初一数学三角形与全等三角形知识点大全-经典练习-含答案
初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形:三边都相等的三角形3、等腰三角形:有两条边相等的三角形4、不等边三角形:三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰,另一边叫底,两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类:不等边三角形等腰三角形:底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注:1)在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边,则可说明能组成三角形2)在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和3)所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高:从△ABＣ的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫做△AＢC的边BC上的高9、三角形的中线:连接△ABC的顶点Ａ和它所对的边BC的中点Ｄ,所得线段AD叫做△ABC的边BＣ上的中线注：两个三角形周长之差为x,则存在两种可能:即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线ＡＤ，交∠A所对的边ＢＣ于D,所得线段AD叫做△ＡＢC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
证明方法:利用平行线性质２、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为3６0度６、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形:在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、Ｎ边形：如果一个多边形由N条线段组成,那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角５、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形７、多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2）*1808、多边形的外角和:３60度注:有些题,利用外角和,能提升解题速度９、从n边形的一个顶点出发，可以引ｎ-3条对角线,它们将ｎ边形分成n-２个△注:探索题型中,一定要注意是否是从Ｎ边形顶点出发,不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引ｎ－3条对角线,ｎ边形共有对角线23)-n(n条。
全等三角形复习一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
２、全等三角形有哪些性质(1）:全等三角形的对应边相等、对应角相等。
(2):全等三角形的周长相等、面积相等。
(３)：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定边边边:三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“SSS”)边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)二、角的平分线：熟悉基本图形1、(性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2、(判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
三、学习全等三角形应注意以下几个问题：(1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义;(2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等; (4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”轴对称一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能与另一个图形完全重合,那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线 熟悉基本图形 比较区分角平分线模型１.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线,也叫中垂线。
2．线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3．与一条线段两个端点距离相等的点,在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结：ﻫ在平面直角坐标系中,关于ｘ轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数．关于y 轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等. 点(x, y)关于ｘ轴对称的点的坐标为__＿___. 点(x, y ）关于y 轴对称的点的坐标为____＿＿.2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这个点到三角形三个顶点的距离相等四、(等腰三角形)知识点回顾 １.等腰三角形的性质①．等腰三角形的两个底角相等。
(等边对等角)②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
(三线合一） 2、等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边) 五、（等边三角形）知识点回顾 1．等边三角形的性质:等边三角形的三个角都相等,并且每一个角都等于600 。
２、等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60０的等腰三角形是等边三角形。
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4.直角三角形,斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形 练习一、填空题（每小题2分,共2０分)1．如图,△ABC ≌△DEB ,AB =DE ,∠E =∠ABC ，则∠C 的对应角为 ,ＢD 的对应边为 .2.如图，AD ＝AE ,∠１=∠2，BD =CE ，则有△A ＢD ≌△ ，理由是 ,△ABE ≌H EDC B A(第1题) （第2题） (第4题） 3.已知△ＡＢＣ≌△D ＥF ,BC =EF =6cm,△AB Ｃ的面积为１８平方厘米,则EF 边上的高是ｃm.4.如图,A Ｄ、A´D´分别是锐角△ＡB Ｃ和△A´B´C´中ＢＣ与B´C´边上的高,且A Ｂ= A´B´,ＡＤ= A´D´,若使△A ＢＣ≌△Ａ´Ｂ´Ｃ´,请你补充条件 （只需填写一个你认为适当的条件)5. 若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、 或 与另一个三角形完全重合. 6. 如图，有两个长度相同的滑梯(即BC ＝EF )，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠A ＢC ＋∠ＤF Ｅ=__＿________度 ﻩ(第６题) （第7题) （第8题) 7．已知:如图,正方形ABC Ｄ的边长为8,M 在ＤC 上,且DM =２,N 是A Ｃ上的一动点,则ＤN +ＭN 的最小值为＿_＿_______.８.如图,在△A ＢC 中，∠B ＝９0ｏ，Ｄ是斜边AC 的垂直平分线与B Ｃ的交点,连结ＡD ,若∠ＤＡC ：∠DAB =2:5,则∠ＤA Ｃ=_＿________＿.9.等腰直角三角形ＡBC 中,∠BA Ｃ=90o ，B Ｄ平分∠ABC 交A Ｃ于点Ｄ，若ＡB +A Ｄ＝８ｃm,则底边BC 上的高为__________＿．10.锐角三角形ＡＢC 中，高A Ｄ和BE 交于点H ，且ＢH ＝AC ，则∠ABC =_＿_＿____＿_度．(第9题） （第１0题) （第13题）二、选择题(每小题３分,共３0分）１1．已知在△ＡBC 中，AB =AC ,∠A =5６°,则高B Ｄ与B Ｃ的夹角为（ ）Ａ．２8° B .３４° C ．68° Ｄ．6２° １２．在△ＡBC 中,AB =3,AC =４，延长B Ｃ至D ,使ＣD ＝BC ,连接A Ｄ，则AD 的长的取值MND CBAECDC B A EDCBAB ′C ′D ′O ′A ′ODC BA（第14题）范围为（ ）A.１<ＡＤ＜7B.2＜ＡD <１4 Ｃ．2．5＜A Ｄ＜5.5 D ．5＜A D <11 １3．如图,在△ABC 中,∠C =90°,CA =ＣB ，ＡＤ平分∠C ＡB 交BC 于Ｄ，D Ｅ⊥A Ｂ于点E ，且A Ｂ＝６，则△D ＥＢ的周长为( ）A.4 B ．６ C.8 D.1０ １4．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下,则说明 ∠Ａ′O ′B ′=∠AOB 的依据是 A.（S ．S .S ．）B.(S .Ａ.S .） Ｃ.(A ．S ．A ．）Ｄ.（A .Ａ．S ．１5. 对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是( ) A.∠α＝60º，∠α的补角∠β=120º,∠β>∠α B ．∠α=９0º，∠α的补角∠β=９00º,∠β＝∠α C ．∠α=100º,∠α的补角∠β＝80º，∠β<∠α D ．两个角互为邻补角１６. △A ＢC 与△A´B´C ´中,条件①AB = A´B´，②BC ＝ Ｂ´C´，③AC =A´Ｃ´,④∠A=∠A´,⑤∠B =∠B´,⑥∠C =∠C´,则下列各组条件中不能保证△A ＢC ≌△A´B´Ｃ´的是（ ）Ａ． ①②③ B. ①②⑤ Ｃ. ①③⑤ D ． ②⑤⑥17.如图,在△ABC 中,A Ｂ=AC ,高B Ｄ，C Ｅ交于点O ，AO 交BC 于点Ｆ，则图中共有全等三角形( )A ．7对 B.6对 Ｃ.5对 D ．4对18.如图，在△ABC 中,∠Ｃ=90°,A Ｃ=BC ，AD 平分∠B ＡC 交ＢC 于点D ,ＤE ⊥A Ｂ于点E ,若△D ＥB 的周长为10ｃm ，则斜边AB 的长为（ ) A.8 cm B ．10 cm C.１2 cm D ． 20 cm 19.如图，△AB Ｃ与△ＢDE 均为等边三角形,A B ＜B Ｄ，若△ABC 不动,将△BDE 绕点B 旋转，则在旋转过程中,ＡE 与CD 的大小关系为（ )A ．ＡＥ=CDB.A E ＞CD Ｃ.ＡE <ＣD D ．无法确定 20．已知∠P =80°，过不在∠P 上一点Q 作QM ，QN 分别垂直于∠P 的两边，垂足为M ,N ，则∠Ｑ的度数等于( ）A ．10° B.80° C.10０° Ｄ.80°或１00° 三、解答题(每小题5分,共30分)21.如图,点Ｅ在AB 上，A Ｃ＝A Ｄ,请你添加一个条件,使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为 , 你得到的一对全等三角形是∆ ∆≅ .(第21题）22.如图，E Ｇ∥AF ,请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB =AC ,②DE =DF ,③ＢE =ＣF , 已知:EG ∥ＡＦ， = , = , 求证: 证明：（第22题）2３. 如图，在△ＡＢC 和△DE Ｆ中，Ｂ、Ｅ、Ｃ、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的１个作为结论,写一个真命题,并加以证明. ①AB =DE ，②AC =D Ｆ,③∠AB Ｃ=∠D ＥF ,④ＢE =C Ｆ（第2３题)２４. 如图,四边形ABCD 中,点E 在边C Ｄ上．连结ＡＥ、ＢF ,给出下列五个关系式： ①A Ｄ∥BC ；②DE =ＣE ③. ∠１＝∠2 ④. ∠3＝∠4 . ⑤AD +BC =AB 将其中的三个关系式作为假设,另外两个作为结论，构成一个命题.(1)用序号写出一个真命题,书写形式如:如果……，那么……，并给出证明； (2)用序号再写出三个真命题(不要求证明）； （3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题ECDBAEA BD FCEDAC 4321FB25.已知，如图，D 是△ABC 的边AB 上一点,ＤＦ交ＡＣ于点E , DE ＝ＦE ， A Ｂ∥FC ． 问线段A Ｄ、CF 的长度关系如何?请予以证明.(第2５题）26.如图，已知ΔAB Ｃ是等腰直角三角形,∠C =90°.（1）操作并观察,如图，将三角板的４５°角的顶点与点C 重合,使这个角落在∠ACB 的内部，两边分别与斜边AB 交于E 、F 两点,然后将这个角绕着点C 在∠A ＣB 的内部旋转，观察在点E 、Ｆ的位置发生变化时,AE 、E Ｆ、ＦＢ中最长线段是否始终是E Ｆ？写出观察结果．（2）探索:AE 、EF 、FB 这三条线段能否组成以E Ｆ为斜边的直角三角形？如果能,试加以证明．四、探究题 （每题1０分,共2０分）２7．如图①，O Ｐ是∠ＭＯN 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:（1）如图②,在△ABC 中,∠AC Ｂ是直角，∠B =60°,AD 、CE 分别是∠ＢＡC 、∠BC Ａ的平分线，ＡD 、CE 相交于点F .请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系;（2)如图③,在△ABC 中，如果∠AC Ｂ不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1）中所得结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由．28.如图a,△ABC 和△ＣEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ,连接AF 和BE.（１)线段A Ｆ和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； (2)将图a 中的△CEF 绕点Ｃ旋转一定的角度，得到图b ，（１)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；OP AM N E B C DF A E F B D图① 图② 图③(3)若将图a中的△ＡＢC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由；(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现).E ACF BE ACFB图a 图b参考答案一、1.∠DBE, CA 2.△ACE，SＡS，△ＡCＤ，ＡSA（或SAS）3．64.ＣD ＝C´D´(或AC =A´C´，或∠C =∠C´或∠CAD ＝∠C´A´D´）5.平移，翻折 6． 907. 1０ 8. 20º ９.248- 10. ４5二、11． A 1２. D 1３. B １４.A 15.Ｃ 1６.Ｃ 1７.A １8.B 19.A20.Ｄ三、２1.可选择BD BC DAB CAB DE CE =∠=∠=、、等条件中的一个.可得到△AC Ｅ≌△ＡDE 或△ACB ≌△ＡD Ｂ等．22.结合图形,已知条件以及所供选择的3个论断,认真分析它们之间的内在联系 可选①ＡB =AC ，②DE =DF ,作为已知条件,③ＢE =CF 作为结论；推理过程为:∵EG ∥AF ,∴∠ＧED =∠C ＦD ,∠BGE ＝∠ＢＣA ，∵AB ＝AC ，∴∠Ｂ=∠BCA ,∴∠B ＝∠BG Ｅ∴B Ｅ=EG ,在△D ＥＧ和△ＤFC 中,∠ＧED =∠CFD ,ＤＥ=DF ，∠EDG ＝∠FD Ｃ，∴△DEG ≌△ＤF Ｃ，∴E Ｇ＝C Ｆ，而EG =BE ,∴BE =CF ；若选①A Ｂ=ＡC ,③ＢE =C Ｆ为条件，同样可以推得②DE =DF ，２３．结合图形,认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系由④BE ＝CF 还可推得B Ｃ=E Ｆ，根据三角形全等的判定方法,可选论断:①AB =DE ,②AC ＝ＤF ,④BE ＝C Ｆ为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到:△ＡB Ｃ≌△ＤＥF ,进而推得论断③∠A ＢC =∠DE Ｆ,同样可选①ＡB =DE ,③∠ＡＢC =∠ＤEF ，④B Ｅ=ＣＦ为条件,根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到:△ABC ≌△D ＥＦ，进而推得论断②A Ｃ＝DF ．２4. （1)如果①②③,那么④⑤证明:如图,延长AE 交BC 的延长线于Ｆ 因为AD ∥B Ｃ 所以 ∠1＝∠F又因为∠AED =∠CEF ，D Ｅ=ＥC 所以△A ＤE ≌△FCE ，所以AD =C Ｆ,ＡＥ=EF 因为∠1=∠Ｆ ，∠1＝∠2 所以∠２=∠F 所以A Ｂ＝BF .所以∠3=∠4所以AD +BC =CF +B Ｃ=BF =ＡＢ（2)如果①②④,那么③⑤;如果①③④，那么②⑤;如果①③⑤，那么②④.（3) 如果①②⑤,那么③④;如果②④⑤，那么①③;如果③④⑤,那么①②.2５. (1）观察结果是:当45°角的顶点与点Ｃ重合，并将这个角绕着点C 在重合,并将这个角绕着点C 在∠AC Ｂ内部旋转时,ＡE 、E Ｆ、FB 中最长的线段始终是EF ．ﻫ （2）ＡＥ、E Ｆ、FB 三条线段能构成以EF 为斜边的直角三角形,证明如下：在∠ＥＣＦ的内部作∠ECG =∠ACE ,使C Ｇ＝AC ，连结ＥG ，FG ,∴ΔA ＣE ≌ΔGCE ,∴∠Ａ=∠１,同理∠B =∠2,∵∠Ａ+∠B =90°，∴∠1＋∠2=90°,∴∠EG Ｆ=９0°，E Ｆ为斜边．四、２７.（１）FE 与ＦD 之间的数量关系为ＦE =F Ｄ(2)答:（1)中的结论F Ｅ=FD 仍然成立图① 图②证法一：如图1，在AC 上截取ＡG =AE ，连接ＦG∵ ∠１=∠2,AF =AF ，ＡE ＝AG ∴ △AE Ｆ≌△ＡGF∴ ∠AF Ｅ=∠AFG ，FG =FE ∵ ∠B=６0°,且AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线 ∴ ∠2+∠3＝6０°,∠AFE =∠CFD =∠AFG =6０°∴ ∠CF Ｇ=6０° ∵ ∠4=∠3，CF ＝C Ｆ,∴ △CF Ｇ≌△CFD ∴ FG =F Ｄ∴ F Ｅ=FD 证法二:如图2,过点F 分别作F G ⊥ＡB 于点G ，ＦH ⊥BC 于点Ｈ∵ ∠B ＝６0°，且AD 、ＣＥ分别是∠BAC 、∠BC Ａ的平分线∴ ∠2+∠3=６0° ∴ ∠GEF ＝60°+∠1，FG ＝ＦH∵ ∠HDF =∠Ｂ+∠1 ∴ ∠GEF =∠HDF ∴ △E ＧF ≌△DHF ∴ ＦE =FD 28. (1）AF =BE .证明：在△AF Ｃ和△ＢEC 中， ∵△ＡＢC 和△C ＥF 是等边三角形，∴ＡＣ＝ＢＣ，CF =C Ｅ,∠ＡCF =∠BC Ｅ=60.∴△ＡFC ≌△ＢＥC . ∴AF =BE . (２)成立. 理由:在△A ＦC 和△BEC 中, ∵△ABC 和△ＣＥF 是等边三角形，∴AC =B Ｃ，C Ｆ=ＣE ，∠ACB ＝∠F ＣE =6０°. ∴∠A ＣＢ-∠ＦCB ＝∠FCE -∠ＦCB ． 即∠A ＣＦ=∠BCE . ∴△ＡFC ≌△B ＥC . ∴AF =BE .（3)此处图形不惟一，仅举几例．如图,（1）中的结论仍成立.图⑤(4)根据以上证明、说明、画图,归纳如下：如图ａ，大小不等的等边三角形AＢC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C, 则以点C为旋转中心,任意旋转其中一个三角形,都有ＡF=BE．。
经典初中数学三角形专题训练及例题解析
经典《三角形》专题训练知识点梳理考点一、三角形1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2、三角形的分类. ⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(等边三角形等腰三角形不等边三角形 3、三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.4、三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同)5、三角形具有稳定性6、三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
7、多边形的外角和恒为360°8、多边形及多边形的对角线①正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．②凸凹多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，若整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；，若整个多边形不都在这条直线的同一侧，称这样的多边形为凹多边形。
③多边形的对角线的条数:A.从n 边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，将多边形分成（n-2）个三角形。
B.n 边形共有2)3(-n n 条对角线。
9、边形的内角和公式及外角和①多边形的内角和等于（n-2）×180°(n ≥3)。
②多边形的外角和等于360°。
三角形 (按角分) 三角形 (按边分)10、平面镶嵌及平面镶嵌的条件。
①平面镶嵌：用形状相同或不同的图形封闭平面，把平面的一部分既无缝隙，又不重叠地全部覆盖。
②平面镶嵌的条件：有公共顶点、公共边；在一个顶点处各多边形的内角和为360°。
初一数学三角形与全等三角形知识点大全-经典练习-含答案
初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形:三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中,相等的两边都叫腰,另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中,只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差〈第三边〈两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x,则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性,四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角:三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角:多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角:多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角和：n边形内角和等于(n-2）＊1808、多边形的外角和：360度注：有些题，利用外角和,能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n—3条对角线,n边形共有对角线23)-n(n条。
全等三角形经典题型50题(含答案)
全等三角形证明经典50 题（含答案）1. 已知： AB=4， AC=2， D 是 BC 中点， AD 是整数，求ADAB CD延长 AD 到 E,使 DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中 ,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又 AD 是整数 ,则 AD=512. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90°，求证：CD AB2ADC B3.已知： BC=DE，∠ B=∠ E，∠ C=∠ D， F 是 CD中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D证明：连接 BF 和 EF。
因为 BC=ED,CF=DF,∠ BCF=∠ EDF。
所以三角形 BCF 全等于三角形 EDF(边角边 )。
所以 BF=EF,∠ CBF=∠ DEF。
连接 BE。
在三角形BEF 中 ,BF=EF。
所以∠ EBF=∠ BEF。
又因为∠ ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以 AB=AE。
在三角形 ABF 和三角形 AEF中， AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ ABE+∠ EBF=∠ AEB+∠ BEF=∠ AEF。
所以三角形 ABF 和三角形 AEF全等。
所以∠ BAF=∠ EAF (∠ 1=∠ 2)。
A4. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE， EF//AB，求证： EF=AC 1 2证明：过 E 点，作 EG//AC，交 AD 延长线于 G 则∠ DEG=∠ DCA，F ∠DGE=∠ 2又∵CD=DE∴ ⊿ADC≌ ⊿ GDE（AAS）∴EG=AC∵ EF//AB∴∠ DFE=∠ 1∵ ∠ 1=∠ 2∴ ∠ DFE=∠ DGE∴ EF=C EG∴ EF=AC DEB5.已知：AD平分∠ BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C ACB D证明：在 AC上截取AD=AD∴ ⊿ AED≌ ⊿ ABD AE=AB，连接（SASED∵ AD）平分∠ BAC∴ ∠∴ ∠ AED=∠ BEAD=∠ BAD 又∵ AE=AB，，DE=DB∵ AC=AB+BDAC=AE+CE∴ CE=DE∴ ∠ C=∠ EDC∵∠ AED=∠ C+∠ EDC=2∠ C∴∠ B=2∠C6. 已知： AC 平分∠ BAD，CE⊥ AB，∠ B+∠ D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接 CF 因为 CE⊥AB 所以∠CEB＝∠ CEF＝ 90 °因为 EB＝ EF， CE＝ CE，所以△CEB≌△CEF 所以∠B ＝∠ CFE 因为∠ B＋∠ D＝ 180 ，°∠CFE＋∠ CFA＝ 180°所以∠ D＝∠ CFA 因为AC 平分∠ BAD 所以∠ DAC＝∠ FAC 又因为AC＝ AC所以△ ADC≌ △ AFC（ SAS）所以 AD＝ AF 所以 AE＝ AF＋ FE＝ AD＋ BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB∥ DC， BE、 CE 分别平分∠ ABC、∠ BCD，且点 E 在 AD 上。
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解
有答案-直角三角形全等判定(基础)知识讲解本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March直角三角形全等判定要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS ”，“ASA ”或“SAS ”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.要点诠释：（1）“HL ”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS 、ASA 、AAS 、SSS 、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.（3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt ”.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定——“HL”1、 已知：如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AD ＝BC ．求证：（1）AB ＝CD ：（2）AD ∥BC ．【思路点拨】先由“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △CDB ，再由内错角相等证两直线平行.【答案与解析】证明：（1）∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴∠ABD ＝∠CDB ＝90°在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，AD BC BD DB⎧⎨=⎩＝∴Rt △ABD ≌Rt △CDB （HL ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）（2）由∠ADB ＝∠CBD∴AD ∥BC .【总结升华】证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.【变式】已知：如图，AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，AE ＝AB ，ED ＝AC ．求证：ED ⊥AC ．【答案】证明：∵AE ⊥AB ，BC ⊥AB ，∴∠DAE ＝∠CBA ＝90°在Rt △DAE 与Rt △CBA 中，ED AC AE AB ⎧⎨⎩＝＝，∴Rt △DAE ≌Rt △CBA （HL ）∴∠E ＝∠CAB∵∠CAB ＋∠EAF ＝90°，∴∠E＋∠EAF＝90°，即∠AFE＝90°即ED ⊥AC ．2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ ）（2）一个锐角和斜边对应相等； （ ）（3）两直角边对应相等； （ ）（4）一条直角边和斜边对应相等． （ ）【答案】（1）全等，“AAS ”；（2）全等，“AAS ”；（3）全等，“SAS ”；（4）全等，“HL ”.【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.【变式】下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（ ）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（ ）【答案】（1）√；（2）×；在△ABC 和△DBC 中，AB ＝DB ，AE 和DF 是其中一边上的高，AE ＝DF（3）×. 在△ABC 和△ABD 中，AB ＝AB ，AD ＝AC ，AE 为第三边上的高，3、已知：如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD ．求证：AD ＝BC ；【答案与解析】证明：连接DC∵AD ⊥AC ，BC ⊥BD∴∠DAC ＝∠CBD ＝90°在Rt △ADC 与Rt △BCD 中，DC CD AC BD=⎧⎨⎩＝∴Rt △ADC ≌Rt △BCD （HL ）∴AD ＝BC .（全等三角形对应边相等）【变式】已知，如图，AC 、BD 相交于O ，AC ＝BD ，∠C ＝∠D ＝90° .求证：OC ＝OD.【答案】∵∠C ＝∠D ＝90°∴△ABD 、△ACB 为直角三角形在Rt △ABD 和Rt △BAC 中AB BA BD AC =⎧⎨=⎩∴Rt △ABD ≌Rt △BAC(HL)∴AD ＝BC在△AOD 和△BOC 中D C AOD BOC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOC(AAS)∴OD ＝OC ．4、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.【答案与解析】解：全等三角形为：△ACD ≌△CBE.证明：由题意知∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE在△ACD 与△CBE 中，90ADC CEB CAD BCEAC BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△CBE （AAS ）.【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是 （ ）A ．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B ．斜边相等的两个直角三角形全等C ．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D ．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，AB ＝AC ，AD ⊥ BC 于D ，E 、F 为AD 上的点，则图中共有（ ）对全等三角形．A ．3B ．4C ．5D ．63. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A.斜边相等B.一锐角对应相等C.两锐角对应相等D.两直角边对应相等4. 在Rt △ABC 与Rt △'''A B C 中, ∠C ＝ ∠'C ＝ 90, A ＝ ∠'B , AB ＝''A B , 那么下列结论中正确的是( ) A. AC ＝ ''A C ＝ ''B C C. AC ＝ ''B C D. ∠A ＝ ∠'A5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ）A ．形状相同B ．周长相等C ．面积相等D ．全等6. 在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（ ）A.一定全等B.一定不全等C.可能全等D.以上都不是二、填空题7．如图，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．8. 已知，如图，∠A ＝∠D ＝90°，BE ＝CF ，AC ＝DE ，则△ABC ≌_______.9. 如图，BA ∥DC ，∠A ＝90°，AB ＝CE ，BC ＝ED ，则AC ＝_________.10. 如图，已知AB ⊥BD 于B ，ED ⊥BD 于D ，EC ⊥AC ，AC ＝EC ，若DE ＝2，AB ＝4，则DB ＝______.11．有两个长度相同的滑梯，即BC ＝EF ，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯的水平方向的长度DF 相等，则∠ABC ＋∠DFE ＝________．12. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则∠BAD ＝_______.三、解答题13. 如图，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开，墙壁厚是35cm ，B点与O 点的铅直距离AB 长是20cm ，工人师傅在旁边墙上与AO 水平的线上截取OC ＝35cm ，画CD ⊥OC ，使CD ＝20cm ，连接OD ，然后沿着DO 的方向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢请你说出理由．13.【解析】解：在Rt △AOB 与Rt △COD 中，(3590AOB COD AO CO A C ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠=︒⎩对顶角相等） ∴Rt △AOB ≌Rt △COD （ASA ） ∴AB ＝CD ＝20cm14. 如图，已知AB ⊥BC 于B ，EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，BC ＝DF. 求证：AC ＝EF.证明：由EF ⊥AC 于G ，DF ⊥BC 于D ，AC 和DF 相交，可得：∠F ＋∠FED ＝∠C ＋∠FED ＝90°即 ∠C ＝∠F （同角或等角的余角相等），在Rt △ABC 与Rt △EDF 中B EDF BC DF C F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴AC ＝EF （全等三角形的对应边相等）.15. 如图，已知AB ＝AC ，AE ＝AF ，AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，垂足分别是点E 、F.求证：∠1＝∠ 2.证明：∵AE ⊥EC ，AF ⊥BF ，∴△AEC 、△AFB 为直角三角形在Rt △AEC 与Rt △AFB 中AB AC AE AF⎧⎨⎩＝＝∴Rt △AEC ≌Rt △AFB （HL ）∴∠EAC ＝∠FAB∴∠EAC －∠BAC ＝∠FAB －∠BAC ，即∠1＝∠2.【答案与解析】一、选择题1. 【答案】C ； 【解析】等腰直角三角形确定了两个锐角是45°，可由AAS 定理证明全等.2. 【答案】D ；【解析】△ABD ≌△ACD ；△ABF ≌△ACF ；△ABE ≌△ACE ；△EBF ≌△ECF ；△EBD ≌△ECD ；△FBD ≌△FCD.3. 【答案】D ；4. 【答案】C ；【解析】注意看清对应顶点，A 对应'B ，B 对应'A .5. 【答案】C ；【解析】等底等高的两个三角形面积相等.6. 【答案】C ；【解析】如果这对角不是直角，那么全等，如果这对角是直角，那么不全等.二、填空题7. 【答案】HL ；8. 【答案】△DFE9. 【答案】CD ；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △CDE.10.【答案】6；【解析】DB ＝DC ＋CB ＝AB ＋ED ＝4＋2＝6；11.【答案】90°；【解析】通过HL 证Rt △ABC ≌Rt △DEF ，∠BCA ＝∠DFE.12.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形.。
初一数学三角形与全等三角形知识点大全经典练习含复习资料
初一数学三角形知识点归纳一、与三角形有关的线段1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形2、等边三角形：三边都相等的三角形3、等腰三角形：有两条边相等的三角形4、不等边三角形：三边都不相等的三角形5、在等腰三角形中，相等的两边都叫腰，另一边叫底，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角6、三角形分类：不等边三角形等腰三角形：底边和腰不等的等腰三角形等边三角形7、三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边注：1）在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形 2）在实际运用中，已经两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，注意检查每个答案能否组成三角形8、三角形的高：从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高9、三角形的中线：连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线注：两个三角形周长之差为x，则存在两种可能：即可能是第一个△周长大，也有可能是第一个△周长小10、三角形的角平分线：画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线11、三角形的稳定性，四边形没有稳定性二、与三角形有关的角1、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180度。
证明方法：利用平行线性质2、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角5、三角形的外角和为360度6、等腰三角形两个底角相等三、多边形及其内角和1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形2、N边形：如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。
3、内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角4、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角5、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线6、正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形7、多边形的内角和：n边形内角和等于（n-2）*1808、多边形的外角和：360度注：有些题，利用外角和，能提升解题速度9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△注：探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线23)-n(n条。
初中数学三角形知识点训练附答案
A． ， ， B． ， ，
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
要判断一个角是不是直角，先要知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
【详解】
A．若BC=4，AC=5，AB=6，则BC2+AC2≠AB2，故△ABC不是直角三角形；
【详解】
在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
12．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）
A．1B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
B. ，故不能组成直角三角形；
C． ，故可以组成直角三角形；
D． ，故不能组成直角三角形；
故选C．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理（如果三角形两边的平方等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形），掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
16．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）
人教版七年级下数学三角形知识点归纳、典型例题及考点分析
BC三角形知识点归纳、典型练习题及考点分析一、三角形相关概念 1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A 、B 、C 表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC ，其中线段AB 、BC 、AC 是三角形的三条边，∠A 、∠B 、∠C 分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线． 注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．练习题：1、图中共有（ A ：5 B ：6 C ：7 D ：82、如图，AE ⊥BC ，BF ⊥AC ，CD ⊥AB ，则△ABC 中AC 边上的高是（ ） A ：AE B ：CD C ：BF D ：AF 3、三角形一边上的高（ ）。
A ：必在三角形内部B ：必在三角形的边上C ：必在三角形外部D ：以上三种情况都有可能 4、能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）。
全等三角形的判定常考典型例题及练习
全等三角形的判定常考典型例题及练习三角形是我们初中数学中最基础的概念之一。
在学习三角形的过程中，我们经常会遇到一个重要的概念，即全等三角形。
全等三角形即指两个三角形的对应边长相等，对应角度相等。
在考试中，我们经常会被要求判定两个三角形是否全等。
下面，我将列出一些常见的全等三角形判定例题，并提供一些练习题供大家巩固。
一、例题例题1：已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，判断△ABC≌△DEF。
解析：根据题目给出的信息，∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，我们可以得出两个对应角相等，一个对应边相等。
根据全等三角形的定义，可以得出△ABC≌△DEF。
例题2：已知△ABC，边AB=5cm，边AC=3cm，边BC=4cm。
△DEF为△ABC的内接三角形，判断△ABC≌△DEF。
解析：由题意可知，△DEF是△ABC的内接三角形，即DEF的三条边分别平行且等于ABC的三条边。
根据题意，我们可以得出DE=5cm，DF=3cm，EF=4cm。
而三个边长相等，因此根据全等三角形的定义，可以得出△ABC≌△DEF。
二、练习题1. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE+2，判断△ABC≌△DEF。
2. 已知△ABC，边AB=6cm，边AC=8cm，边BC=10cm。
△DEF 为△ABC的外接三角形，判断△ABC≌△DEF。
3. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AB=DE，AC=DF，判断△ABC≌△DEF。
4. 已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF，判断△ABC≌△DEF。
5. 已知△ABC，边AB=5cm，边AC=7cm，边BC=9cm。
△DEF为△ABC的内切三角形，判断△ABC≌△DEF。
以上是一些常见的全等三角形判定例题及练习题。
在解答这些题目时，我们需要熟练掌握全等三角形的定义和判定条件，根据题目给出的信息进行推理和判断。
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全(含答案)
初中数学三角形全等—倍长中线法模型专题分类练习大全基础模型 : △ABC 中, AD 是 BC 边中线思路 1：延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 BEE思路 2：间接倍长 ,延长 MD到 N，使 DN=MD，连接 CN思路 3, 作 CF⊥ AD于 F，作 BE⊥AD的延长线于 EE1．如图，在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则AB 边的取值范围是（）A．1<AB<29 B．4<AB<24 C．5<AB<19 D．9<AB< 192．如图，△ABC 中，AB=AC，点D 在AB 上，点 E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F，且DF=EF，3．如图，在△ABC 中，AD 为中线，求证：AB+AC>2AD．4．小明遇到这样一个问题，如图 1，△ABC 中， AB=7，AC=5，点 D 为 BC 的中点，求 AD 的取 值范围．延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的 做法是：如图 2，延长 AD 到 E ，使 DE=AD ，连接 BE ，构造△BED ≌△ CAD ，经过推理和计算使 问题得到解决．请回答：（1）小明证明 △BED ≌△CAD 用到的判定定理是： （用字母表示） （2）AD 的取值范围是 小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题：如图 3，在正方形 ABCD 中 ，E 为 AB 边的中点， G 、F 分别为 AD ，BC 边 上的点，若 AG=2，BF=4， ∠GEF=90 °，求 GF 的长．5．已知：在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交 AC 于 F ，6．已知：如图，△ABC （AB ≠AC ）中，D 、E 在 BC 上，且 DE=EC ，过 D 作 DF ∥BA 交 AE 于点 F ， DF=AC ．求证： AE 平分∠BAC ．7-10,换汤不换药 （多题一解 ）7．如图， D 是△ABC 的 BC 边上一点且 CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线．小明发现老师讲过的 “倍长就是将三角形的8．如图，已知 D 是△ABC 的边 BC 上的一点， CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线． （1）若∠B=60，°求∠C 的值； （2）求证： AD 是∠EAC 的平分线．11．已知：如图， △ABC 中，∠C=90°，CM ⊥AB 于 M ，AT 平分∠BAC 交 CM 于 D ，交 BC 于 T ，12．如图①，点 O 为线段 MN 的中点， PQ 与 MN 相交于点 O ，且 PM ∥NQ ，可证△PMO ≌△ QNO ．根据上述结论完成下列探究活动：如图②，在四边形 ABCD 中，AB ∥DC ，E 为 BC 边的中 点，∠BAE=∠EAF ，AF 与 DC 的延长线相交于点 F．试探AE 是△ABD 的中线，求证： AC=2AE ．CE=2CD ．求证：究线段AB 与AF、CF 之间的数量关系，13．如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点 E 是 BC 的中点， EF ∥AD 交 CA 的延长线于点 F ，14．如图，已知在 △ABC 中，∠CAE=∠B ，点 E 是 CD 的中点，若 AD 平分∠BAE ．（1）求证： AC=BD ；（2）若 BD=3，AD=5，AE=x ，求 x 的取值范围．15．已知在 △ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角（图 3 是原题的第 问并证明你的结角形，如图，求证：EF=2AD．1.解：如图，延长AD 至E，使DE=AD，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=CD，在△ABD 和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14﹣5=9，∴9<CE<19，2．证明：如图，过点 D 作DG∥AE，交BC 于点G；4．解：（1）如图 2 中，延长AD 到E，使DE=AD，连接BE．（2）∵△BED≌△CAD，∴BE=AC=5，∵AB=7，∴2<AE<12，∴2<2AD<12，∴1<AD<6．解决问题：如图 3 中，在△BED 和△CAD中，∴△BED≌△CAD（SAS）．解：延长GE交CB 的延长线于M ．∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥ CM，∴∠AGE=∠M，在△AEG和△BEM 中，，∴△AEG≌△BEM，∴GE=EM，AG=BM=2，∵EF⊥MG，∴FG=FM，∵BF=4，∴MF=BF+BM=2+4=6，∴GF=FM=6．5．证明：如图，延长AD 到点G，使得AD=DG，连接BG．∵AD 是BC 边上的中线已知），∴DC=DB，在△ADC 和△GDB 中，∴∠ CAD=∠G，BG=AC 又∵BE=AC，∴BE=BG，∵∠BED=∠AEF，∴∠AEF=∠CAD，∴AF=EF．∴△ ADC≌△ GDB （SAS），∴∠BED=∠G，6．证明：如图，延长FE 到G，使EG=EF，连接CG．在△DEF和△CEG中，∵，∴△DEF≌△CEG．∴DF=GC，∠DFE=∠G．∵DF∥AB，∴∠DFE=∠BAE．∵DF=AC，∴GC=AC．∴∠G=∠CAE．∴∠ BAE=∠CAE．即AE 平分∠BAC．7．证明：延长AE 到F，使EF=AE，连接DF，∵AE是△ABD 的中线∴BE=ED，在△ABE 与△FDE中∵，∴△ ABE≌△FDE（SAS），∴AB=DF，∠BAE=∠EFD，∵∠ADB 是△ADC 的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∴∠BAE+∠EAD=∠BAD，∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF 与△ADC 中∵，∴△ ADF≌△ ADC（SAS）∴∠ C=∠AFD=∠ BAE．8．（1）解：∵∠ B=60°，∠ BDA=∠BAD，∴∠ BAD=∠BDA=60 ，°∴AB=AD，∵CD=AB，∴CD=AD，∴∠DAC=∠C，∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠C，∵∠ BAD=60，°∴∠ C=30 ；°（2）证明：延长AE 到M ，使EM=AE，连接DM，在△ABE 和△MDE 中，，∴△ ABE≌△ MDE，∴∠B=∠MDE，AB=DM，∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠MDE+∠BDA=∠ADM，在△MAD 与△CAD，，∴△MAD≌△CAD，∴∠MAD=∠CAD，∴AD 是∠EAC 的平分线．9．证明：延长AE 至F，使AE=EF，连接BF，在△ADE 与△BFE 中，，∴△ AED≌△ FEB，∴BF=DA，∠FBE=∠ADE，∵∠ABF=∠ABD+∠FBE，∴∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，在△ABF 与△ADC 中，，∴△ ABF≌△ CDA，∴AC=AF，∵AF=2AE，∴AC=2AE．10．证明：取AC 的中点F，连接BF；∵B为AE 的中点，∴BF 为△AEC 的中位线，∴EC=2BF；在△ABF 与△ACD 中，，∴△ABF≌△ ACD（SAS），∴CD=BF，11．证明：过T 作TF⊥AB 于F，∵AT 平分∠BAC，∠ACB=90 ，° ∴CT=TF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵∠ACB=90，°CM⊥AB，∴∠ADM+∠DAM=90°，∠ATC+∠CAT=90 °，∵AT 平分∠BAC，∴∠ DAM=∠CAT，∴∠ADM=∠ATC，∴∠CDT=∠CTD，∴CD=CT，又∵CT=TF（已证），∴CD=TF，∵CM⊥AB，DE∥AB，∴∠CDE=90 °，∠B=∠DEC，在△CDE和△TFB 中，，∴△CDE≌△TFB（AAS），∴CE=TB，∴CE﹣TE=TB﹣TE，即CT=BE．12．解：（1）AB=AF+CF．如图2，分别延长DC、AE，交于G 点，根据图①得△ABE≌△ GCE，∴AB=CG，又AB∥DC，∴∠ BAE=∠G 而∠BAE=∠EAF，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴CE=2CD．13．解：延长FE，截取EH=EG，连接CH，∵E 是BC 中点，∴BE=CE，∴∠BEG=∠CEH，在△BEG和△CEH中，，∴△BEG≌△ CEH（SAS），∴∠BGE=∠H，∴∠BGE=∠FGA=∠H，∴BG=CH，∵CF=BG，∴CH=CF，∴∠F=∠H=∠FGA，∵EF∥AD，∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA，∴∠CAD=∠BAD，∴AD 平分∠BAC．14．（1）证明：延长AE 到F，使EF=EA，连接DF，∵点 E 是CD 的中点，∴EC=ED，在△DEF与△CEA 中，，∴△DEF≌△CEA，∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD 平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD 与△AFD 中，，∴△ ABD≌△ AFD，∴ BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）证得△ABD≌△AFD，△DEF≌△CEA，∴AB=AF，∵AE=x，∴AF=2AE=2x，∴AB=2x，∵BD=3，AD=5，∴在△ABD 中，，解得：1<x<4，15 证明：延长AD 至点G，使得AD=DG，连接BG，CG，∵AD=DG，BD=CD，∴四边形ABGC是平行四边形，∴AC=AF=BG，AB=AE=CG，∠BAC+∠ABG=180，° ∵∠ EAF+∠ BAC=180 ，°∴∠ EAF=∠ ABG，在△EAF和△BAG中，，∴△EAF≌△BAG（SAS），∴EF=AG，∵AG=2AD，∴EF=2AD．。
第10讲 认识三角形与图形全等-七年级数学下册同步精品讲义
第10讲认识三角形与图形全等目标导航知识精讲知识点01三角形（1）三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边．相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．（2）按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．（3）三角形的主要线段：角平分线、中线、高．（4）三角形具有稳定性．【知识拓展1】（2021秋•阳新县期末）如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是（）A．M表示三边均不相等的三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形B．M表示三边均不相等的三角形，N表示等边三角形，P表示等腰三角形C．M表示等腰三角形，N表示等边三角形，P表示三边均不相等的三角形D．M表示等边三角形，N表示等腰三角形，P表示三边均不相等的三角形【即学即练1】（2021秋•静安区期末）下列说法错误的是（）A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形B．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形C．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形D．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形【即学即练2】（2021秋•双牌县期末）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（）A．B．C．D．知识点02三角形的角平分线、中线和高（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【知识拓展2】（2021秋•两江新区期末）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD为BC边上的中线，则△ABD与△ACD的周长之差为（）A．2B．3C．4D．5【即学即练1】（2021秋•沙坪坝区校级期末）数学课上，同学们在作△ABC中AC边上的高时，共画出下列四种图形，其中正确的是（）A．B．C．D．【即学即练2】（2021秋•思明区校级期末）如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则下列结论正确的是（）A．BC＝2AD B．AB＝2AF C．AD＝CD D．BE＝CF知识点03三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【知识拓展3】（2021秋•正阳县期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（）A．2B．4C．6D．8【即学即练1】（2021秋•同安区期末）如图，S△ABD＝S△ACD，已知AB＝8cm，AC＝5cm，那么△ABD和△ACD的周长差是cm．【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的高和中线，AD＝2cm，△ACE的面积是3cm2，则BC＝cm．知识点04三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）【知识拓展4】（2021秋•泉州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点G是△ABC的重心，GE⊥AC，垂足为E，若GE＝3，则线段CB的长度为（）A．10B．9C．6D．【即学即练1】（2021秋•莱州市期末）如图，点O是△ABC的重心，连接AO并延长交BC于点D．若BC ＝6，则CD＝．【即学即练2】（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．知识点05三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．【知识拓展5】（2021秋•樊城区期末）若线段AP，BP，AB满足AP+BP＞AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是（）A．P点一定在直线AB上B．P点一定在直线AB外C．P点一定在线段AB上D．P点一定在线段AB外【即学即练1】（2021秋•宜春期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，6，10D．4，5，9【即学即练2】（2021秋•岑溪市期末）已知一个三角形有两边长分别为3和9，则它的第三边长可能是（）A．4B．5C．6D．7知识点06三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．【知识拓展6】（2021秋•大余县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【即学即练1】（2021秋•铅山县期末）如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACD，若∠A＝80°，则∠D的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．140°【即学即练2】（2021秋•连江县期末）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A＝n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（）A．45°+n°B．90°C．90°﹣D．180°﹣n°知识点07全等图形（1）全等形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．（2）全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．（3）三角形全等的符号“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．（4）对应顶点、对应边、对应角把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．【知识拓展1】（2021秋•潜江期末）下列说法正确的是（）A．两个面积相等的图形一定是全等图形B．两个全等图形形状一定相同C．两个周长相等的图形一定是全等图形D．两个正三角形一定是全等图形【即学即练1】图中所示的网格是正方形网格，则下列关系正确的是（）A．∠1＞∠2B．∠1＜∠2C．∠1+∠2＝90°D．∠1+∠2＝180°【即学即练2】（2021秋•辛集市期末）观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（）A．3组B．4组C．5组D．6组知识点08直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．【知识拓展8】（2021秋•富川县期末）在一个直角三角形中，一个锐角等于56°，则另一个锐角的度数是（）A．26°B．34°C．36°D．44°【即学即练1】（2021秋•越城区期末）如图，在△ABC中，点P在边BC上（不与点B，点C重合），（）A．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠B，则AC＝PCB．若∠BAC＝90°，∠BAP＝∠C，则AP⊥BCC．若AP⊥BC，PB＝PC，则∠BAC＝90°D．若PB＝PC，∠BAP＝∠CAP，则∠BAC＝90°【即学即练2】（2021秋•嘉鱼县期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C ＝度．能力拓展【考点1】：认识三角形例题1．（2021·石家庄市第四十一中学七年级期末）若三角形的两边长是2cm 和5cm，第三边长的数值是奇数，则这个三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．10cm D．14cm【变式1】（2021·山东烟台市·七年级期末）用直角三角板作ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【变式2】（2021·浙江温州市·七年级期末）如图，三角形ABC 中，AC BC ⊥，CD AB ⊥于点D ，则下列线段关系成立的是（ ）A ．AD BC AB +< B ．BD AC AB +< C ．2BC AC CD +>D ． AC BC AB +<例题2．（2020·辽宁锦州市·七年级期末）已知三角形ABC ，且AB =3厘米，BC =2厘米，A 、C 两点间的距离为x 厘米，那么x 的取值范围是________．【变式1】（2021·广西南宁市·七年级期末）现有一张边长为1的正方形纸片，第一次沿着线段1AP 剪开，留下三角形1ABP ；第二次取1BP 的中点2P ，再沿着2AP 剪开，留下三角形2ABP ；第三次取2BP 的中点3P ，再沿着3AP 剪开，留下三角形3ABP ；…，如此进行下去，在第n 次后，被剪去图形的面积之和是________．【变式2】（2020·浙江杭州市·七年级期末）已知直线//m n ，将一块含有45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 相交于点D ．若124︒∠=，则2∠的度数为_______．例3．（2021·兰州市第三十六中学七年级期末）把两个形状相同，大小不同的三角板如图所示拼在一起，已知B DAC x ∠=∠=，2C BAD x ∠=∠=． （1）求C ∠的度数；（2）如图，如果ACF BCF ∠=∠，试比较AEC ∠和BFC ∠的大小．【变式1】（2021·浙江台州市·七年级期末）如图，在平面内有三个点、、A B C（1）根据下列语句画图： ①连接AB ； ②作直线BC ；③作射线AC ，在AC 的延长线上取一点D 使得CD CB =，连接BD ； （2）比较,,AB BD AB BC CD AD +++的大小关系．【变式2】（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转（1）试说明∠DPC=90°；（2）如图②，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转旋转一定角度，PF平分∠APD，PE 平分∠CPD，求∠EPF；（3）如图③．在图①基础上，若三角板PAC开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请求出旋转的时间．【考点2】：图形的全等例题1．（2001·浙江省杭州第十中学七年级期末）如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去【变式1】（2020·四川成都市·七年级期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°【变式2】（2020·山东泰安市·七年级期末）下列说法正确的是( )A ．全等三角形是指形状相同的两个三角形B ．全等三角形是指面积相等的两个三角形C ．两个等边三角形是全等三角形D ．全等三角形是指两个能完全重合的三角形例题2．（2021·湖北黄石市·七年级期末）如图，是一个33⨯的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4=________．【变式1】（2020·重庆七年级期末）如图，图中由实线围成的图形与①是全等形的有______．（填番号）【变式2】（2020·山西临汾市·七年级期末）如图，ABC ADE ≅，如果5,7,6AB cm BC cm AC cm ===，那么DE 的长是______．例题3．（2020·江苏苏州市·七年级期末）如图，用三种不同的方法沿网格线把正方形分割成4个全等的图形（三种方法得到的图形相互间不全等）．【变式1】（2018·全国七年级期末）如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，DE⊥AB，垂足为点F，且AB=DE．（1）求证：BD＝BC；（2）若BD＝6cm，求AC的长．【变式2】（2019·山东青岛市·七年级期末）图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.分层提分题组A 基础过关练一．选择题（共6小题）1．（2021秋•思明区校级期末）如图，CM是△ABC的中线，AM＝4cm，则BM的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．（2021秋•东城区校级期末）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AC于点E，DE＝4，AC＝6，那么△ACD的面积是（）A．10B．12C．16D．243．（2021秋•玉林期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（）A．3，4，8B．5，6，11C．5，5，10D．3，7，94．（2021秋•全椒县期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠DAE＝（）A．5°B．4°C．8°D．6°5．（2021秋•无为市期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝（）A．60°B．90°C．100°D．120°6．（2021秋•望城区期末）在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°二．填空题（共8小题）7．（2021秋•岚皋县校级月考）图中以AE为边的三角形共有个．8．（2021秋•天河区期末）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为cm．9．（2021秋•定海区校级月考）如图，△ABC中，D是BC边上的一点（不与B，C重合），点E，F是线段AD的三等分点，记△BDF的面积为S1，△ACE的面积为S2，若S1+S2＝3，则△ABC的面积为．10．（2021秋•港南区期中）如图，BD、CE是△ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是．11．（2021秋•广丰区期末）三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的心．12．（2021秋•巢湖市期末）△ABC的两边长分别是2和5，且第三边为奇数，则第三边长为．13．（2021秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，将△BDC沿CD折叠，点B落在AC边上的点B′处，若∠ADB′＝20°，则∠A的度数是．14．（2021秋•大连月考）直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角度数是°．三．解答题（共3小题）15．（2021秋•启东市期末）如图，在△ABC中，∠CAE＝18°，∠C＝42°，∠CBD＝27°．（1）求∠AFB的度数；（2）若∠BAF＝2∠ABF，求∠BAF的度数．16．（2021秋•双台子区期末）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为F，交BC于点E，若∠BAE＝33°，∠B＝37°，求∠EAC的度数．17．（2021秋•临漳县期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC 内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．（1）特例探索：若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）类比探索：∠ABP、∠ACP、∠A的关系是；（3）变式探索：如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是．题组B 能力提升练一．选择题（共7小题）1．（2021秋•兴城市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝70°，点D、E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处．则∠BDF﹣∠CEF＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°2．（2021秋•椒江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，CD是∠ACB的平分线，CH⊥AB 于点H，则∠DCH的度数是（）A．5°B．10°C．15°D．20°3．（2021秋•开州区期末）如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．（2021秋•忠县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD 沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°5．（2021秋•密山市期末）如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（）A．16B．24C．32D．306．（2021秋•潮安区期末）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（）A．4B．2C．6D．87．（2021秋•江宁区期中）如图，在四边形ABCD与四边形A'B'C'D'中，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，BC＝B'C'．下列条件中：①∠A＝∠A'，AD＝A'D'；②∠A＝∠A'，CD＝C'D'；③∠A＝∠A'，∠D＝∠D'；④AD＝A'D'，CD＝C'D'．添加上述条件中的其中一个，可使四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'．上述条件中符合要求的有（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④二．填空题（共8小题）8．（2021秋•博兴县期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC＝76°，∠C＝64°，则∠DAE的度数是．9．（2021秋•平罗县期末）如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DF⊥AB于F，交AC于E．已知∠A＝35°，∠ECD＝85°，则∠D＝．10．（2021秋•博白县期末）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且A'B平分∠ABC，A'C 平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，则∠1+∠2的度数为．11．（2020秋•十堰期末）如图，在2×2的方格纸中，∠1+∠2等于．12．（2021秋•鹿城区校级月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，连接BE并延长交AD于点F，若AG＝2BG，则＝．13．（2021春•东阳市期末）如图，把一张长方形纸板裁去两个边长为3cm的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盒，纸盒底面长方形的长为3kcm，宽为2kcm，则：（1）裁去的每个小长方形面积为cm2．（用k的代数式表示）（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的正整数倍，则正整数k的值为．14．（2021秋•湖州期末）如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC 于点H．若∠B＝30°，∠C＝50°，则∠EDH＝．15．（2021秋•山亭区期末）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“倍角三角形”，其中α称为“倍角”，如果一个“倍角三角形”的一个内角为99°，那么倍角α的度数是．三．解答题（共4小题）16．（2021秋•建昌县期末）如图，AD是∠BAC的平分线，CE是△ADC边AD上的高，若∠BAC＝70°，∠ECD＝20°．求∠ACB的度数．17．（2021秋•沙依巴克区校级期末）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，AD⊥BC于D，且AE 平分∠BAC，求∠EAD的度数．18．（2021秋•南昌期末）如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E．（1）若∠C＝40°，求∠DAE的度数；（2）若EF⊥AE，交AC于点F，请补全图形，并在第（1）问的条件下，求∠FEC的度数．19．（2021秋•邗江区期末）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图1，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，则∠COD＝∠COE；（2）如图2，将图1中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的角平分线时，求∠COD的度数；（3）将图1中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转旋转一周，设旋转的角度为α度，在旋转的过程中，能否使∠AOE＝3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，说明理由．题组C 培优拔尖练一．选择题（共3小题）1．（2021秋•拱墅区校级月考）如图，O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，则的最大值是（）A．B．1C．D．2．（2021春•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF＝CA，延长AB至点D，使得BD＝2AB，延长BC至点E，使得CE＝3CB，连接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，则S△ABC为（）A．2B．3C．4D．53．（2021春•青山区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF 交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠F AG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题（共3小题）4．（2021秋•武昌区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝2α，CD平分∠ACB，∠CAD＝30°﹣α，∠BAD ＝30°，则∠BDC＝．（用含α的式子表示）5．（2021春•高邮市期中）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A4B4C4，则其面积S4＝．6．（2021春•宝应县月考）如图，A，B，C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若△A1B1C1的面积是28，那么△ABC的面积是．三．解答题（共5小题）7．（2021秋•青田县期末）如图，直线l∥线段BC，点A是直线l上一动点．在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是∠BAC的角平分线．（1）如图1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度数；（2）当点A在直线l上运动时，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之间的数量关系，并画出对应图形进行说明．8．（2021秋•西湖区校级期末）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，∠C＝40°，可知∠A＝2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝35°，则△DEF为倍角三角形．（2）如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝30°，点A、点B分别是射线OP、OM上的动点；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC 的度数．（3）如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F，若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．9．（2021秋•兴庆区校级期末）如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F．（1）当△PMN所放位置如图①所示时，求出∠PFD与∠AEM的数量关系；（2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．10．我们把两个能够互相重合的图形称为全等形．（1）请你用四种方法把长和宽分别为5和3的矩形分成四个均不全等的小矩形或正方形，且矩形或正方形的各边长均为整数；（2）是否能将上述3×5的矩形分成五个均不全等的整数边矩形？若能，请画出．11．（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，△ABC中，AC＝7，BC＝9，AB＝10，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2，四边形ABED是一片绿色花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），①△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m3．如图3，计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE 边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．。