见类型
什么是多面体有哪些常见类型在我们的日常生活和数学世界中，多面体是一个常见而又有趣的概念。
那到底什么是多面体呢？简单来说，多面体是由多个平面多边形所围成的立体图形。
多面体的每个平面多边形都被称为多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，多条棱的公共顶点叫做多面体的顶点。
多面体有着各种各样的类型，下面我们就来介绍一些常见的多面体。
首先，我们来认识一下棱柱。
棱柱是一个相当常见的多面体类型。
它有两个互相平行且全等的底面，侧面都是平行四边形。
如果棱柱的底面是三角形，那就叫做三棱柱；底面是四边形，那就是四棱柱，以此类推。
比如，我们常见的长方体就是一种四棱柱，它的六个面都是矩形。
接下来是棱锥。
棱锥有一个多边形的底面，其余各面都是有一个公共顶点的三角形。
如果底面是三角形，那就是三棱锥，也叫四面体，因为它有四个面。
如果底面是四边形，那就是四棱锥。
棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
还有棱台，棱台可以看作是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分就是棱台。
棱台的上下底面是相似的多边形。
再说说正多面体。
正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。
正多面体只有五种，分别是正四面体、正六面体（也就是正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体。
正四面体的四个面都是等边三角形，它是最简单也是最对称的正多面体。
正方体大家就更熟悉了，六个面都是正方形，十二条棱长度相等，八个顶点。
正八面体是由八个等边三角形围成的，它有六个顶点。
正十二面体有十二个正五边形的面，二十个顶点。
正二十面体则由二十个等边三角形组成，有十二个顶点。
多面体在我们的生活中有着广泛的应用。
在建筑设计中，许多建筑物的外形都可以看作是由不同的多面体组合而成。
比如，一些现代的体育馆、展览馆，其独特的造型往往包含了各种多面体的元素。
在包装设计中，多面体的结构也经常被运用，以达到节省材料、增加稳定性等目的。
在数学研究中，多面体的性质和相关定理也是一个重要的领域。
正十二面体折法
正十二面体折法
正十二面体是一种由 12 个面组成的正多面体，它由一个正方体切割而来。
以下是一种简单的折法:
1. 将一张方形纸对角线对折，然后展开，使对角线相交于一点。
2. 将纸张沿着相交点对折，使得纸张中心线与对角线重合。
3. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
4. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
5. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
6. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
7. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
8. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
9. 将纸张向上方折叠一半，然后向下方展开。
10. 将纸张向下方折叠一半，然后向上方展开。
11. 将纸张向左侧折叠一半，然后向右侧展开。
12. 将纸张向右侧折叠一半，然后向左侧展开。
完成后，正十二面体就会出现啦！。
UG正多面体建模
UG6.0正多面体建模正多面体又称柏拉图立体,由欧拉定理可证明正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共五种，均由古希腊人发现。
根据正多面的性质我用UG6.0整理出了建模方法,文中多处运用编辑对象显示和隐藏命令而又没说明，请大家不要奇怪，除此之外任一命令都有说明，有不妥之处希望大家批评指正。
1.计算法2.拉伸法一.正四面体 3.通过曲线组法4.正方体对角线法1.计算法正多面体具有高度对称性,从立体几何角度解析,很容易理解面夹角的关系,也算是从几何中找到了根本吧。
为便于分析构建了如上图正四面体线框,正四面体各面夹角相等,只要求出任两面夹角,在UG6.0中通过两次旋转,N 边曲面再缝合后便能得到正四面体.由上图知线段DF 垂直于线段AD 且∠CAD 就是面1与面2的夹角。
求出∠BAD 再乘以2就是面1与面2的夹角。
线段AB 是正四面体棱切球半径等于4/2a ,线段BD 等于内切球半径12/6a (注a 是正四面体棱长)。
所以∠BA D＝Arcsin 4/212/6a a ＝35.2644°，再乘以2等于70.5288°。
（如若计算的不够精确在UG 6.0里可能不能有效缝合)①引用几何体在草图里创建任一正三角形，而且还要确定出过中心的矢量，下一步作为矢量，角度栏里是计算的角度值。
②引用几何体③N边曲面④缝合2.拉伸法选择拉伸命令进入拉伸草图环境,画任一正三角形,完成草图。
拉伸参数如上图。
这种方法操作少面且结果直接是实体简单,只要明白70.5288度的由来,这种方法使用性更广。
3.通过曲线组在草图环境下画任一正三角形,通过派生曲线,找到三角形中心,完成草图。
建模环境下过中心画一直线垂直于正三角形且长度为边长的3/6倍,这条直线就是正四面体的高。
通过曲线组法建立的也是实体正四面体,这种方法操作起来有点小麻烦,但这种方法本身具有鲜明的特点。
4.正方体对角线法画任一正方体,连接DE,EB,BD,DG,EG,BG。
正多面体的展开图
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圖一
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正四面體
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正六面體
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正八面體
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討論
❖ .正四面體的展開圖總共有兩種 ❖ .正六面體的展開圖共有11種 ❖ .由四個正三角形所拼成的圖共有三種 ❖ .由六個正方形所拼成的圖共有37種
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結論
❖ 正四面體每個頂點只能接三面正三角形 ❖ 正六面體每個頂點只能接三面正方形 ❖ 當正六面體有四個正方形連在一起時，另外
正多面體的展開圖
製作人: 劉廷揚、宋智翰 陳勝峰、林彥男
指導老師: 王嘉瑛
研究目的
❖ 了解各個正多面體的展開圖找出共有幾 種，有沒有其規律。
❖ 怎樣的展開圖不能拼成正多面體。
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研究動機
❖ 經常看到生活中有許多和正多面 體有關的種種東西，而且在網路 上只有正方體的展開圖，所以就 想研究其他的正多面體。
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報告完畢 謝謝谢！
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研究方法
1. 電腦、積木、紙、筆在網路上查明正多面體 的特性和資料
2. 用積木拼成其正多面體 3. 用不同的角度切割成展開圖 4. 紀錄其展開圖 5. 觀察其規律
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研究過程
❖ 我們一開始打算用地毯式的方法,舉例來說：正八面體是要怎 麼找呢？首先從一個三角形慢慢的增加到兩個、三到……… 八個，找出所有展開圖的拼法，又因為正八面体的畫所有頂 點只能圍接4個面，所以我們在展開時會把頂點連結五個面 的圖形停止衍生，如5個三角形可拼成圖一但在A點以連了5 個面，所以停止去拼之後的圖形，列出有可能的圖，最後試 著去拼所有的圖形，把不能拼成正八面體的圖刪除，列出所 有可能性，結果我們發現正八面體的展開圖只有12個，而其 他正多面體也使用此方法。
几种正多面体的相互呼应
几种正多面体的相互呼应南师附中江宁分校 韦恩培近年来，在高考中常考查以某一正多面体为背景的立体几何题，此类问题运用不同的方法解决效果是显然不同的。
1、 常用的三种正多面体的呼应众所周知，正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
正四面体，正六面体，正八面体之间可以相互呼应。
在正方体中可以产生正四面体；（正方体对面的一对异面对角线的顶点是正四面体的顶点）如图（1）在正方体中可以产生正八面体；（正方体六个面的中心是正八面体的顶点）如图（2） 在正八面体中可以产生正方体；（正八面体的八个面的中心是正方体的顶点）如图（3） 在正八面体中可以产生正四面体；（正八面体的两对对面的中心，连线异面的四个面的中心是正四面体的顶点）如图（4）在正四面体中可以产生正八面体；（正四面体六条棱的中点是正八面面体的顶点）如图（5）在图（5）的基础上，结合图（4）就能在正四面体中产生正方体。
图（1） 图（2） 图（3）图（4）图（6）相互转化的目的。
2、应用呼应解题在高考的考查中经常会利用它们之间的相互转化而达到巧解的目的。
例1、一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．3π3D ．6π提示：利用图（1）正方体产生正四面体具有共同的外接球，即求棱长为1的正方体的外接球的表面积，易求得为π3，选A 。
例2、有一棱长为a 的正四面体骨架（架的粗细忽略不计），其内放置一气球，对其充气，使其尽可能地膨胀（成为一个球）则气球表面积的最大值为 （ ） A ．2a πB ．222a π C ．221a πD ．241a π 提示：利用图（2）正方体可以产生正八面体，正八面体可以产生正四面体知，符合条件的球即为棱长为a 22的正方体的内切球，易求得其表面积为221a π，故选C 。
例3、如图（6）棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，过11BC A 的平面截去正方体一角（三棱锥111BC A B -），象这样依次截去正方体所有角，则剩下的几何体的体积为 。
正多面体及平面展开图
.正多面体与平面睁开图ByLaurinda..201604开始总结，网络收集正四周体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四周体正六面体正八面体正十二面体正二十面体'..正方体睁开图相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面睁开图共有以下11种。
'..邻校比我们学校早了几日举行段考，拿他们的数学卷子供应给学生充做模拟考，此中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形构成的五边形，以两条线切割，重构成一个等面积的等腰直角三角形。
这题让学生和我「奋战」了几节课，却老是画不可。
理论上它是能够建立的，因为等腰直角三角形能够和一个正方形等面积，并且由商高定理能够知道，存在一个正方形A，它的面积等于随意两个正方形B、C的面积和。
只需A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。
而正方形自然能够等积于一个等腰直角三角形。
可是怎样以两条直线达成这道题呢?今日(5/19)，我利用周休持续思虑这道题，终于达成了，做法如左。
'..多面体之Euler's公式(V-E+F=2)V=极点数(numberofvertices);E=边数(numberofedges);F=面数(numberoffaces)正四周体(Tetrahedron)V=4,E=6,F=4,4-6+4=2正六面体(Cube)V=8,E=12,F=6,8-12+6=2正八面体(Octahedron)V=6,E=12,F=8,6-12+8=2正十二面体(Dodecahedron)V=20,E=30,F=12,20-30+12=2正二十面体(Icosahedron)V=12,E=30,F=20,12-30+20=2 '..BuckyballV=60,E=90,F=32(12pentagons+20hexagons),60-90+32=2增补说明：1.用Euler示性数能够证明正多面体恰巧有五种;或许假定每一极点齐集有m条线,每一条线是正n边形的一边,则因为每一正n边形的一个内角为180(n-2)/2度,围绕此极点的m个角的和小于360度,不然此极点邻近便变为一个平面,所以m[180(n-2)/n]<360,相同能够导出(m-2)(n-2)<4.2.好多病毒是正20面体(icosahedron),比如:疱疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒 ,人体疣(humanwart)病毒,犬类传染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等.巴克球就是足球的样子,叫作"准正多面体".标尺作图正多边形正三、六边形正四、八边形正五边形直尺、圆规和量角器能够画出随意正多边形。
正多边形展开图
正多面体的制作- -
所谓正多面体是指多面体的各个面均呈全等正多边形、每个正多面体的各边的长和顶角的交角均相等。
常见正多面体有：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，数学家尤拉(Euler)，在1752年发现各种正多面体均有的关系：面数＋顶角数＝边数＋２；学生也可经由实际折纸来「验证一下」。
制作方法：
(1) 材料：如「西卡纸」之类的厚纸板、双面胶、圆规（利用其针尖戳洞）、剪刀（或美工刀）、铅笔（或原子笔）
(2) 步骤：
1.将「各种平面展开图」（可先影印放大）覆盖于西卡纸上
2.以圆规针尖将「展开图」各顶点戳刺复制在西卡纸上
3.用铅笔将西卡纸上的各点连起来（即将「平面展开图」画出来）
4.将「平面展开图」用美工刀或剪刀裁剪下来
5.用刀背在各折线位置画上一刀，可使折纸的动作好作些
6.将各舌边内折之后贴上适当宽度的双面胶，逐一将各多面体黏合起来
多
透视图平面展开图动画
面
体
正
四
面
体
正
六
面
体
八面体
正十二面体
正二十面体
角正二十面体。
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正多面体
有一次一个平常的英国孩子詹姆斯，在醉心于制作多面体模型时，写信给父亲：“……我做了四面体、十二面体以及两个不知道名称的多面体．”他当时还是一个毫无名气的孩子．这些话意味着伟大物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦尔诞生了．想象一下，你们自己和你们亲人醉心于制作几何物体模型的情形．
本书的这几页是家庭作业．新年临近，这是最欢乐和美丽的节日．除了传统的枫树装饰（炮仗和小挂灯）外，你们可以制作几何玩具．这是用彩色纸做成的正多面体模型．考察下图，在这图上画着四面体、正方体、八面体、十二面体和二十面体．它们的形状是完美的典型！
你们能觉察到一系列有趣的特点，也正是这些性质使它们得到了相应的名称．每一个正多面体的所有面都是相同的正多边形，在每一个顶点集聚着同样数量的棱，而相邻的面在相等角下毗连．
数一下每一个多面体具有的顶点数（V）、棱数（E）和面数（F），并且把结果记入表中．
在最后一栏，这些多面体得到的是同一个结果：V+F－E＝2．最令人惊奇的是它不仅对正多面体，而且对所有多面体都正确！
若有兴趣你们可以对某些胡乱取得的多面体进行验证．最伟大的数学家之一列昂纳德·欧拉（1707－1783）证明了这一令人惊叹的关系式，因此公式以他命名：欧拉公式．这位出生于瑞士的天才学者几乎整个一生居住在俄罗斯，我们完全有理由和自傲地将他引为自己的同胞．
正多面体还有一个特点．我们发现：正四面体有一性质：如果把它的每个面的中心作为新的多面体的顶点，那么我们重新得到一个正四面体．余下的4个正多面体恰可分成两对．正方体各面的中心组成一个正八面体，而正八面体各面的中心则组成正方体．同样，可以发生的另一对类似联系是正十二面体和正二十面体．
正多面体所具有的完美的形状和漂亮的数学规律使这五种几何物体具有某种神秘色彩，以致于很久以前它们就是神术者和占星家的必要伴侣．如果你们致力于正多面体的研究和制作，那么肯定会使你们感到欢乐和满意，甚至有可能在新的一年里给你带来好运气！
在下图中给出这些枞树上玩具的展开图．在制作模型时不要忘记在需要的地方留一片瓣膜为粘接用．
还有一种制作多面体模型的方法，不用胶水，由一些纸带编织而成．在嵌入最后一段纸带后，模型就具有刚性的结构．
下图展示了怎样用两条由4个三角形组成的纸带编织四面体．
按虚线屈折后又展开一条纸带，使得形成屈折处——“凹地”．把色纸盖在白纸带上，用白纸带折叠成四面体，使得有色三角形出现在它内部，随后用色纸带包裹四面体的两个面，并且把留下的三角形嵌入两个白三角形之间的裂缝中．
图中给出一种用三条划分成5个正方形的纸带编织正方体的方法．
1.割出三条这样的纸带（白色、黑色、红色）．
2.折叠白色纸带．
3.用黑色纸带裹住它．
4.得到正方体，其前面和后面是白色的，而其余面是黑色的．
5．你从正方体背后让第三条（红色）纸带穿过白色和黑色纸带的缝隙，折弯并且最终两个面也穿过正前方的白色面和黑色纸带之间的缝隙．
如果纸带是不同颜色的，那么所得的正方体有同样颜色的对面．在这种图上所展示的方法的特点是：任何两条纸带彼此都没有钩住，而整个三条却钩住了．还有另一种也是用纸带编制正方体的方法．在这种情况下每两条纸带是钩住的，而相邻的一对面将是同一种颜色．独立地试试找出这第二种编制正方体的方法．
摘自《直观几何》。