第15章 刚体的平面运动
刚体的自由度和平面平行运动
J
C
2
刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动
动能之和。
刚体的平面平行运动
例题4-9 讨论一匀
y
N
质实心的圆柱体在斜
O
x
面上的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径
为r，那么，它对其几何的转动惯量
JC
1 mR2 2
aC
F
联立以上四式，解得
刚体的平面平行运动
aC
2F(R l) 3mR
f R 2l F 3R
由此可见
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
刚体的平面平行运动
aC
2F(R l) 3mR
f R 2l F 3R
J 1 mr 2 2
刚体的平面平行运动
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和 斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
maCx mg sin fr
maCy N mg cos J frr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转
车轮上任意一点的速度
v vC r
G点的速度
vG vC r 0
B点的速度
vB vC R 2vC
A点的速度
vA vC2 (R)2
RA
A
2vC
B
RB
RB
RA RG vC
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线，交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB， 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向，则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为，则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC，故
aB ac ，瞬时平动与平动不同。
４. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法，称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动， 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为 vA AP ， 方向 AP，指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零，不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时，虽然各点速度相同，但各点加速度 不一定相同，不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在Ｂ点做 速度平行四边形，如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l （
）
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中：aBA AB ，方向 AB，指向与 一致； aBA n AB 2，方向沿AB，指向A点。
理论力学刚体的平面运动
B
A O vo C P
B ω
A O vo C vPO Pvo
解（1）∵轮子纯滚动 取O为基点
∴vP=0
vP vO vPO
∵ vP 0
vO vPO 0
vPO vO
由 vPO vO
且 vPO R
vO
R
B vAO vA ω
A voO vo C P
B vA
AO
C
P
（2）A点速度，取O为基点
于零？如果存在的话，该点如何确定？
２．速度瞬心的概念 一般情况，在每一瞬时，平面图形 上都唯一地存在一个速度为零的点，该 点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中
B
vB
vA
A O vo C vC
P
心，简称速度瞬心．
证明： vP vA vPA 取 AP vA /
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向. 所以
三、平面运动的分解• 刚体的平面运动方程
确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任意 一条线段的位置．
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示．因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量，它们都是 时间的函数．
平面图形的运动方程
xA f1(t) yA f2 (t)
vA vO vAO vAO R vO
( vO )
R
vA vO2 vAO2
vO 2 vO 2
2vO 或取P为基点: vA vP vAP
vA vAP AP 2R 2vO
（3）B点速度，取O为基点
B vBO vo
vB
ω
A O vo C
P
vB vO vBO
刚体的平面运动
• 当f=0°时,vA与vBA 均垂直于OB连 • 线，vA与vBA也垂直于vB，按速度平行四 • 边形合成法则，应有 • vB＝0。
•当f=90°时，vA与vB方向一致， •vBA垂直于AB，其速度平行四边形应为一直线， •显然有 vB＝vA＝rw •而 vBA＝0。 •则此时杆AB的角速度wAB为零，
•
例1 曲柄连杆机构如图所示，OA=r，AB=1.73r。 如曲柄OA以匀角速度w转动，求当f=60°、0°和 90°时点B的速度。 • 解：连杆AB作平面运动，以点A为基点，点B的 速度为 • vB＝vA＋vBA
• 点B的速度为 vB＝vA＋vBA • 其中 vA＝rw， 方向与OA垂直， • vB 沿OB方向， vBA与AB垂直。 • 可以作出其速度平行四边形。 当f=60°时，由于AB=1.73OA，OA恰好与AB垂 直，其速度平行四边形如图所示， 解出 : vB＝vA/cos30°＝1.15rw
• • • •
单独轮子作平面运动时，可在轮心O′处固 连一个平动坐标系x′o′y′，同样可把轮 子这种较为复杂的平面运动分解为平动和 转动两种简单运动。
一、研究平面运动的方法
• 1、动坐标系 • 对于任意的平面图形，可在图形上任取一点 O′为基点作为动系原点，建立跟随基点平动的坐 标系x′o′y′。 • 于是平面图形S的绝对运动可看成是： • 跟随基点的平动和绕基点的转动的合成。
若图形上某点I vI＝0 ，选此点
为基点，则其它各点的速度
vB＝vI＋vBI＝vBI
• 2、瞬时速度中心 • ①定义：一般情况下，在每一瞬时，平面图形上 • 都唯一地 存在一个速度为零的点。此点称为瞬 时速度中心。
②证明：如果点M在vA的垂线AN上 （由vA到AN的转向与图形的转向 一致），由图中看出，vA和vMA 在同一直线，而方向相反，故vM 的大小为 vM=vA－w·AM
理论力学刚体的平面运动
车轮的平面运动
刚体的平面运动可以 分解为随基点的平动 和绕基点的转动．
随基点A的平动
绕基点A'的转动
平面图形Ｓ在ｔ时间内从位置I运动到位置II
以A为基点: 随基点A平动到A'B''后, 绕基点A'转 1角到A'B' 以B为基点: 随基点B平动到A''B'后, 绕基点B'转 2 角到A'B' 图中看出：AB A'B'' A''B' ，1 2 于是有
3
vC vB vCB
大小 ？ l l 2
方向 ?
vC vB2 vC2B 1.299 m s 方向沿BD杆向右
例3 曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 3。r 如曲柄OA以匀角速度ω转动。
求：当 60，0，90时点B的速度。
已知：OA r, AB
求：当机构在图示位置时，夹板AB的角速度。
已知：AB 600mm, OE 100mm, 10 rad s , BC GD 500mm, 求:
AB
解: 1 杆GE作平面运动,瞬心为 C1
OG 800mm 500mm sin 15 929.4mm
EC1 OC1 OE 3369mm
解： 1 AB作平面运动。
vB AB vA
vB cos 30 OA
OA
vB cos 30 0.2309 m s
已知
求
OA
vE
100mm,OA
2
rad
s
, CD
3CB, CD
刚体的平面运动习题答案
刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动习题答案刚体的平面运动是力学中的一个重要课题，它涉及到物体在平面上的运动规律和力的作用方式。
在学习这一课题时，我们常常会遇到一些习题，下面我将为大家提供一些关于刚体平面运动的习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
1. 习题一：一个质量为m的刚体在水平地面上受到一个水平力F的作用，求刚体受力情况下的加速度。
解答：根据牛顿第二定律，刚体的加速度与作用在其上的合外力成正比，与刚体的质量成反比。
因此，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
2. 习题二：一个质量为m的刚体以速度v沿x轴正方向运动，受到一个大小为F的力沿y轴正方向作用，求刚体的加速度和运动轨迹。
解答：由于刚体受到的力只有在y轴上的F，所以刚体在x轴方向上不受力，即不会有加速度。
而在y轴方向上，刚体受到的力F会引起加速度的产生。
根据牛顿第二定律，我们可以得到刚体在y轴方向上的加速度为a = F/m。
至于刚体的运动轨迹，由于在x轴方向上没有加速度，刚体将以匀速直线运动，而在y轴方向上有加速度，刚体将在y轴上做匀加速运动。
3. 习题三：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相同，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相同，所以刚体受到的力将会增加其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = F/m。
4. 习题四：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向相反，求刚体在力作用下的加速度。
解答：由于力的方向与速度方向相反，所以刚体受到的力将会减小其速度。
根据牛顿第二定律，刚体的加速度可以表示为a = -F/m。
5. 习题五：一个质量为m的刚体受到一个大小为F的力作用，该力的方向与刚体的速度方向成一定的夹角θ，求刚体在力作用下的加速度。
解答：对于这个习题，我们可以将力F分解为两个分力F1和F2，其中F1与刚体的速度方向相同，F2与刚体的速度方向垂直。
刚体的平面运动
刚体的平面运动在前面几节中，物体被看成了没有形状、没有大小的质点. 然而，实际的物体总是有其形状和大小的，而且常常发生形变. 作为一种理想模型，我们把形状和大小不变的物体叫做刚体. 刚体上质点之间的距离在刚体运动时保持不变. 那末，刚体运动有些什么规律呢？一、刚体运动有两种基本形式：平动和定轴转动1、平动刚体上任意两点的连线保持平行的运动叫做刚体的平动，如图1所示. 图中是一个正方体刚体在作曲线平动. 不难看出，刚体上各点的轨迹曲线的形状相同，各点的速度也相同. 因此，只要弄清楚了刚体上任意一点的运动过程，也就弄清楚了整个刚体的运动过程.这就是说，刚体的平动可以用刚体上任意一个质点的运动来代表. 因此，前面几章研究质点运动实际上就是研究刚体的平动.2、定轴转动若刚体上的所有质点围绕同一直线作圆运动，则称这种运动为刚体转动，该直线叫做刚体的转轴. 转轴可以穿过刚体，也可以不穿过刚体. 转轴静止的刚体转动叫做刚体定轴转动.如图2所示。
刚体定轴转动时，刚体上任意质点的轨迹圆所在的平面叫做转动平面. 刚体的各个转动平面相互平行，都垂直于转轴.刚体定轴转动的描述。
类似于圆周运动的描述刚体上各点都绕同一转轴作半径不同的圆周运动，在相同时间内转过相同的角度。
刚体上各点的角位移θ∆、角速度ω、角加速度β均相同。
二、刚体平面运动刚体的平动和转动是最常见、最简单的刚体运动。
我们感兴趣的是另一种刚体运动称为刚体的平面运动。
例如汽车在平直路面上行驶时，其轮子在路面上滚动就是一例。
刚体平面运动的特点是，刚体在运动中刚体上各点始终处在平行于空间一固定平面的各自平面中。
1、刚体平面运动概述和运动分解（1）如图3所示，刚体运动中由位形Ⅰ到位形Ⅱ，总可以认为以刚体上任意选定的参考点（称为基点）为代表的刚体的平动，加上刚体绕此参考点的一个转动的叠加完成。
（2）由图3（a ）、（b ）看出，基点选取不同，刚体平动运动将不同，但绕基点的转动却是相同的。
平面运动
5、刚体的平面运动5.1内容提要刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定面间的距离保持不变，这种运动称为刚体的平面运动。
5.1.1平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度的三种求法如表5-1所示。
通常，瞬心法和投影法应用较多。
瞬心法的关键是确定平面图形在每一瞬时的瞬心位置，表5-2给出了按已知运动条件确定平面图形瞬心位置的几种方法。
表5-1 平面图形内各点的速度的求法方 法 速度表达式基点法 （合成法）‘，MO O M v v v += ω⋅'=M O v MO ’ M O v MO '⊥‘投影法[][]AB B AB A v v =瞬心法AC A v v =ω⋅=CA v A AC v A ⊥5.1.2平面图形内各点的加速度平面图形内任一点的加速度，等于基点O '的加速度与该点绕基点转动的法向加速度与切向加速度的矢量和，即τO M n O M O M a a a a '''++=式中，2ω⋅'='O M a n O M ，方向由点M 指向基点O '；ατ⋅'='O M a O M ，方向垂直于O M '，且指向与α一致。
表5-2 几种常见情况的速度瞬心确定方法刚体运动情况瞬心位置 说明 刚体运动情况瞬心位置说明 轮沿固定面纯滚动瞬心在轮与固定面的接触处 两点速度平行且垂直于两点的连线瞬心位于两点的连线与两速度矢端连线的交点处 已知平面上任意两点速度的方位瞬心在两点速度垂线的交点上 两点速度平行且不垂直于两点的 连线瞬心位于无穷远处，该瞬时，角速度为零，各点速度相等，这种情况称为瞬时平动5.2解题要点5.2.1习题类型刚体平面运动的习题，从运动构件看，有杆和轮子的单独平面运动，以及由它们通过连接点（铰结点或接触点）所组成的平面机构。
从分析方法分，有单纯的平面运动分析，还有刚体的平面运动和点的合成运动的综合分析。
刚体的平面运动动力学课后答案
其中： 是从速度瞬心 引向M点的矢径， 为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度
基点法公式：
（7－9）
其中： 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用 表示。
(b)
再根据对固定点的冲量矩定理：
系统对固定点A（与铰链A重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A点的动量矩和AB杆对A点的动量矩，由于滑块的
动量过A点，因此滑块对A点无动量矩，AB杆对A点的动量矩（也是系统对A点的动量矩）为：
将其代入冲量矩定理有：
(c)
由（a,b,c）三式求解可得：
(滑块的真实方向与图示相反)
其中：aK表示科氏加速度；牵连加速度就是AB杆上C点的加速度，即：
将上述公式在垂直于AB杆的轴上投影有：
科氏加速度 ，由上式可求得：
3-14：取圆盘中心 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。
由速度合成定理有：
速度图如图A所示。由于动系平移，所以 ，
根据点的复合运动速度合成定理有：
其中： ，根据几何关系可求得：
AB杆作平面运动，其A点加速度为零，
B点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
由该式可求得
由于A点的加速度为零，AB杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB杆中点的加速度为：
再取AB杆为动系，套筒C为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
3－25设板和圆盘中心O的加速度分别为
，圆盘的角加速度为 ，圆盘上与板
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第15章刚体的平面运动工程力系学习指导第15章 刚体的平面运动本章以刚体平移和定轴转动为基础，应用运动分解与合成的方法，研究工程中常见而又比较复杂的运动——刚体平面运动，同时介绍平面运动刚体上各点速度和加速度的计算方法。
本章也是工程运动学的重点内容，同时也是理论力学的基础。
15.1 教学要求与学习目标1. 正确理解有关平面运动的各种概念，如平面图形、运动的分解、基点、角速度、瞬心等。
能根据给定的约束条件建立平面运动的运动方程式。
2. 能够熟练应用基点法、速度投影法和瞬心法进行速度分析。
3. 能够熟练应用基点法进行加速度分析。
4. 能够根据约束条件或者所给定的运动要素确定速度瞬心的位置。
15.2 理 论 要 点15.2.1 刚体平面运动的特点在运动过程中，刚体上任意点与某一固定平面（例如Oxy 平面）的距离始终保持不变。
刚体的这种运动称为平面运动。
刚体平面运动时，其上各点的运动轨迹各不相同，但都是平行于某一固定平面的平面曲线。
15.2.2 刚体平面运动的运动方程为了确定直线AB 在平面Oxy 上的位置，需要三个独立变量，一般选用广义坐标),,(ϕA A y x q =。
其中，线坐标A x 、A y 确定点A 在该平面上的位置，角坐标ϕ确定直线AB 在该平面中的方位。
所以，作平面运动的刚体有三个自由度。
刚体平面运动的运动方程为()()()123A A x f t y f t f t ϕ=== 这一方程完全确定了平面运动刚体的运动规律，也完全确定了该刚体上任一点的运动性质（轨迹、速度和加速度等）。
其中平面运动刚体的角速度ω和角加速度α分别为)(3t f ′==ϕω ，)(3t f ′′==ϕα 15.2.3 平面运动分解为平移和转动图15-1 刚体平面运动的分解由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ=常数），则刚体将作平移。
由此可见，平面图形的运动可以看成是平移和转动的合成运动。
设在时间间隔t Δ内，平面图形由位置Ι运动到位置Ⅱ，相应地，图形内任取的线段从AB 运动到B A ′′，如图15-1所示。
在点A 处假想地安放一个平移坐标系y x A ′′，当图形运动时，令平移坐标系的两轴始终分别平行于定坐标轴Ox 和Oy ，通常将这一平移动系的原点A 称为基点。
于是，平面图形的平面运动便可分解为随同基点A 的平移（牵连运动）和绕基点A 的转动（相对运动）。
即：平面图形上线段AB 随A 点平行移动到位置B A ′′′，再绕A ′由位置B A ′′′转动1ϕΔ角到达位置B A ′′；若取B 点为基点，则线段AB 随B 点平行移动到位置A B ′′′，再绕B ′点由位置A B ′′′转动2ϕΔ角到达位置B A ′′。
当然，实际上平移和转动两者是同时进行的。
由图15-1可知，取不同的基点，平移部分一般来说是不同的（参见图中曲线AA ′和BB ′轨迹），其速度和加速度也不相同。
于是有结论：平面运动分解为平移和转动时，其平移部分与基点选择有关。
但对于转动部分，由图可见，绕不同基点转过的角位移1ϕΔ=2ϕΔ=ϕΔ（大小、转向均相同），且平面图形的角速度为10lim t t ϕωΔ→Δ==Δ=ΔΔ→Δt t 20limϕt t t d d lim 0ϕϕ=ΔΔ→Δ对时间求二阶导数，得平面图形的角加速度也相同，从而可知：平面运动分解为平移和转动时，其转动部分与基点的选择无关。
由图15-1可以看出，在t 瞬时，平面图形S 上直线AB 相对于平移系y x A ′′ 的方位用角度ϕ表示，而在同一瞬时，AB 相对于定系Oxy 的方位是角度a ϕ，且有)()(a t t ϕϕ= 从而有)()(a t t ωω=)()(a t t αα=即由于平移系相对定系无方位变化，故其相对转动量与其绝对转动量相等，正因为如此，以后凡涉及到平面运动图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。
15.2.4 速度分析1. 基点法图15-2 速度分析的基点法在作平面运动的刚体上任选基点，建立平移动系y x A ′′，动系上的A 点随平面图形S 上的A 点一起运动。
在平移动系y x A ′′上观察平面图形S 的运动为定轴转动，动系自身又作平移，因此，平面图形S 的运动可视为平移和转动的合成。
考察图15-2所示平面图形S 。
已知在t 瞬时，S 上点A 的速度A v 和S 的角速度ω，为求S 上点B 在该瞬时的速度，可以点A 为基点，建立平移系y x A ′′，将S 的平面运动分解为跟随y x A ′′的平移和相对它的转动。
这样，点B 的绝对运动就被分解成牵连运动为平移和相对运动为圆周的运动。
根据速度合成定理，并沿用刚体运动的习惯符号，有a e r B ==+v v v v式中，牵连速度即基点的速度A v v =e （平移系上各点速度均相同）。
B 点相对平移系的速度r v 记为BA v ，由定轴转动的速度公式，v r BA B′=×ω，B r ′为相对矢径。
几何上，由以A v 和BA v 为边的速度平行四边形，可求得B 点速度B v ，即B A BA A B′=+=+×v v v v r ω 上述矢量式表明，平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点相对于基点的相对速度的矢量和。
这种确定平面图形上任意一点速度的方法称为基点法。
图15-2中还画出一平面图形上任一线段AB 之各点的牵连速度A v v =e 与相对速度r i ′=×v r ω（i 为AB 上任一点）的分布。
不难看出，AB 上各点的牵连速度均相同，而相对速度则依该点至基点A 的距离呈线性分布。
总之，用基点法分析平面图形上点的速度，只是速度合成定理的具体应用而已。
此方法概念清楚，既可求平面图形上各点的速度又可求平面图形的角速度，但有时在计算上较以下两种方法复杂。
2. 速度投影定理法图15-3 速度分析的速度投影法将矢量式中各项分别向A 、B 两点连线AB 上投影。
由于BBA r ωv ′×=始终垂直于线段AB （图15-3），因此得B A A B s v v ββco cos =式中，角A β、B β分别为速度A v 、B v 与线段AB 的夹角。
该式表明，平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。
此方法计算简单，但只能求平面图形上各点的速度，无法求平面图形的角速度。
3. 瞬时速度中心法若已知平面图形在t 瞬时的速度瞬心*C 与其角速度ω，则可以*C 点为基点，建立平移系，分析图形上点的速度。
此时，基点速度0*=C v ，前面的矢量式变为 **v v r B BC C B ==×ω式中，B C *r 为自*C 点至B 点所引的位矢。
这一表达式表明，此情形下，图形上待求速度点B 的牵连速度等于零，绝对速度等于相对速度。
如图15-4所示，线段*C B 上各点的速度大小依照该点至点*C 的距离呈线性分布，其速度方向垂直于线段*C B ，指向与图形的转动方向相一致。
图中，线段*C A 与*C C 上各点的速度亦与上同。
可见，就速度分布而言，图形在该瞬时的运动与假设它绕点*C 作瞬时定轴转动相类似。
图15-4 速度分析的速度瞬心法另一方面，表征平面图形运动的物理量是随时间变化的，即)(t v A ，)(t ω。
因此，速度瞬心在图形上的位置也在不断变化，即在不同瞬时，平面图形上有不同的速度瞬心。
这又是它与定轴转动的重要区别。
因此，速度瞬心概念对运动比较复杂的平面图形给出了清晰的运动图像：平面图形的瞬时运动为绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动，其连续运动为绕图形上一系列的速度瞬心作瞬时转动。
此方法为分析平面图形上点的速度与图形的角速度提供了一种有效方法。
若已知图形的速度瞬心与角速度ω，则图形上各点的速度均可求出。
4. 瞬时速度中心的确定图15-5 几种情形下速度瞬心的确定寻找图形在某一瞬时的速度瞬心，是应用瞬时速度中心法求解平面图形上各点速度和平面图形角速度的关键。
图15-5中给出了四种不同情形：图15-5a 为已知图形上两点A v 和B v 的方向，且此二速度不相平行。
若过该两点分别作A v 与B v 的垂线，则二垂线的交点即为其速度瞬心*1C ；图15-5b 为已知图形上A 、B 两点的速度A v 与B v 的大小与方向，两速度平行、同向且均垂直于该两点的连线AB ，则AB 与两速度矢端的连线与延长线交点就是该情形的瞬心*2C ；图15-5c 为已知图形上A 、B 两点的A v 与B v ，两速度平行反向且均垂直于该两点的连线AB ，则AB 与两速度矢端连线的交点就是该情形的瞬心*3C ；图15-5d 中，已知A v 与B v 的方向，两速度平行但均不垂直于两点连线AB ，则两速度的垂线平行，此时必有A v =B v ，平面图形的角速度ω = 0 ，此情形称平面图形作瞬时平移。
注意到，图15-5a 中的瞬心*1C 位于平面图形上，而图15-5b 中的*2C 却位于图形的边界以外，可以认为它位于图形的扩展部分上。
15.2.5 平面图形上各点的加速度分析图15-6 加速度分析的基点法如图15-6所示，已知平面图形S 上点A 的加速度A a 、图形的角速度ω与角加速度α。
与平面图形上各点速度分析相类似，选点A 为基点，建立平移系y x A ′′，分解图形的运动，从而也分解了图形上任一点B 的运动。
由于动点B 的牵连运动为平移，可应用动系为平移时的加速度合成定理的公式，并采用刚体运动的习惯符号，有t n a e r r B ==++a a a a a式中，a e = a A ，t t r BAAB ==×a a αr ，n nr ()BA AB ==××a a ωωr ，BA a 为点B 相对于平移系作圆周运动的加速度，而t BA a 与nBA a 分别为其中的相对切向加速度与相对法向加速度，AB r 是由基点A 引向点B 的位矢，故点B 的加速度为：t nB A BA A BA BA =+=++a a a a a a上述矢量式表明，平面图形上任一点的加速度等于基点的加速度与该点相对基点的相对切向和相对法向加速度的矢量和。
15.2.6 运动学综合应用工程中的机构都是由数个物体组成的，各物体间通过连接点而传递运动。
为分析机构的运动，首先要分清各物体都作什么运动，要计算有关连接点的速度和加速度。
为分析某点的运动，如能找出其位置与时间的函数关系，则可直接建立运动方程，用解析方法求其运动全过程的速度和加速度。
当难以建立点的运动方程或只对机构某些瞬时位置的运动参数感兴趣时，可根据刚体各种不同运动的形式，确定此刚体的运动与其上一点运动的关系，并常用合成运动或平面运动的理论来分析相关的两个点在某瞬时的速度和加速度。