1998年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析

其关于 x 的边缘概率密度为
∫ ∫ fX ( x) =
+∞ −∞
fX
( x) dy
=
⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩
1 x
1
dy
02
0,
=
1 ,1 ≤ x ≤ e2 2x
其他
故
fX
(2)=
1 4
.
二、选择题
∫ ( ) （1）设 f ( x) 连续，则 d
x
tf
x2 − t2 dt 等于
dx 0
( ) （A） xf x2
【详解】 设 Ax = λ x ( x ≠ 0), 则
A−1x = 1 x ⇒ A A−1x = A x,( x ≠ 0)
λ
λ
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即
A*x = A x, 从而 λ
( )A*
2
x
=
⎛ ⎜
⎝
A λ
⎞2 ⎟ x, ⎠
( ) ⎡
x→0
4x
0
⎯0⎯→ lim 2
−1 − 1− x 2
1 1+ x
= − 1.
x→0
4
4
注： 1− x2 → 1( x → 0) 可求出
【详解 3】 采用 (1+ u )λ 的马克劳林展开式，此时余项用皮亚诺余项较简单.当 u → 0 时
( ) (1+ u)λ = 1+ λu + λ (λ −1) u2 + o u2 , 2!
x
处的增量 + y
=
y+x 1+ x2
+ α , 且当 +x
→
0 时，α
是+x
的高
阶无穷小， y (0) = π ，则 y (1) 等于
（A） 2π .
（B）π .
π
（C） e 4 .
【答】 应选（D）.
【详解】
由+y
=
y+x 1+ x2
+ α , ，有
令 +x → 0 ，得
y'
=
y 1+ x2
，
+y +x
S1, S2 必相交，即两直线肯定相交.
( ) （5）设 A、B 是两个随机事件，且 0 < P ( A) < 1, P ( B) > 0, P ( B | A) = P B | A ,则必有
( ) （A） P ( A | B) = P A | B
( ) (B) P ( A | B) ≠ P A | B
S1 = {a1 − a2 , b1 − b2 , c1 − c2} S2 = {a2 − a3, a2 − a3, c2 − c3}
线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合.又 (a1, b1, c1 ) 、(a3, b3, c3 ) 分别为两直线上的点，
其连线向量为: S1 = {a3 − a1, b3 − b1, c3 − c1} ,满足 S3 = S1 + S2 .可见三向量 S1, S2 , S3 共面，因此
所以 x → 0 时
( ) 1+
x
=1+
1 2
x
+
⎛ ⎜⎝
−
1 8
⎞ ⎟⎠
x2
+
o
x2
,
( ) 1−
x
=1−
1 2
x
+
⎛ ⎜⎝
−
1 8
⎞ ⎟⎠
x2
+o
x2
,
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于是
( ) 1+ 1 x − 1 x2 +1− 1 x − 1 x2 + o x2 − 2
( ) ( ) 【详解】 令 P ( x, y) = 2xy
x4 + y2
λ ,Q ( x, y) = −x2
x4 + y2
λ
,
由题设，有
∂Q = ∂P ∂x ∂y
即
( ) 4x x4 + y2 λ (λ +1) = 0.
可见，当且仅当 λ = −1 时，所给向量场时梯度场，在 x > 0 在半平面内任取一点，比如点 (1, 0)
( ) (B) −xf x2
( ) （C）2xf x2
【答】 应选（A）.
【详解】 作变量代换 u = x2 − t 2 ，则
( ) （D）−2xf x2
【】
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∫ ( ) ∫ ∫ d
dx
x
tf
0
x2 − t2 dt = d dx
作为积分路径的起点，则根据积分与路径无关，有
∫ ∫ u ( x, y) =
x 2x ⋅ 0 dx − 1 x4 + 0
y x2 + C 0 x4 + y2
= − arctan y + C. x2
其中 C 为任意常数.
五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y （从海平面算 起）与下沉速度 v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在 下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为 m, 体积为 B, 海水比重为 ρ, 仪器所受
x2
+
z2
=
( 2 y )2
+
⎡⎢⎣−
1 2
(
y
−
1)
⎤ ⎥⎦
2
即
4x2 −17 y2 + 4z2 + 2 y −1 = 0.
【详解 2】
用平面束方法，直线 l : x −1 = y = z −1 的方程可写为 1 1 −1
于是过 l 的平面方程可写成
x − y −1+ λ ( y + z −1) = 0,
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的法向量 n = {1, −1, 2} ，可用向量积求得
ijk n1 = s × n 1 1 −1 = i − 3 j − 2k.
1 −1 2
又 (1, 0,1) 为直线 l 上的点，所以该点也在平面π1 上，由点法式得π1 的方程为
l
l
l
v∫ 其中第一个积分，由于 l 关于 x 轴对称，而 xy 关于 y 为奇函数，于是 xyds ＝0.
l
（4）设 A 是 n 阶矩阵， A ≠ 0, A* 为 A 的伴随矩阵， E 为 n 阶单位矩阵.若 A 有特征值 λ, 则
( )A*
2
+ E 必有特征值
.
⎛ A ⎞2
【答】
⎜ ⎝
λ
⎟ ⎠
+1.
⎢⎣
A*
2
+
E
⎤ ⎥⎦
x
=
⎡⎢⎛⎜ ⎢⎣⎝
A ⎞2 ⎤
λ
⎟ ⎠
+1⎥ x, x ≠ 0, ⎥⎦
( ) 可见
A* 2 + E 必有特征值
⎛ A ⎞2
⎜ ⎝
λ
⎟ ⎠
+1
（5）设平面区域 D 由曲线 y = 1 及直线 y = 0, x = 1, x = e2 所围成，二维随机变量 ( X ,Y ) 在
x
v∫ ( ) （3）设 l 为椭圆 x2 + y2 = 1, 其周长记为 a, 则 2xy + 3x2 + 4 y2 ds =
43
l
.
【答】 12a.
【详解】 以 l 为方程 x2 + y2 = 1, 即 3x2 + 4 y2 = 12 代入，得 43
v∫ (2xy + 3x2 + 4 y2 )ds = v∫ (2xy +12)ds = 2v∫ xyds +12a = 12a,
可见 P ( AB) = P ( A) P ( B)
故选（C）.
【】
三、求直线 l
:
x −1 1
=
y 1
=
z −1 在平面π −1
:
x−
y+
2z
−1 =
0 上投影直线 l0 的方程，并求 l0 绕
y
轴旋转一周所成曲面的方程.
【详解 1】
过直线 l 作一垂直于π 的平面π1 ，其法向量既垂直于 l 的方向向量 s = {1,1, −1} ，又垂直于π
( ) 2 1− x2 −1
= lim
x→0
4x2
− 1 x2 = lim 2
=
−1.
x→0 2x2
4
【详解 2】 采用洛必达法则，
因 1− x2 −1 ~ − 1 x2 2
0
原式 ⎯0⎯→ lim 2
1−1 1+ x 2 1− x = lim
1− x −
1+ x
x→0
2x
x→0 4x 1− x2
= lim 1− x − 1+ x
区域 D 上服从均匀分布，则 ( X ,Y ) 关于 X 的边缘概率密度在 x = 2 处的值为 .
【答】
1
.
4
【详解】 区域 D 的面积为
∫ ∫ ∫ SD =
e2
dx
1
x dy =
e2 1dx = 2.
1
1
1x
于是 ( X ,Y ) 的联合概率密度为
f
(
x,
y
)
=
⎪⎧ ⎨