运筹学 第06-08章 运输问题 整数规划 动态规划 PPT课件
合集下载
《运筹学整数规划》课件
应用案例
生产调度问题的整数规划 模型
交通流优化问题的整数规 划模型
使用整数规划解决生产调度问题， 提高生产效率和资源利用率。
应用整数规划优化交通流，实现 道路拥堵疏导和交通效率提升。
建模思路与求解过程的演示
分享一个实际问题的建模思路和 整数规划的求解过程。
总结
整数规划的意义和局限性
总结整数规划在实际问题中的意义和局限性，并思考其未来发展方向。
求解方法与难点
介绍整数规划的求解方法，以及其中的挑战和难点。
模型建立与求解
1
模型的建立
讲解整数规划模型的建立过程，包括约枚举法和割平面法 Nhomakorabea2
束条件和目标函数的设定。
简要介绍传统的枚举法和割平面法，并
讨论这些方法的优缺点。
3
分支定界法和分支限界法
详细解释分支定界法和分支限界法，并
分支定价法和混合整数线性规划
整数规划的发展趋势
展望整数规划领域未来的发展趋势和可能的研究方向。
《运筹学整数规划》PPT 课件
这是一份关于《运筹学整数规划》的PPT课件，旨在为大家介绍整数规划的定 义、背景和实际应用中的重要性。通过本课件，我们将深入探讨整数规划的 求解方法、工具以及一些实际应用案例。
引言
定义和背景
整数规划的概念和历史背景，为后续内容提供基础。
重要性
探讨整数规划在实际问题中的重要性和应用范围。
4
分享一些实际案例。
介绍分支定价法和混合整数线性规划方 法，以及它们的应用领域。
求解工具
Gurobi的介绍
详细介绍Gurobi求解器，包 括其功能、优势和适用范围。
Gurobi求解整数规划的 步骤
运 筹 学 课 件
12/3 4
z
1 2
x4
x5 42
x3
2 3
x4
1 3
x5
4
新典式
主元化 为1，主 元所在
x2
1 2
x4
6
列的其 余元素
x1
2 3
x4
1 3
x5
4
化为0
观察最后一个典式，所有检验数均为非负， 故其对应的基本可行解为最优解，即
X * 4,6,6,0,0T z* 42
去掉引入变量，得原问题的最优解为：
运筹学课件
目录
运筹学概论 第一章 线性规划基础 第二章 单纯形法 第三章 LP对偶理论 第四章 灵敏度分析 第五章 运输问题 第六章 整数规划 第七章 动态规划 第八章 网络分析
第二章 单纯形法
(SM-Simplex Method)
1947年，美国运筹学家Dantzig提出，原理是 代数迭代。
单纯形法中的单纯形的这个术语，与该方法毫 无关系，它源于求解方法的早期阶段所研究的一 个特殊问题，并延用下来。
CB B1b B1b
z
CB B1N CN X N X B B1NX N
CB B1b B1b
上述方程组的矩阵形式为
10
0 I
CB
B1N B1N
CN
z XB XN
CB B1b B1b
上式的系数增广阵称为对应于基B的单纯形表：
T(B)
CB B1b B1b
0 I
CB
B1N B1N
CN
形式的LP问题，必须解决三个问题： ⑴初始基本可行解的确定； ⑵解的最优性检验； ⑶基本可行解的转移规则。 这里先放一下⑴，研究⑵和⑶，为此，
运筹学动态规划PPT
动态决策问题的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据系统 所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的最优策略。
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； 在多阶段决策过程中,系统的动态过程可以按照时间 进程分为状态相互联系而又相互区别的各个阶段； 每个阶段都要进行决策,目的是使整个过程的决策 达到最优效果。
3 2 A 4 B2 B1 2 3 1 3 1
C1 C2 4 3
1 D
C3
最短路线为
A→B1→C1 →D
3 1
解：整个计算过程分三个阶段，从最后一个阶段开始。
第一阶段（C →D）： C 有三条路线到终点D 。
显然有 f1 (C1 ) = 1 ； f1(C2 ) = 3 ； f1 (C3 ) = 4
3
2 A 4 B2 B1 2 1 3
C1
C2 4 C3 3
1 D
3 1
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。
4、确定状态转移方程
根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1阶段状态变 量，状态转移方程应当具有递推关系。
5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动态规 划基本方程
阶段指标函数是指第k 阶段的收益，最优指标函数是 指从第k 阶段状态出发到第n 阶段末所获得收益的最优 值，最后写出动态规划基本方程。 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动 态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一 的模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不 断实践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。
2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前 一段和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合 起来考虑的一种最优化方法。因此，每段决策的选取 是从全局来考虑的，与该段的最优选择答案一般是不 同的. 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是 已知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优 策略所经过的各段状态便可逐段变换得到，从而确定 了最优路线。 最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样的 性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面的决 策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构成最优 子策略。”也就是说，一个最优策略的子策略也是最 优的。
5 运筹学讲义[目标规划动态规划]PPT课件
![5 运筹学讲义[目标规划动态规划]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/e5684381195f312b3169a5c9.png)
n
c kj x j
d
k
d
k
gk (k
1.2 K )
j1
n
a ij x j
( . )bi
(i 1.2 m )
j1
xj 0
(j 1.2 n)
d
k
.
d
k
0
(k
1.2 K )
目标约束
其中：gk为第k个目标约束的预期目标值，
lk
和
lk
为pl
优先因子
对应各目标的权系数。
2x1
2x2
d
d
12
20
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
例； (3) C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； (4) 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求
充分利用，又尽可能不加班。 要考虑上述多方面的目标，需要借助目标规划的方法。
15
• 线性规划模型存在的局限性：
• 1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际 问题中并非所有约束都需要严格满足。
• 整数规划问题 • 运输问题模型 • 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、
E、F的四条固定航线的物资运输任务，已知各 条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1， 假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市 间的航程天数见表2。 • 又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该 航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有 航线的运货需求？
运筹学导论第八版整数线性规划课件
16
m in z x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8
s t x 1 x 2 （1 街 道 A ） x 2 x 3 （1 街 道 B ） 1
街道A
2
街道B
3
街道G 街道H 街道I 街道J 街道K
x 4 x 5 （1 街 道 C ）
x 7 x 8 （1 街 道 D ）
整数线性规划的一种特殊情形是0-1规划，它的变量取 值仅限于0或1。指派问题就是一个0-1规划问题。
运筹学导论第八版整数线性规划
9
8.1 应用实例介绍
1. 资本预算
在个人项目中投资中，既要考虑这些在个人项目中投资的收益， 又要考虑有限的总预算。
例 在一个3年的规划周期内，有5个项目可供选择。下表给出
发射台
覆盖社区
1
1，2
2
2，3，5
3
1，7，9，10
4
4，6，8，9
5
6，7，9，11
6
5，7，10，12，14
7
12，13，14，15
各个社区人口数目
建造费用(百万) 3.6 2.3 4.1 3.15 2.8 2.65 3.1
社区
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
本例还可以用图解法来说明
图中(+) 表示可行整数解。 凑整的(5，0) 不在可行域内，
而C点又不合于条件⑤。
目标函数z的等值线必须向原点平行移动，直到首次遇到带“+”
号B点(x1=4，x2=1)为止。此时，z值就由z=96变到z=90，Δz=9690=6表示利润的降低，这是由于变量的不可分性(装箱)所引起的。
很容易求得最优解为：x1=4.8，x2=0，max z=96
运输问题_整数规划33页PPT
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——Байду номын сангаас 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
运输问题_整数规划
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——Байду номын сангаас 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
运输问题_整数规划
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
END
运筹学教案(运输问题).ppt
可利用价格表采用 西北角法 最小元素法 伏格尔法 等方法求平衡运输问题的初始调动方案 9
以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
1
2
3
4
2
7
3
11
20
1 x11
x12
x13
x14
8
4
6
9
20
2 x21
x22
x23
x24
4
3
10
5
40
3 x31
x32
x33
x34
30
25
10
15
10
初始基础可行解—西北角法
15
x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20 10 0
2
10
10
4
3
3 10
25
10
5
5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20
2
4
3
10
以例子说明表上作业算法 有如下表格描述的平衡运输问题
1
2
3
4
2
7
3
11
20
1 x11
x12
x13
x14
8
4
6
9
20
2 x21
x22
x23
x24
4
3
10
5
40
3 x31
x32
x33
x34
30
25
10
15
10
初始基础可行解—西北角法
15
x32=Min(a3,b2)=25 在三行二列填数25 调整行列供求 a3=25-25=0, b2 =40-25=15 划去已完全满足的第二15列
用同样的方法确定其它数字格的调运量
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20 10 0
2
10
10
4
3
3 10
25
10
5
5 40 15 5 0
xlk=min(al,bk) （3）同时划去使行或列要求恰好满足的行 或列，调整行列供求量。
（4）重复（1）到（3）从而在m+n-1个方 格上填数字，构成运输问题的初始调运方 案
最小元素：min{cij}=c11=2
1
2
3
4
2
7
3
11 20 0
1 20
8
4
6
9 20
2
4
3
10
运输问题(运筹学教学)演示课件.ppt
精选课件
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
2、求检验数--闭回路法: 例1
销地 产地
B1 3
B2 11
B3 3
B4
ai
10
注: 1)数字格检 验数均为0
A1
④
③
7 2)空格检验数
1
2
A2
③1
9
2
①
8
以某空格为起点，用水平或垂直
4 线往前划，每碰到一个数字格转
1
-1
90。，然后继续前进，直到回到起
7
4
10
5
A3
⑥
③
9 点。根据回路计算该空格对应变
精选课件
用网络优化软件
运费 一区1 一区2 二区 三区1 三区2 供应量
山西盂县 1.65 1.65 1.7 1.75 1.75 4000
河北临城 1.6 1.6 1.65 1.7
1.7 1500
假想地点 M
0
M
M
0
500
6000 需求量 2700 300 1000 1500 500
6000
精选课件
运输问题的表格表示
需求地
1
供应地
16
28
35
合计 13
2
7 4 9 21
3
5 2 10 9
4
3 7 6 7
合计
25 10 15
精选课件
运输问题线性规划模型
min z = 6x11 + 7x12 + 5x13 + 3x14 + 8x21 + 4x22 + 2x23 + 7x24 + 5x31 + 9x32 +10x33 + 6x34
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.重要概念:
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
16
销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
5
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1xBiblioteka 2…x2na2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
17
四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
9
运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
1
§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
11
对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
6
模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
7
二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
19
例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
8
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23
➢闭回路 ➢闭回路的顶点
18
为了说明这个特征，我们不加证明的给出一些 概念和结论。下面的讨论建立在运输问题求解作业 数据表中决策变量格的基础上。
定义6.1 在运输问题求解作业数据表的决 策变量格中，凡是能够排列成下列形式的
xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb
或
3.人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
4.运输问题求解的有关概念 考虑产销平衡问题，由于我们关心的量均在数
据表与变量表中，因此考虑把两个表合成一个表, 如下表：运输问题作业平衡表
16
销地
B1
产地
B2
…
Bn
产量
A1
x11
x12
…
x1n
a1
c11
c12
c1n
A2
x21
s.t. x11+ x12 + x13 = 200
x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij≥0(i=1,2；j=1,2,3）
5
系数矩阵
1 1 1 00 0 0 0 0 11 1 1 0 0 10 0 0 1 0 01 0 0 0 1 00 1xBiblioteka 2…x2na2
c21
c22
c2n
┇
┇
┇
┇
┇
┇
Am
xm1
xm2
…
xmn
am
cm1
cm2
cmn
销量
b1
b2
…
bn
17
四、运输基本问题的基本概念
1.运输问题基变量
➢运输问题的基变量共有 m + n -1 个，A的 秩为 m + n -1 ➢运输问题的 m + n -1 个变量构成基变量的
充分必要条件是不含闭回路
9
运输问题变量表
销地
产地 A1 A2 ┇ Am
销量
B1
B2 … Bn
x11
x12 … x1n
x21
x22 … x2n
┇ ┇ ┇┇
xm1
xm2 … xmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2 ┇ am
10
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
m
i=1xij
≤ai i = 1,2,…,m ≤ bj j = 1,2,…,n
第6章 运输问题
§6-1 运输问题的LP模型 §6-2 运输问题的求解—表上作业法 §6-3 运输问题应用—建模
1
§6-1 运输问题的LP模型
一、问题的提出
一般的运输问题就是要解决把某种产 品从若干个产地调运到若干个销地，在每个 产地的供应量与每个销地的需求量已知，并 知道各地之间的运输单价的前提下，如何确 定一个使得总的运输费用最小的方案。
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
11
对于产销平衡问题，运输问题的模型为
mn
Min
Z
=
i=1
j=1
cij
xij
s.t.
n
j=1
xij
=ai
i = 1,2,…,m
m
i=1xij =bj j = 1,2,…,n
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
12
在实际问题建模时，还会出现如下一些变化： （1）有时目标函数求最大，如求利润最大或营业额
6
模型系数矩阵特征
1.共有m+n行，分别表示各 产地和销地；mxn列，分别表示
各变量； 2.每列只有两个 1，其余
为 0，分别表示只有一个产地和 一个销地被使用。
7
二、一般运输问题的线性规划模型
假 设 A1, A2,…,Am 表 示 某 物 资 的 m 个 产 地 ； B1,B2,…,Bn 表示某物资的n个销地；ai表示产地 Ai 的产量；bj 表示销地 Bj 的销量；cij 表示把物资 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的单位运价。如果a1 + a2 + … + am = b1 + b2 + … + bn ，则称该运输问题
加上 1 个松弛变量，共 n 个。 m i=x1ij ≤ bj
14
三、运输问题的解题思路
1. 运 输 问 题 是 一 种 特 殊 的 线 性 规 划 问 题 ， 在求解时依然可以采用单纯形法的思路， 如图所示。
基本可行解
是
是否最优解
结束
否
换基
15
2.由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果 直接使用线性规划单纯形法求解计算，则 无法利用这些有利条件。
(1)闭回路均为一封闭折线，它的 每一条边，或为水平的，或为垂直的；
(2)闭回路的每一条边（水平的或 垂直的）均有且仅有两个闭回路的顶 点（变量格）。
21
关于闭回路有如下的一些重要结论：
x中 psdtc变,(,1量p)xds所eb设,对…是应,x一a的bp个s系,t 闭,数x回pa列csb路,向线，量x性那dc 相么,p关a该bx；d,闭e p回,a…c路,, x该 psetf变,(…中2量),包组若p含所s变t一对线量个应性部组的相分系关x组数ab。构列,成向x闭c量d 回, 路pxae，bf ,,那…p么c,d,
最大等； （2）当某些运输线路上的能力有限制时，模型中可
直接加入（等式或不等式）约束；
(3)产销不平衡的情况。 ➢ 当销量大于产量时可加入一个虚设的产地去
生产不足的物资，这相当于在每一式中加上
1 个松弛变量，共 m 个；
nj=1xij ≤ai
13
➢当产量大于销量时可加入一个虚设的销地 去消化多余的物资，这相当于在每一式中
xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat
其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各
不相同，我们称之为变量集合的一个闭回
路，并将变量称为这个闭回路的顶点
19
例如闭回路 若把闭回路的各变量格看作节点，
在表中可以画出如下形式的闭回路：
闭回路示意图
20
根据定义可以看出闭回路的一些 明显特点：
为产销平衡问题；否则，称产销不平衡。下面，首 先讨论产销平衡问题。
8
运输问题数据表
销地
产地
A1 A2
┇
Am
销量
B1 B2 … Bn
c11
c12 … c1n
c21
c22 … c2n
┇ ┇ ┇┇
cm1
cm2 … cmn
b1
b2 … bn
产量
a1 a2
┇
am
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运输量， 根据这个运输问题的要求，可以建立运输变 量表
2
例6.1:某公司从两个产地A1、A2将物品运往 三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销
地的销量和各产地运往个销地每件物品的运 费如下表所示，问：应如何调运可使总运输 费用最小？
3
解：产销平衡问题：总产量 = 总销量
设 xij 为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运
输量表：
4
Min Z= 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23