椭圆与双曲线中点弦
高中数学椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OM b k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12B、2 C、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得e =，所以B 答案正确.例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM y k x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程； 若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PB b k k a⋅=-. 证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
椭圆和双曲线的中点弦公式
椭圆和双曲线的中点弦公式简介
【示例范文仅供参考】
---------------------------------------------------------------------- 椭圆和双曲线的中点弦公式是一个用于计算椭圆和双曲线中点弦的公式。
对于椭圆和双曲线，一条弦是连接两个点的线段。
中点弦是连接弦的中点和曲线上的某一点的线段。
假设我们要计算椭圆或双曲线上的点P 到弦AB 中点M 的距离d。
则可以使用下面的中点弦公式：
对于椭圆：d = sqrt(a^2 - h^2) * sqrt(b^2 - h^2) / c
对于双曲线：d = sqrt(h^2 - a^2) * sqrt(h^2 - b^2) / c
其中，a、b、c 分别为椭圆或双曲线的半长轴、半短轴和离心率，h 为弦AB 与椭圆或双曲线中心连线的长度的一半。
使用该公式可以方便地计算中点弦距离，从而对于椭圆或双曲线上的点进行进一步的图形分析和计算。
圆锥曲线中点弦公式
圆锥曲线中点弦公式中点弦抛物线中点弦公式抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。
中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。
中点弦椭圆中点弦公式椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。
中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。
中点弦双曲线中点弦公式双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。
中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。
中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式．引理：设两条不同的二次曲线S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成：(证明略)定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为：L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形．定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证．注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如．定理1还可推广得到更一般的结论．定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数．证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)：L：a11x+a12y+a13=0L1：b11x+b12y+b13=0L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知：a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0(a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4)即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5)其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)．(5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化．推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
数学-22届高考数学精品微专题：中点弦问题
2022届高考数学精品微专题：中点弦问题一、常用结论1.椭圆中点弦问题结论（以焦点在x 轴的椭圆方程)0(12222>>=+b a by a x 为例）（1）如图，在椭圆C 中，E 为弦AB 的中点，则22ab k k AB OE -=⋅;（证明：用点差法）（2）注意：若焦点在y 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a a y b x ，则22ba k k AB OE -=⋅.2.双曲线中点弦结论（以焦点在x 轴的双曲线方程12222=-by a x 为例）图1 图2（1）如图1或图2，E 为弦AB 的中点，则22ab k k ABOE =⋅; （2）注意：若焦点在y 轴上的双曲线12222=-bx a y ，则22b a k k AB OE =⋅3.抛物线中点弦结论（1）在抛物线)0(22≠=p px y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则p y k MN =⋅0. 即：0y p k =（2）同理可证，在抛物线)0(22≠=p py x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN=⋅01.即：px k 0=二、典例【选填+解答题】1．（2021·云南昆明市·昆明一中高三）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F的直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 中点为(1,1)，则直线l 的斜率为（） A ．2 B ．2-C ．12-D ．12【答案】C【分析】先根据已知得到222a b =，再利用点差法求出直线的斜率.【详解】由题得222222242,4()2,22c c a a b a a b a =∴=∴-=∴=.设1122(,),(,)A x y B x y ，由题得1212+=2+=2x x y y ，，所以2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=，所以2212122()2a ()0b x x y y -+-=，所以221212()240()y y b b x x -+=-，所以1120,2k k +=∴=-.2.【2014年江西卷（理15）】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为【解析】由椭圆中点弦性质可得1222-=-=⋅e a b k k AB OM ，则⎪⎩⎪⎨⎧<<-=⨯-1011212e e，故e =．3.【2013全国卷1理科】已知椭圆E ：(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．B ．C ．D ． 【解析】22a b k k AB MF -=⋅，得22)1(13)1(0ab -=-⨯---，∴=，又9==，解得=9，=18， ∴椭圆方程为，故选D ．(1,1)M 12-C 22221(0)x y a b a b +=>>,A B M AB C 2222=1x y a b+22=14536x y +22=13627x y +22=12718x y +22=1189x y +22b a 122c 22a b -2b 2a 221189x y +=4.（2018全国卷Ⅲ第一问）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >．证明：12k <-． 【答案】证明见解析．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=，上述两式相减，则4322-=-=⋅a b k k AB OM ．由题设知1212x x +=，122y y m +=，故43-=⋅m k ，于是34k m=-． 由⎪⎩⎪⎨⎧<+>134102m m 得302m <<，故12k <-．5.（2020年湖北高二期末）如图，已知椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞，斜率为﹣1的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，平行四边形OAMB （O 为坐标原点）的对角线OM 的斜率为13，则椭圆的离心率为ABCD ．23【答案】B【解析】方法1：设直线AB 方程为y x n =-+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由22221x y a b y x n ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得：22222222()20a b x a nx a n a b +-+-=， ∴212222a nx x a b+=+，12122()y y n x x +=-+，设(,)M x y ， ∵OAMB 是平行四边形，∴OM OA OB =+，∴1212,x x x y y y =+=+， ∴12121212122()21OMy y n x x y n k x x x x x x x +-+====-+++22222113a b b a a +=-==，∴2222223c a b a a -==，∴c e a ==． 故选B ．方法2：（秒杀解）⎪⎩⎪⎨⎧<<-=-⇒-=-=⋅1031112222e e e a b k k OM AB ，得36=e ． 故选B ．6.【2019一中月考】直线与椭圆：相交于两点，设线段的中点为，则动点的轨迹方程为（ ）D7．已知椭圆2217525+=y x 的一条弦的斜率为3，它与直线12x =的交点恰为这条弦的中点M ，则M 的坐标为（） A ．11,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C 【分析】由题意知：斜率为3的弦中点01(,)2M y ，设弦所在直线方程3y x b =+，结合椭圆方程可得122b x x +=-即可求b ，进而求M 的坐标. 【详解】由题意，设椭圆与弦的交点为1122(,),(,)A x y B x y ，:3AB y x b =+， 则将3y x b =+代入椭圆方程，整理得：22126750x bx b ++-=，∴22123648(75)02b b b x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，而121x x =+，故2b =-， ∴:32AB y x =-，又01(,)2M y 在AB 上，则012y =-， 故选：C)(4R m m x y ∈+=C 12322=+y x B A ,AB M M 16.+-=x y A 6.xy B -=)33(16.<<-+-=x x y C )526526(6.<<--=x x y D8．（2020·四川成都市·成都七中）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点.若AB 的中点坐标为（1，1-），则G 的方程为（）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的标准方程，两式作差可得AB k 22b a =，由22b a =12，9=2c =22a b -，即可求解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b +=，①2222221x y a b +=，②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又ABk =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中）已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（） A ．43-B ．43C ．34-D ．34【答案】C【分析】设出椭圆方程，设出A B C ，，的坐标，通过点差法转化求解斜率，然后推出结果即可．【详解】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，10．（2020·广东广州市·执信中学）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，ABC ∆的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，且三条边所在直线的斜率分别1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0．O 为坐标原点，则（）A ．22:1:2a b =B ．直线AB 与直线OD 的斜率之积为2-C ．直线BC 与直线OE 的斜率之积为12-D ．若直线OD ，OE ，OF 的斜率之和为1，则123111k k k ++的值为2- 【答案】CD【分析】由题意可得：222a b =．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．利用点差法即可得出11·2OD k k =-，21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，即可判断．【详解】椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>∴222112b e a =-=，222a b ∴=，故A 错；设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．0(D x ，0)y ．2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得：21212212121·2y y y y b x x x x a +-=-=-+-．11·2OD k k ∴=-，同理21·2OE k k =-，31·2OF k k =-，故B 错，C 正确． 又1231112()2OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，11．（2020·广东广州市·执信中学）已知直线L 与双曲线22221()00a x y a bb >-=>，相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，若直线L 的斜率为1k ，OM 的斜率为2k ，且122k k =，则双曲线渐近线的斜率等于（） A．2±B ．2± C．D ．12±【答案】C【详解】设()()1122,,,,(,)A x y B x y M x y ，则12122,2x x x y y y +=+=，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：()()()()222221221212222211110,220x x y y x x x a a y y y b b---=-⨯--⨯=，∵直线L 的斜率为()110k k ≠，直线OM 的斜率为2k ，212211222y y y b k x x a k x -=⋅==-∴，则ba=12．（2020·四川成都市·成都七中）过点(1,4)P 作直线l 交双曲线2214x y -=于A ，B 两点，而P 恰为弦AB 的中点，则直线l 的斜率为（）. A ．116- B ．-1 C ．116D ．1【答案】C【分析】根据P 为AB 的中点，利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，由221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减求解. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121242x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121228x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 代入双曲线2214x y -=得，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得：()()22221212104y y x x ---=， 整理得：1212121214y y x x x x y y -+=⋅-+，所以12121214816ABy y k x x -==⨯=-.13．（2021·全国高二）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22221x y a b -=(0a >，0b >)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为3(1)M ，.则C 的离心率为（） A ．2 BC ．3 D．2【答案】A【详解】设()()1122,,,B x y D x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式做差得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-+-=整理得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+，而12121BD y y k x x --==，122x x +=，126y y +=，代入有223b a =，即2223c a a-=，可得2c e a ==．14．（2020·广州市天河中学）已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为(M -，则E 的方程为（）A ．22145x y -=B ．22163x y -=C ．22154x y -=D ．22136x y -=【答案】B【详解】设双曲线E 的标准方程为22221x y a b-=，由题意知：3c =，即229a b +=①，设()11,A x y ，()22,B x y ， AB的中点为(M -，124x x ∴+=-，12y y +=，又A ，B 在双曲线上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b ---=，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b-+-+=， 即()()22212122212125ABb x x y y k x x a y y a +-====--+，又M F ABM F y y kx x -===-， 即2255a -=-，解得：222ab =②，由①②解得：26a =，23b =，∴双曲线的标准方程为：22163x y -=.15．（2019·陕西高考模拟）双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（） A.20x y --= B.2100x y +-= C.20x y -= D.280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯， ∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C16．（2020·河南周口市·高三）已知双曲线2218y x -=上有三个点A ，B ，C 且AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，用字母k 表示斜率，若8OD OE OF k k k ++=-（点O 为坐标原点，且OD k ，OE k ，OF k 均不为零），则111AB BC ACk k k ++=________. 【答案】-1【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=，221118y x -=，222218y x -=,两式相减得()()()()121212128y y y y x x x x +--+=，整理可得0121208y x x y y x -=-，即18OD AB k k =， 同理得18OE BC k k =，18OF AC k k =.因为8OD OE OF k k k ++=-，所以1111AB BC ACk k k ++=-.17．（2020·全国高二课时练习）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点分别为F ，圆M 的方程为()22252x y b -+=.若直线l 与圆M 相切于点()4,1P ，与双曲线C 交于A ，B 两点，点P 恰好为AB 的中点，则双曲线C 的方程为________.【答案】2214x y -=【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的斜率为k ，则10145k -⋅=--，所以1k =，()22224512b =-+=，即21b =，则2211221x y a b -=，2222221x y a b -=.两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= 则()()222121222212128412b x x y y b b k x x a y y a a +-=====-+，即24a =，所以双曲线C 的方程为2214x y -=.18．（2017·河北衡水中学高考模拟）已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F ，直线1y x =-与其相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是 A.22134x y -= B.22143x y -= C.22152x y -= D.22125x y -= 【答案】D【解析】设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得227a b +=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则MN 的中点为25,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由2211221x y a b -=且2222221x y a b-=，得()()12122x x x x a +-=()()12122y y y y b +-，2223a ⨯-=（）2523b ⨯-（），即2225a b=，联立227a b +=，解得22a =，25b =，故所求双曲线的方程为22125x y -=．故选D ．19.已知双曲线的左焦点为，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点，则双曲线C 的离心率为（ ） A.B.C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】设线段AB 的中点坐标为，根据 求出线段的中点坐标，用点差法求出关系，即可求解【详解】设线段AB 的中点坐标为，则有， 设，代入双曲线方程有，两式相减得， 2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>(,0)F c -(2,0)Pc()00,M x y 11,1,MF MP k k ==-AB M ,a c ()00,x y 0000112y x c y x c⎧=⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩0,2c x ⇒=032y c =1122(,),(,)A x y B x y 2222112222221,1x y x y a b a b-=-=可得，即， .故选:D.20．直线l 过点(1,1)P 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（） A ．2B ．2-C ．12D ．12- 【答案】A【分析】 利用点差法，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，利用中点坐标求直线的斜率. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得()2212124y y x x -=-， 即()()()1212124y y y y x x +-=-，当12x x ≠时，()1212124y y y y x x -+=-， 因为点()1,1P 是AB 的中点，所以122y y +=，24k =，解得：2k =故选：A21．（2019秋•湖北月考）斜率为k 的直线l 过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，点P（x 0，y 0）为AB 中点，则ky 0为（ ）A ．定值B ．定值pC ．定值2pD ．与k 有关的值【分析】设直线方程与抛物线联立得纵坐标之和，进而的中点的纵坐标，直接求出ky 0的值为定值．【解答】解：显然直线的斜率不为零，抛物线的焦点（，0），1212121222()()()()1x x x x y y y y a b -+-+-=002210x y a b -⋅=2213,a b=223b a =2,c a ∴=2e =设直线l 为：x ＝my +，且k ＝，A （x ，y ），B （x '，y '），直线与抛物线联立得：y 2﹣2pmy ﹣p 2＝0，y +y '＝2pm ，所以由题意得：y 0＝＝pm ，所以ky 0＝•pm ＝p ，故选：B ．22．过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______.解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m . 由m y k AB =⋅0得：4=AB k .∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x .23．设1P 2P 为抛物线y x =2的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.解：y x =2，my x 22=，∴21=m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由m x k P P =⋅0211得：210=x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴253210=+-=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(. ∴弦1P 2P 所在的直线方程为)21(125-⋅=-x y ，即02=+-y x .24．ABC 的三个顶点都在抛物线E ：y 2＝2x 上，其中A (2，2)，ABC 的重心G 是抛物线E 的焦点，则BC 边所在直线的方程为________．【答案】4x ＋4y ＋5＝0【分析】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，先求出点M 的坐标，再求出直线BC 的斜率，即得解.【详解】设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，边BC 的中点为M (x 0，y 0)，易知1(,0)2G ， 则12122132203x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩从而12012012412x x x y y y +⎧==-⎪⎪⎨+⎪==-⎪⎩，即1(,1)4M --， 又2211222,2y x y x ==，两式相减得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝2(x 1－x 2)，则直线BC 的斜率1212120022112BC y y k x x y y y y -=====--+ 故直线BC 的方程为y －(－1)＝1()4x -+，即4x ＋4y ＋5＝0.故答案为：4x ＋4y ＋5＝025．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过点()1,1Q 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，且恰好为线段MN 的中点，求线段MN 长度. 【答案】（1）2212y x -=；（2【分析】（1）根据双曲线的定义c =a =（2）先根据点差法求直线l 的方程，再根据弦长公式即可求出.【详解】（1）双曲线C的焦点为(0,、，实轴长为则a =c =，而222321b c a =-=-=， ∴双曲线C 的标准方程2212y x -=； （2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，点()1,1Q 恰好为线段MN 的中点，即有122x x +=，122y y +=， 又221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得121212121()()()()2y y y y x x x x -+=-+， ∴12122y y x x --=， ∴直线l 的斜率为2k =，其方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x y x =-⎧⎨-=⎩，即22410x x --=，可得1212x x =-，则MN ===26．已知直线l 与抛物线2:5C y x =交于,A B 两点．（1）若l 的方程为21y x =-，求AB ；（2）若弦AB 的中点为()6,1-，求l 的方程．【答案】（1）4；（2）52280x y +-=. 【分析】（1）联立直线与抛物线方程，写出韦达定理，利用弦长公式即可求解； （2）利用点差法求出直线斜率，即可求出直线方程.【详解】设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ． （1）联立25,21,y x y x ⎧=⎨=-⎩得24910,0x x -+=∆>， 因此121291,44x x x x +==，故||4AB ===． （2）因为,A B 两点在C 上，所以2112225,5,y x y x ⎧=⎨=⎩两式相减，得()2221215y y x x -=-， 因为12122y y +=-⨯=-，所以212112552AB y y k x x y y -===--+， 因此l 的方程为5(1)(6)2y x --=--，即52280x y +-=．。
(参考资料)椭圆双曲线抛物线中点弦轨迹方程和直线方程
直线和圆锥曲线相交，和中点弦有关的三类问题经常出现。
（1）已知中点坐标求弦所在直线方程 （2）已知直线方程，求弦中点的坐标 （3）求过定点的弦的中点的轨迹方程作者：东阿实验高中程浩 过定点的直线和圆锥曲线相交，相交弦的中点的轨迹方程也是圆锥曲线。
如果此定点也是中点，那么可以直接写出中点弦所在的直线方程。
过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1内一定点(x 0,y 0)的弦的中点的轨迹方程公式是x(x−x 0)a 2+y(y−y 0)b 2=0也是一个椭圆，椭圆中心是(x 0/2,y 0/2)。
如果此定点(x 0,y 0)正好也是中点，那么中点弦所在的直线方程为x 0(x−x 0)a 2+y 0(y−y 0)b 2=0例子1：如果椭圆x 236+y 29=1的弦AB 被点M(4,2)平分，求弦AB 所在的直线方程4(x−4)36+ 2(y−2)9=0化简后为x+2y-8=0中点弦所在的直线方程的斜率k 为−b 2x a 2y=(y−y 0)(x−x 0)=k下面看已知直线方程y=kx+m 和椭圆方程如何求中点坐标−b 2x a 2k=y=kx+m (k +b 2a 2k)x =−m (a 2k 2+b 2a 2k)x =−mx =−ma 2k 2+b 2a 2k=−a 2km a 2k 2+b 2=−kmk 2+b 2a2x =−kmk 2+b 2a2双曲线是x =−kmk 2−b 2a2例子，直线y=x+1被椭圆x 2+2y 2=4所截的弦的中点坐标是________解答：椭圆x 2+2y 2=4，x 24+y 22=1x==−kmk 2+b 2a2=−1∗112+24=−23，y=x+1=13，所以中点坐标是(−23，13)例子，过椭圆x 29+y 24=1内一点M （2,0），引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是________。
解答：x(x−2)9+y(y−0)4=0，化简后得(x −1)2+ y 249=1下面看双曲线的情况过双曲线x 2a 2- y 2b 2=1内一定点(x 0,y 0)的弦的中点的轨迹方程公式是x(x−x 0)a 2-y(y−y 0)b 2=0也是一个双曲线，双曲线中心是(x 0/2,y 0/2)。
人教高中数学 选修 2-1 第二章 2.3 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及推广(含答案)
椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b+=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：22AB OMb k k a⋅=-证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：2221222212y y b x x a-=--，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅=-定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b-=弦AB（AB 不平行y 轴）的中点，则有22AB OMb k k a⋅= 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212ABy y k x x -=-，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：2221222212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012001222OMy x y y k x y x x +===+，所以22AB OM b k k a ⋅= 例1、已知椭圆22221x y a b-=，的一条弦所在的直线方程是30x y -+=，弦的中点坐标是2,1M -（），则椭圆的离心率是（ ） A 、12 B、、分析：本题中弦的斜率 1AB k =且12OMk =-，根据定理有2212b a =，即2222112a c e a -=-=，解得2e =，所以B 答案正确. 例2、过椭圆221164x y +=内的一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在的直线方程.解：设弦所在的直线为AB ，根据椭圆中点弦的斜率公式知14AB OM k k ⋅=-，显然12OM k =，所以12AB k =-，故所求的直线方程为11(2)2y x -=--，即240x y +-=.例3、过椭圆2216436x y +=上的一点(8,0)P -作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程.解：设PQ 的中点为(,)M x y ，则OM yk x=，8PQ y k x =+，由椭圆中点弦的的斜率公式得9816y y x x ⋅=-+，即所求的轨迹方程为29(8)16y x x =-+ 例4、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴交于0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a---<<. 证明：设AB 的中点为11(,)M x y ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，10y ∴≠，由椭圆的中点弦斜率公式得:2121ABx b k a y =-⋅2121l a y k b x ∴=，所以直线l 的方程为：211121()a y y y x x b x -=-，令0y =解得21022a x x a b =-，1||x a <，2022a a x a a b ∴-<<-，即：22220a b a b x a a ---<<例5、已知双曲线2212y x -=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使l 交双曲线 于A 、B 两点且点M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由.解：若存在这样的直线l 的斜率为k ，则1OM k =，由双曲线中点弦的斜率公式知：2k =，此时l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，将它代入双曲线方程2212y x -=并化简得：22430x x -+=，而该方程没有实数根.故这样的直线l 不存在.定理1推论：若A 、B 是椭圆22221x y a b+=上关于中心对称的两点，P 是椭圆上任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=-.证明：如图：连结AB ，取PB 中点M ，连结OM ，则OM PA ，所以有OM PA k k =，由椭圆中点弦斜率公式得：22OM PBb k k a ⋅=-.所以22PA PB b k k a⋅=-.类似地可以证明定理2推论：若A 、B 是双曲线22221x y a b-=上关于中心对称的两点，P 是双曲线上的任一点，当PA 、PB 的斜率PA k 和PB k 都存在时，有22PA PBb k k a⋅=.。
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法高二数学上学期同步讲与练(选择性必修第一册)(解析版)
圆锥曲线专题：中点弦及点差法的7种常见考法一、椭圆与双曲线的中点弦与点差法1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+by a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22ab k k OPAB -=⋅。
证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-b y y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。
焦点在y 轴：直线l (存在斜率)过椭圆12222=+bx a y (0>>b a )上两点A 、B ，线段AB 中点为)(00y x P ，，则有22ba k k OPAB -=⋅。
3、双曲线的用点差法同理，可得220220()AB AB OP x b b k k k a y a=⋅⋅=二、抛物线的中点弦与点差法设直线与曲线的两个交点)(11y x A ，、)(22y x B ，，中点坐标为)(00y x P ，代入抛物线方程，2112=y px ，2222=y px ，将两式相减，可得()()()1212122-+=-y y y y p x x ，整理可得：12121202-===-+AB y y p pk x x y y y三、点差法在圆锥曲线中的结论AB AB M AB AB M AB AB AB AB b e x a y k k k x ab e b e x a y k k k x a y b e pk y pk y x k px k p222002222220222011-y 1111⎧-=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=-⇔⎪⎪==⎨⎪=⇔⎪-⎩⎧=⇔⎪⎪⎪⎪=-⇔⎪⎨⎪=⇔⎪⎪⎪=-⇔⎪⎩gg gg 焦点在轴椭圆：焦点在轴焦点在轴双曲线：焦点在轴开口向右开口向左抛物线：开口向上开口向下题型一中点弦所在直线的斜率与方程【例1】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-=【解析】已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--，即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--，因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=.故答案为：59140x y +-=.【变式1-1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（）A．12B．14C．1D．4【答案】C【解析】由题意可得2c e a ==，整理可得a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+，则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+．故选：C 【变式1-2】已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（）A．1D．2【答案】A【解析】设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -=两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1；故选：A．【变式1-3】过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（）A．250x y +-=B．210x y --=C．250x y +-=D．230x y --=【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-，因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=，故选：D.【变式1-4】已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214yx +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（）A．14-B．4-C．12-D．2-【答案】B【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=.两式相减得：()22222112104x y x y -+=-，()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=，即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-.故选：B【变式1-5】椭圆()222210x y a b a b +=>>离心率为3，直线20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ 中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______．【答案】43-【解析】因为椭圆()222210x y a b a b +=>>所以3c e a ==，所以2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQ y y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =-，故答案为：43-【变式1-6】已知离心率为12的椭圆()222210y x a b a b+=>>内有个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB BC AC 、、的中点分别为D E F 、、，直线AB BC AC 、、的斜率分别为123k k k ，，，且均不为0，若直线OD OE OF 、、斜率之和为1，则123111k k k ++=（）A．43-B．43C．34-D．34【答案】C【解析】由题意可得12c a =，所以2243,b a =不妨设为22143y x +=.设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，222211221,14343y x y x +=+=，两式作差得21212121()()()()34x x x x y y y y -+-+=-，则21212121()3()()4()x x y y y y x x +-=-+-，134OD AB k k =-，同理可得1313,44OF OE AC BC k k k =-=-，所以12311133()44OD OE OF k k k k k k ++=-++=-，故选：C ．题型二求圆锥曲线的方程问题【例2】过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（）A．22195x y +=B．2215x y +=C．22162x y +=D．221106x y +=【答案】A【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-，又2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--，即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+，而12121ABy y k x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯，所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.【变式2-1】已知双曲线E 的中心为原点，(30)F ，是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为(1215)N --，，求双曲线E 的方程.【答案】22145x y -=【解析】设双曲线的方程为22221x y a b-=(0a >，0b >)，由题意知3c =，229a b +=，设11()A x y ，、22()B x y ，则有：2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，两式作差得：22121222121245y y x x b b x x a y y a-+=⋅=-+，又AB 的斜率是1501123--=--，∴2254b a =，代入229a b +=得，24a =，25b =，∴双曲线标准方程是22145x y -=.【变式2-2】已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，点()5-在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为12的直线与椭圆E 交于A 、B 两点．若线段AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A．2214536x y +=B．2213627x y +=C．2212718x y +=D．221189x y +=【答案】D【解析】设双曲线方程为22221(0,0)x y m n m n-=>>，则223224251m mn =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得2245m n ⎧=⎨=⎩，故双曲线方程为22145x y -=，焦点为()3,0±；设椭圆方程为22221x y a b+=，则椭圆焦点为焦点为()3,0±，故22a b 9-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即221121b a =-⋅-，解得222a b =，故2218,9a b ==，椭圆方程为221189x y +=.故选：D.【变式2-3】斜率为1的直线交抛物线()2:20C y px p =>于A ，B 两点，且弦AB 中点的纵坐标为2.求抛物线C 的标准方程；【答案】24y x=【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，12122,42y y y y +=+=，21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，两式相减并化简得1212122y y p x x y y -=-+，21,24pp ==，所以抛物线方程为24y x =.【变式2-4】设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______.【答案】14【解析】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p-+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.题型三求圆锥曲线的离心率问题【例3】过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（）A．22B．3C．12D．13【答案】A【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，121212AB y y k x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率2c e a ==【变式3-1】已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【解析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-，又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a -⨯=-，所以2212b a =，所以ce a======2212c a=.故答案为：2.【变式3-2】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点M 为椭圆C上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．4【答案】C【解析】由已知得(,0),(,0)A a B a -，设()00,x y ，由题设可得，2200221x y a b+=，所以()222202b y a x a=-.因为()222220200022222000014A MM B b a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⋅=⋅===-=-+---，所以2214b a =，则22222222314c a b b e a a a -===-=，所以2e =.【变式3-3】已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD 的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______．【答案】2【解析】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式作差可得：2222121222x x y a b y =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=，因为()1,3M 为BD 中点，所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1，所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a=，所以C的离心率2e ==.故答案为：2【变式3-4】已知直线l :30x y -+=与双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)交于A ,B两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为()A．43B．2C．2【答案】D【解析】设()()1122,,,A x y B x y 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩A ,B 两点在直线l :30x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=-,A B 两点在双曲线C 上∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+-解得:2b a =∴c e a ===题型四弦中点的坐标问题【例4】已知直线:1l y x =+，椭圆22:13xC y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的坐标为（）A．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭B．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭C．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意知，22113y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得2230x x +=，则9810∆=-=>，32A B x x +=-，所以A 、B 两点中点的横坐标为：13()24A B x x +=-，所以中点的纵坐标为：31144-=，即线段AB 的中点的坐标为31()44-，.故选：B【变式4-1】求直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标。
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型(学生版)
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】 焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】 利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题2023·新高考1卷T 161已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ,F 2A =-23F 2B ，则C 的离心率为．2022·新高考2卷16题2已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．2022年新高考I 卷第16题3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．4(2023·全国·高考真题)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷(理)T 10--第三定义5椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.132023全国乙卷·理11·文126设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021·全国·高考真题)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为()A.13B.12C.9D.6【题型1】点差法(弦中点模型)中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)k AB ⋅k OM =e 2-1k AB ⋅k OM =-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则M x 1+x 22,y 1+y 22，k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1【思考】(1)椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；(2)在双曲线中是否有类似的性质？(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则Mx 1+x 22,y 1+y 22 ，仍有k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆x 2b 2+y 2a2=1上，代入A ，B 坐标得①:x 12b 2+y 12a 2=1②：x 22b 2+y 22a2=1两式相减得：x 12-x 22b 2+y 12-y 22a 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-a 2b 2∴k AB ⋅k OM =-a 2b2(2)∵A ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入A ，B 坐标得x 12a 2-y 12b 2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：k AB ⋅y M =p2024·江西鹰潭·一模1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60°的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆E 的离心率为()A.33B.63C.223D.2772024·湖南邵阳·二模1已知直线l :x -2y -2=0与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点.若弦AB 被直线m :x +2y =0平分，则椭圆C 的离心率为()A.12B.24C.32D.542024·宁波十校·3月适应性考试1已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，斜率为-19的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P 的坐标为-1,1 ，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D .若直线CD 的斜率为-19，则E的离心率为.2024·福建龙岩·一模1斜率为-1的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于A ,B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA ⊥TB ，点P ,Q 分别是△OAT ,△OBT 的重心，点R 是△TAB 的外心.记直线OP ,OQ ,OR 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，若k 1k 2k 3=-18，则椭圆C 的离心率为.2024·浙江温州·一模1斜率为1的直线与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于两点A ,B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC ⊥BC ，△OAC 和△OBC 的重心分别为P ,Q ，△ABC 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为k 1，k 2，k 3，若k 1k 2k 3=-8，则双曲线E 的离心率为.2024·吉林白山·一模1不与坐标轴垂直的直线l 过点N x 0,0 ，x 0≠0，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在两点A ,B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为x 1,y 1 ．若x 1=2x 0，则C 的离心率为()A.33B.12C.22D.322024·浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E :y 2=4x 上的两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 关于直线x =ky +4对称，直线AB 与x 轴交于点C x0,0 ，下列说法正确的是()A.E 的焦点坐标为1,0B.x +xC.x 1x 2是定值D.x 0∈-2,2【题型2】点差法(第三定义)第三定义k PA ⋅k PB =-1k PA ⋅k PB =e 2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a 2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a 2．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A (m ，n )，B (-m ，-n )的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a2．【证明】A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设P x1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a2=e 2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的k PA ⋅k PB =k OM ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设P x 1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2-y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2=e 2-1法二：构造中位线设P x ,y ，B (x ,y )∵P ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入双曲线方程得x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =k PB ⋅k OM =b 2a2=e 2-1同理可得，当焦点在y 轴上时，椭圆有：k PA ⋅k PB =-a 2b 2；双曲线有：k PA ⋅k PB =a 2b21已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3 C.62D.522已知双曲线C 1:x 220-y 210=1的左､右顶点分别为A ,B ，抛物线C 2:y 2=4x 与双曲线C 1交于C ,D 两点，记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1k 2为.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-2,0 ，F 22,0 ，A 为椭圆C 的左顶点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一、二象限的交点分别为M ，N ，若直线AM ，AN 的斜率之积为13，则椭圆C 的标准方程为()A.x 23+y 2=1B.x 26+y 22=1C.x 29+y 25=1D.x 28+y 24=12024·浙江绍兴·二模1已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：x 2-y 2=1a >0,b >0 上，且点A ，B 关于原点对称，∠CAB =90°.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若AN =3AM，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.232024届·河南天一大联考(六)·T 141已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，左､右顶点分别为A 1、A 2，点M 在C 上运动(与A 1、A 2枃不重合)，直线MA 2交直线x =54a 于点N ，若FN ⋅MA 1 =0恒成立，则C 的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试1已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.632024届·湖北省腾云联盟高三联考1已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题2已知A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan ∠AMB =-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=±a上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设ΔPF1F2的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。
利用二级结论秒杀椭圆双曲线(解析版)
利用二级结论秒杀椭圆双曲线【考点目录】考点一：椭圆焦点三角形的面积秒杀公式考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式考点三： 双曲线焦点到渐近线的距离为b考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).考点五：椭圆与双曲线共焦点的离心率关系秒杀公式考点六：圆锥曲线定比分焦点弦求离心率秒杀公式考点七：双曲线中定比分渐近线求离心率秒杀公式【考点分类】考点一：椭圆焦点三角形的面积为S =b 2⋅tan θ2(θ为焦距对应的张角)证明：设PF 1=m ,PF 2=nm +n =2a 1 2c 2=m 2+n 2-2mn cos θ2 S △F 1PF 2=12mn sin θ3 ，1 2-2 ：mn =2b 21+cos θ⇒S △F 1PF 2=b 2⋅sin θ1+cos θ=b 2⋅2sin θ2cos θ22cos 2θ2=b 2tanθ2．双曲线中焦点三角形的面积为S =b 2tan θ2(θ为焦距对应的张角)【精选例题】1(2021年全国高考甲卷数学(理)试题)已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且PQ =F 1F 2 ，则四边形PF 1QF 2的面积为．【答案】8【解析】因为P ,Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，所以四边形PF 1QF 2为矩形，设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ，则m +n =8,m 2+n 2=48，所以64=(m +n )2=m 2+2mn +n 2=48+2mn ，mn =8，即四边形PF 1QF 2面积等于8.故答案为：8.2设F 1，F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则△PF 1F 2的面积为()A.72B.3C.52D.2【答案】B 【解析】由已知，不妨设F 1(-2,0),F 2(2,0)，则a =1,c =2，∵|OP |=1=12|F 1F 2|，∴点P 在以F 1F 2为直径的圆上]即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形，故|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又|PF 1|-|PF 2| =2a =2，∴4=|PF 1|-|PF 2| 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|=16-2|PF 1||PF 2|，解得|PF 1||PF 2|=6，∴S △F 1F 2P =12|PF 1||PF 2|=3，故选B ．【跟踪训练】1设P 为椭圆x 225+y 29=1上一点，F 1,F 2为左右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则P 点的纵坐标为()A.334B.±334C.934D.±934【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式S =b 2tan θ2求解即可.【详解】由题知S △F 1PF 2=9×tan60°2=3 3.设P 点的纵坐标为h ，则12⋅F 1F 2 ⋅h =33⇒h =±334.故选：B2设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =()A.1B.2C.4D.8【答案】A 解法二：由题意知，双曲线的焦点三角形面积为S PF 1F 2=b 2tan θ2．∴b 2tan45°=4，则b =2，又∵e =ca=5，∴a =1．考点二：中点弦问题(点差法)秒杀公式若椭圆与直线l 交于AB 两点，M 为AB 中点，且k AB 与k OM 斜率存在时，则k AB ⋅K OM =−b 2a 2；(焦点在x 轴上时)，当焦点在y 轴上时，k AB ⋅K OM =−a 2b2若AB 过椭圆的中心，P 为椭圆上异于AB 任意一点，k PA ⋅K PB =−b 2a 2(焦点在x 轴上时)，当焦点在y轴上时，k PA ⋅K PB =−a 2b2下述证明均选择焦点在x 轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，因为AB 过原点，由对称性可知，点B (-x 1，-y 1)，所以k PA ⋅k PB=y 0−y 1x 0−x 1⋅y 0+y 1x 0+x 1=y 02−y 12x 02−x 12．又因为点P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)在椭圆上，所以有x 02a 2+y 02b 2=1(1)x 12a 2+y 12b 2=1(2)．两式相减得y 02−y 12x 02−x 12=−b 2a 2，所以k PA ⋅k PB =−b 2a2．中点弦问题证明：设A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 ，M x 0，y 0 则椭圆x 12a 2+y 12b 2=11x 22a 2+y 22b 2=12两式相减得y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2k AB ⋅k OM =y 2-y 1x 2-x 1⋅y 0x 0=y 2-y 1x 2-x 1⋅y 1+y 22x 1+x 22=y 22-y 12x 22-x 12=-b 2a2=e 2-1．双曲线中焦点在x 轴上为k OM ⋅k AB =b 2a 2，焦点在y 轴上为k OM ⋅k AB =a 2b 2，【精选例题】3已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，-1)，则G 的方程为A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1D.x 218+y 29=1【答案】D【解析】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2，y 1+y 2=-2，x 21a 2+y 21b 2=1， ① x 22a 2+y 22b 2=1， ②①-②得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0，所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b 2a2，又k AB =0+13-1=12，所以b 2a 2=12，又9=c 2=a 2-b 2，解得b 2=9，a 2=18，所以椭圆方程为x 218+y 29=1，故选D4过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的焦点且斜率不为0的直线交C 于A ，B 两点，D 为AB 中点，若k AB ⋅k OD =12，则C 的离心率为()A.6B.2C.3D.62【答案】D【分析】先设出直线AB 的方程，并与双曲线C 的方程联立，利用设而不求的方法及条件k AB ⋅k OD =12得到关于a 、c 的关系，进而求得双曲线C 的离心率【详解】不妨设过双曲线C 的焦点且斜率不为0的直线为y =k (x -c ),k ≠0，令A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)由x 2a 2-y 2b 2=1y =k (x -c )，整理得b 2-a 2k 2x 2+2a 2k 2cx -a 2k 2c 2+a 2b 2=0则x 1+x 2=2a 2k 2c a 2k 2-b 2，x 1x 2=a 2k 2c 2+a 2b 2a 2k 2-b 2，D a 2k 2c a 2k 2-b 2，kb 2ca 2k 2-b2则k OD =kb 2c a 2k 2c =b 2a 2k ，由k AB ⋅k OD =12，可得b 2a 2k ⋅k =12则有a 2=2b 2，即3a 2=2c 2，则双曲线C 的离心率e =c a =62，故选：D 5已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2．点M为C 上不在坐标轴上的任意一点，且MA 1，MA 2，MB 1，MB 2四条直线的斜率之积大于19，则C 的离心率可以是A.33B.63C.23D.73【答案】AC【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设M x 0,y 0 ，依题意可得x 20a 2+y 20b 2=1，则y 20=b 2a 2a 2-x 20 ，x 20=a 2b2b 2-y 20 ，又A 1-a ,0 ,A 2a ,0 ,B 10,b ,B 20,-b ，所以k MA 1⋅k MA 2⋅k MB 1⋅k MB 2=y 0x 0+a ⋅y 0x 0-a ⋅y 0-b x 0⋅y 0+b x 0=y 20x 20-a 2⋅y 20-b2x 20=b 2a 22>19，b 2a 2>13，从而e =1-b 2a2∈0,63 .故选：AC .【跟踪训练】3已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3C.62D.52【答案】D【分析】设出A,B坐标，根据题意得k MA⋅k MB=14，代入斜率公式，由A点在双曲线上，消元整理得到a,b的关系，进一步求得双曲线的离心率.【详解】设A x0,y0，则B-x0,-y0，因为tanαtanβ=14，即k MA⋅k MB=14，由M(a,0)，所以y0-0x0-a⋅-y0-0 -x0-a =y20x20-a2=14，因为x20a2-y20b2=1，所以y20=b2a2x20-a2，即b2a2x20-a2x20-a2=14，得b2a2=14，所以b a =12，即b=12a，又c2=a2+b2，所以c2=a2+14a2，即c2=54a2，所以e=ca=52，故双曲线的离心率为e=52．故选：D.4已知A，B，P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为()A.52B.62C.2D.213【答案】D【分析】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，然后表示出k PA⋅k PB，又由于点A，P在双曲线上，所以将其坐标代入方程中，两式相减，结合前面的式子可得k PA⋅k PB=b2a2=43，化简可求出离心率【详解】设A x1,y1，P x2,y2，根据对称性，知B-x1,-y1，所以k PA⋅k PB=y2-y1x2-x1⋅y2+y1x2+x1=y22-y21x22-x21．因为点A，P在双曲线上，所以x21a2-y21b2=1x22a2-y22b2=1，两式相减，得x22-x12a2=y22-y12b2，所以b2a2=y22-y12x22-x12所以k PA⋅k PB=b2a2=43，所以e2=a2+b2a2=73，所以e=213．故选：D5已知双曲线x24-y2b2=1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为14，则双曲线的离心率是()A.62B.2 C.32D.2【答案】A【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，利用点差法，结合直线的斜率公式可求出b2，从而可求出c，进而可求出离心率【详解】A(x1,y1),B(x2,y2)，P(m,n)，则x124-y12b2=1，x224-y22b2=1，两式相减得14(x1-x2)(x1+x2)-1b2(y1-y2)(y1+y2)=0，所以(y1-y2)(y1+y2)(x1-x2)(x1+x2)=b24，因为P是AB的中点，所以x1+x2=2m，y1+y2=2n，因为直线OP的斜率为14，所以nm=14，因为过左焦点F1作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，所以k AB=y1-y2x1-x2=2，所以y1-y2x1-x2⋅2n2m=b24，2×14=b24，得b2=2，所以c=a2+b2=4+2=6，所以离心率为e=ca=62故选：A考点三：双曲线焦点到渐近线的距离为b 【精选例题】1若双曲线x2a2-y2b2=1的焦点F2,0到其渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为()A.y=±3xB.y=±3xC.y=±13x D.y=±33x【答案】B【分析】由题可得b=3，a=1，即得.【详解】双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的焦点c,0到渐近线：y=bax，即bx-ay=0的距离为：d=bca2+b2=bcc=b=3，而c=2，从而a=1，故渐近线y=±bax即y=±3x.故选：B.2已知F是双曲线C：x2-my2=3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m【答案】A【解析】双曲线方程为x23m-y23=1，焦点F到一条渐近线的距离为b=3，故选A．【跟踪训练】1已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为()A.x 24-y 212=1B.x 212-y 24=1C.x 23-y 29=1D.x 29-y 23=1【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为F c ,0 c >0 ，则x A =x B =c ，由c 2a 2-y 2b2=1可得：y =±b 2a ，不妨设：A c ,b 2a ,B c ,-b 2a ，双曲线的一条渐近线方程为：bx -ay =0，据此可得：d 1=bc -b 2 a 2+b 2=bc -b 2c ，d 2=bc +b 2a 2+b 2=bc +b 2c ，则d 1+d 2=2bc c =2b =6，则b =3,b 2=9，双曲线的离心率：e =c a =1+b 2a2=1+9a2=2，据此可得：a 2=3，则双曲线的方程为x 23-y 29=1，故选C ．2已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x +5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为A.x 25-y 24=1B.x 24-y 25=1C.x 23-y 26=1D.x 26-y 23=1【答案】A 【解析】圆C :(x -3)2+y 2=4，c =3,而3bc=2，则b =2,a 2=5，故选A ．考点四：双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x =a (−b <y <b ,y ≠0).【精选例题】3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A ,B 两点，若H ,G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则HG 的取值范围为()A.22,4B.3,2C.2,433D.22,463【答案】D【详解】由题意，在C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 中，根据焦点到渐近线的距可得b =6，离心率为2，∴e =c a=1+b 2a 2=1+6a2=2，解得：a =2，∴c =b 2+a 2=22∴双曲线的方程为C :x 22-y 26=1.记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1，AF 2，F 1F 2上的切点分别为M ,N ,E ，则H ，E 横坐标相等AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(Q 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =c -a tan θ2+tan 90°-θ2 =c -a ⋅sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为ba=3，倾斜角为60°，∴60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，∴HG 的范围是22,463.故选：D .4(多选题)双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的左、右焦点分别F 1、F 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P ，双曲线和椭圆的离心率分别为e 1,e 2,△PF 1F 2的内切圆的圆心为I ，过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，则()A.I 到y 轴的距离为aB.点D 的轨迹是双曲线C.若OP =F 1F 2 ，则1e 21+1e 22=5 D.若S △IPF 1-S △IPF 2≥12S △IF 1F2，则1<e 1≤2【答案】ACD【详解】设圆I 与△PF 1F 2三边PF 1,PF 2,F 1F 2的切点为A ,B ,C ，F 1C =F 1A =PF 1 -PB =PF 1 -PF 2 -F 2B =2a +F 2C ，又F 1C +F 2C =2c ，故F 2C =c -a ，故OC =a ，所以I到y轴的距离为a ，故A 正确；过F 2作直线PI 的垂线，垂足为D ，延长F 2I 交PF 1于点E ，因为△PED ≅△PF 2D ，则D 为F 2E 的中点且PF 2 =PE ，于是OD =12F 1E =12PF 1 -PE =12PF 1 -PF 2 =a ，故点D 的轨迹是在以O 为圆心，半径为a 的圆上，故B 不正确；设椭圆的长半轴长为a 1，它们的半焦距为c ，并设PF 1 =m ,PF 2=n，根据椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1,m-n=2a，所以m=a1+a,n=a1-a，在△POF1中，由余弦定理得：PF12=OF12+OP2-2OF1OPcos∠POF1，即m2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF1，在△POF2中，由余弦定理得：PF22=OF22+OP2-2OF2OPcos∠POF2，即n2=c2+4c2-2×c×2c cos∠POF2，由∠POF2=π-∠POF1，两式相加，则n2+m2=10c2，又n2+m2=2a21+2a2，所以2a21 +2a2=10c2，所以a21+a2=5c2，所以a21c2+a2c2=5，即1e21+1e22=5，故C正确；S△IPF1-S△IPF2≥12S△IF1F2，即PF1-PF2≥c，所以2a≥c，即1<e1≤2，故D正确.故选：ACD.5(多选题)已知F1,F2分别为双曲线x2-y23=1的左、右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，记△AF1F2的内切圆O1的面积为S1，△BF1F2的内切圆O2的面积为S2，则()A.圆O1和圆O2外切B.圆心O1在直线AO上C.S1⋅S2=π2D.S1+S2的取值范围是2π,3π【答案】AC【详解】双曲线x2-y23=1的a=1,b=3,c=2，渐近线方程为y=3x、y=-3x，两渐近线倾斜角分别为π3和2π3，设圆O1与x轴切点为G过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点，可知直线AB的倾斜角取值范围为π3,2π3，O1、O2的的横坐标为x，则由双曲线定义AF1-AF2=2a，所以由圆的切线长定理知x-(-c)-c-x=2a，所以x=a.O1、O2的横坐标均为a，即O1O2与x轴垂直.故圆O1和圆O2均与x轴相切于G1,0，圆O1和圆O2两圆外切.选项A正确；由双曲线定义知，△AF1F2中，AF1>AF2，则AO只能是△AF1F2的中线，不能成为∠F1AF2的角平分线，则圆心O1一定不在直线AO上.选项B错误；在△O1O2F2中，∠O1F2O2=90°，O1O2⊥F2G，则由直角三角形的射影定理可知F2G2=O1G⋅O2G，即(c-a)2=r1⋅r2则r1⋅r2=1，故S1⋅S2=πr21⋅πr22=π2.选项C正确；由直线AB 的倾斜角取值范围为π3,2π3 ，可知∠AF 2F 1的取值范围为π3,2π3，则∠O 1F 2F 1的取值范围为π6,π3，故r 1=F 2G ⋅tan ∠O 1F 2F 1=tan ∠O 1F 2F 1∈33,3 ，又r 1⋅r 2=1，则S 1+S 2=πr 21+r 22 =πr 21+1r 21,r 1∈33,3 令f x =x +1x ,x ∈13,3 ，则f x 在13,1 单调递减，在1,3 单调递增.f 1 =2,f 13 =103,f 3 =103,f x =x +1x ,x ∈13,3 值域为2,103 故S 1+S 2=πr 21+1r 21,r 1∈33,3 的值域为2π,103π .选项D 错误.故选：AC .【跟踪训练】3已知双曲线方程是x 2-y 23=1，过F 2的直线与双曲线右支交于C ，D 两点(其中C 点在第一象限)，设点M 、N 分别为△CF 1F 2、△DF 1F 2的内心，则MN 的范围是.【答案】2,433【详解】 因x 2-y 23=1，故a =1，b =3，c =a 2+b 2=2，如图，过M 点分别作MA ⊥F 1F 2，MP ⊥F 2C ，MQ ⊥F 1C ，垂足分别为A ,P ,Q ，因M 为△CF 1F 2的内心，所以AF 1 -AF 2 =QF 1 -PF 2 =CF 1 -CF 2 =2a =2，故A 点也在双曲线上，即A 为双曲线的右顶点，同理NA ⊥F 1F 2，所以M ,A ,N 三点共线，设直线CD 的倾斜角为θ，因双曲线的渐近线方程为y =±3x ，倾斜角为π3，根双曲线的对称性，不妨设π3<θ≤π2，因AF 2 =c-a =2-1=1，所以MA =MA AF 1=tan ∠MF 2A =tanπ-θ2，NA =NA NF 1=tan ∠NF 2A =tan θ2,所以MN =MA +NA =tan π-θ2+tan θ2=sin π-θ2cos π-θ2+sin θ2cos θ2=cos θ2sin θ2+sin θ2cos θ2=1sin θ2cos θ2=2sin θ，因π3<θ≤π2，所以sin θ∈32,1 ，所以2sin θ∈2,433，故答案为：2,4334(多选题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 2作直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，若H 、G 分别为△AF 1F 2与△BF 1F 2的内心，则()A.C 的渐近线方程为y =±3xB.点H 与点G 均在同一条定直线上C.直线HG 不可能与l 平行D.HG 的取值范围为22,463【答案】ABD【详解】设双曲线C 半焦距为c ，双曲线C 的渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，双曲线C 的右焦点F 2c ,0 到渐近线的距离为bcb 2+a 2=b =6，由题意知e =ca=1+b 2a2=1+6a2=2，所以a 2=2，所以c =b 2+a 2=22，故双曲线C 的方程为x 22-y 26=1，故渐近线方程为y =±3x ，故A 正确；对于B 选项，记△AF 1F 2的内切圆在边AF 1、AF 2、F 1F 2上的切点分别为M 、N 、E ， 由切线长定理可得AM =AN ，F 1M =F 1E ，F 2N =F 2E ，由AF 1 -AF 2 =2a ，即AM +MF 1 -AN +NF 2 =2a ，得MF 1 -NF 2 =2a ，即F 1E -F 2E =2a ，记H 的横坐标为x 0，则E x 0,0 ，于是x 0+c -c -x 0 =2a ，得x 0=a ，同理内心G 的横坐标也为a ，故HG ⊥x 轴，即H 、G 均在直线x =a 上，故B 正确；对于C 选项，当l 与x 轴垂直时，HG ⎳l ，故C 错误；对于D 选项，设直线AB 的倾斜角为θ，则∠OF 2G =θ2，∠HF 2O =90°-θ2(O 为坐标原点)，在△HF 2G 中，HG =EG +HE =c -a tan θ2+tan 90°-θ2=c -asin θ2cos θ2+sin 90°-θ2 cos 90°-θ2 .c -a sin θ2cos θ2+cos θ2sin θ2=c -a 1sin θ2cos θ2=c -a ⋅2sin θ=22sin θ，由于直线l 与C 的右支交于两点，且C 的一条渐近线的斜率为b a =3，倾斜角为60°，结合图形可知60°<θ<120°，即32<sin θ≤1，所以，HG =22sin θ∈22,463，故D 正确.故选：ABD .考点五：已知具有公共焦点F 1,F 2的椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则有sin θe 12+cos θe 22=1.【精选例题】6已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则椭圆和双曲线离心率倒数之和的最大值为()A.43B.433C.4D.463【答案】B【分析】根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．【详解】设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1a >a 1 ，半焦距为c ，由椭圆和双曲线的定义可知，设PF 1 =m ，PF 2 =n ，F 1F 2 =2c ，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1=c a ，e 2=ca 1，因P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2=π3，则由余弦定理可得：4c 2=m 2+n 2-2mn cosπ3⋯⋯①在椭圆中，由定义知m +n =2a ，①式化简为：4c 2=4a 2-3mn ⋯⋯②在双曲线中，由定义知m -n =2a 1，①式化简为：4c 2=4a 21+mn ⋯⋯③由②③两式消去mn 得：16c 2=4a 2+12a 21，等式两边同除c 2得4=a 2c 2+3a 21c2，即4=1e 21+3e 22，由柯西不等式得1e 21+3e 221+13 ≥1e 1+3e 2⋅132，∴1e 1+1e 2≤433.故选：B7已知椭圆C 1:x 2a 21+y 2b 21=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2:x 2a 22-y 2b 22=1(a 2>0，b 2>0)有公共焦点F 1(左焦点)，F 2(右焦点)，且两条曲线在第一象限的交点为P ，若△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，C 1，C 2的离心率分别为e 1和e 2，且e 2=2，则()A.a 21-b 21=a 22+b 22B.1e 1+1e 2=2 C.e 1=25D.cos ∠F 1PF 2=34【答案】ACD【分析】A 由已知共焦点及椭圆、双曲线参数的关系判断；B 、C 由椭圆、双曲线的定义可得|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，而|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，即可判定；D 记∠F 1PF 2=θ，应用余弦定理可得cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21，由已知及B 、C 分析，即可判断.【详解】设C 1，C 2的焦距为2c ，由C 1，C 2共焦点知：a 21-b 21=a 22+b 22=c 2，故A 正确；△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形知|PF 2|=|F 1F 2|=2c ，由P 在第一象限知：|PF 1|=2a 1-|PF 2|=2a 2+|PF 2|，即2a 1-2c =2a 2+2c ，即a 1-a 2=2c ，即1e 1-1e 2=2，故B 错；由e 2=2且1e 1-1e 2=2，易得e 1=25，故C 正确；在△PF 1F 2中，记∠F 1PF 2=θ，根据定义PF 1+PF 2=2a 1PF 1-PF 2=2a 2⇒PF 1=a 1+a 2PF 2=a 1-a 2 ．由余弦定理有(2c )2=(a 1+a 2)2+(a 1-a 2)2-2(a 1+a 2)(a 1-a 2)cos θ．整理得2c 2=a 21+a 22-(a 21-a 22)cos θ，两边同时除以c 2，可得2=1e 21+1e 22-1e 21-1e 22cos θ，故cos θ=e 21+e 22-2e 21e 22e 22-e 21．将e 1=25,e 2=2代入，得cos θ=34．故D 正确故选：ACD ．【跟踪训练】5已知F 是椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点，A 为椭圆C 1的下顶点，双曲线C 2：x 2m 2-y 2n 2=1(m >0，n >0)与椭圆C 1共焦点，若直线AF 与双曲线C 2的一条渐近线平行，C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1+2e 2的最小值为．【答案】22【分析】根据直线AF 与C 2的一条渐近线平行，得到b c =nm，再结合双曲线与椭圆共焦点得到e 1e 2=1，再利用基本不等式求解.【详解】解：设C 1的半焦距为c (c >0)，则F c ,0 ，又A 0,-b ，所以k AF =b c，又直线AF 与C 2的一条渐近线平行，所以b c =n m ，所以b 2c 2=n 2m 2，所以a 2-c 2c 2=c 2-m 2m 2，所以a 2c 2=c 2m 2，所以e 1e 2=1，又1e 1+2e 2=e 2+2e 1e 1e 2=e 2+2e 1≥22e 1e 2=22，当且仅当e 2=2e 1，即e 1=22，e 2=2时等号成立，即1e 1+1e 2的最小值为22．故答案为：22考点六：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A ,B 两点，若AF =λFB(λ>0)，则e =1+k 2λ-1λ+1，即e cos θ =λ-1λ+1．【精选例题】8已知椭圆C :x 24+y 23=1过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF=2FB ，则直线l 的斜率k 的值为．【答案】±52【详解】由题，点A 位于x 轴上方且AF =2FB，则直线l 的斜率存在且不为0，F 1,0 ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则可得-y 1=2y 2，设直线l 方程为x =ty +1，联立直线与椭圆x 24+y 23=1x =ty +1可得3t 2+4 y 2+6ty -9=0，∴y 1+y 2=-6t3t 2+4y 1y 2=-93t 2+4，∴y 2=6t 3t 2+4,-2y 22=-93t 2+4，∴-26t 3t 2+42=-93t 2+4，解得t =±255，则直线的斜率为±52.故答案为：±52.9已知F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l 经过点F 且与双曲线相交于A ,B 两点，记该双曲线的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若AF =2FB，则()A.8e 2-k 2=1B.e 2-8k 2=1C.9e 2-k 2=1D.k 2-9e 2=1【答案】C【详解】由题意，设直线l 的方程为x =my +c ，联立方程组x =my +cx 2a2+y 2b 2=1，整理得(b 2m 2-a 2)y 2+2b 2mcy +b 4=0，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，可得y 1+y 2=-2b 2mc b 2m 2-a 2,y 1y 2=b 4b 2m 2-a 2，因为AF =2FB ，即(c -x 1,-y 1)=2(x 2-c ,y 2)，可得-y 1=2y 2，代入上式，可得y 2=2b 2mcb 2m 2-a 2-2y 22=b 4b 2m 2-a2，可得-22b 2mcb 2m 2-a22=b 4b 2m 2-a2，整理得-8m 2c 2=b 2m 2-a 2，即(8c 2+b 2)m 2-a 2=0，又由c 2=a 2+b 2，可得(9c 2-a 2)m 2-a 2=0，即(9e 2-1)m 2-1=0，所以(9e 2-1)⋅1k2-1=0，可得9e 2-1-k 2=0，即9e 2-k 2=1.故选：C .10已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左，右焦点，过点F 1倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A ，B .若AF 2 =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】A【详解】设AF 1 =t ，则AF 2 =t +2a =BF 2 ，从而BF 1 =t +4a ，进而BA =4a .过F 2作F 2H ⊥AB =H ，则AH =2a .如图：在Rt △F 1F 2H 中，F 2H =2c sin30°=c ，F 1H =2c cos θ=3c =AF 2 ；在Rt △AF 2H 中，3c 2-c 2=2a2，即2c 2=4a 2，所以e = 2.故选：A 【跟踪训练】6斜率为12的直线l 过椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的焦点F ，交椭圆于A ,B 两点，若AF =23AB ，则该椭圆的离心率为．【答案】53【详解】设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由AF =23AB 得：AF =2FB ，∴x 1=-2x 2，即x1x 2=-2；不妨令F 0,c ，则直线l :y =12x +c ，由y =12x +c y 2a 2+x 2b2=1得：b 2+4a 2 x 2+4b 2cx -4b 4=0，∴x 1+x 2=-4b 2cb 2+4a 2x 1x 2=-4b 4b 2+4a2，∴x 1+x 22x 1x 2=x1x 2+x 2x 1+2=-16b 4c 2b 2+4a 2 24b 4b 2+4a 2=-4c 2b 2+4a2=-12，即8c 2=b 2+4a 2=a 2-c 2+4a 2=5a 2-c 2，∴9c 2=5a 2，∴e =c 2a 2=59=53；由椭圆对称性可知：当F 0,-c 时，e =53；∴椭圆的离心率为53.故答案为：53.7已知双曲线x 2a 2-y2b 2=1a ,b >0 的左､右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且倾斜角为π6的直线l 与双曲线的左､右支分别交于点A ，B ，且AF 2 =BF 2 ，则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.22D.23【答案】A【详解】解：过F 2作F 2N ⊥AB 于点N ，设AF 2 =BF 2 =m ，因为直线l 的倾斜角为π6，所以在直角三角形F 1F 2N 中，NF 2 =c ，NF 1 =3c ，由双曲线的定义可得BF 1 -BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a +m ，同理可得AF 1 =m -2a ，所以AB =BF 1 -AF 1 =4a ，即AN =2a ，所以AF 1 =3c -2a ，因此m =3c ，在直角三角形ANF 2中，AF 2 2=NF 2 2+AN 2，所以3c 2=4a 2+c 2，所以c =2a ，则e =ca= 2.故选：A .考点七：已知双曲线方程为x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，过点F 且与渐近线y =ba x 垂直的直线分别交两条渐近线于P ,Q 两点.情形1.如图1.若FP =λFQ λ>0,λ≠1 ,则e 2=2λλ−1(*)图1图2如图2.若QF =λFP(0<λ<1)，则e 2=2λ+1【精选例题】11过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点做一条渐近线的垂线，垂足为A ，与双曲线的另一条渐近线交于点B ，若FB =2FA，则此双曲线的离心率为【答案】满足情形1，即λ=2，故e 2=2λλ−1，则e =212已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1，(a >0,b >0)过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若AF BF =12，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.5【答案】A【详解】解：由题意知：双曲线的右焦点F c ,0 ，渐近线方程为y =±b a x ，即bx ±ay =0，如下图所示:由点到直线距离公式可知：FA =bcb 2+a2=b ，又∵c 2=a 2+b 2，∴OA =a ，∵AF BF=12，即BF =2b ，设∠AOF =α，由双曲线对称性可知∠AOB =2α，而tan α=b a ，tan2α=AB OA=3ba ，由正切二倍角公式可知：tan2α=2tan α1-tan 2α=2×b a 1-b a2=2ab a 2-b 2，即3b a =2ab a 2-b 2，化简可得：a 2=3b 2，即b 2a2=13，由双曲线离心率公式可知：e =ca =1+b 2a2=1+13=233.故选：A .【跟踪训练】8已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别为直线l 1，l 2，经过右焦点F 且垂直于l 1的直线l 分别交l 1，l 2于A ,B 两点，且FB =2AF，则该双曲线的离心率为()A.233B.3C.43D.433【答案】满足情形2，即λ=2，e 2=2λ+1⇒e =233.9F 1,F 2是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，过F 1且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ,B 两点，若AB =2BF 1，则双曲线的离心率为A.52B.5C.103D.10【答案】B【详解】设直线方程为y =x +c ，与渐近线方程y =±b a x 联立方程组解得y B =bc a +b ,y A =bc b -a,因为AB =2BF 1 ，所以y B -y A =2(0-y B )y A =3y B ∴3bc a +b =bc b -a,∴b =2a ,∴c =5a ,e =5，选B .1已知点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若PF 1 ⋅PF 2 =3，且△PF 1F 2的面积为2，则b 2=()A.2B.3C.4D.5【答案】C【分析】画出图形，结合解三角形知识、数量积的定义、椭圆的定义以及平方关系即可求解.【详解】PF 1 +PF 2=2a 如图所示：设∠F 1PF 2=θ，由题意PF 1 ⋅PF 2 =PF 1 ⋅PF 2 cos θ=3，S △PF 1F 2=12PF 1⋅PF 2 sin θ=2，两式相比得tan θ=sin θcos θ=43，又θ∈0,π ，且cos 2θ+sin 2θ=1，所以cos θ=35,sin θ=45,PF 1⋅PF 2 =5，而由余弦定理有2c 2=F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2cos θ=PF 1 2+PF 2 2-6，即2c 2+6=PF 1 2+PF 2 2，且由椭圆定义有2a 2=PF 1 +PF 2 2=PF 1 2+PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2=2c 2+6+10，所以4b 2=4a 2-4c 2=16，解得b 2=4.故选：C .2椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327【答案】A【分析】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，利用点差法可推出y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，结合题意推出y 0x 0=22，y 1-y 2x 1-x 2=-1，代入y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-mn化简，即可得答案.【详解】设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，则mx 21+ny 21=1,mx 22+ny 22=1，两式相减得m (x 21-x 22)+n (y 21-y 22)=0，由已知椭圆mx 2+ny 2=1与直线y =1-x 交于M ，N 两点，可知x 1≠x 2，故y 21-y 22x 21-x 22=-m n ，即y 1+y 2x 1+x 2⋅y 1-y 2x 1-x 2=-m n ，设线段MN 中点为(x 0,y 0)，则x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0，而y 1-y 2x 1-x 2=k MN =-1，连接原点与线段MN 中点所得直线的斜率为22，即y 0x 0=22，故22⋅(-1)=-m n ，即m n =22，故选：A3已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的离心率为2，焦点到渐近线距离为3，则双曲线C 实轴长()A.3B.3C.23D.6【答案】D【解析】由双曲线的性质可得双曲线渐近线方程，由点到直线的距离公式可得b =3，再结合离心率即可得解.【详解】由题意，双曲线的一个渐近线为y =-ba x 即bx +ay =0，设双曲线的的右焦点为F c ,0 ,c >0，则c 2=a 2+b 2，所以焦点到渐近线的距离d =bca 2+b 2=bcc=b =3，又离心率e =ca=2，所以a =3，所以双曲线C 实轴长2a =6.故选：D .4(多选题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，离心率为12，且经过点3,32,P 在椭圆上，则()A.PF 1 的最大值为3B.△PF 2F 1的周长为4C.若∠F 2PF 1=60°，则△PF 2F 1的面积为3D.若PF 1 PF 2 =4，则∠F 2PF 1=60°【答案】ACD【分析】先求出椭圆方程，然后根据椭圆的几何性质逐项判断即可.【详解】由题意，椭圆离心率为12，则a :b :c =2:3:1⇒a =23b ，则x 2a 2+y 2b 2=1⇒3x 24b 2+y 2b 2=1，代入3,32 ，得b 2=3⇒a 2=4，所以C :x 24+y 23=1，对A ，由题意PF 1 max =a +c =3，故A 正确；对B ,△PF 2F 1的周长为2a +2c =6，故B 错误；对C ，若∠F 2PF 1=60°，则由余弦定理得：F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°=PF 1 +PF 2 2-3PF 1 ⋅PF 2 .即(2c )2=(2a )2-3PF 1 ⋅PF 2 ，故PF 1 ⋅PF 2 =4，故S △PF 2F 1=12PF 1 ⋅PF 2 sin60°=3，故C 正确；对D ，由余弦定理F 2F 12=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 cos ∠F 2PF 1=PF 1 +PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅1+cos ∠F 2PF 1 ，即4=16-2×41+cos ∠F 2PF 1 ，解得cos ∠F 2PF 1=12，故∠F 2PF 1=60°，故D 正确，故选:ACD5(多选题)设椭圆的方程为x 22+y 24=1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，下列结论不正确的是()A.直线AB 与OM 垂直B.若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x +y -3=0C.若直线方程为y =x +1，则点M 坐标为13,43D.若直线方程为y =2x +2，则|AB |=432【答案】AC【分析】根据椭圆中点弦的性质k AB ∙k OM =-42=-2，可以判断ABC ，对于D ,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得|AB |，从而判断正误．【详解】对于A ：设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则x 222+y 224=1x 212+y 214=1，相减可得x 21-x 222+y 21-y 224=0，所以y 1-y 2x 1-x 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-42=-2≠-1，故A 错误；对于B ：根据k AB ∙k OM =-2，k OM =1，所以k AB =-2，所以直线方程为y -1=-2(x -1)，即2x +y -3=0，故B 正确；对于C ：若直线方程为y =x +1，点M 13,43，则k AB ∙k OM =1×4=4≠-2，所以C 错误；对于D ：若直线方程为y =2x +2，与椭圆方程x 22+y 24=1联立，得到2x 2+(2x +2)2-4=0，整理得：3x 2+4x =0，解得x 1=0,x 2=-43，所以|AB |=1+12∙-43-0 =423，故D 正确；故选：AC ．6(多选题)设A ，B 是双曲线x 2-y 24=1上的两点，下列四个点中可以为线段AB 中点的是()A.0,2B.-1,2C.1,1D.1,4【分析】A选项由双曲线的对称性可直接判断，B、C、D选项，首先根据点差法分析可得k AB⋅k=4，结合双曲线的渐近线斜率可判断B，C、D可通过联立直线方程与双曲线方程，利用判别式即可判断.【详解】对于选项A：因为双曲线关于y轴对称，所以当直线AB的方程为y=2时，线段AB的中点为(0,2)，故A正确；当直线AB的斜率存在且不为0时，设A x1,y1,B x2,y2，则AB的中点Mx1+x22,y1+y22，可得k AB=y1-y2x1-x2,k=y1+y22x1+x22=y1+y2x1+x2，因为A,B在双曲线上，则x21-y214=1x22-y224=1，两式相减得x21-x22-y21-y224=0，所以k AB⋅k=y21-y22x21-x22=4.对于选项B：可得k=-2,k AB=-2，则AB:y-2=2(x+1)，即y=2x+4，双曲线的渐近线方程为y=±2x，由于y=2x+4与其中一条渐近线平行，故不可能有两个交点，故B 错误；对于选项C：可得k=1,k AB=4，则AB:y-1=4(x-1)，即y=4x-3，联立方程y=4x-3x2-y24=1，消去y得12x2-24x+13=0，此时Δ=242-4×12×13=-48<0，故直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：k=4,k AB=1，则AB:y-4=x-1，即y=x+3，联立方程y=x+3x2-y24=1，消去y得3x2-6x-13=0，此时Δ=-62+4×3×13>0，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：AD.7(多选题)若P是椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2:x2m2-y2n2=1m>0,n>0在第一象限的交点，且C1，C2共焦点F1，F2，∠F1PF2=θ，C1，C2的离心率分别为e1，e2，则下列结论中正确的是()A.PF1=m+a，PF2=m-a B.cosθ=b2-n2 b2+n2C.若θ=120°，则3e21+1e22=4 D.若θ=90°，则e21+e22的最小值为2【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线定义计算判断A ；由余弦定理计算判断B ；再结合B ，基本不等式等讨论CD 选项即可.【详解】解：依题意，PF 1+ PF 2 =2aPF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ,PF 2 =a -m ，A 不正确；令|F 1F 2|=2c ，由余弦定理得：cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=(a +m )2+(a -m )2-4c 22(a +m )(a -m )=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2，因为在椭圆C 1中a 2-c 2=b 2，在双曲线C 2中，m 2-c 2=-n 2，所以cos θ=a 2+m 2-2c 2a 2-m 2=b 2-n 2b 2+n 2，故B 选项正确；当θ=120°时，cos θ=b 2-n 2b 2+n 2=-12，即3b 2=n 2，所以3a 2+m 2=4c 2，即3a c2+m c2=4，所以，3e 21+1e 22=4，故C 选项正确；当θ=90°时，b 2=n 2，即a 2+m 2=2c 2，所以，a c2+m c 2=2，有1e 21+1e 22=2，因为0<e 21<1<e 22，所以，e 21+e 22=2e 21e 22<2e 21+e 2222，解得e 21+e 22>2，D 不正确；故选：BC8(多选题)如图，P 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1(m >0,n >0)在第一象限的交点，且C 1,C 2共焦点F 1,F 2,∠F 1PF 2=θ,C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2，则下列结论正确的是()A.PF 1 =a +m ,PF 2 =a -mB.若θ=60°，则1e 21+3e 22=4C.若θ=90°，则e 21+e 22的最小值为2D.tanθ2=nb【答案】ABD【分析】根据给定条件结合椭圆、双曲线定义计算判断A ；借助余弦定理、离心率公式、均值不等式计算判断B ，C ，D 作答.【详解】由椭圆和双曲线的定义得：PF 1 +PF 2 =2aPF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a +m ，PF 2 =a -m ，A 正确；在△F 1PF 2中，由余弦定理得：a -m 2+a +m 2-2a -m a +m cos θ=2c 2，整理得a 21-cos θ +m 21+cos θ =2c 2，a 21-cos θ c 2+m 21+cos θ c 2=2，即1-cos θe 21+1+cos θe 22=2，当θ=60°时，12e 21+32e 22=2，即1e 21+3e 22=4，B 正确；当θ=90°时，1e 21+1e 22=2，e 21+e 22=121e 21+1e 22(e 21+e 22)=1+12e 22e 21+e 21e 22≥1+e 22e 21⋅e 21e 22=2，当且仅当e 1=e 2=1时取“=”，而0<e 1<1,e 2>1，C 不正确；在椭圆中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4a 2-4c 2-2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2b 21+cos θ，在双曲线中，2|PF 1||PF 2|cos θ=|PF 1|2+|PF 2|2-|F 1F 2|2=4m 2-4c 2+2|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=2n 21-cos θ，于是得2n 21-cos θ=2b 21+cos θ⇔n 2b 2=1-cos θ1+cos θ=2sin 2θ22cos 2θ2=tan 2θ2，而0<θ2<π2，则tan θ2=n b ，D 正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、双曲线定义，得到a ，c 的关系.9己知椭圆C :x 2m 2+y 26=1的焦点分别为F 10,2 ，F 20,-2 ，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点P 12,12为线段MN 的中点，则直线l 的方程为．【答案】3x +y -2=0【分析】先由题意求出m 2，再由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可求解.【详解】根据题意，因为焦点在y 轴上，所以6-m 2=4，则m 2=2，即椭圆C :x 22+y 26=1，所以P 点为椭圆内一点，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，则x 212+y 216=1，x 222+y 226=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 22=-y 1+y 2 y 1-y 26，变形得y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2，因为点P 12,12 为线段MN 的中点，所以x 1+x 2y 1+y 2=x 1+x 22y 1+y 22=x P y P=1212=1，所以直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=-3×x 1+x2y 1+y 2=-3×1=-3，所以直线l 的方程为y -12=-3x -12，即3x +y -2=0.故答案为：3x +y -2=0.10已知点A ,B ,C 是离心率为2的双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 上的三点, 直线AB ,AC ,BC 的斜率分别是k 1,k 2,k 3,点D ,E ,F 分别是线段AB ,AC ,BC 的中点,O 为坐标原点，直线OD ,OE ,OF 的斜率分别是k '1,k '2,k '3.若1k '1+1k '2+1k '3=3,则k 1+k 2+k 3=【答案】3【分析】本题考查点差法，根据点差法的内容，设点，作差，计算得出y 0y 1-y 2 x 0x 1-x 2 =b 2a 2,结合离心率为2，求得k 1k '1=1.同理求得k 2k '2=1,k 3k '3=1.代入问题计算即可.【详解】因为双曲线Γ的离心率为2, 所以ba=1.不妨设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,D x 0,y 0 ,因为点A ,B 在Γ上，所以x 21a 2-y 21b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式相减,得x 1+x 2 x 1-x 2a 2=y 1+y 2 y 1-y 2b 2,因为点D 是AB 的中点，所以x 1+x 2=2x 0, y 1+y 2=2y 0,。
椭圆、双曲线基本知识一览表
椭圆双曲线图形定义 {}c F F a PFPF P 222121=>=+{}c F F a PFPF P 222121=<=-方 程 12222=+b y a x 12222=+b x a y 12222=-b y a x 12222=-bx a y 焦点 )0,(c F ±),0(c F ±)0,(c F ± ),0(c F ±范围 b y a x ≤≤,a yb x ≤≤,a x ≥a y ≥焦半径PP ex a PF ex a PF -=+=21PP ey a PF ey a PF -=+=21不作要求c b a ,,的关系a 最大且222c b a+= c 最大且222b a c+=焦点位置 的判断 22,y x 哪个分母大，焦点就在相应轴上；且大的分母为2a22,y x 哪个系数为正，焦点就在相应轴上；且正的分母为2a统一 方程122=+ny m x 当且仅当n m n m ≠>>,0,0时，才表示椭圆122=+ny m x 当且仅当0<mn 时，才表示双曲线 焦点三角 形面积θθsin 212tan21221PF PF b S PF F ==∆ )21(212121P P x F F y F F ==或 θθsin 212tan121221PF PF b S PF F ==∆)21(212121P P x F F y F F ==或 焦点三角形方法椭圆定义+余弦定理+整体思想双曲线定义+余弦定理+整体思想顶点坐标 ()0,a A ±，()b B ±,0()a A ±,0，()0,b B ±()0,a A ±()a A ±,0张角21PF F ∠ 最大张角为21BF F ∠ 不考虑焦半径范围 c a PF c a +≤≤-1（到右焦点同理）a c PF a c PF -≥+≥21,（总之a c PF -≥）长（实）轴 短（虚）轴 长轴：a A A 221= 短轴：b B B 221=实轴：a A A 221= 虚轴：b B B 221=离心率 )10(122<<-==e ab ac e)1(122>+==e ab ac e渐近线 无x ab y ±= x ba y ±=中点弦定理：M 为弦AB 的中点设曲线为122=+n y m x ，M 为弦AB 的中点mnk k AB OM -=•。
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单选题
1. 已知椭圆的左焦点
，右顶点，上顶点，
，则椭圆的离心率是（ ）。
2. 已知椭圆与双曲线
有相同的焦点，则椭圆
的离心率的取值范围为（
）。
3. 椭圆：
的右焦点为，直线
与椭圆交于、两点，若
周长的最大值是
，则的值等于（ ）。
4. 已知椭圆
（
）上一点关于原点的对称点为点，为右焦点，若，设
，且
，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）。
5. 已知是椭圆
（
）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，
轴。
若
，则该椭圆的离心率是（ ）。
6. 已知双曲线（，
）与抛物线
有一个共同的焦点，两曲线的一个交点为，
若，则点到双曲线的渐近线的距离为（ ）。
7. 设
、
是椭圆：
的左、右焦点，为直线
上一点，
是底角为
的等腰三角
形，则的离心率为（ ）。
8. 设
，
分别是椭圆：
的左，右焦点，点在椭圆上，线段
的中点在轴
上，若，则椭圆的离心率为（ ）。
计算题
9. （本小题满分12分）
A.
B. C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B. C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
已知椭圆：（）的离心率为，点在上。
（1）求的方程；
（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值。
10. 如图，焦点为的抛物线（）上两个不同的点，，且线段中点的横坐标为。
（1）求的值；
（2）若，直线与轴交点，求点的横坐标的取值范围。